(pdf), nem végleges kézirat - Széchenyi István Egyetem

2. Vektorterek
1. lecke, 1. oldal
Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalmat ("irányított szakasz") általánosítjuk. Egymástól egészen
különböző matematikai objektumokat is vektoroknak fogunk nevezni, ha definiálva vannak rajtuk bizonyos
egyszerű műveletek, melyek ugyanolyan (alább specifikált) tulajdonságokkal rendelkeznek. Ily módon a
bevezetésre kerülő vektorfogalom a közönséges összeadás és szorzás jól ismert tulajdonságait terjeszti ki a
számoknál sokkal általánosabb struktúrákra.
2.1. Vektorterek és altereik
2-1. Definíció: Az X nemüres halmazt valós vektortérnek (vagy lineáris térnek) nevezzük, ha X elemei közt
értelmezett egy összeadás, R és X elemei közt pedig egy skalárral való szorzás úgy, hogy a következő állítások
(az ún. vektortér-axiómák) teljesülnek. Tetszőleges x,y,z ∈ X, λ,µ ∈ R esetén:
• x + y = y + x
• x + (y + z) = x + (y + z)
(az összeadás kommutatív)
(az összeadás asszociatív)
• létezik X-ben egy 0 zérusvektor, melyre x + 0 = x teljesül minden x ∈ X esetén;
• az összeadás invertálható, azaz bármely x ∈ X vektorhoz van oly x −1 ∈ X vektor, hogy összegük a
zérusvektor: x + x −1 = 0
• λ · (µ · x) = (λµ) · x
• λ · (x + y) = λ · x + λ · y
• (λ + µ) · x = λ · x + µ · x
• 1 · x = x