R - MTA KFKI RMKI

vektormezıhˆz ·ltal·ban kÈtfÈle szubsztanci·lis v·ltozÛj˙ mezı is tartozhat, c t ,
amelyben csak a f¸ggvÈny argumentum·t cserÈlt¸k ki, Ès cà t , amellyel a kˆzeghez
rˆgzÌtett vektorok v·ltoz·sait is kˆvett¸k 4 .
26
TermÈszetesen ez utÛbbinak is megvan a lok·lis alakja, Ès ·ltal·ban cà t � ct
, illetve
cà � c . Ez a jelˆlÈs f¸ggvÈnyek argumentum·nak kiÌr·sa nÈlk¸l is egyÈrtelm˚vÈ teszi az
elıbbi formul·inkat:
�1
� H t Ès ct
H t ct
c tcà
à
� .
A m·r emlegetett, az anyag belsı viszonyait jellemzı anyagi mennyisÈgeket viszont
termÈszetesen nem form·lis szab·lyok, hanem a fizika tˆrvÈnyei jelˆlik ki. Vil·gosan
l·tszik ez a mozg·ssal kapcsolatos mennyisÈgek, azaz a mozg·sf¸ggvÈny Ès deriv·ltjai
esetÈn. Ugyanis a mozg·st megadÛ ˜ t mozg·sf¸ggvÈnynek Ès inverzÈnek nincs kalapos
form·ja, azaz saj·t deriv·ltj·nak segÌtsÈgÈvel transzform·lÛdÛ alakja. Bel·thatÛ
tov·bb·, hogy a mozg·sgradiens esetÈn a visszah˙zott alak megegyezik az ÈrtelmezÈsi
tartom·ny egyszer˚ v·ltoztat·s·val kapott alakkal, azaz Hà t � Ht
.
2. A M…RLEGEGYENLETEK
A mÈrlegegyenleteket eredetileg mindig lok·lis form·ban Ìrjuk fel ñ ez felel meg a
megszokott tÈridı szemlÈlet¸nknek ezÈrt a mÈrlegek lok·lis fizikai mennyisÈgek kˆzˆtt
ÈrvÈnyes ˆsszef¸ggÈseket adnak meg. Fontos kiemeln¸nk, hogy az ˙gynevezett
szubsztanci·lis mÈrlegek valÛj·ban nem szubsztanci·lis mennyisÈgekre vonatkoznak.
EgyrÈszt a benn¸k szereplı fizikai mennyisÈgek tov·bbra is lok·lis mennyisÈgek,
m·srÈszt gondoljunk arra, hogy az ·ramok divergenci·j·t sem az anyagi sokas·gon
ÈrvÈnyes deriv·l·ssal kÈpezz¸k. Csak a lok·lis idıderiv·ltat cserÈlj¸k ki a megfelelı
4
Az elmondottakat egy pÈld·val is illusztr·ljuk. Gondoljunk egy egyenletesen forgÛ korongot, amelynek
kˆzÈppontja a mi ter¸nk (azaz v·lasztott k¸lsı inerci·lis vonatkoztat·si rendszer¸nk terÈnek) origÛj·ban
nyugszik. Teh·t a kˆzÈppont mind a mi ter¸nknek, mind a korongnak a pontja. A korong tetszıleges R
pontj·nak a mozg·s·t a ˜ t �R� � Q t R f¸ggvÈny Ìrja le, ahol Qt egy ortogon·lis (forgatÛ) tenzor. Ekkor a
mozg·sgradiens H t � ˜ t � � R � Q t . Tegy¸k fel, hogy a lok·lis hı·rammezı vektora a ter¸nk minden
pontj·ban a kˆzÈppont felÈ mutat: q�r, t�
� ��r
. Ekkor a korongon lÈvı megfigyelı azt Èrzi, hogy a
korong minden pontj·ban a hı a kˆzÈppont felÈ ·ramlik. Formul·val megfogalmazva, a korong R helyÈn
� �R
a hı·ramvektor. A szimpla v·ltozÛtranszform·ciÛ szerinti q � � � � �
t R � q ˜ t R , t� � ��Q
t R
azonban nem ezt adja, ellenben a q �R� � Q q �R� � ��R
t
�1
t
à valÛban igen. Vagy tegy¸k fel, hogy a hı a
t
ter¸nkben a forg·stengelyre merılegesen adott n ir·nyban ·ramlik egyenletesen: q�r, t�
� ��n
. Ekkor a
korong ˙gy Èrzi, hogy a hı·ram forog a korong saj·t forg·s·val ellentÈtes ir·nyban, amit a
�1
�1
�R� Q q�˜
�R�, � � � Q n
qà
t � t t t � t Ìr le jÛl. (A pÈlda MATOLCSI TAM¡StÛl sz·rmazik.)