R - MTA KFKI RMKI

A SEBESS…GGRADIENS. Fontos ˆsszef¸ggÈst kaphatunk a v sebessÈgmezı Ès a H
lok·lis mozg·sgradiens kˆzˆtt a mozg·sf¸ggvÈny t Ès R szerinti vegyes parci·lis
deriv·ltjainak egyenlısÈgÈbıl. Felhaszn·lva a sebessÈg Ès a mozg·sgradiens (1)-(2)
definÌciÛit:
24
2
� � t ( R)
�
�
�t�R
�t
2
� � t ( R)
�v
t ( R)
�v(
˜ t ( R),
t)
� �
�
�R�t
�R
�R
·ttÈrve tiszt·n lok·lis form·ra
�� ( R)
� � �
t
t
�v( ˜ ( R),
t)
� ��
� ��v � ��H��˜
( R),
t)
�,
t
R
� H�
( R)
�
t
�˜
( R)
�R
H� � �v � ��H
, azaz H� � �Grad v�H
.
Az egyenlısÈg mindkÈt oldal·t jobbrÛl szorozva a H -1 tenzorral, megkapjuk a
sebessÈggradienst:
(7)
v
�
�1
� � � HH
.
Ha figyelembe vessz¸k a (4) szerinti felbont·st, akkor
��
�1
�1
�1
�1
�1
�1
�
v � � � H�
H � QA QA � Q�
A � QA�
A Q � Q�
Q � QA�
A Q ,
� � � � 1
s megkapjuk a merevtestszer˚ elfordul·s sebessÈgÈt, Ès az alakv·ltoz·s sebessÈgÈt.
Megszokott jelˆlÈseinkkel:
�1
Ÿ � QQ
� - az ˆrvÈnytenzor (az elfordul·si sebessÈg tenzora,
�1
�1
szˆgsebessÈgtenzor),
V � QA�
A Q - az alakv·ltoz·si sebessÈg tenzora.
LEÕR¡SOK K÷Z÷TTI ¡TJ¡R¡S. L·tjuk, hogy lok·lis mennyisÈgrıl a szubsztanci·lis
mennyisÈgekre tˆrtÈnı ·ttÈrÈs egyszer˚, a megfelelı mezıket kell kompon·lni a
mozg·sf¸ggvÈny inverzÈvel. Lok·lis helyzetrıl az anyagi mennyisÈgekre valÛ ·ttÈrÈs
(vagy fordÌtva) nem azonos ˆsszef¸ggÈsekkel tˆrtÈnik, hanem f¸gg a fizikai mennyisÈg
tenzori rendjÈtıl is. M·s a helyzet skal·rn·l, m·s vektorn·l, Ès m·s tenzorn·l. Sıt,
vigy·znunk kell, mert vektorokn·l az ·ttÈrÈsi szab·ly l·tszÛlag m·s, ha a fizikai
mennyisÈg nem mozg·sbÛl sz·rmazik, Ès megint m·s, ha abbÛl (pl. sebessÈgmezı).
Ha egy f fizikai mennyisÈg skal·r, akkor szubsztanci·lis form·ja egy˙ttal anyagi
forma is, Ès kˆzˆtt¸k az ˆsszef¸ggÈs a kˆvetkezı:
(8a) f � , t�
(8b) � � � �
r � f t �R� � f �˜ t �R�, t�
,
f r,
t f
�1
˜ r � f �R� ,
� t t
� �
azaz csup·n a v·ltozÛkban kell Èrtelemszer˚en ·ttÈrni.
t
t