R - MTA KFKI RMKI

28
A �
� � ad r , A � � � adV .
V
3
(A megk¸lˆnbˆztetÈs miatt alkalmazzuk a dV � d r Ès :� d R jelˆlÈseket.)
¡ltal·nosan az A extenzÌv mennyisÈg lok·lis mÈrlege:
��
a
(12) � � � ( � av
� ja
) � � a.
�t
Itt � av
a kˆzeg ·raml·s·bÛl sz·rmazÛ konvektÌv, Ès j a az attÛl f¸ggetlen konduktÌv
·rams˚r˚sÈg. (11) alkalmaz·s·val a Lagrange-leÌr·s szubsztanci·lis mÈrlege a
kˆvetkezı egyszer˚ form·ba ÌrhatÛ:
(13) � a� � � � ja
� � a .
MegmaradÛnak nevez¸nk egy extenzÌv fizikai mennyisÈget, ha � a forr·ss˚r˚sÈge
nulla.
T÷MEGM…RLEG. A tˆmeg kÈt szempontbÛl speci·lis mennyisÈg. EgyrÈszt, egy
egykomponens˚ kontinuum mozg·s·t annak tˆmegÈhez kÈpest rˆgzÌtj¸k, azaz a
tˆmegnek nincs konduktÌv ·rams˚r˚sÈge. M·srÈszt, a tˆmeg megmaradÛ mennyisÈg, a
tˆmegs˚r˚sÈg megv·ltoz·sa csak (!) a kontinuum alakv·ltoz·s·bÛl adÛdÛ
tÈrfogatv·ltoz·sbÛl sz·rmazik, a mozg·sgradiens determin·ns·nak megfelelıen. A teljes
tˆmeg megmarad·s·bÛl ugyanis, az integr·ltranszform·ciÛ ismert formul·ja alapj·n
V
3
dV R
� � t ( R) d R � � �(
r,
t)
d r � � �(
˜ t ( R),
t))
det H t ( R)
d R .
Bt0
0
3
Bt
3
Bt0
EzÈrt azt·n, mivel a mozg·sgradiens determin·nsa pozitÌv,
(14)
�1
�t0
�t � .
det H
Ez az ˆsszef¸ggÈs tartalmazza a tˆmeg megmarad·s·t. Deriv·lva a determin·nst,
kapjuk, hogy
� � �
t
azaz
d
dt
�
t0
det H
t
� �
�
t0
det H
t0
2
t
�det H � �det H �
t
d
dt
� �
�1
(15) � � � � H : H�
� 0 .
Ez a tˆmegmÈrleg szubsztanci·lis alakja, mely LAGRANGE-alakban a
(16) �� � ��
� v � 0,
lok·lis alakban pedig a
t
t
�
t
t
t
2
t
3
3
�1
t0
1
�det H � H : H�
�
� � H : H�
,
t
t
t
�
det H
t
t
t