R - MTA KFKI RMKI

A MOZG¡SGRADIENS. A mozg·sgradienst, mint f¸ggvÈnyt a mozg·sf¸ggvÈny R
szerinti deriv·ltjakÈnt Èrtelmezz¸k:
(2) �R� 22
�R� �˜
t
H t : � � ˜ t � �
�R
�R� R
Itt bevezett¸k az anyagi sokas·gon hatÛ � R anyagi tÈrderiv·ltat Ès a hagyom·nyos
jelˆlÈsektıl kissÈ eltÈrıen nem feltÈtlen¸l az elÈ a f¸ggvÈny elÈ Ìrjuk, amire hat, hanem
a tenzori·lis sorrendet tartjuk. A � jel a tenzorszorzatot, m·s nÈven diadikus szorzatot
jelˆli. A mozg·sgradiens szubsztanci·lis Ès anyagi mennyisÈg, lok·lis alakja
H
�1
�r, �: H ˜ �r�, �˜
t �1
� t�
� �˜ �r�, t�
t t t
t
� .
�R
AZ ELMOZDUL¡SGRADIENS. Az u R)
: � ˜ ( R)
� R
.
t ( t elmozdul·sf¸ggvÈny R szerinti
deriv·l·s·val az elmozdul·sgradienst (az elmozdul·sok gradienstenzor·t) kapjuk:
A ˜ �r� 1 �
�u
t
�R� �R
t inverz f¸ggvÈny r szerinti deriv·ltja a
�˜
�1
t
�r
�r� �
� ˜
�˜ t �R� � R�
� R � H t �R� � I R
�1
t
�1
�r� � � � H ˜ �r� �1
� .
�1
� � ��
� H�r,
t�
t
� � 1 �
tenzor. Ez valÛban Ìgy van, ui. a ˜ t ( ˜ t ( r))
� r azonoss·got r szerint deriv·lva, a
˜ t
�R
�1
�R� �˜
�r� � t
�
� t R t
�r
1
�˜ � � � ˜ �r� � � ��
� I
egyenlısÈget kapjuk, ahonnan l·thatÛ, hogy � � 1
1 �
�
( r)
� � H(
r,
t)
nÈmileg pongyola jelˆlÈsmÛdunkkal
�r
�R
� I
�R
�r
�
�R
H � I , ezÈrt
�r
˜ � . Az egyszer˚bb, de
t
�R
� H
�r
Ha az elmozdul·smezıt, azaz az u(
r,
t) � r � ˜ t ( r,
t)
egyenlısÈg mindkÈt oldal·t r
szerint deriv·ljuk, akkor az
�1
� � 1 �
H(
, )
u( r,
t) � � � I � r t
ˆsszef¸ggÈshez jutunk. Ez utÛbbi, fordÌtott gradiens jelˆlÈsmÛd helyesen mutatja a
deriv·ltm·trix sor-oszlop sorrendjÈt, amelyre a szokottabb jelˆlÈsmÛdn·l k¸lˆn
¸gyeln¸nk kellene.
�1
.