R - MTA KFKI RMKI
R - MTA KFKI RMKI
R - MTA KFKI RMKI
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
IZOTR”P KONTINUUMOK RUGALMAS …S K…PL…KENY ¡LLAPOTA<br />
TARTALOMJEGYZ…K<br />
ElıszÛ ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ..<br />
BevezetÈs ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ.<br />
JelˆlÈsek jegyzÈke ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ...<br />
1. FEJEZET<br />
A M…RLEGEGYENLETEK …S ANYAGI FORM¡IK<br />
Az anyagf¸ggvÈnyek ÖÖ...ÖÖÖÖÖÖÖÖÖ...ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ.<br />
Az anyagi objektivit·s ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ...ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ...<br />
1. A KONTINUUM MOZG¡SA, ALAKV¡LTOZ¡SOK KINEMATIK¡JA Ö..ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ<br />
Lok·lis mennyisÈg ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ...ÖÖÖÖÖÖÖÖ.<br />
Szubsztanci·lis mennyisÈg Ö...ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ..ÖÖÖÖÖÖÖ.<br />
Anyagi mennyisÈg Ö...ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ..ÖÖÖÖÖÖ..<br />
A mozg·sf¸ggvÈny Ö...ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ..ÖÖÖÖÖÖ.<br />
A mozg·sgradiens ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ..ÖÖÖÖÖ..<br />
Az elmozdul·sgradiens Ö...ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ..ÖÖÖÖ...<br />
Pol·ris dekompozÌciÛ Ö...ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ..ÖÖÖÖ.<br />
Az alakv·ltoz·si tenzor ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ..ÖÖÖ..<br />
A deform·ciÛtenzor ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ..ÖÖ<br />
A sebessÈggradiens Ö...ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ...Ö.<br />
LeÌr·sok kˆzˆtti ·tj·r·s Ö...ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ..<br />
2. A M…RLEGEGYENLETEK ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ.<br />
A tˆmegmÈrleg Ö...ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ......<br />
A differenci·lis mÈrleg ·ltal·nos form·ja Ö...ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ..<br />
A tˆmegmÈrleg Ö...ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ......<br />
Az impulzusmÈrleg ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ...<br />
A belsı energia mÈrlege Ö...ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ<br />
Az entrÛpia mÈrlege Ö...ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ.......<br />
2. FEJEZET.<br />
AZ ¡LTAL¡NOS ANYAGT÷RV…NY<br />
1. AZ ANYAGT÷RV…NY V¡LTOZ”I …S AZ ENTR”PIAF‹GGV…NY ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ.<br />
2. K…PL…KENYS…G ñ TAPASZTALAT ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ...<br />
3. IRREVERZIBILIT¡S FOGALMAK ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ..<br />
Az ·llapothat·rozÛk tulajdons·gai ñ a fejlıdÈsi egyenlet fÈnyÈben ÖÖÖÖÖÖÖÖÖ.<br />
Speci·lis folyamatok ñ a fejlıdÈsi egyenlet fÈnyÈben ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ..<br />
Az anyagcsal·d (kˆzeg) az ·llapothat·rozÛk kiv·laszt·sa szerint ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ<br />
Az anyag oszt·lyoz·sa ñ a folyamatok ir·nyÌthatÛs·ga, azaz a fejlıdÈsi egyenlet<br />
szerint ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ<br />
Az anyag ñ fejlıdÈsi egyenletÈnek stabilit·si tulajdons·gai szerint ÖÖÖÖÖÖÖÖ...<br />
Anyagok ·llapot·nak oszt·lyoz·sa kontinuummechanikai (vagy anyagszerkezeti)<br />
9<br />
13<br />
16<br />
19<br />
19<br />
20<br />
20<br />
20<br />
21<br />
21<br />
22<br />
22<br />
23<br />
23<br />
23<br />
24<br />
24<br />
26<br />
28<br />
29<br />
30<br />
30<br />
30<br />
30<br />
33<br />
34<br />
36<br />
37<br />
37<br />
38<br />
38<br />
38<br />
37<br />
5
szempontbÛl ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ..<br />
Tov·bbi megjegyzÈsek ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ.ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ.<br />
4. MECHANIKAI ¡LLAPOTHAT¡ROZ”K …S K…PL…KENYS…G ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ<br />
A kÈplÈkenysÈgi hat·rfeltÈtel ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ<br />
5. NEMEGYENS⁄LYI K÷ZEG ñ ¡LTAL¡NOS REOL”GIAI-PLASZTIKUS VISELKED…S V…GES<br />
DEFORM¡CI”K ESET…N ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ..<br />
Dinamikai ·llapothat·rozÛ ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ<br />
6. AZ ENTR”PIA M…RLEGE ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ.<br />
7. ¡LTAL¡NOS ANYAGF‹GGV…NYEK ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ.<br />
8. AZ ANYAGT÷RV…NY …S AZ ANYAGI OBJEKTIVIT¡S ELVE ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ<br />
Az anyagi objektivit·s elve ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ..<br />
9. IZOTR”P, RUGALMAS-K…PL…KENY KONTINUUMOK ANYAGT÷RV…NYE ÖÖÖÖÖÖÖÖÖ...<br />
9.1. Disszip·ciÛmentes anyagtˆrvÈny - a kÈplÈkenysÈgi feltÈtel szerepe ÖÖÖÖÖÖÖÖ<br />
9.2 IzotrÛp, disszipatÌv, egyszer˚ kÈplÈkeny anyag - t˙l az egyens˙lyon ÖÖÖÖÖÖÖ...<br />
6<br />
3. FEJEZET.<br />
EGYENS⁄LYI ANYAGT÷RV…NY A RUGALMAS DEFORM¡CI”K TARTOM¡NY¡BAN<br />
1. AZ ANYAGT÷RV…NY RUGALMAS NEMDISSZIPATÕV ESETRE KORL¡TOZOTT ALAKJAÖÖÖÖÖ...<br />
2. A RUGALMAS EGYENS⁄LYI ANYAGT÷RV…NY KONKR…T ALAKJA ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ..<br />
AnyagtˆrvÈny a Cayley-Hamilton tÈtel alapj·n ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ<br />
Az anyagtˆrvÈny torzul·si- Ès tÈrfogatv·ltoz·si egyenlete ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ..<br />
3. A RUGALMAS EGYENS⁄LYI ANYAGT÷RV…NY LINE¡RIS ALAKJA ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ...<br />
Egytengely˚ fesz¸ltsÈg·llapot ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ..<br />
4. A LINE¡RIS …S M¡SODFOK⁄ ALAK ÷SSZEHASONLÕT¡SA ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ...<br />
Az egytengely˚ eset ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ..<br />
TÈrbeli ·llapot ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ...<br />
4. FEJEZET<br />
NEMEGYENS⁄LYI ANYAGT÷RV…NY A RUGALMAS DEFORM¡CI”K TARTOM¡NY¡BAN<br />
Nemegyens˙lyi helyzet ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ. 81<br />
Torzul·si egyenlet ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ. 83<br />
TÈrfogatv·ltoz·si egyenlet ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ 83<br />
Az ·ltal·noss·g sz˚kÌtÈse ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ.. 85<br />
AnyagtˆrvÈny kis deform·ciÛk esetÈn ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ.. 86<br />
Az anyagviselkedÈs ·br·zol·sa ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ. 87<br />
¡llandÛ fesz¸ltsÈgv·ltoz·si sebessÈg ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ. 88<br />
¡llandÛ deform·ciÛ sebessÈg ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ.. 88<br />
¡llandÛ fesz¸ltsÈg (k˙sz·s) ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ.. 88<br />
¡llandÛ deform·ciÛ (relax·ciÛ) ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ 88<br />
Periodikus terhelÈs ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ 90<br />
Az anyagtˆrvÈny reverzibilis Ès irreverzibilis rÈsze a rugalmas tartom·nyban .................... 91<br />
MegjegyzÈsek ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ...Ö 92<br />
5. FEJEZET<br />
EGYTENGELY¤ ¡LLAPOT KÕS…RLETI ADATOK ALAPJ¡N<br />
Egy mÈrÈsi eredmÈny ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ<br />
KˆvetkeztetÈsek ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ<br />
1. A K…PL…KENY DEFORM¡CI”K TARTOM¡NY¡BAN …RV…NYES ÷SSZEF‹GG…S<br />
MEGHAT¡ROZ¡S¡NAK L…P…SEI, EGYTENGELY¤ ¡LLAPOTBAN ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ..<br />
1.1. Az anyagtˆrvÈny Pmin = 0 deform·ciÛs teljesÌtmÈny esetÈn ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ.<br />
39<br />
40<br />
41<br />
45<br />
47<br />
47<br />
48<br />
49<br />
52<br />
53<br />
56<br />
57<br />
60<br />
66<br />
67<br />
67<br />
68<br />
70<br />
72<br />
74<br />
74<br />
78<br />
94<br />
97<br />
98<br />
98
A reverzibilis deform·ciÛ ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ.<br />
A plasztikus (vagy kÈplÈkeny) deform·ciÛ ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ..<br />
Az irreverzibilis (vagy maradÛ) deform·ciÛ ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ<br />
A rugalmass·gi modulus l·tszÛlagos megv·ltoz·sa ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ.<br />
1.2. Az anyagtˆrvÈny Pmax deform·ciÛs teljesÌtmÈny esetÈn ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ...<br />
1.3. Az anyagtˆrvÈny 0 < P < Pmax deform·ciÛs teljesÌtmÈny esetÈn ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ..<br />
1.4. A reverzibilis Ès irreverzibilis fesz¸ltsÈgek ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ..<br />
2. A K…PL…KENYS…GI- …S T÷NKREMENETELI HAT¡ROK AZ EGYTENGELY¤ KÕS…RLETEK ALAPJ¡N ...<br />
2.1. Energia- Ès munka ˆsszef¸ggÈsek ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ<br />
2.2. Hat·rfeltÈtel a mÈrÈsi adatok t¸krÈben ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ.<br />
A kÈplÈkenysÈgi hat·rfeltÈtel a W deform·ciÛs munk·val kifejezve ÖÖÖÖÖÖÖÖ..<br />
A hat·rÈrtÈkek a � potenci·lis energi·val kifejezve ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ...<br />
Az L disszip·ciÛs munka ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ<br />
A kÈplÈkenysÈgi hat·rfeltÈtel a Wí torzul·si deform·ciÛs munk·val kifejezve ÖÖÖÖ...<br />
A kÈplÈkenysÈgi hat·rfeltÈtel a Wo deform·ciÛs munk·val kifejezve ÖÖÖÖÖÖÖÖ..<br />
A hat·rfeltÈtelekben szereplı kifejezÈsek ˆsszehasonlÌt·sa ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ.<br />
Z·rÛ megjegyzÈsek ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ...<br />
6. FEJEZET<br />
EGYENS⁄LYI ANYAGT÷RV…NY A K…PL…KENY DEFORM¡CI”K TARTOM¡NY¡BAN<br />
A fejlıdÈsi egyenlet ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ...<br />
Egyens˙ly ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ..<br />
A reverzibilis fesz¸ltsÈgtenzor ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ...<br />
Az ·ltal·nos egyens˙lyi fesz¸ltsÈgtenzor konkrÈt alakja ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ...<br />
Egytengely˚ fesz¸ltsÈg·llapot ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ...<br />
7. FEJEZET<br />
NEMEGYENS⁄LYI ANYAGT÷RV…NY A K…PL…KENY DEFORM¡CI”K TARTOM¡NY¡BAN<br />
A fejlıdÈsi egyenlet ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ...<br />
Mechanikai egyens˙ly ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ...<br />
Egyens˙lyon t˙li ·llapot ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ<br />
AnyagtˆrvÈny line·ris kˆzelÌtÈsben ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ...<br />
Egytengely˚ fesz¸ltsÈg·llapot ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ...<br />
8. FEJEZET<br />
A HAT¡RFELT…TELEKR’L<br />
1. EL’ZETES MEGJEGYZ…SEK ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ<br />
A W tÈrfogategysÈgre jutÛ deform·ciÛs munka felbont·sa ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ...<br />
A lehetsÈges kÈplÈkenysÈgi hat·rfeltÈtelek ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ...<br />
KˆvetkezmÈny ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ...<br />
A tˆnkremeneteli hat·rfeltÈtel ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ<br />
2.A K…PL…KENY ¡LLAPOT L…TREJ÷TTE …S A T÷R…S KIALAKUL¡SA ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ<br />
3.A K…PL…KENYS…GI HAT¡RFELT…TEL A DEFORM¡CI”S HULL¡M ALAPJ¡N .......................................<br />
A � = Wo - Wof = 0 FELT…TEL KIZ¡R¡S¡RA TETT KÕS…RLET ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ<br />
A � = W - Wf = 0 FELT…TEL KIZ¡R¡S¡RA TETT KÕS…RLET ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ...<br />
A maxim·lis torzul·si deform·ciÛs munka elve ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ<br />
4. A T÷NKREMENETELI HAT¡RFELT…TEL ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ...<br />
A maxim·lis torzul·si disszip·ciÛs munka elve ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ<br />
5. N…H¡NY GONDOLATI KÕS…RLET: AZ ANYAG A K…PL…KENYS…GI HAT¡RON T⁄L …S A<br />
T÷R…SI HAT¡RON INNEN Ö............................................................................................................<br />
100<br />
100<br />
100<br />
101<br />
104<br />
105<br />
106<br />
107<br />
107<br />
109<br />
110<br />
112<br />
113<br />
115<br />
115<br />
116<br />
118<br />
119<br />
119<br />
120<br />
122<br />
126<br />
130<br />
130<br />
131<br />
133<br />
134<br />
136<br />
136<br />
137<br />
138<br />
139<br />
140<br />
141<br />
142<br />
142<br />
142<br />
143<br />
143<br />
143<br />
7
8<br />
TˆkÈletesen kifejlıdˆtt kÈplÈkenysÈg tartom·nya ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ.<br />
Tˆnkremenetel - kÈplÈkeny ·llapot nÈlk¸l ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ.<br />
9. FEJEZET<br />
÷SSZEFOGALAL¡S: IZOTR”P KONTINUUMOK EGYS…GES ELM…LETE<br />
1. ANYAGT÷RV…NY LINE¡RIS K÷ZELÕT…SBEN A D DEFORM¡CI”TENZORRAL KIFEJEZVE ÖÖÖ.<br />
2. ANYAGT÷RV…NY EGYTENGELY¤ FESZ‹LTS…G¡LLAPOTBAN ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ.<br />
3. ¡LTAL¡NOS ANYAGT÷RV…NY ALKALMAZ¡SA M…RN÷KI FELADATOK MEGOLD¡S¡N¡L ÖÖ...<br />
KˆvetkezmÈny ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ..<br />
A reolÛgiai megold·s a rugalmas tartom·nyon ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ<br />
A mechanikai mezı egyens˙ly esetÈn ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ..<br />
Az ·ltal·nos eset ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ..<br />
F‹GGEL…K<br />
K÷RSZELV…NY¤ V¡GAT K÷R‹LI MECHANIKAI MEZ’<br />
1. A FELADAT EL’K…SZÕT…SE …S MEGFOGALMAZ¡SA ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ...<br />
Kiindul·si feltÈtelek ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ..<br />
Egyens˙lyi egyenletek ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ..<br />
Geometriai egyenletek ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ..<br />
Anyagegyenletek ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ..<br />
Elsı feladat [az ısfesz¸ltsÈgi, vagy primer ·llapot sz·mÌt·sa] ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ.<br />
M·sodik feladat [az ¸regnyit·s hat·s·nak sz·mÌt·sa] ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ..<br />
2. A PRIMER FELADAT MEGOLD¡SA ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ..<br />
3. A M¡SODIK FELADAT MEGOLD¡SA RUGALMAS TARTOM¡NYON ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ..<br />
SÌkalakv·ltoz·si ·llapot ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ<br />
SÌkfesz¸ltsÈgi ·llapotot ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ.<br />
4. AZ EREDETI FELADAT MEGOLD¡SA RUGALMAS TARTOM¡NYON ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ..<br />
5. A 2. FELADAT MEGOLD¡SA RUGALMAS-K…PL…KENY TARTOM¡NYON<br />
KONVENCION¡LIS FELT…TELEZ…S ESET…N ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ<br />
5.1. KÈt konvencion·lis kÈplÈkenysÈgi feltÈtel ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ<br />
5.2. Megold·s a rugalmas zÛn·ban ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ.<br />
5.3. Megold·s a kÈplÈkeny zÛn·ban ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ...<br />
5.4. MegjegyzÈsek a kÈplÈkeny zÛnabeli megold·shoz ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ..<br />
6. A T…NYLEGES MEGOLD¡S A RUGALMAS-K…PL…KENY TARTOM¡NYON ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ.<br />
7. RUGALMAS TARTOM¡NY, RUGALMAS BIZTOSÕT¡SSAL ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ.<br />
7.1. Megold·s a biztosÌt·sban ) R r R � � ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ.ÖÖÖÖÖÖ.Ö..<br />
( 0<br />
7.2. Megold·s a kızetben ( 0 R r � ) ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ.<br />
7.3. Az ismeretlen pb meghat·roz·sa ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ..<br />
8. A POYNTING-THOMSON-MODELL ALKALMAZ¡SA ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ<br />
IRODALOM ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ..<br />
SZERZ’K ÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ.<br />
143<br />
144<br />
148<br />
149<br />
151<br />
152<br />
152<br />
155<br />
158<br />
160<br />
160<br />
161<br />
161<br />
161<br />
162<br />
163<br />
164<br />
165<br />
166<br />
167<br />
169<br />
170<br />
171<br />
172<br />
173<br />
178<br />
179<br />
184<br />
185<br />
187<br />
188<br />
189<br />
194<br />
199
EL’SZ”<br />
A kˆtetben tal·lhatÛ elıad·sok a MONTAVID RESEARCH GROUP keretÈben vÈgzett<br />
kutat·si projekt ˙jabb kutat·si eredmÈnyeinek egy rÈszÈt ismertetik, Ès a Nemzetkˆzi<br />
Kızetmechanikai T·rsas·g (ISRM ñ INTERNATIONAL SOCIETY FOR ROCK MECHANICS)<br />
Magyar Nemzeti Bizotts·ga ·ltal szervezett hazai konferenci·ra kÈsz¸lt elıad·sok<br />
alapj·n ker¸lnek ñ szerkesztve - jelen kˆtetbe.<br />
Kutat·sunk cÈlkit˚zÈse az izotrÛp kontinuumok anyagtˆrvÈnyÈnek meghat·roz·sa<br />
volt, amely egyar·nt ÈrvÈnyes<br />
� kis Ès nagy deform·ciÛkra,<br />
� rugalmas Ès kÈplÈkeny deform·ciÛkra,<br />
� a kezdetektıl a tˆnkremenetelig (a tˆrÈsig), vagyis egÈszen a kontinuit·s rÈszleges, vagy<br />
teljes megsz˚nÈsÈig,<br />
� egyens˙lyban Ès nemegyens˙lyi ·llapotban.<br />
Ehhez v·laszolni kellett azokra a kÈrdÈsekre, hogy<br />
- mi is az anyagtˆrvÈny?<br />
- az anyagtˆrvÈny mely termodinamikai (mechanikai) v·ltozÛk f¸ggvÈnye?<br />
- mi lehet az anyagtˆrvÈny konkrÈt form·ja?<br />
- mitıl f¸gg a kÈplÈkeny alakv·ltoz·si ·llapot kialakul·sa?<br />
- mi lehet a kÈplÈkenysÈgi feltÈtel (az a hat·r, ahol a maradÛ deform·ciÛk megjelennek)?<br />
A teljessÈg kedvÈÈrt ñ b·r az anyagtˆrvÈnyt nem befoly·solja -, arra is v·laszt kell<br />
adni, hogy mi okozza a tˆrÈst: mi a tˆnkremeneteli hat·rfeltÈtel? Ennek a rÈszletes<br />
t·rgyal·sa azonban m·r nem fÈrt be a jelen keretekbe, egyrÈszt terjedelmi korl·tok<br />
miatt, m·srÈszt fıleg azÈrt, mert a rÈszeredmÈnyek mÈg nem ·lltak ˆssze egysÈges<br />
elmÈlettÈ. Ennek ellenÈre a lehetsÈges mozg·stÈr lerˆgzÌtÈsre ker¸lt, s kiindul·si alapot<br />
ad a tov·bbi kutat·sokhoz.<br />
FelÈpÌtÈs¸nk feltÈtelezi, hogy az izotrÛp anyagok konstitutÌv egyenletÈnek<br />
ismeretÈben l·thatunk neki az anizotrÛp kontinuumok anyagtˆrvÈnyÈnek<br />
meghat·roz·s·nak. TermÈszetesen lehet, hogy naiv feltÈtelezÈs, hogy ha ismerj¸k,<br />
hogyan f¸gg ˆssze a reverzibilis ·llapotv·ltoz·sn·l (Ès egyens˙lyi ·llapotban) az izotrÛp<br />
Ès anizotrÛp anyagtˆrvÈny, akkor az segÌt majd az ·ltal·nosÌt·shoz. Mindenesetre az<br />
9
anizotrÛp kontinuumok anyagtˆrvÈnyÈnek hat·resetben tartalmaznia kell az izotrÛp<br />
kontinuumok egyenletÈt is.<br />
A kˆzˆlt eredmÈnyek egysÈges elvi (fizikai) alapokra Èp¸lnek. Elızı kˆtet¸nkhˆz<br />
hasonlÛan ezt anyagstabilit·si szempontbÛl ˙gy jellemezz¸k, hogy az elszigetelt anyagi<br />
rendszer egyens˙ly·ban az entrÛpi·nak maximuma kell legyen. Az entrÛpianˆvekedÈst<br />
FARKAS GYULA a Ñv·ltoz·sok mÈrtÈkÈnekî nevezte. Ugyanis az entrÛpia a megtˆrtÈnt<br />
v·ltoz·sokat mÈri, ezÈrt mindig nı, minden v·ltoz·s nˆveli az entrÛpi·t.<br />
A termodinamika alapul vett m·sodik fıtÈtelÈt a matematikai megfogalmazhatÛs·g<br />
ÈrdekÈben h·rom rÈszre bontjuk:<br />
10<br />
(i) lÈtezik entrÛpia, ami az ·llapotv·ltozÛk elÈg sokszor (legal·bb egyszer szakaszosan<br />
folytonosan) differenci·lhatÛ f¸ggvÈnye,<br />
(ii) az entrÛpia konk·v f¸ggvÈnye v·ltozÛinak, Ès vÈg¸l<br />
(iii) a fejlıdÈsi (evol˙ciÛs) egyenletek ·ltal meghat·rozott folyamatok esetÈn, elszigetelt<br />
(z·rt) rendszerben az ˆsszentrÛpia nem csˆkkenhet.<br />
Ennek megfelelıen az anyagtˆrvÈny meghat·roz·sa a II. fıtÈtel alapj·n, vagy<br />
pontosabban a II. fıtÈtelt is kifejezı entrÛpiamÈrleg alapj·n tˆrtÈnik.<br />
A kapott eredmÈnyek mÛdfelett Èrdekesek, mert eddig ·ltal·ban az az ·ll·spont<br />
uralkodott, hogy fizikai tˆrvÈnyekbıl az anyagegyenlet nem hat·rozhatÛ meg, csup·n az<br />
mondhatÛ ki, hogy anyagtˆrvÈny kˆteles figyelembe venni a fizikai tˆrvÈnyeket, azokat<br />
nem sÈrtheti. Ezzel valÛj·ban a spekul·ciÛ ter¸letÈre utalt·k az anyagtˆrvÈny felÌr·s·t,<br />
ui. a kÌsÈrletek alapj·n k¸lˆnbˆzı modell-konstrukciÛkat hoztak r·, majd leellenıriztÈk,<br />
hogy viselkedÈse belefÈr-e a fizikai tˆrvÈnyek adta tartom·nyba. M·rpedig ilyen<br />
ˆsszef¸ggÈs vÈgtelen sok konstru·lhatÛ.<br />
A kiindul·sunkbÛl kˆvetkezik az is, hogy az anyagtˆrvÈny csak azoknak a<br />
mechanikai kˆlcsˆnhat·sokn·l jelentkezı extenzÌv v·ltozÛknak lehet a f¸ggvÈnye,<br />
amelyek a mÈrlegegyenleteinkben szerepelnek, helyesebben: amelyektıl az entrÛpia<br />
f¸gg.<br />
Sok·ig uralkodott az a nÈzet is, hogy k¸lˆn tˆrvÈnye van az anyagnak a rugalmas<br />
alakv·ltoz·sok tartom·ny·ban, Ès k¸lˆn tˆrvÈnye a kÈplÈkenyÈben. Ez abbÛl a<br />
gyakorlati tÈnybıl t·pl·lkozott, hogy az anyag (pl. egy laboratÛriumi prÛbatest)<br />
felterhelÈs sor·n m·s utat kˆvet, mint tehermentesÌtÈs sor·n, ha m·r megjelentek a<br />
maradÛ alakv·ltoz·sok.<br />
A termÈszettıl idegen feltevÈsek elvetÈsÈvel ñ mÈg ha azokat a feltevÈseket<br />
kÌsÈrleti adatokbÛl vont·k is le ñ jelen kˆtetben siker¸l igazolnunk, hogy az anyagnak<br />
csak egyetlen anyagtˆrvÈnye van. Az emlÌtett terhelÈs-tehermentesÌtÈsbeli k¸lˆnbsÈg<br />
egy l·tszÛlagos tulajdons·gv·ltoz·s. Ezt az esetet a tudom·nyos megismerÈs<br />
folyamat·ban ˙gy hÌvjuk, hogy a l·tszat elfedi a lÈnyeget, s ez·ltal az igazi ˆsszef¸ggÈs
felismerÈse ellen hat. PÈldakÈppen: a klasszikus rugalmass·gtan-kÈplÈkenysÈgtanban<br />
eddig azt hitt¸k, hogy adotts·g az E rugalmass·gi modulus Ès a kÈplÈkenysÈgi hat·r<br />
t˙llÈpÈse ut·ni Epl kÈplÈkenysÈgi modulus, szintÈn adotts·gnak vÈlve ezek egym·shoz<br />
viszonyÌtott ar·ny·t. Holott ez nem igaz. Ha az E modulus anyag·llandÛ, akkor Epl nem<br />
az, hanem valÛj·ban E megv·ltoz·sa (mely a maradÛ alakv·ltoz·sok miatt kˆvetkezik<br />
be), Ès pontosan megadhatÛ ˆsszef¸ggÈsben van E-vel. Õgy lehetsÈges, hogy ugyanaz az<br />
anyagtˆrvÈny ÈrvÈnyes - a m·r emlÌtett pÈld·n·l - terhelÈsnÈl Ès tehermentesÌtÈsnÈl<br />
egyar·nt, noha az alakv·ltoz·si ˙tvonal k¸lˆnbˆzik.<br />
Ennek egy nagyszer˚ kˆvetkezmÈnye, hogy a kÈplÈkenysÈgtan, mint a<br />
rugalmass·gtantÛl k¸lˆnbˆzı tudom·ny·g, feleslegessÈ (vagy okafogyott·) v·lik, annak<br />
ellenÈre, hogy van rugalmas Ès van kÈplÈkeny viselkedÈs, de mindkettıhˆz csak<br />
egyetlen konstitutÌv egyenlet tartozik. EgysÈges mÛdszerekkel oldhatÛk meg a feladatok<br />
olyankor is, amikor kivezetnek a rugalmas alakv·ltoz·sok tartom·ny·bÛl.<br />
Egyszer˚bben: a rugalmas-kÈplÈkeny feladatok a rugalmass·gtan szok·sos<br />
ˆsszef¸ggÈseivel Ès mÛdszereivel oldhatÛk meg. Ennek illusztr·l·s·ra a F¸ggelÈkben<br />
kˆrszelvÈny˚ folyosÛk, alagutak, v·gatok esetÈre bemutatjuk, hogy a rugalmas<br />
megold·sbÛl mi mÛdon ·ll elı ak·r a rugalmas-kÈplÈkeny megold·s, ak·r a reolÛgiai<br />
megold·s.<br />
M·r ennek felismerÈse is ˆrˆmmel tˆlthet el benn¸nket. Azonban a tov·bbi<br />
kˆvetkezmÈnyek szinte vÈgig sem kˆvethetık. Egy hÌdon vÈgigrobogÛ vonat hat·s·t<br />
k¸lˆnbˆzı feltÈtelezÈsekkel Ès hat·s·br·kkal szokt·k reprezent·lni, amelynÈl a<br />
legtˆbbszˆr a HOOKE-modell, vagy valamilyen m·s egyszer˚ ñ de idıtıl f¸ggetlen ñ<br />
modell alkalmaz·sa tˆrtÈnik. Ez a megkˆzelÌtÈs azon a hiedelmen alapszik, hogy<br />
nehÈzsÈget okoz a reolÛgiai feltevÈsek haszn·lata. Ha azonban tudjuk, hogy pl. a<br />
(gyakorlati alkalmaz·sn·l a leg·ltal·nosabbnak tekinthetı) POYNTING-THOMSON-fÈle<br />
anyagmodellhez tartozÛ megold·s kÈt HOOKE-megold·sbÛl felÈpÌthetı, akkor m·r nem<br />
kell Ûdzkodni a pontosabb megold·s alkalmaz·s·tÛl. ArrÛl nem is beszÈlve, hogy az<br />
eddig alkalmazott mÛdszerek t˙lmÈretezÈshez vezetnek, mert a terhelÈshez azt a<br />
maxim·lis deform·ciÛt rendelik, amely csak t � � esetben jelentkezik. Ez az<br />
alkalmazott szerkezeti anyagjainkn·l ak·r 100%-os t˙lmÈretezÈst is jelenthetett.<br />
A kapott eredmÈnyekbıl evidensen kˆvetkezik, hogy az a hat·r, ahol elv·lik<br />
egym·stÛl a rugalmas Ès kÈplÈkeny alakv·ltoz·s, maga sem lehet kÌsÈrleti<br />
eredmÈnyekbıl levonhatÛ matematikai ˆsszef¸ggÈs. Az entrÛpia evol˙ciÛs egyenletÈbıl<br />
kˆvetkeznie kell a kÈplÈkenysÈgi Ès a tˆnkremeneteli hat·rfeltÈtelnek. A spekul·ciÛ<br />
birodalm·bÛl ennÈl a kÈrdÈsnÈl is ·t kell tÈrni a fizikai elvekre Ès kˆvetkezmÈnyeikre.<br />
Az itt ismertetett kutat·sok termÈszetszer˚en nem lez·rtak, hanem sz·mos ˙j<br />
lehetısÈget villantanak fel, amelyeket a kutatÛknak Èrdemes szisztematikusan<br />
vÈgigvizsg·lni, ugyanis gyakorlati hat·suk szinte felmÈrhetetlen. Ezen az ˙ton mÈg csak<br />
az elsı lÈpÈseket tett¸k meg.<br />
11
A tavalyi konferenci·n kˆzˆlteket az itt olvashatÛ ˙jabb Ès frissebb tudom·nyos<br />
eredmÈnyeink ·tÈrtÈkelik, sıt mÛdosÌtj·k is nÈh·ny esetben. Ezek a kˆvetkezık:<br />
- Az alakv·ltoz·s kinematik·ja fejezetben nem voltunk kˆvetkezetesek a<br />
jelˆlÈsekkel, a szubsztanci·lis fizikai jellemzık mellıl lemaradt a megk¸lˆnbˆztetı alsÛ<br />
t index, ami fÈlreÈrtÈseket eredmÈnyezhet.<br />
- Ez a fÈlreÈrtÈs eset¸nkben is jelentkezett, Ìgy a mÈrlegegyenletek fejezetÈben<br />
kˆzˆlt szubsztanci·lis mÈrlegek voltakÈppen szintÈn lok·lis mÈrlegek olyan ·tÌr·sai<br />
voltak, amelynÈl felhaszn·ltuk a kˆzvetett f¸ggvÈnyek differenci·l·s·bÛl adÛdÛ<br />
d / dt � � / �t<br />
� v�<br />
ˆsszef¸ggÈst, ami csup·n a lok·lis mÈrlegek egy m·sik felÌr·s·t<br />
eredmÈnyezte. Lehetne azzal vÈdekezni, hogy a m˚szaki feladatok megold·s·n·l<br />
mindig mezıf¸ggvÈnyekkel dolgozunk, amelyekhez a lok·lis mÈrlegek tartoznak, teh·t<br />
gyakorlatilag nincs is sz¸ksÈg¸nk a szubsztanci·lis mÈrlegekre. Az anyagtˆrvÈny elvi<br />
meghat·roz·s·n·l van sz¸ksÈg¸nk azonban a szubsztanci·lis mennyisÈgekre. Lehetne<br />
azzal is vÈdekezni, hogy ugyanaz a Ñhib·sî felÌr·s tal·lhatÛ GYARMATI, F…NYES, stb.<br />
kˆnyveiben is. Azonban mindez nem v·ltoztat azon, hogy vÈg¸l valakiknek fel kell<br />
Ìrniuk a helyes ˆsszef¸ggÈst.<br />
- A reolÛgiai anyagmodellek cÌm˚ rÈsz elıszˆr mutatta be, hogy nem spekulatÌv<br />
konstrukciÛkbÛl Èp¸l fel egy anyagmodell, hanem a termodinamika II. fıtÈtelÈnek<br />
kˆvetkezmÈnyekÈnt. Azonban sz¸ksÈgtelen¸l felhaszn·ltunk egy, a deform·ciÛtenzorra<br />
vonatkozÛ megszorÌt·st, Ìgy a kapott eredmÈnyek felhaszn·lhatÛs·g·t a kis deform·ciÛk<br />
esetÈre korl·toztattuk. Ezt most korrig·ljuk, Ès e korl·toz·s nÈlk¸l Ìrjuk fel az<br />
anyagtˆrvÈnyt, amely a deform·ciÛk tetszıleges vÈges tartom·ny·ra igaz.<br />
- Ugyanott bemutattuk, hogy a leg·ltal·nosabb anyagtˆrvÈny az ¡LTAL¡NOS<br />
POYNTING-THOMSON-fÈle (standard) reolÛgiai test, ha a deform·ciÛk idıszerinti<br />
m·sodrend˚ deriv·ltj·nak hat·s·tÛl eltekint¸nk. Az eredmÈny levezetÈse az entrÛpia-<br />
nˆvekedÈs tÈnyÈbıl kˆvetkezı egyenlıtlensÈgbıl tˆrtÈnt, az L impulzusvezetÈsi m·trix<br />
alapj·n. Itt elkˆvett¸k azt a hib·t, hogy a fesz¸ltsÈgtenzor helyett a vele ekvivalens<br />
devi·toros Ès gˆmbi tenzorral dolgoztunk anÈlk¸l, hogy bemutattuk volna, hogyan esik<br />
szÈt kÈt rÈszre a vezetÈsi m·trix. Az eredmÈny korrekt, de a vezetÈsi m·trixok felÌr·sa<br />
kinyilatkoztat·sszer˚ volt.<br />
A felsorolt hib·k, pontatlans·gok, sıt egyes esetekben tÈvedÈsek miatt ebbe a<br />
kˆtetbe kÈnytelenek voltunk a 2006-os kˆtetben kˆzˆltek egy rÈszÈt ismÈt beÈpÌteni,<br />
hogy a tÈm·val kapcsolatos minden ismeret megtal·lhatÛ legyen egyetlen kˆtetben, s a<br />
kÈtsÈgtelen hi·nyoss·gok pÛtl·sra Ès a pontatlans·gok pedig korrig·l·sra ker¸lhessenek.<br />
Tudat·ban vagyunk azonban annak is, hogy ñ tekintve kutat·saink, megÈrtÈs¸nk, Ès<br />
·ltal·ban a ter¸let nem lez·rt mivolt·t, ñ az itt kˆzreadott anyag is tartalmazhat<br />
kÈrdÈses, tÈves, illetve kÈsıbb meghaladottnak bizonyulÛ rÈszeket. EzÈrt azon kedves<br />
OlvasÛinktÛl, akik a tavalyi kˆteten ñ tal·n nem is mindig kis nehÈzsÈgek ·r·n ñ<br />
12
·tr·gt·k magukat, illetve azoktÛl, akik jelen munk·nkban fedeznek fel hi·nyoss·gokat<br />
vagy problÈm·kat, szÌves elnÈzÈst kÈrnek a Szerzık.<br />
A kˆtet szerzıi ez˙ton fejezik ki ıszinte tisztelettel kˆszˆnet¸ket Ès h·l·jukat<br />
MATOLCSI TAM¡S Ès B…DA GYULA professzoroknak rÈszletes Ès aprÛlÈkos<br />
ÈszrevÈteleikÈrt, a kˆtet anyag·nak lektor·l·sa sor·n tett ÈrtÈkes figyelemre mÈltÛ<br />
megjegyzÈseikÈrt Ès ·tdolgoz·sra tett javaslataikÈrt. Kˆszˆnj¸k F‹L÷P TAM¡S kollÈg·nk<br />
igen ÈrtÈkes kˆzrem˚kˆdÈsÈt egy-egy kÈrdÈs ˙j megvil·gÌt·sba helyezÈsÈÈrt, a felismert<br />
hib·k kijavÌt·s·ban Ès stÌlusunk csiszol·s·ban ny˙jtott segÌtsÈgÈÈrt.<br />
Budapest, 2007. szeptember 20.<br />
A SZERZ’K<br />
13
14<br />
BEVEZET…S<br />
A ÑMÈrnˆkgeolÛgia-Kızetmechanika 2006î ISRM Konferenci·n tartott kor·bbi<br />
elıad·sunkban [V¡N P. - ASSZONYI, CS. (2006)], meghat·roztuk az izotrÛp<br />
kontinuumok anyagtˆrvÈnyÈt a rugalmas deform·ciÛk tartom·ny·ban. EmlÈkeztetnÈnk<br />
arra, hogy a termodinamika (energodinamika) m·sodik fıtÈtelÈbıl indultunk ki, amely<br />
tˆbbek mellett azt mondja ki, hogy Ña vil·gban minden folyamat irreverzibilisî. Ha egy<br />
folyamat lezajlik, akkor az, ˙jabb ÑmunkabefektetÈs nÈlk¸lî m·r nem tehetı meg nem<br />
tˆrtÈnttÈ. Csak k¸lsı forr·s felhaszn·l·s·val lehet a termodinamikai rendszert<br />
visszavinni a kezdeti ·llapotba - ha az egy·ltal·n lehetsÈges. A folyamatok<br />
irreverzibilit·sa azt is jelenti, hogy minden irreverzibilis folyamat ugyanolyan mÛdon<br />
irreverzibilis, vagyis a valÛs·gos folyamatok a reverzibilis folyamat ugyanazon oldal·n<br />
(ld. konkrÈtan az ·br·n) helyezkednek el. 1<br />
A puszt·n reverzibilis folyamat csak l·tszÛlag sÈrti az irreverzibilit·s tÈnyÈt,<br />
valÛj·ban azonban nem, mert az irreverzibilis folyamatok terÈben egy korl·tot, egy<br />
elÈrhetetlen hat·resetet jelent, amely mentÈn, Ès amelynek m·sik oldal·n m·r nincs<br />
re·lis folyamat.<br />
Ha egy testen W mechanikai (deform·ciÛs) munk·t 2 vÈgz¸nk, akkor a test, illetve<br />
annak tartom·nyain az energiaszint nˆvekszik, attÛl f¸ggıen, hogy a munkavÈgzÈs<br />
milyen<br />
P def<br />
: �<br />
P �<br />
dW<br />
dt<br />
� W�<br />
deform·ciÛs teljesÌtmÈnnyel zajlik. MinÈl nagyobb teljesÌtmÈnnyel tˆrtÈnik a<br />
munkavÈgzÈs, ann·l nagyobb a vesztesÈg, amelyet a befektetett Ès a visszanyerhetı<br />
munka k¸lˆnbsÈgÈvel, illetve ar·ny·val jellemezhet¸nk. Ez a deform·ciÛs teljesÌtmÈny<br />
kÈt hat·r kˆzˆtt v·ltozhat:<br />
(1) 0 Pmin � P � Pmax<br />
� .<br />
Ez ˆnmag·ban egy trivi·lis meg·llapÌt·s lenne, ha fizikailag nem tudn·nk<br />
meghat·rozni ezt a kÈt hat·rt. A P� 0 teljesÌtmÈny adja a Pmin alsÛ hat·rt, amelyhez egy<br />
1 Ha egyes folyamatok ellentÈtes Èrtelemben lennÈnek irreverzibilisek, akkor elkÈpzelhetı, hogy<br />
megfelelı ar·nyban vegyÌtve ıket az irreverzibilit·suk Ñkikompenz·ln·î egym·st, s Ìgy vÈg¸l is<br />
reverzibilis folyamathoz juthatn·nk, Ñm·sodfaj˙ ˆrˆkmozgÛkî lennÈnek lehetsÈgesek .<br />
2 TÈrfogategysÈgre jutÛ deform·ciÛs munk·rÛl van szÛ.
dV tÈrfogatnyi kontinuum elemhez dW0 = dWmin elemi (infinitezim·lis) deform·ciÛs<br />
munka tartozik, amely az irreverzibilit·s egyik hat·r·t jelˆli ki, a reverzibilis<br />
·llapotv·ltoz·st. Ez akkor valÛsulhat meg, ha a deform·ciÛs sebessÈg nagyon kicsi,<br />
vagyis zÈrushoz tart. dW0 teh·t egy elemi tÈrfogatban t·rolt Ñrugalmasî, vagy<br />
Ñpotenci·lisî energi·nak foghatÛ fel.<br />
Ebbıl kˆvetkezıen a lehetsÈges legnagyobb Pmax teljesÌtmÈnyt a lehetı legnagyobb<br />
deform·ciÛs sebessÈg adja, azaz amikor ez a sebessÈg a vÈgtelenhez tart. Vagyis az<br />
·llapotv·ltoz·sok tartom·ny·nak nemcsak egy alsÛ korl·tja, burkolÛja van (a reverzibilis<br />
·llapotv·ltoz·s; l·sd az ·br·t), hanem egy felsı is, amelyen kÌv¸l m·r nincsenek<br />
·llapotv·ltoz·sok, ez pedig az irreverzibilit·s maximuma. Vagyis a termodinamikai<br />
·llapottÈr alulrÛl Ès fel¸lrıl egyar·nt korl·tos.<br />
Az ·llapottÈrnek azonban csup·n egy - pontosan meghat·rozott - pontj·ig tart a<br />
reverzibilis alsÛ hat·r. Ezen t˙l van egy irreverzibilis alsÛ hat·r is. Vagyis az<br />
·llapottÈrnek a folytonos deform·ciÛk f¸ggvÈnyÈben lÈvı alsÛ hat·ra kÈt rÈszre oszlik:<br />
egy reverzibilis rÈszre, majd egy irreverzibilis rÈszre. A kÈt szakaszt elv·lasztÛ pont a<br />
rugalmas Ès a kÈplÈkeny deform·ciÛkat elv·lasztÛ gˆrbe metszÈspontja az alsÛ<br />
hat·rgˆrbÈvel. ValÛj·ban az F fesz¸ltsÈg Ès D deform·ciÛ ·ltal kifeszÌtett ·llapottÈrben<br />
kÈt fel¸let lÈtezik: az egyik elv·lasztja egym·stÛl a rugalmas Ès kÈplÈkeny (maradÛ)<br />
deform·ciÛk tartom·ny·t, a m·sik pedig az a hat·r, ahol az anyagi kontinuit·s<br />
megsz˚nik. Az elsı fel¸letet leÌrÛ ˆsszef¸ggÈst kÈplÈkenysÈgi hat·rfeltÈtelnek, a<br />
m·sodik fel¸letet leÌrÛt pedig tˆnkremeneteli hat·rfeltÈtelnek nevezz¸k.<br />
Irreverzibilit·s<br />
felsı felsı<br />
hat·ra<br />
(F)ij<br />
Rugalmas<br />
zÛna<br />
Tˆnkremeneteli<br />
hat·r<br />
KÈplÈkeny<br />
zÛna<br />
Reverzibilit·si<br />
hat·r<br />
KÈplÈkenysÈgi<br />
hat·r<br />
Irreverzibilit·s<br />
alsÛ<br />
hat·ra<br />
Ha a deform·ciÛsebessÈg zÈrushoz tart ( D � 0 � ), az teh·t nem jelent mindig<br />
reverzibilis ·llapotv·ltoz·st. Ugyanis ha az ez·ltal lÈtrejˆtt D deform·ciÛk Ès a<br />
hozz·juk tartozÛ F fesz¸ltsÈgek munk·ja t˙llÈpi azt a W f k¸szˆbÈrtÈket, melyet az<br />
anyag belsı szerkezetÈnek megv·ltoz·sa nÈlk¸l kÈpes elviselni, vagyis meghaladja azt a<br />
(D)ij<br />
15
munk·t, amelyet az anyag rugalmas v. potenci·lis energiakÈnt kÈpes t·rolni, akkor m·r<br />
maradÛ deform·ciÛk is megjelennek, melyek egy Ñvissza˙tî sor·n nem sz¸ntethetık<br />
meg. Vagyis a Pmin = 0 teljesÌtmÈnyhez a deform·ciÛk folytonos tartom·ny·n lÈtezik<br />
egy Wf hat·r, amelyen t˙l az alakv·ltoz·s m·r irreverzibilis. Ezt kifejezhetnÈnk ñ<br />
kˆzelÌtıleg - ˙gyis, hogy a hat·rig a fesz¸ltsÈg (amely a konduktÌv impulzus·ram<br />
s˚r˚sÈge) Ès a lÈtrejˆvı konduktÌv deform·ciÛ integr·lja szolg·ltatja a deform·ciÛs<br />
munk·t. A hat·ron t˙l ehhez mÈg hozz·adÛdik a D maradÛ deform·ciÛkhoz ñ az ˙n.<br />
konvektÌv deform·ciÛkhoz ñ tartozÛ deform·ciÛs munka, amely tˆkÈletesen<br />
irreverzibilis, teh·t semmilyen rÈsze sem nyerhetı vissza egy fordÌtott folyamat sor·n.<br />
Ez a kˆr¸lmÈny nagy segÌtsÈget jelent az anyagtˆrvÈny kÈplÈkeny ·llapotbeli<br />
viselkedÈse leÌr·s·hoz, ui. megteremti a lehetısÈgÈt, hogy a reverzibilis folyamatok<br />
anyagtˆrvÈnye alapj·n is megalkothassuk az ·ltal·nos anyagtˆrvÈnyt, amely reverzibilis<br />
Ès irreverzibilis folyamatokra, rugalmas Ès kÈplÈkeny deform·ciÛkra egyar·nt ÈrvÈnyes.<br />
Ezek alapj·n matematikailag ·ltal·nos form·ban levezethetnÈnk az anyagtˆrvÈnyt,<br />
azonban elıbb ˆsszefoglaljuk a sz¸ksÈges ˆsszef¸ggÈseket a kˆvetkezı kÈt fejezetben.<br />
Erre azÈrt van sz¸ksÈg, hogy pontosan ÈrzÈkelj¸k, azoknak a fizikai mennyisÈgeknek a<br />
belsı ˆsszef¸ggÈseit, amelyektıl az anyagtˆrvÈny f¸gghet. A szok·sos mezıfelÌr·s<br />
mellett meg kell adni anyagi leÌr·sukat is, amelynÈl a fizikai mennyisÈg csak az anyag<br />
tulajdons·gaitÛl f¸gg, s f¸ggetlen minden egyÈb kˆr¸lmÈnytıl, mint pl. a vonatkoztat·si<br />
rendszertıl. A teljessÈgre valÛ tˆrekvÈs megkÌv·nja, hogy minden fizikai paramÈter<br />
szerepeljen az ˆsszef¸ggÈsben, ami hat·ssal van az anyag mechanikai tulajdons·gaira.<br />
EzÈrt ˆsszefoglaljuk az irreverzibilit·s-fogalmakat kˆzegre, ·llapotra, folyamatra<br />
egyar·nt. Csak mindezek ut·n vezetj¸k le az anyagtˆrvÈny ·ltal·nos alakj·t. Az<br />
·ltal·nos formula megad·sa ut·n, fokozatosan konkretiz·ljuk az eredmÈnyeket. Elıbb<br />
mÈg az egytengely˚ ·llapot esetÈn is vÈgigkˆvetj¸k a v·ltoz·sokat: elsısorban a<br />
mÈlyebb megÈrtÈs ÈrdekÈben, m·sodsorban pedig mert ebben az esetben kÌsÈrleti<br />
eredmÈnyeink is vannak, amelyek ¸tkˆztethetık az elmÈleti megfontol·sokkal.<br />
16
JEL÷L…SEK JEGYZ…KE<br />
A - alakv·ltoz·si tenzor (m·sodrend˚ szimmetrikus),<br />
ai - (i = 1, 2, 3) - az alakv·ltoz·si tenzor saj·tÈrtÈkei (a tenzor fı·tlÛj·ban lÈvı<br />
elemek a saj·tvektorok ·ltal kifeszÌtett koordin·tarendszerben),<br />
Ai - (i = 1, 2, 3) - az alakv·ltoz·si tenzor skal·r invari·nsai,<br />
D - deform·ciÛtenzor (m·sodrend˚ szimmetrikus),<br />
Di - (i = 1, 2, 3) - a deform·ciÛtenzor skal·r invari·nsai,<br />
E - deform·ciÛs devi·tortenzor,<br />
e - a belsıenergia-s˚r˚sÈge (fajlagos belsı energia)<br />
E - rugalmass·gi (Young-fÈle) modulus,<br />
Eo - deform·ciÛs gˆmbtenzor,<br />
�o - ·tlagos (vagy kˆzepes) deform·ciÛ,<br />
m<br />
� - maradÛ, vagy irreverzibilis deform·ciÛ,<br />
plast<br />
� - plasztikus (v. kÈplÈkeny deform·ciÛ),<br />
rev<br />
� - reverzibilis (v. rugalmas egyens˙lyi) deform·ciÛ,<br />
� - viszkozit·si egy¸tthatÛ,<br />
F - fesz¸ltsÈgtenzor (m·sodrend˚, szimmetrikus) lok·lis leÌr·sban, az impulzus<br />
konduktÌv ·rams˚r˚sÈge (idıegysÈg alatt egysÈgnyi fel¸leten konduktÌve ñ<br />
diff˙z ˙ton - ·t·ramlÛ impulzus mennyisÈge),<br />
fi - (i = 1, 2, 3) az egyens˙lyi fesz¸ltsÈgf¸ggvÈny Ai skal·r invari·nsoktÛl f¸ggı<br />
egy¸tthatÛi,<br />
Ft - fesz¸ltsÈgtenzor szubsztanci·lis leÌr·sban,<br />
� - rugalmas deform·ciÛs munka, a deform·ciÛs munka potenci·los (reverzibilis)<br />
rÈsze,<br />
�í - rugalmas torzul·si deform·ciÛs munka,<br />
�o - rugalmas tÈrfogatv·ltoz·si deform·ciÛs munka,<br />
�i - (i = 1, 2, 3) az egyens˙lyi fesz¸ltsÈgf¸ggvÈny Di skal·r invari·nsoktÛl f¸ggı<br />
egy¸tthatÛi,<br />
� - kÈplÈkenysÈgi f¸ggvÈny (� = 0 kÈplÈkenysÈgi hat·rfeltÈtel),<br />
G - cs˙sztatÛ (torzul·si) rugalmass·gi modulus,<br />
H - mozg·sgradiens (m·sodrend˚ tenzor), lok·lis, Ès Ht szubsztanci·lis,<br />
J - a termodinamikai erık tenzora,<br />
j - az a extenzÌv mennyisÈg konduktÌv ·rams˚r˚sÈg vektora,<br />
a<br />
a<br />
j - az a extenzÌv mennyisÈg konvektÌv ·rams˚r˚sÈg vektora,<br />
K - kompresszibilit·si (tÈrfogatv·ltoz·si) modulus,<br />
17
˜ t - mozg·sf¸ggvÈny anyagi leÌr·sban [ ˜ t �R�], �1<br />
˜ - mozg·sf¸ggvÈny inverze [lok·lis leÌr·s: 1�r, t�<br />
�<br />
˜ ],<br />
L - impulzusvezetÈsi tenzor (m·sodrend˚, szimmetrikus, pozitÌv definit),<br />
L - disszip·ciÛs munka, a deform·ciÛs munka irreverzibilis rÈszre,<br />
Lí - torzul·si disszip·ciÛs munka,<br />
Lo - tÈrfogatv·ltoz·si disszip·ciÛs munka,<br />
� - line·ris viszkozit·si tÈnyezı (vagy k˙sz·si tÈnyezı),<br />
M - mechanikai mezı,<br />
m - Poisson-fÈle sz·m,<br />
Ÿ - ˆrvÈnytenzor, vagy szˆgsebessÈgtenzor (m·sodrend˚ antiszimmetrikus),<br />
P - deform·ciÛs teljesÌtmÈny (tÈrfogategysÈgre jutÛ),<br />
� - HEAVISIDE-fÈle egysÈgugr·s-f¸ggvÈny,<br />
Q - elfordul·stenzor (m·sodrend˚ antiszimmetrikus),<br />
R - az anyagi pont jelˆlÈse (Lagrange-leÌr·sban),<br />
r - tÈrkoordin·ta,<br />
� - tˆmegs˚r˚sÈg (lok·lis leÌr·sban), � t - tˆmegs˚r˚sÈg (szubsztanci·lis leÌr·sban)<br />
S - entrÛpia,<br />
s - fajlagos (tˆmegegysÈgre jutÛ) entrÛpia,<br />
s~ - egyens˙lyi fajlagos entrÛpia (fajlagos entrÛpia egyens˙ly esetÈn),<br />
sà - fajlagos entrÛpia egytengely˚ fesz¸ltsÈg·llapot esetÈn,<br />
�o - ·tlagos (vagy kˆzepes) fesz¸ltsÈg,<br />
T - fesz¸ltsÈgi devi·tortenzor,<br />
To - fesz¸ltsÈgi gˆmbtenzor,<br />
T - hımÈrsÈklet �K-ben,<br />
t - idı,<br />
� - relax·ciÛs ·llandÛ (line·ris relax·ciÛs idı),<br />
� - relax·ciÛs idı,<br />
u - elmozdul·svektor (lok·lis),<br />
V - alakv·ltoz·si sebessÈgtenzor (m·sodrend˚ szimmetrikus),<br />
v - sebessÈg [lok·lis sebessÈgmezı: v(r,t), szubsztanci·lis sebessÈg: vt(R)],<br />
W - deform·ciÛs munka (tÈrfogategysÈgre jutÛ),<br />
Wí - torzul·si deform·ciÛs munka,<br />
Wo - tÈrfogatv·ltoz·si deform·ciÛs munka,<br />
X - a termodinamikai ·ramok tenzora,<br />
Ó - belsı dinamikai v·ltozÛ (szimmetrikus m·sodrend˚ tenzor), z egyens˙lytÛl valÛ<br />
eltÈrÈs kifejezıje.<br />
18
1. FEJEZET<br />
A M…RLEGEGYENLETEK …S ANYAGI FORM¡IK<br />
AZ ANYAGF‹GGV…NYEK. Egy konkrÈt mechanikai feladat megold·sa sor·n az<br />
alapegyenleteknek ñ a mÈrlegegyenleteknek Ès a megfelelı anyagtˆrvÈnyeknek ñ a<br />
lok·lis form·j·t szoktuk haszn·lni, azaz a fesz¸ltsÈg-, deform·ciÛ-, elmozdul·s-, stb.-<br />
mezıket keress¸k, az adott tÈrrÈszben, adott kezdeti Ès ker¸leti feltÈtelek mellett,<br />
minden t idıpontban. Az elızıekben [V¡N-ASSZONYI, 2006, 37-42. old.] ˆsszefoglaltuk<br />
a kontinuumok Ès diszkontinuit·sok mÈrlegegyenleteit lok·lis Ès szubsztanci·lis<br />
form·ban. A mÈrlegek a lok·lis fizikai mennyisÈgek kˆzˆtt mondanak ki viszonyokat.<br />
Olyan alapvetı fizikai tˆrvÈnyeket fogalmazunk meg segÌtsÈg¸kkel, mint pÈld·ul az<br />
impulzus vagy az energia megmarad·sa. Ezek a tˆrvÈnyek anyagtÛl f¸ggetlen¸l, azaz<br />
mindenfÈle anyagf¸ggvÈnyre ÈrvÈnyesek, ·ltal·nos form·ban tartalmazz·k az<br />
anyagf¸ggvÈnyeket. Az anyagf¸ggvÈnyek viszont az anyagra, Ès csak az anyagra<br />
vonatkoznak, benn¸k a kontinuumot felÈpÌtı rÈszek (elemi rÈszecskÈk, atomok,<br />
molekul·k, mikrorepedÈsek, diszlok·ciÛk, egyÈb mezoszkÛpikus kontinuumelemek,<br />
stb.) kˆzˆtti viszonyok t¸krˆzıdnek.<br />
AZ ANYAGI OBJEKTIVIT¡S. Az anyagtˆrvÈnyek Ès a mÈrlegek objektÌv viszonyokat<br />
fejeznek ki, ezÈrt f¸ggetlenek a leÌr·sukra haszn·lt koordin·ta- Ès vonatkoztat·si<br />
rendszer v·laszt·s·tÛl. Az elsı tulajdons·g azonnal teljes¸l, ha korrekt tenzori·lis fizikai<br />
mennyisÈgekkel Ès a r·juk vonatkozÛ egyenletekkel dolgozunk. A m·sodik tulajdons·g,<br />
a vonatkoztat·si rendszertıl valÛ f¸ggetlensÈg sokkal ˆsszetettebb, Ès pontos form·ja<br />
m·ig vitatott. VÈlemÈny¸nk szerint a problÈmakˆr kezelÈse csak a relativisztikus<br />
elmÈletek tapasztalatainak segÌtsÈgÈvel, a fizikai viszonyokat pontosan t¸krˆzı<br />
megfelelı nemrelativisztikus tÈridımodell segÌtsÈgÈvel lehetsÈges. A nemrelativisztikus<br />
tÈridı modell esetÈn a nÈgydimenziÛs leÌr·s fogalmi kereteit MATOLCSI-V¡N, 2006,<br />
MATOLCSI-V¡N, 2007 Ìr·sai tartalmazz·k. Ezeknek a vizsg·latoknak az eredmÈnyeit fel<br />
fogjuk haszn·lni a kinematika Ès a mÈrlegegyenletek tekintetÈben. Ilyen eredmÈny<br />
pÈld·ul, hogy a szubsztanci·lis idıderiv·lt ·ltal·ban nem egyezik meg az anyagi,<br />
vonatkoztat·si rendszertıl f¸ggetlen idıderiv·lttal, de skal·r fizikai mennyisÈgekre,<br />
illetve a mozg·ssal kapcsolatos bizonyos mennyisÈgekre (mint pÈld·ul a<br />
mozg·sgradiens) viszont igen. A kontinuumfizika teljes 4-es nemrelativisztikus<br />
·tfogalmaz·sa ñ b·r kÈtsÈgtelen¸l fontos tanuls·gokkal j·rna - nem cÈlunk ebben az<br />
19
Ìr·sban. Ennek az is oka, hogy a mÈrnˆki alkalmaz·sokn·l ˙gyis a m·r megszokott<br />
mezıleÌr·ssal dolgozunk, a 4-es rendszer alkalmaz·sa ahhoz a kutat·sokhoz kell,<br />
amelyek az alkalmaz·shoz korrekt¸l felhaszn·lhatÛ anyagmodell meghat·roz·s·t<br />
kˆnnyÌti meg.<br />
A kontinuumfizik·ban ·ltal·nosan a lok·lis Ès szubsztanci·lis mÈrlegek<br />
haszn·lat·val vÈlj¸k megk¸lˆnbˆztetni az anyaghoz kˆtˆtt Ès a k¸lsı vonatkoztat·si<br />
rendszerben ÈrvÈnyes leÌr·st. A szubsztanci·lis idıderiv·lt haszn·lata a mÈrlegekben<br />
erre tˆbbnyire elegendı, de bizonyos esetekben m·s alakoknak is jelentısÈge van.<br />
Ebben a fejezetben v·zlatosan ismÈtelten ˆsszefoglaljuk a kontinuumok kinematik·j·t,<br />
Ès megadjuk a megfelelı fizikai mennyisÈgek Ès mÈrlegek lok·lis, szubsztanci·lis Ès az<br />
˙n. anyagi form·j·t is.<br />
20<br />
1. A KONTINUUM MOZG¡SA, ALAKV¡LTOZ¡SOK KINEMATIK¡JA<br />
A megfigyelt test (kˆzeg) pontjai v·ltoztatj·k a mi ter¸nkben (egy v·lasztott<br />
inerci·lis megfigyelı, vonatkoztat·si rendszer terÈben) elfoglalt hely¸ket az idı<br />
m˙l·s·val. Miut·n a t 0 referencia-idıpontban v·lasztottunk egy tÈrorigÛt, egy ·ltal·nos<br />
t idıpontban a ter¸nk egy pontj·t egy r helyvektorral jellemezz¸k, a megfigyelt kˆzeg<br />
egy pontj·t, testpontot vagy kˆzegpontot pedig t0 -kori R helyvektor·val.<br />
LOK¡LIS MENNYIS…G. Lok·lisnak nevez¸nk egy fizikai mennyisÈget, ha a tÈridı ñ<br />
v·lasztott jellemzÈs¸nkben a mi ter¸nk Ès az idı ñ f¸ggvÈnyekÈnt adtuk meg. PÈld·ul a<br />
tˆmegs˚r˚sÈg lok·lis alakja �r, t�<br />
� , mely a t idıpontban Ès (a vonatkoztat·si rendsze-<br />
r¸nk szerinti) r helyvektor˙ helyen, teh·t a t Ès r ·ltal kijelˆlt tÈridıpontban az anyag<br />
tˆmegs˚r˚sÈge. A lok·lis fizikai<br />
mennyisÈgeket mezıknek is<br />
nevezz¸k.<br />
SZUBSZTANCI¡LIS MENNYI-<br />
S…G. Szubsztanci·lisnak nevez¸nk<br />
egy fizikai mennyisÈget,<br />
ha a testpont Ès az idı f¸ggvÈnyekÈnt<br />
adtuk meg. PÈld·ul a<br />
tˆmegs˚r˚sÈg szubsztanci·lis<br />
alakja �R� � , mely az R ·ltal<br />
t<br />
jelˆlt anyagi pontn·l tal·lhatÛ<br />
tˆmegs˚r˚sÈg a t idıpillanatban.<br />
R = ˜t -1 (r)<br />
t0<br />
B t0<br />
1. ·bra<br />
r = ˜t(R)<br />
t<br />
Bt
ANYAGI MENNYIS…G. Anyagi egy fizikai mennyisÈg, ha csak a test, az anyag<br />
tulajdons·gaitÛl f¸gg. Egy mezı sosem anyagi, mert az r helyzet vonatkoztat·sirendszer-f¸ggı.<br />
Egy szubsztanci·lis mennyisÈg lehet vonatkoztat·sirendszer-f¸ggetlen,<br />
ilyenek a skal·ris mennyisÈgek, de nem automatikusan az.<br />
A MOZG¡SF‹GGV…NY. A lok·lis Ès anyagi leÌr·s kˆzˆtti ·tmenetet az � ˜ �R� (szubsztanci·lis) mozg·sf¸ggvÈny, illetve ennek inverze az R<br />
�1<br />
˜ �r� anyagmezı Ìrja le (1. ·bra). Pontosabban ˜ : 0 I � B � I,<br />
�R, t�<br />
� �˜ �R�, t�<br />
Bt t<br />
t<br />
r t<br />
� t (lok·lis)<br />
� , ahol I<br />
az idıpontok egydimenziÛs vektortere, Bt a kontinuum ·ltal elfoglalt tÈrrÈsz adott t<br />
idıpontban (Ès vonatkoztat·si rendszerben),<br />
tÈrrÈsz egy kiv·lasztott kezdeti 0<br />
B t pedig a kontinuum ·ltal elfoglalt<br />
0<br />
t idıpontban. Ennek megfelelıen R ˜ �R� � .<br />
Teh·t az anyagot mag·t a kezdeti idıpontban elfoglalt helyzetÈvel, a<br />
referenciahelyzettel (alaphelyzettel) jellemezz¸k. Elmozdul·s·t, alakv·ltoz·s·t,<br />
deform·ciÛj·t, illetve az ˆsszes nem mechanikai tulajdons·g·t is ehhez a<br />
referenciahelyzethez kÈpest vizsg·ljuk. ¡ltal·ban feltÈtelezz¸k, hogy az anyag a<br />
referenciahelyzetben teljes termodinamikai egyens˙lyban van (l·sd a kˆvetkezı<br />
fejezetet). A referenciahelyzet nem azonos mag·val az anyaggal, viszont a legtˆbb<br />
esetben a megk¸lˆnbˆztetÈs nem lÈnyeges. A tov·bbiakban mi is megtessz¸k ezt az<br />
azonosÌt·st, Ès ennek megfelelıen a referenciahelyzetet anyagi sokas·gnak is nevezz¸k.<br />
Szubsztanci·lis mennyisÈgeket kapunk a mezıf¸ggvÈnyek Ès a mozg·sf¸ggvÈny<br />
( ˜ t ) kompozÌciÛj·val. Mezıket, azaz lok·lis alakot kapunk szubsztanci·lis<br />
�1<br />
t<br />
mennyisÈgek Ès az anyagmezı ( ˜ ) kompozÌciÛj·val. PÈld·ul � �R� � �(<br />
˜ �R� , t)<br />
,<br />
�1<br />
t t t<br />
illetve �r, � � � ( ˜ ( r),<br />
t)<br />
� .<br />
A szubsztanci·lis mennyisÈgek teh·t az anyagi sokas·gon Èrtelmezettek, de ñ ahogy<br />
az elıbb emlÌtett¸k, ñ ez nem biztosÌtja automatikusan a vonatkoztat·si rendszertıl valÛ<br />
f¸ggetlensÈget, ezÈrt egy szubsztanci·lis form·ban megadott mennyisÈg nem feltÈtlen¸l<br />
anyagi is.<br />
A tov·bbiakban a mozg·s jellemzÈsÈben a ˜ mozg·sf¸ggvÈny deriv·ltjai alapvetı<br />
szerepet j·tszanak. A mozg·sf¸ggvÈny idı szerinti deriv·ltja a sebessÈg, annak lok·lis<br />
form·ja pedig a sebessÈgmezı, azaz<br />
�˜<br />
t �R� d<br />
�1<br />
�˜<br />
t �1<br />
(1) �R� : � � ˜ �R� � ˜�<br />
�R� , Ès v�r,<br />
� v ( ˜ ( r),<br />
t)<br />
� ( ˜ ( r),<br />
t)<br />
v t<br />
t<br />
t<br />
�t<br />
dt<br />
t<br />
t0<br />
t t<br />
� t t<br />
.<br />
�t<br />
Itt bevezett¸k a szubsztanci·lis mennyisÈgekre hatÛ parci·lis idıderiv·ltra a<br />
szok·sos pont jelˆlÈst.<br />
t<br />
21
A MOZG¡SGRADIENS. A mozg·sgradienst, mint f¸ggvÈnyt a mozg·sf¸ggvÈny R<br />
szerinti deriv·ltjakÈnt Èrtelmezz¸k:<br />
(2) �R� 22<br />
�R� �˜<br />
t<br />
H t : � � ˜ t � �<br />
�R<br />
�R� R<br />
Itt bevezett¸k az anyagi sokas·gon hatÛ � R anyagi tÈrderiv·ltat Ès a hagyom·nyos<br />
jelˆlÈsektıl kissÈ eltÈrıen nem feltÈtlen¸l az elÈ a f¸ggvÈny elÈ Ìrjuk, amire hat, hanem<br />
a tenzori·lis sorrendet tartjuk. A � jel a tenzorszorzatot, m·s nÈven diadikus szorzatot<br />
jelˆli. A mozg·sgradiens szubsztanci·lis Ès anyagi mennyisÈg, lok·lis alakja<br />
H<br />
�1<br />
�r, �: H ˜ �r�, �˜<br />
t �1<br />
� t�<br />
� �˜ �r�, t�<br />
t t t<br />
t<br />
� .<br />
�R<br />
AZ ELMOZDUL¡SGRADIENS. Az u R)<br />
: � ˜ ( R)<br />
� R<br />
.<br />
t ( t elmozdul·sf¸ggvÈny R szerinti<br />
deriv·l·s·val az elmozdul·sgradienst (az elmozdul·sok gradienstenzor·t) kapjuk:<br />
A ˜ �r� 1 �<br />
�u<br />
t<br />
�R� �R<br />
t inverz f¸ggvÈny r szerinti deriv·ltja a<br />
�˜<br />
�1<br />
t<br />
�r<br />
�r� �<br />
� ˜<br />
�˜ t �R� � R�<br />
� R � H t �R� � I R<br />
�1<br />
t<br />
�1<br />
�r� � � � H ˜ �r� �1<br />
� .<br />
�1<br />
� � ��<br />
� H�r,<br />
t�<br />
t<br />
� � 1 �<br />
tenzor. Ez valÛban Ìgy van, ui. a ˜ t ( ˜ t ( r))<br />
� r azonoss·got r szerint deriv·lva, a<br />
˜ t<br />
�R<br />
�1<br />
�R� �˜<br />
�r� � t<br />
�<br />
� t R t<br />
�r<br />
1<br />
�˜ � � � ˜ �r� � � ��<br />
� I<br />
egyenlısÈget kapjuk, ahonnan l·thatÛ, hogy � � 1<br />
1 �<br />
�<br />
( r)<br />
� � H(<br />
r,<br />
t)<br />
nÈmileg pongyola jelˆlÈsmÛdunkkal<br />
�r<br />
�R<br />
� I<br />
�R<br />
�r<br />
�<br />
�R<br />
H � I , ezÈrt<br />
�r<br />
˜ � . Az egyszer˚bb, de<br />
t<br />
�R<br />
� H<br />
�r<br />
Ha az elmozdul·smezıt, azaz az u(<br />
r,<br />
t) � r � ˜ t ( r,<br />
t)<br />
egyenlısÈg mindkÈt oldal·t r<br />
szerint deriv·ljuk, akkor az<br />
�1<br />
� � 1 �<br />
H(<br />
, )<br />
u( r,<br />
t) � � � I � r t<br />
ˆsszef¸ggÈshez jutunk. Ez utÛbbi, fordÌtott gradiens jelˆlÈsmÛd helyesen mutatja a<br />
deriv·ltm·trix sor-oszlop sorrendjÈt, amelyre a szokottabb jelˆlÈsmÛdn·l k¸lˆn<br />
¸gyeln¸nk kellene.<br />
�1<br />
.
POL¡RIS DEKOMPOZÕCI”. A<br />
(3) R<br />
R u I H � �<br />
t � t �<br />
mozg·sgradiens leÌrja az anyagi forma alakj·nak Ès helyzetÈnek v·ltoz·s·t. Ez azonban<br />
tartalmazza a pont kˆrnyezetÈben lej·tszÛdÛ merevtestszer˚ elfordul·st Ès az<br />
alakv·ltoz·st is.<br />
A CAUCHY-fÈle pol·risdekompozÌciÛ-tÈtel ÈrtelmÈben (l·sd pÈld·ul [VERH¡S<br />
1985]) a mozg·sgradiens egyÈrtelm˚en felÌrhatÛ<br />
(4) H t � Q t A t<br />
form·ban, ahol Qt ortogon·lis lekÈpezÈs, azaz<br />
T<br />
t<br />
t<br />
T t<br />
�1<br />
� Qt<br />
Q , At pedig szimmetrikus, azaz<br />
A � A . A Qt forgat·s jellemzi a kontinuumelem kˆrnyezetÈnek t idıpillanatbeli<br />
elfordul·s·t, At pedig az alakv·ltoz·s·t a kezdeti konfigur·ciÛhoz kÈpest.<br />
AZ ALAKV¡LTOZ¡SI TENZOR. A (4) ˆsszef¸ggÈsbıl<br />
H R �<br />
Ìgy az alakv·ltoz·si tenzor:<br />
T T T<br />
T<br />
T T<br />
T<br />
T<br />
2<br />
t � At<br />
Qt<br />
, � H t H t � A t Q t Qt<br />
A t � A t I A t � A t A t A t ,<br />
T<br />
(5) A � H H � �I � � u ��I � u � � �<br />
t<br />
t<br />
t<br />
R<br />
R � t R t<br />
A DEFORM¡CI”TENZOR. Azokban a speci·lis esetekben, amikor nincs alakv·ltoz·s,<br />
olyankor A t � I R . EzÈrt az ·ltal·nos esetben az alak megv·ltoz·s·nak mÈrtÈkÈt<br />
termÈszetes a<br />
T<br />
(6) Dt : � A t � I R � H t H t � I R ,<br />
azaz<br />
�I R � � R � u t ��I R � u t � R � I R<br />
D � � �<br />
t<br />
deform·ciÛtenzorral jellemezni. Ez az ˆsszef¸ggÈs a kis Ès a nagy deform·ciÛk<br />
tartom·ny·n egyar·nt ÈrvÈnyes Ès pontos ÈrtelmezÈs. Legismertebb kˆzelÌtÈsei a<br />
Cauchy<br />
t<br />
1<br />
CAUCHY-fÈle D � �� u � u � � �,<br />
2<br />
R � t t<br />
Green 1<br />
GREEN-fÈle D � �� u � u � � � �� � u ��u � � ��<br />
deform·ciÛtenzorok.<br />
t 2<br />
R<br />
R � t t R R t t<br />
Vegy¸k Èszre, hogy ha a H t mozg·sgradiens szimmetrikus, akkor a teljes<br />
deform·ciÛ a CAUCHY-fÈle deform·ciÛval egyezik meg, vagyis olyankor a CAUCHYñfÈle<br />
tenzor m·r nem kˆzelÌtÈs.<br />
R<br />
.<br />
R<br />
23
A SEBESS…GGRADIENS. Fontos ˆsszef¸ggÈst kaphatunk a v sebessÈgmezı Ès a H<br />
lok·lis mozg·sgradiens kˆzˆtt a mozg·sf¸ggvÈny t Ès R szerinti vegyes parci·lis<br />
deriv·ltjainak egyenlısÈgÈbıl. Felhaszn·lva a sebessÈg Ès a mozg·sgradiens (1)-(2)<br />
definÌciÛit:<br />
24<br />
2<br />
� � t ( R)<br />
�<br />
�<br />
�t�R<br />
�t<br />
2<br />
� � t ( R)<br />
�v<br />
t ( R)<br />
�v(<br />
˜ t ( R),<br />
t)<br />
� �<br />
�<br />
�R�t<br />
�R<br />
�R<br />
·ttÈrve tiszt·n lok·lis form·ra<br />
�� ( R)<br />
� � �<br />
t<br />
t<br />
�v( ˜ ( R),<br />
t)<br />
� ��<br />
� ��v � ��H��˜<br />
( R),<br />
t)<br />
�,<br />
t<br />
R<br />
� H�<br />
( R)<br />
�<br />
t<br />
�˜<br />
( R)<br />
�R<br />
H� � �v � ��H<br />
, azaz H� � �Grad v�H<br />
.<br />
Az egyenlısÈg mindkÈt oldal·t jobbrÛl szorozva a H -1 tenzorral, megkapjuk a<br />
sebessÈggradienst:<br />
(7)<br />
v<br />
�<br />
�1<br />
� � � HH<br />
.<br />
Ha figyelembe vessz¸k a (4) szerinti felbont·st, akkor<br />
��<br />
�1<br />
�1<br />
�1<br />
�1<br />
�1<br />
�1<br />
�<br />
v � � � H�<br />
H � QA QA � Q�<br />
A � QA�<br />
A Q � Q�<br />
Q � QA�<br />
A Q ,<br />
� � � � 1<br />
s megkapjuk a merevtestszer˚ elfordul·s sebessÈgÈt, Ès az alakv·ltoz·s sebessÈgÈt.<br />
Megszokott jelˆlÈseinkkel:<br />
�1<br />
Ÿ � QQ<br />
� - az ˆrvÈnytenzor (az elfordul·si sebessÈg tenzora,<br />
�1<br />
�1<br />
szˆgsebessÈgtenzor),<br />
V � QA�<br />
A Q - az alakv·ltoz·si sebessÈg tenzora.<br />
LEÕR¡SOK K÷Z÷TTI ¡TJ¡R¡S. L·tjuk, hogy lok·lis mennyisÈgrıl a szubsztanci·lis<br />
mennyisÈgekre tˆrtÈnı ·ttÈrÈs egyszer˚, a megfelelı mezıket kell kompon·lni a<br />
mozg·sf¸ggvÈny inverzÈvel. Lok·lis helyzetrıl az anyagi mennyisÈgekre valÛ ·ttÈrÈs<br />
(vagy fordÌtva) nem azonos ˆsszef¸ggÈsekkel tˆrtÈnik, hanem f¸gg a fizikai mennyisÈg<br />
tenzori rendjÈtıl is. M·s a helyzet skal·rn·l, m·s vektorn·l, Ès m·s tenzorn·l. Sıt,<br />
vigy·znunk kell, mert vektorokn·l az ·ttÈrÈsi szab·ly l·tszÛlag m·s, ha a fizikai<br />
mennyisÈg nem mozg·sbÛl sz·rmazik, Ès megint m·s, ha abbÛl (pl. sebessÈgmezı).<br />
Ha egy f fizikai mennyisÈg skal·r, akkor szubsztanci·lis form·ja egy˙ttal anyagi<br />
forma is, Ès kˆzˆtt¸k az ˆsszef¸ggÈs a kˆvetkezı:<br />
(8a) f � , t�<br />
(8b) � � � �<br />
r � f t �R� � f �˜ t �R�, t�<br />
,<br />
f r,<br />
t f<br />
�1<br />
˜ r � f �R� ,<br />
� t t<br />
� �<br />
azaz csup·n a v·ltozÛkban kell Èrtelemszer˚en ·ttÈrni.<br />
t<br />
t
Ha egy c fizikai mennyisÈg vektor, akkor szintÈn defini·lhatjuk ñ (8a) mint·j·ra ñ a<br />
ct mennyisÈget, azonban figyelembe kell venn¸nk, hogy m·r egy merev kˆzeg is<br />
elfordulhat v·ndorl·sa sor·n, egy deform·lÛdÛ kˆzegben pedig az anyagi pontok<br />
szomszÈds·gi viszonyai is megv·ltoznak. A kˆzeghez rˆgzÌtett ir·nyok, vektorok az idı<br />
f¸ggvÈnyÈben elfordulnak, Ès eredetileg ortogon·lis, norm·lt b·zisvektorok a kˆzeggel<br />
egy¸tt deform·lÛdva m·r nem feltÈtlen¸l egysÈgnyi hossz˙ak Ès nem is merılegesek<br />
egym·sra. A kˆzeghez rˆgzÌtett b·rmely koordin·tarendszer v·ltoz·s·t, a kˆzeg minden<br />
pontj·ban az ir·ny- Ès mÈretviszonyok v·ltoz·s·t a mozg·sgradiens tenzor jellemzi.<br />
Ennek megfelelıen, ha �R� vektormezı<br />
cà t szubsztanci·lis vektormezı, akkor a megfelelı lok·lis<br />
�1<br />
�1<br />
(9a) c(<br />
r,<br />
) H �˜ ( r)<br />
�cà �˜ ( r)<br />
�<br />
illetve fordÌtva, ha �r, t�<br />
vektormezı 3<br />
t ,<br />
� t t t t<br />
c lok·lis vektormezı, akkor a megfelelı szubsztanci·lis<br />
�1<br />
(9b) cà<br />
( R)<br />
H �˜ ( R),<br />
�c�˜ ( R),<br />
t�<br />
Itt ˙jabb jelˆlÈst vezett¸nk be, mert à ( R)<br />
t<br />
� .<br />
t<br />
t t<br />
ct Ès �˜ (R),<br />
t�<br />
c ugyanahhoz a lok·lis<br />
vektormezıhˆz tartozÛ, Ès egyform·n szubsztanci·lis v·ltozÛj˙, de k¸lˆnbˆzı<br />
vektormezık.<br />
Az elıbbit nevezz¸k anyaginak, az utÛbbira megtartjuk a szubsztanci·lis elnevezÈst.<br />
A lok·lis koordin·tarendszer v·ltoz·s·t is figyelembe vevı, H t -vel visszah˙zott<br />
mennyisÈgeket jelˆlj¸k a tov·bbiakban kalappal. Teh·t ugyanahhoz a lok·lis c<br />
3<br />
Az ·ttÈrÈsi formul·k szemlÈltetÈsÈhez vegy¸k Èszre, hogy a kˆzeg sz·m·ra az ir·nyokat, a szerinte<br />
·llandÛ ir·nyokat b·rmely anyagi pontban a kˆrnyezı anyagi pontok jelˆlik ki. Ha v·lasztunk egy R<br />
kˆzegpontot Ès egy kˆzeli R � �R<br />
m·sikat, akkor az ıket ˆsszekˆtı vektor a k¸lsı inerciarendszer¸nk<br />
szerint ˜ t �R � �R�<br />
� ˜ t �R� � ( ˜ t ( R)<br />
� � R ) �R<br />
� H t ( R)<br />
�R<br />
szerint v·ltozik az idı f¸ggvÈnyÈben, mÌg<br />
a kˆzeg szerint ugyanaz az ·llandÛ � R vektor marad. A �R � 0 hat·r·tmenetben a kÈt megfigyelı<br />
szerint l·tott k¸lˆnbsÈgvektor viszonya pontosan a H t (R)<br />
tenzorhoz tart.<br />
R<br />
c t<br />
B<br />
t0<br />
2. ·bra<br />
t<br />
˜t(R)<br />
c<br />
Bt<br />
25
vektormezıhˆz ·ltal·ban kÈtfÈle szubsztanci·lis v·ltozÛj˙ mezı is tartozhat, c t ,<br />
amelyben csak a f¸ggvÈny argumentum·t cserÈlt¸k ki, Ès cà t , amellyel a kˆzeghez<br />
rˆgzÌtett vektorok v·ltoz·sait is kˆvett¸k 4 .<br />
26<br />
TermÈszetesen ez utÛbbinak is megvan a lok·lis alakja, Ès ·ltal·ban cà t � ct<br />
, illetve<br />
cà � c . Ez a jelˆlÈs f¸ggvÈnyek argumentum·nak kiÌr·sa nÈlk¸l is egyÈrtelm˚vÈ teszi az<br />
elıbbi formul·inkat:<br />
�1<br />
� H t Ès ct<br />
H t ct<br />
c tcà<br />
à<br />
� .<br />
A m·r emlegetett, az anyag belsı viszonyait jellemzı anyagi mennyisÈgeket viszont<br />
termÈszetesen nem form·lis szab·lyok, hanem a fizika tˆrvÈnyei jelˆlik ki. Vil·gosan<br />
l·tszik ez a mozg·ssal kapcsolatos mennyisÈgek, azaz a mozg·sf¸ggvÈny Ès deriv·ltjai<br />
esetÈn. Ugyanis a mozg·st megadÛ ˜ t mozg·sf¸ggvÈnynek Ès inverzÈnek nincs kalapos<br />
form·ja, azaz saj·t deriv·ltj·nak segÌtsÈgÈvel transzform·lÛdÛ alakja. Bel·thatÛ<br />
tov·bb·, hogy a mozg·sgradiens esetÈn a visszah˙zott alak megegyezik az ÈrtelmezÈsi<br />
tartom·ny egyszer˚ v·ltoztat·s·val kapott alakkal, azaz Hà t � Ht<br />
.<br />
2. A M…RLEGEGYENLETEK<br />
A mÈrlegegyenleteket eredetileg mindig lok·lis form·ban Ìrjuk fel ñ ez felel meg a<br />
megszokott tÈridı szemlÈlet¸nknek ezÈrt a mÈrlegek lok·lis fizikai mennyisÈgek kˆzˆtt<br />
ÈrvÈnyes ˆsszef¸ggÈseket adnak meg. Fontos kiemeln¸nk, hogy az ˙gynevezett<br />
szubsztanci·lis mÈrlegek valÛj·ban nem szubsztanci·lis mennyisÈgekre vonatkoznak.<br />
EgyrÈszt a benn¸k szereplı fizikai mennyisÈgek tov·bbra is lok·lis mennyisÈgek,<br />
m·srÈszt gondoljunk arra, hogy az ·ramok divergenci·j·t sem az anyagi sokas·gon<br />
ÈrvÈnyes deriv·l·ssal kÈpezz¸k. Csak a lok·lis idıderiv·ltat cserÈlj¸k ki a megfelelı<br />
4<br />
Az elmondottakat egy pÈld·val is illusztr·ljuk. Gondoljunk egy egyenletesen forgÛ korongot, amelynek<br />
kˆzÈppontja a mi ter¸nk (azaz v·lasztott k¸lsı inerci·lis vonatkoztat·si rendszer¸nk terÈnek) origÛj·ban<br />
nyugszik. Teh·t a kˆzÈppont mind a mi ter¸nknek, mind a korongnak a pontja. A korong tetszıleges R<br />
pontj·nak a mozg·s·t a ˜ t �R� � Q t R f¸ggvÈny Ìrja le, ahol Qt egy ortogon·lis (forgatÛ) tenzor. Ekkor a<br />
mozg·sgradiens H t � ˜ t � � R � Q t . Tegy¸k fel, hogy a lok·lis hı·rammezı vektora a ter¸nk minden<br />
pontj·ban a kˆzÈppont felÈ mutat: q�r, t�<br />
� ��r<br />
. Ekkor a korongon lÈvı megfigyelı azt Èrzi, hogy a<br />
korong minden pontj·ban a hı a kˆzÈppont felÈ ·ramlik. Formul·val megfogalmazva, a korong R helyÈn<br />
� �R<br />
a hı·ramvektor. A szimpla v·ltozÛtranszform·ciÛ szerinti q � � � � �<br />
t R � q ˜ t R , t� � ��Q<br />
t R<br />
azonban nem ezt adja, ellenben a q �R� � Q q �R� � ��R<br />
t<br />
�1<br />
t<br />
à valÛban igen. Vagy tegy¸k fel, hogy a hı a<br />
t<br />
ter¸nkben a forg·stengelyre merılegesen adott n ir·nyban ·ramlik egyenletesen: q�r, t�<br />
� ��n<br />
. Ekkor a<br />
korong ˙gy Èrzi, hogy a hı·ram forog a korong saj·t forg·s·val ellentÈtes ir·nyban, amit a<br />
�1<br />
�1<br />
�R� Q q�˜<br />
�R�, � � � Q n<br />
qà<br />
t � t t t � t Ìr le jÛl. (A pÈlda MATOLCSI TAM¡StÛl sz·rmazik.)
szubsztanci·lis deriv·lt lok·lis (!) form·j·val. Ez utÛbbi, LAGRANGE-fÈle leÌr·smÛd<br />
folyadÈkok esetÈn kielÈgÌtı, de szil·rd testek Ès folyadÈkok egysÈges leÌr·s·n·l ñ a<br />
szubsztanci·lis Ès lok·lis f¸ggvÈnyek szigor˙ megk¸lˆnbˆztetÈse nÈlk¸l - zavarokra<br />
vezethet. Ezen okok miatt a mÈrlegegyenleteket mÈg egyszer ˆsszefoglaljuk pontosan<br />
elk¸lˆnÌtve a lok·lis (mezı), LAGRANGE-fÈle Ès anyagi alakj·t.<br />
Elıszˆr is, egy szubsztanci·lis form·ban adott ft skal·r idıderiv·ltjait Ès anyagi<br />
tÈrderiv·ltjait lok·lis form·ba ·tÌrva kapjuk a szubsztanci·lis deriv·ltak lok·lis form·j·t:<br />
� �f<br />
f t ( R) � f�<br />
t ( R)<br />
� f�<br />
( ˜ t ( R),<br />
t)<br />
� ( ˜ t ( R),<br />
t)<br />
� �f<br />
( ˜ t ( R),<br />
t)<br />
v(<br />
˜ t ( R),<br />
t)<br />
,<br />
�t<br />
�t<br />
�˜ ( R)<br />
� � � f ( ˜ ( R),<br />
t)<br />
H ( ).<br />
� R f t ( R) � �f<br />
( ˜ t ( R),<br />
t)<br />
t � R � t<br />
t R<br />
Azaz az ·tsz·mÌt·si formul·k:<br />
d<br />
(10) f� �<br />
� f � f � v � �f<br />
, � R f � �f<br />
H t .<br />
dt �t<br />
Ezek, mÈg rˆvidebben, a deriv·ltak kˆzˆtti transzform·ciÛs szab·lykÈnt jegyezhetık<br />
meg Ès nemcsak skal·ris mennyisÈgekre vonatkoznak:<br />
d �<br />
(11) � � � � v � ��<br />
dt �t<br />
� � � ��<br />
H .<br />
Hangs˙lyozzuk, hogy a (11) formul·kban az anyagi sokas·gon Èrtelmezett<br />
f¸ggvÈnyekre vonatkozÛ parci·lis deriv·ltak vannak kifejezve lok·lis mennyisÈgekkel<br />
Ès lok·lis deriv·ltakkal. (11a) a szubsztanci·lis idıderiv·lt, (11b) pedig a szubsztanci·lis<br />
tÈrderiv·lt lok·lis mennyisÈgekre ÈrvÈnyes form·ja.<br />
Ezek ut·n a differenci·lis mÈrlegeknek mindh·rom form·j·t megadjuk. EgyrÈszt a<br />
kontinuumhoz kÈpest k¸lsı, inerci·lis megfigyelık szempontj·bÛl (lok·lis, vagy EULERleÌr·s),<br />
m·srÈszt a szubsztanci·lis idıderiv·lt szubsztanci·lis form·j·t tartalmazÛt<br />
(LAGRANGE-leÌr·s), vÈg¸l megadunk egy teljesen szubsztanci·lis mennyisÈgekre<br />
vonatkozÛ form·t is. Mindh·rom leÌr·smÛd fontos: lok·lis mÛdon l·tjuk az anyagot,<br />
Lagrange leÌr·sban tudjuk az ·ramvonalakkal egy¸tt mozogva elkÈpzelni, viszont az<br />
anyagi kˆlcsˆnhat·sokat, inhomogenit·sokat egy tiszta anyagi leÌr·sban l·tjuk jÛl.<br />
Egy adott V tÈrfogatban levı A extenzÌv fizikai mennyisÈg esetÈn a kontinuum<br />
leÌr·sban cÈlszer˚ bevezetn¸nk annak fajlagos (tˆmegegysÈgre jutÛ) ÈrtÈkÈt, amelyet az<br />
a( r , t)<br />
tÈrtıl Ès idıtıl f¸ggı mezıvel reprezent·lunk. A fajlagos mennyisÈg homogÈn<br />
anyageloszl·s esetÈn a � A / m � �A / V ��V / m�<br />
� � a / � mÛdon adhatÛ meg, ahol m a<br />
tÈrrÈszben levı anyag tˆmege, � a pedig az A jellemzı s˚r˚sÈge. Speci·lisan a fajlagos<br />
tˆmeg 1, mivel a tˆmegs˚r˚sÈg (azaz maga a s˚r˚sÈg) � . A fajlagos impulzus pedig<br />
maga a lok·lis v sebessÈg. ¡ltal·ban igaz, hogy<br />
R<br />
t<br />
27
28<br />
A �<br />
� � ad r , A � � � adV .<br />
V<br />
3<br />
(A megk¸lˆnbˆztetÈs miatt alkalmazzuk a dV � d r Ès :� d R jelˆlÈseket.)<br />
¡ltal·nosan az A extenzÌv mennyisÈg lok·lis mÈrlege:<br />
��<br />
a<br />
(12) � � � ( � av<br />
� ja<br />
) � � a.<br />
�t<br />
Itt � av<br />
a kˆzeg ·raml·s·bÛl sz·rmazÛ konvektÌv, Ès j a az attÛl f¸ggetlen konduktÌv<br />
·rams˚r˚sÈg. (11) alkalmaz·s·val a Lagrange-leÌr·s szubsztanci·lis mÈrlege a<br />
kˆvetkezı egyszer˚ form·ba ÌrhatÛ:<br />
(13) � a� � � � ja<br />
� � a .<br />
MegmaradÛnak nevez¸nk egy extenzÌv fizikai mennyisÈget, ha � a forr·ss˚r˚sÈge<br />
nulla.<br />
T÷MEGM…RLEG. A tˆmeg kÈt szempontbÛl speci·lis mennyisÈg. EgyrÈszt, egy<br />
egykomponens˚ kontinuum mozg·s·t annak tˆmegÈhez kÈpest rˆgzÌtj¸k, azaz a<br />
tˆmegnek nincs konduktÌv ·rams˚r˚sÈge. M·srÈszt, a tˆmeg megmaradÛ mennyisÈg, a<br />
tˆmegs˚r˚sÈg megv·ltoz·sa csak (!) a kontinuum alakv·ltoz·s·bÛl adÛdÛ<br />
tÈrfogatv·ltoz·sbÛl sz·rmazik, a mozg·sgradiens determin·ns·nak megfelelıen. A teljes<br />
tˆmeg megmarad·s·bÛl ugyanis, az integr·ltranszform·ciÛ ismert formul·ja alapj·n<br />
V<br />
3<br />
dV R<br />
� � t ( R) d R � � �(<br />
r,<br />
t)<br />
d r � � �(<br />
˜ t ( R),<br />
t))<br />
det H t ( R)<br />
d R .<br />
Bt0<br />
0<br />
3<br />
Bt<br />
3<br />
Bt0<br />
EzÈrt azt·n, mivel a mozg·sgradiens determin·nsa pozitÌv,<br />
(14)<br />
�1<br />
�t0<br />
�t � .<br />
det H<br />
Ez az ˆsszef¸ggÈs tartalmazza a tˆmeg megmarad·s·t. Deriv·lva a determin·nst,<br />
kapjuk, hogy<br />
� � �<br />
t<br />
azaz<br />
d<br />
dt<br />
�<br />
t0<br />
det H<br />
t<br />
� �<br />
�<br />
t0<br />
det H<br />
t0<br />
2<br />
t<br />
�det H � �det H �<br />
t<br />
d<br />
dt<br />
� �<br />
�1<br />
(15) � � � � H : H�<br />
� 0 .<br />
Ez a tˆmegmÈrleg szubsztanci·lis alakja, mely LAGRANGE-alakban a<br />
(16) �� � ��<br />
� v � 0,<br />
lok·lis alakban pedig a<br />
t<br />
t<br />
�<br />
t<br />
t<br />
t<br />
2<br />
t<br />
3<br />
3<br />
�1<br />
t0<br />
1<br />
�det H � H : H�<br />
�<br />
� � H : H�<br />
,<br />
t<br />
t<br />
t<br />
�<br />
det H<br />
t<br />
t<br />
t
(17)<br />
��<br />
� � � �v<br />
� 0<br />
�t<br />
form·t nyeri.<br />
Egy ·ltal·nos mennyisÈg mÈrlegÈnek szubsztanci·lis form·j·hoz a deriv·ltakra<br />
vonatkozÛ (10) ˆsszef¸ggÈsek Ès a (13)-ban szereplı fizikai mennyisÈgek<br />
szubsztanci·lis form·j·nak haszn·lat·val juthatunk:<br />
(18)<br />
�t<br />
0<br />
det H<br />
a� t<br />
�1<br />
a<br />
� H t � R � jt<br />
� � a .<br />
t<br />
Ez az ˆsszef¸ggÈs l·tszÛlag nem mÈrleg form·j˙, de azz· alakÌt·s·hoz<br />
alkalmazhatjuk NANSON tÈtelÈt 5 (l·sd pÈld·ul [MARTINEC, 2003, BERTRAM, 2005]), mely<br />
szerint<br />
�<br />
R<br />
�<br />
�1<br />
�� H �H<br />
� � 0<br />
det t t<br />
Ezt felhaszn·lva, ha t H det -val szorozzuk (18)-at, az A extenzÌv fizikai mennyisÈg<br />
anyagi mÈrlegÈt 6 nyerhetj¸k:<br />
ahol a A � t at<br />
0<br />
·rams˚r˚sÈge.<br />
t<br />
t<br />
�1<br />
a<br />
a<br />
��det H t �H<br />
t jt<br />
� � a�<br />
A � � R � j A aA<br />
� a� � � �<br />
� �<br />
0<br />
R<br />
a<br />
�1<br />
a<br />
� az A mennyisÈg anyagi s˚r˚sÈge, j �det H �H j<br />
A<br />
.<br />
t<br />
t<br />
,<br />
� pedig az anyagi<br />
A DIFFERENCI¡LIS M…RLEG ¡LTAL¡NOS FORM¡JA az elmondottak alapj·n a<br />
kˆvetkezık:<br />
Euler Lagrange Anyagi<br />
��a<br />
� � � ( �av<br />
� ja<br />
) � � a , �a � � � ja<br />
� � a ,<br />
�t<br />
a<br />
� a A � � R � j A � � aA<br />
t<br />
� .<br />
5<br />
A formula rˆvid bizonyÌt·s·t indexes jelˆlÈssel adjuk meg. A komponensek jelˆlÈsekor a szubsztanci·lis<br />
form·ra tˆrtÈnı kˆzvetlen utal·st nem alkalmazzuk.<br />
�1<br />
j<br />
�1<br />
j<br />
�1<br />
j<br />
� (det H ( H ) ) � � (det H )( H ) � det H � ( H ) �<br />
j<br />
det H ( H<br />
det H<br />
t<br />
t<br />
t<br />
det H<br />
�<br />
jk<br />
�1<br />
k<br />
) l<br />
t<br />
�<br />
�<br />
mert rˆgzÌtett l Ès i indexek mellett<br />
l<br />
�<br />
i<br />
j<br />
H<br />
l<br />
k<br />
j<br />
( H<br />
�1<br />
j<br />
) i<br />
t<br />
� det H<br />
t<br />
l �1<br />
k �1<br />
j �1<br />
j �1<br />
k<br />
j H k �( H ) l ( H ) i � ( H ) l ( H ) i ��<br />
�1<br />
k �1<br />
j �1<br />
j �1<br />
k<br />
�� l ( � ) � i ( � ) � � l ( � ) � i ( � ) � � 0i<br />
A �<br />
i<br />
( H<br />
�1<br />
j<br />
) l<br />
l<br />
jk � � m·trixot szorozzuk<br />
jk<br />
�<br />
j<br />
t<br />
H<br />
j<br />
l<br />
k<br />
( H<br />
i<br />
�1<br />
k<br />
) i<br />
a )<br />
�<br />
k �1<br />
k k �1<br />
k<br />
� �l<br />
( � Ès b ��i ( � )<br />
j k k j<br />
jk<br />
jk<br />
vektorokkal. Azaz a fenti kifejezÈs utolsÛ sor·ban A ( a b a b ) � a A b � b A a � 0 , mert az A<br />
jk<br />
� j k j k<br />
m·trix szimmetrikus. A fenti ·talakÌt·sok sor·n felhaszn·ltuk a m·trix determin·ns·nak Ès inverzÈnek<br />
deriv·ltj·ra vonatkozÛ ˆsszef¸ggÈseket.<br />
6 Legal·bbis, mai tud·sunk szerint az ilyen form·kat tekinthetj¸k anyagi mÈrlegeknek.<br />
29
30<br />
A T÷MEGM…RLEG. A fentibıl a = 1 behelyettesÌtÈssel:<br />
Euler Lagrange Anyagi<br />
��<br />
� � � ( �v)<br />
� 0 , �� � ��<br />
� v � 0 , 0<br />
0<br />
�t<br />
� �� t .<br />
AZ IMPULZUSM…RLEGeket is az ·ltal·nos formul·k alkalmaz·s·val kaphatjuk, az a =<br />
v esetben:<br />
Euler Lagrange Anyagi<br />
��v<br />
� �(<br />
� v � v � F)<br />
� �f<br />
, �v� ���F<br />
� �f<br />
, p� A � � R � FA<br />
� �t<br />
ft<br />
.<br />
�t<br />
Itt F a lok·lis fesz¸ltsÈgtenzor, f a lok·lis erıs˚r˚sÈg, p A � �t<br />
v t az anyagi<br />
�1<br />
impulzuss˚r˚sÈg, FL<br />
�det H t �H t Ft<br />
azaz az impulzus anyagi fluxusa.<br />
� pedig az elsı PIOLA-KIRCHHOFF-fesz¸ltsÈgtenzor,<br />
A BELS’ ENERGIA M…RLEGE. Az a=e behelyettesÌtÈssel:<br />
Euler Lagrange Anyagi<br />
��<br />
e<br />
q<br />
���(<br />
�ev<br />
� j ) � F:<br />
�v���, �t<br />
Itt e �<br />
eA t0<br />
s˚r˚sÈg.<br />
� � � � j � F : �v � ��,<br />
q<br />
q<br />
�1<br />
� e<br />
e� � �j<br />
�F<br />
: H�<br />
H .<br />
� az anyagi belsıenergia-s˚r˚sÈg, Ès � � q<br />
�1<br />
q<br />
j<br />
A<br />
t<br />
t<br />
0<br />
A � R A A t t<br />
� detH<br />
H j az anyagi hı·ram-<br />
AZ ENTR”PIA M…RLEGE elvileg k¸lˆnbˆzik a tˆbbi mÈrlegtıl, ugyanis az entrÛpia Ès<br />
annak ·rams˚r˚sÈge alapvetıen anyagi mennyisÈg, nem f¸ggetlen a tˆbbi fizikai<br />
mennyisÈgtıl. Sıt, ahogy azt pÈld·ul MATOLCSI megmutatta [MATOLCSI, 2005], az<br />
entrÛpia az anyag stabilit·s·t biztosÌtÛ feltÈtelrendszer kulcseleme, mert a teljes<br />
termodinamikai egyens˙ly aszimptotikus stabilit·sa a termodinamika m·sodik<br />
fıtÈtelÈnek fizikai tartalma. Az aszimptotikus stabilit·s pedig akkor kˆvetkezik az<br />
anyag tulajdons·gaibÛl, ha az ˆsszes tˆbbi anyagf¸ggvÈny olyan, hogy azok form·ja<br />
egy¸ttesen biztosÌtja az entrÛpia lÈtezÈsÈt Ès nˆvekedÈsÈt. Azaz, az ·ltal·nos<br />
gyakorlatnak megfelelıen, az anyagf¸ggvÈnyeket cÈlszer˚ m·r eleve a II. fıtÈtelnek<br />
megfelelıen sz·rmaztatni.<br />
Az entrÛpia mÈrlegÈnek sz·rmaztat·s·n·l teh·t elıszˆr meg kell hat·roznunk,<br />
melyek az adott anyagcsal·dra vonatkozÛ alapvetı fizikai mennyisÈgek, Ès meg kell<br />
kˆveteln¸nk, hogy az entrÛpia, mint anyagf¸ggvÈny b·rmely anyagi tÈrrÈszen
nˆvekedjen. Ebben a fejezetben a legegyszer˚bb termomechanikai kontinuumra<br />
(szok·sos terminolÛgi·val: vÈges deform·ciÛs termoviszkoelasztikus anyagra)<br />
sz·rmaztatjuk az entrÛpia mÈrlegÈt, majd a tov·bbiakban a reolÛgiai Ès kÈplÈkeny<br />
anyagok leÌr·s·nak megfelelıen tov·bbfejlesztj¸k az elvi kereteket.<br />
Ennek megfelelıen feltessz¸k, hogy a fajlagos entrÛpia az ( e , H)<br />
v·ltozÛktÛl f¸gg.<br />
Mivel ˆsszetett f¸ggvÈny, ezÈrt lok·lis Ès szubsztanci·lis form·j·t a v·ltozÛinak<br />
megfelelı form·i segÌtsÈgÈvel kapjuk. Ezek ut·n az ˆsszetett f¸ggvÈny deriv·l·si<br />
szab·lya alapj·n az entrÛpia lok·lis mennyisÈgekkel kifejezett anyagi (Ès<br />
szubsztanci·lis) idıderiv·ltja:<br />
�s<br />
de �s<br />
dH<br />
�s<br />
�s<br />
s � ( e,<br />
H)<br />
� � : � e�<br />
� : H�<br />
.<br />
�e<br />
dt �H<br />
dt �e<br />
�H<br />
Ezt az ˆsszef¸ggÈst haszn·ljuk az entrÛpia LAGRANGE-mÈrlegÈnek sz·rmaztat·s·hoz. A<br />
hımÈrsÈklet reciproka az entrÛpia belsı energia szerinti deriv·ltja:<br />
�s<br />
1<br />
( e,<br />
H ) � .<br />
�e<br />
T<br />
Ezt, Ès a belsıenergia-mÈrleg LAGRANGE-form·j·t felhaszn·lva kapjuk, hogy<br />
� s�<br />
( e,<br />
H)<br />
�<br />
�<br />
�<br />
1<br />
T<br />
�� � � j � F : �v � ���<br />
� � �<br />
� � �<br />
q<br />
jq<br />
� jq<br />
T<br />
jq<br />
� jq<br />
T<br />
��<br />
��<br />
�s<br />
� � : H�<br />
�<br />
�H<br />
1 1<br />
�1<br />
�<br />
� F : �H� s<br />
H ��<br />
� : H�<br />
�<br />
T T<br />
�H<br />
1 1 � �s<br />
� �1<br />
� �F<br />
� �TH<br />
� : �H� H �.<br />
T T � �H<br />
�<br />
Az entrÛpia konduktÌv ·rams˚r˚sÈgÈt a kˆvetkezı form·ban ismerhetj¸k fel a j q<br />
hı·ram-s˚r˚sÈggel kifejezve:<br />
jq<br />
js � .<br />
T<br />
Az entrÛpiafluxus fenti meghat·roz·sa ·ltal·ban egy·ltal·n nem mag·tÛl Èrtetıdı,<br />
form·j·t befoly·solj·k az ·llapothat·rozÛkra vonatkozÛ fejlıdÈsi egyenletek is,<br />
·ltal·nos form·ja levezethetı. ¡ltal·ban bizonyÌthatÛ, hogy ha a fejlıdÈsi egyenletek<br />
mÈrleg alak˙ak, akkor a fenti forma ˆsszhangban van a m·sodik fıtÈtellel [V¡N, 2003].<br />
Õgy vÈg¸l az entrÛpiamÈrleg LAGRANGE-alakja a kˆvetkezı form·ba ÌrhatÛ:<br />
�<br />
1 1 � �s<br />
� �1<br />
� T � � �<br />
T T � �H<br />
�<br />
(19) � � � � j � � � j ��<br />
� F � � H : �HH � 0.<br />
s s s q<br />
A fenti alakot szubsztanci·lis form·ban felÌrva, Ès szorozva a mozg·sgradiens<br />
determin·ns·val, NANSON formul·j·nak segÌtsÈgÈvel kaphatjuk a megfelelı anyagi<br />
form·t. Ezt a lok·lis alakkal egy¸tt adjuk meg:<br />
31
32<br />
Lok·lis Anyagi<br />
��<br />
s<br />
q 1<br />
� � � ( � sv<br />
� j ) � jq<br />
� � �<br />
�t<br />
T<br />
1 � �s<br />
�<br />
� �F<br />
� �TH<br />
� : v � � � 0,<br />
T � �H<br />
�<br />
Itt sA<br />
�t<br />
st<br />
s<br />
�1<br />
s<br />
� az anyagi entrÛpias˚r˚sÈg, Ès � �<br />
0<br />
j<br />
A<br />
s�<br />
A<br />
s<br />
q 1<br />
� � � j A � � s � j ��<br />
�<br />
A A R<br />
T<br />
1 � �s<br />
� t<br />
�<br />
�<br />
�F<br />
� :<br />
0 �<br />
�<br />
A �t<br />
T<br />
T � �H<br />
t �<br />
t<br />
t<br />
t<br />
�1<br />
�H� H � � 0.<br />
� detH<br />
H j az anyagi entrÛpiafluxus.<br />
Figyelj¸k meg, hogy az entrÛpiaprodukciÛ anyagi alakj·ban termÈszetes mÛdon<br />
felbukkan az elsı PIOLA-KIRCHHOFF-fesz¸ltsÈg Ès az anyagi hı·rams˚r˚sÈg.<br />
A (19) mÈrlegekben az entrÛpi·ra vonatkozÛ egyenlıtlensÈg a II. fıtÈtel<br />
entrÛpianˆvekedÈsre vonatkozÛ rÈszÈt jelenti. Az entrÛpiamÈrleg lok·lis form·j·t<br />
b·rmely adott tÈrrÈszben kiintegr·lva kapjuk az entrÛpia nˆvekedÈsÈt minden¸tt, ahol a<br />
tÈrrÈsz hat·r·n nincs entrÛpia·raml·s Ès entrÛpiafluxus. UgyanÌgy, az entrÛpiamÈrleg<br />
anyagi form·j·t az anyagi sokas·g minden ˆsszef¸ggı rÈszhalmaz·n kiintegr·lva<br />
kapjuk az entrÛpia nˆvekedÈsÈt minden z·rt anyagrÈszben, ahol a hat·ron nincs<br />
entrÛpiafluxus.<br />
Figyelj¸k meg, hogy az anyagi entrÛpiaprodukciÛ a lok·lis entrÛpiaprodukciÛ<br />
szubsztanci·lis form·ja szorozva a mozg·sgradiens determin·ns·val,<br />
� � det H � , teh·t a m·sodik fıtÈtel egyenlıtlensÈge mindkÈt alakra egyar·nt<br />
azaz � � sA<br />
t s<br />
ÈrvÈnyes, ezÈrt az anyagtˆrvÈnyek sz·rmaztat·s·hoz b·rmelyik form·bÛl kiindulhatunk.<br />
A tov·bbiakban a LAGRANGE-leÌr·sban szereplı entrÛpiaprodukciÛt fogjuk haszn·lni.<br />
t<br />
t
2. FEJEZET<br />
AZ ¡LTAL¡NOS ANYAGT÷RV…NY<br />
1. AZ ANYAGT÷RV…NY V¡LTOZ”I …S AZ ENTR”PIAF‹GGV…NY<br />
Az entrÛpia a nemegyens˙lyi termodinamika alapvetı anyagf¸ggvÈnye, minden m·s<br />
anyagf¸ggvÈnyt vagy kˆzvetlen¸l belıle sz·rmaztathatunk (intenzÌvek Ès deriv·ltjaik),<br />
vagy az entrÛpiatermelÈshez kˆthet¸nk (hıvezetÈsi tÈnyezı, viszkozit·si egy¸tthatÛk).<br />
Az anyag szimmetri·it az entrÛpiaf¸ggvÈnynek is t¸krˆznie kell. Õgy pÈld·ul izotrÛp<br />
kontinuumok esetÈn az entrÛpia izotrÛp f¸ggvÈnye v·ltozÛinak.<br />
Egy anyag termodinamikai modellezÈse, a megfelelı anyagf¸ggvÈnyek keresÈse<br />
sor·n az elsı kÈrdÈs mindig az adott anyagtÌpus viselkedÈsÈt valÛban jellemzı<br />
alapmennyisÈgek kih·moz·sa a kusza valÛs·gbÛl. M·r itt is lÈnyeges kÈrdÈs az, hogy<br />
hogyan lehet valÛban az anyag ñ Ès csak az anyag ñ tulajdons·gait Ès folyamatait leÌrni,<br />
azaz megtal·lni azokat a mennyisÈgeket, amelyek segÌtsÈgÈvel jellemezhetj¸k az<br />
anyagot, azaz elv·laszthatjuk, megk¸lˆnbˆztethetj¸k a k¸lsı feltÈtelektıl. A jellemzı<br />
folyamatok azonosÌt·sa, a leÌr·sukra haszn·lhatÛ fizikai mennyisÈgek kˆz¸l a<br />
megfelelıek kiv·laszt·sa nem egyszer˚, nagyon sok tapasztalat felhalmozÛd·sa Ès<br />
kÌsÈrletek sokas·ga kell hozz·. Az eset¸nkben t·rgyalt vÈges deform·ciÛs kÈplÈkenysÈg<br />
elmÈletÈnek nÈgy Èvtizede jÛl szemlÈlteti ennek a folyamatnak nehÈzsÈgeit. Az entrÛpia,<br />
mint anyagf¸ggvÈny ezeknek a kiv·lasztott v·ltozÛknak a f¸ggvÈnye. Ezeket az<br />
alapv·ltozÛkat ·llapothat·rozÛknak nevezz¸k.<br />
¡ltal·ban mindenfÈle termodinamikai elmÈletben az extenzÌv mennyisÈgek<br />
kit¸ntetett szerepet j·tszanak, pÈld·ul a nemegyens˙lyi termodinamik·ban az alapvetı<br />
v·ltozÛk az extenzÌv mennyisÈgek s˚r˚sÈgei. ExtenzÌvek azok a v·ltozÛk, melyeknÈl a<br />
vÈges kiterjedÈs˚ anyagdarab egÈszÈre jellemzı mennyisÈgbıl additÌvan ·ttÈrhet¸nk<br />
lok·lis jellemzıre, azaz a fizikai mennyisÈg s˚r˚sÈge, vagy fajlagos ÈrtÈke alkalmas<br />
fizikai mennyisÈg. Az egyes konkrÈt extenzÌv ·llapothat·rozÛknak speci·lis saj·toss·gai<br />
vannak, nem kezelhetık egy ·ltal·nos, kˆzˆs szinten, nem kezdhet¸nk egy<br />
termodinamikai elmÈletet n darab absztrakt extenzÌv v·ltozÛ bevezetÈsÈvel. R·ad·sul<br />
valÛj·ban nagyon kevÈs valÛban jÛ alapmennyisÈg van (tˆmeg, kÈmiai komponensek<br />
33
anyagmennyisÈge). M·s, termosztatik·ban extenzÌvnek tekintett, sokszor haszn·lt<br />
v·ltozÛk gyakran nem is egÈszen extenzÌvek, sıt van, amikor egy·ltal·n nem<br />
Èrtelmezhetı a fogalom r·juk. Ilyen v·ltozÛ pÈld·ul az elektromos polariz·ciÛ, mely<br />
f¸gg az anyag alakj·tÛl is [MATOLCSI, 2005], Ès a mechanikai alapv·ltozÛk (alakv·ltoz·s,<br />
deform·ciÛ) sem extenzÌvek, kivÈve speci·lis anyagokat (folyadÈkok) Ès terhelÈsi<br />
feltÈteleket. R·ad·sul vannak egyÈb v·ltozÛink is, amikrıl eleve nem v·rjuk el ezt a<br />
tulajdons·got, de fontosak az anyag szerkezetÈnek jellemzÈsÈben. Teh·t az extenzivit·st<br />
nem tekintj¸k a tov·bbiakban meghat·rozÛnak az alapv·ltozÛk kiv·laszt·s·n·l.<br />
Jelen esetben a termodinamikai kˆlcsˆnhat·sok kˆz¸l elsısorban a mechanikaival<br />
foglalkozunk. Ez azt jelenti, hogy a mechanikai Ès termikus kˆlcsˆnhat·son kÌv¸l az<br />
ˆsszes tˆbbit figyelmen kÌv¸l hagyjuk, vagyis nincs kÈmiai effektus, az elektromos Ès<br />
m·gneses mezı nem v·ltozik, stb. A termikus Ès mechanikai kˆlcsˆnhat·s a belsı<br />
energi·n kereszt¸l ·llandÛ kapcsolatban van egym·ssal, mechanikai hat·sra is v·ltozik a<br />
kˆzeg hımÈrsÈklete, Ès termikus hat·sra is fellÈphet alakv·ltoz·s. Nem fogjuk ezt a<br />
kapcsolatot rÈszletesen t·rgyalni, legtˆbbszˆr a vizsg·lat egyszer˚sÌtÈse ÈrdekÈben<br />
feltÈtelezz¸k, hogy kˆzeg¸nk izotermikusan vagy adiabatikusan izol·lt a kˆrnyezetÈtıl.<br />
A termoelaszticit·s, termoplaszticit·s, stb. elvileg rÈsze a t·rgyalt egyenleteknek, de<br />
speci·lis problÈm·ikra nem fogunk rÈszletesen kitÈrni.<br />
34<br />
2. K…PL…KENYS…G - TAPASZTALAT<br />
Az entrÛpia csak azoktÛl a fizikai mennyisÈgektıl f¸gghet, amelyek az alapvetı<br />
mÈrlegegyenletekben ·llapothat·rozÛk, illetve az anyag bizonyos szerkezeti<br />
tulajdons·gait jellemzik. Eset¸nkben ilyen az e belsı energia, amely a termikus<br />
kˆlcsˆnhat·s alapv·ltozÛja, a H mozg·sgradiens, amely a kˆzeg belsı mozg·s·t<br />
jellemzi, illetve a szerkezeti v·ltoz·sok jellemzÈsÈre mÈg haszn·lni fogunk egy tov·bbi<br />
dinamikai (belsı) v·ltozÛt is, melynek ÈrtÈke egyens˙lyban nulla. Ez utÛbbi Ó<br />
mennyisÈg az anyag reolÛgiai tulajdons·gainak modellezÈsÈben j·tszik szerepet.<br />
A kÈplÈkenysÈg jelensÈgkˆrÈt is mag·ba foglalÛ anyagtˆrvÈny sz·rmaztat·s·hoz<br />
tov·bbi megfontol·sokra is sz¸ksÈg van, fizikai feltevÈseket kell tenn¸nk a<br />
kialakul·s·nak termÈszetÈre vonatkozÛan. A modellezÈs ·ltal·nos fenomenologikus<br />
szintjÈn ez a jelensÈgkˆr leÌr·s·ra megfelelı v·ltozÛk kiv·laszt·s·t jelenti. Mivel a<br />
kÈplÈkeny viselkedÈst alapvetıen mechanikai v·ltoz·sok megfigyelÈsÈvel (maradandÛ<br />
alakv·ltoz·s, foly·s) azonosÌtjuk, ezÈrt termÈszetes, hogy a mechanikai jelleg˚ fizikai<br />
mennyisÈgeket vesz¸nk figyelembe a leÌr·s·ra.<br />
A tapasztalatok ˆsszefoglal·s·ra haszn·lt legegyszer˚bb kÈplÈkenysÈgi<br />
elmÈletekben kÈplÈkenysÈgi alapv·ltozÛkÈnt egy speci·lis elmozdul·st vezetnek be,<br />
azaz az anyag mozg·sf¸ggvÈnyÈt felbontj·k kÈplÈkeny Ès rugalmas rÈszre. Ennek
megfelelıen a kÈplÈkeny ·llapot elÈrÈsÈt egy ( t , t ) H F � form·j˙ kÈplÈkenysÈgi<br />
f¸ggvÈny adja meg, amelynek v·ltozÛi az Ft a fesz¸ltsÈg Ès a teljes Ht mozg·sgradiens<br />
plast<br />
H t kÈplÈkeny rÈsze. A felbont·s<br />
·ltal·ban multiplikatÌv,<br />
(1)<br />
t<br />
plast<br />
elast<br />
H t rugalmas Ès<br />
plast<br />
t<br />
elast<br />
t<br />
H � H H ,<br />
Ès ebbıl kˆvetkezıen kis deform·ciÛkra additÌv, mert<br />
t<br />
t<br />
plast<br />
t<br />
elast<br />
t<br />
plast<br />
t<br />
elast<br />
t<br />
plast<br />
H t kÈplÈkeny rÈszre<br />
elast<br />
t<br />
plast<br />
t<br />
D � H � I � H H � I � ( D � I)(<br />
D � I)<br />
� I � D � D .<br />
A kÈplÈkenysÈgi f¸ggvÈny f¸ggÈse<br />
plast<br />
Ht -tÛl a kemÈnyedÈst modellezi (ez<br />
tˆrtÈnhet tˆbbfÈle mÛdon is), abban a speci·lis esetben, ha � nem f¸gg<br />
plast<br />
Ht -tÛl,<br />
beszÈlhet¸nk ide·lis plaszticit·srÛl. A kÈplÈkenysÈgi f¸ggvÈny segÌtsÈgÈvel az anyag<br />
mechanikai viselkedÈsÈt jellemzı t ( t ) H F anyagf¸ggvÈny ÈrtelmezÈsi tartom·ny·t<br />
rugalmas Ès kÈplÈkeny rÈszre bonthatjuk. A kÈt rÈszben a mechanikai tulajdons·gok<br />
alapvetıen k¸lˆnbˆznek, Ès a hat·rolÛ fel¸leten ugr·sszer˚en v·ltoznak. A kÈplÈkeny Ès<br />
rugalmas tartom·ny hat·r·t jelentı F f foly·si fesz¸ltsÈget a<br />
plast<br />
(2) ( f , t ) � 0 H F �<br />
feltÈtel jelˆli ki. NÈha egyes szerzık azt feltÈtelezik, hogy kÈplÈkeny ·llapotban az<br />
anyag nyÌrÛ rugalmass·ga elt˚nik, Ès az anyag ˆsszenyomhatatlann· v·lik.<br />
Meg kell persze mondanunk, hogy a (2) f¸ggvÈny ·ltal meghat·rozott fel¸let melyik<br />
oldal·n van a rugalmas Ès melyiken a kÈplÈkeny tartom·ny. A rugalmasbÛl a<br />
kÈplÈkenybe tˆrtÈnı ·tmenetet nevezz¸k felterhelÈsnek, ekkor<br />
LeterhelÈs (tehermentesÌtÈs) esetÈn, azaz ha<br />
��<br />
: dFt<br />
� 0.<br />
�F<br />
t<br />
t<br />
��<br />
� � 0 Ès : dFt<br />
� 0 , illetve � � 0 ,<br />
�F<br />
azonnal visszalÈp¸nk a rugalmas tartom·nyba. Az alakv·ltoz·s egy rÈsze maradandÛ, a<br />
fesz¸ltsÈg eredeti helyzetbe tˆrtÈnı vissza·llÌt·s·val nem ·ll helyre az eredeti<br />
deform·ciÛs ·llapot.<br />
A<br />
plast<br />
H t kÈplÈkeny mozg·sgradienstıl tˆrtÈnı f¸ggÈs (b·rmi legyen is az) azt<br />
fejezi ki, hogy a tartom·ny hat·ra ìmozogî, azaz kÈplÈkeny ·llapotban<br />
plast<br />
H t valahogy<br />
v·ltozik, Ès ˙jabb felterhelÈskor a kÈplÈkeny ·llapotba m·s fesz¸ltsÈgek esetÈn jutunk.<br />
35
Termodinamikailag<br />
36<br />
plast<br />
H t egy ˙jabb v·ltozÛ, r·ad·sul v·ltoz·s·nak leÌr·s·ra<br />
vonatkozÛan nyilv·nvalÛan sz¸ksÈg van egy fejlıdÈsi (evol˙ciÛs) egyenletre, amit a<br />
kÈplÈkenysÈgtanban szok·s foly·si tˆrvÈnynek is nevezni. Ezek bevezetÈsÈnek<br />
v·ltozatos mÛdjai vannak [KALISZKY 1975]. Ebben az Ìr·sban szeretnÈnk minÈl<br />
kevesebb feltÈtellel a termodinamikai anyagelmÈlet felhaszn·l·s·val megvizsg·lni ezt a<br />
kÈrdÈskˆrt.<br />
Ezek ut·n, a megfelelı termodinamikai h·ttÈr megÈrtÈse cÈlj·bÛl tÈrj¸nk ·t a<br />
kÈplÈkenysÈg Ès az irreverzibilit·s viszony·nak t·rgyal·s·ra.<br />
3. IRREVERZIBILIT¡S-FOGALMAK<br />
A kÈplÈkeny viselkedÈs - irreverzibilis v·ltoz·s. Ugyanakkor nem j·r feltÈtlen¸l<br />
disszip·ciÛval. A mechanikailag disszipatÌv (adott esetben viszkÛzus), rugalmas Ès<br />
kÈplÈkeny viselkedÈs tetszıleges p·rosÌt·sban elıfordulhat. Ennek megfelelıen<br />
beszÈl¸nk viszkÛzusan rugalmas (viszkoelasztikus), kÈplÈkeny Ès viszkÛzus<br />
(viszkoplasztikus), rugalmasan kÈplÈkeny (elasztoplasztikus) stb. anyagokrÛl is.<br />
Azonban reologikusan kÈplÈkeny, viszkÛzusan reolÛgus, stb. fogalomp·rosÌt·sokat nem<br />
tartalmaz az irodalom, holott majd l·tni fogjuk, hogy ilyenek termÈszetes mÛdon lÈpnek<br />
fel a termodinamikai keretek kˆzˆtt. A leg·ltal·nosabb anyagviselkedÈs mindegyik<br />
vari·ciÛt mag·ba foglalja, mÈg sem Èrdemes viszko-elaszto-plasztikus nÈvvel illetni,<br />
mert ez a norm·lis reolÛgiai tulajdons·gokkal rendelkezı anyag. Fıleg azÈrt nem, mert<br />
a viszkÛzus anyagtulajdons·gon a szil·rd testeknÈl, sokan az ˙n. k˙sz·si tulajdons·got<br />
Èrtik (amelyik a deform·ciÛ sebessÈgÈvel van ˆsszef¸ggÈsben), s deform·ciÛk<br />
kÈsleltetÈsÈben jelentkezik. De ugyanilyen tulajdons·g a relax·ciÛ (amelyik a<br />
fesz¸ltsÈgv·ltoz·s sebessÈgÈvel van ˆsszef¸ggÈsben), s a fesz¸ltsÈgek ernyedÈsÈben is<br />
jelentkezik. ¡ltal·ban k¸lˆn-k¸lˆn csak speci·lis esetben jelentkezik, legtˆbbszˆr a<br />
deform·ciÛk kÈsÈsÈnek Ès a relax·ciÛnak a k¸lˆnbsÈge jelenik meg a szem¸nk elıtt.<br />
Ennek megfelelıen, a tiszt·nl·t·s vÈgett elıszˆr ·ltal·nosan, a mechanikai Ès<br />
termodinamikai kˆlcsˆnhat·sokon t˙lmenıen Èrdemes ·ttekinteni a sok esetben<br />
keveredı irreverzibilit·si Ès egyens˙ly fogalmainkat.<br />
Mindenek elıtt fontos leszˆgezni, hogy b·rmilyen fizikai elmÈletben a folyamatokat<br />
meghat·rozÛ differenci·legyenletek, a fejlıdÈsi egyenletek fÈnyÈben lehet tiszt·n<br />
beszÈlni alapv·ltozÛkrÛl, folyamatok tulajdons·gairÛl, illetve egy·ltal·n meghat·rozni<br />
mit Èrt¸nk adott fizikai rendszerre vonatkozÛ k¸lsı hat·son Ès mikÈnt hat·rozzuk meg<br />
mi a rendszer belsı felÈpÌtÈse, azaz anyaga. A fejlıdÈsi egyenletek felÌrhatÛs·ga m·r az<br />
elmÈlet meglehetısen fejlett fok·t jelzi. A fejlıdÈsi egyenletet szok·s<br />
mozg·segyenletnek, dinamikai egyenletnek is nevezni. Mi sz·ndÈkosan ker¸lj¸k
ezeknek a mechanikai h·tteret sejtetı, ezÈrt speci·lis jelzıknek a haszn·lat·t.<br />
TermÈszetesen a mechanikai kˆlcsˆnhat·s esetÈn a tˆmegpont helyzetv·ltoz·s·t<br />
meghat·rozÛ fejlıdÈsi egyenlet a NEWTON-egyenlet, a tˆmegpont mozg·segyenlete, de<br />
nem minden fejlıdÈsi egyenlet hasonlÌt a NEWTON-egyenletre. A kˆvetkezıkben<br />
felsorolt tulajdons·gok segÌtenek a k¸lˆnfÈle fizikai kˆlcsˆnhat·sokhoz kapcsolÛdÛ<br />
fogalmaink laza oszt·lyoz·s·ban.<br />
AZ ¡LLAPOTHAT¡ROZ”K TULAJDONS¡GAI ñ A FEJL’D…SI EGYENLET F…NY…BEN. A<br />
kˆlcsˆnhat·sokat egyes ·llapothat·rozÛk, vagy csoportjuk, illetve a hozz·juk tartozÛ<br />
fejlıdÈsi egyenlet egy¸ttesen modellezi.<br />
(a) Egy ·llapothat·rozÛt extenzÌvnek nevez¸nk, ha Èrtelme van a s˚r˚sÈgÈrıl<br />
beszÈlni, Ès idı Ès tÈrbeli v·ltoz·s·t teljes mÈrleg alak˙ fejlıdÈsi egyenlet<br />
hat·rozza meg. Teljes mÈrlegen pedig azt Èrtj¸k, hogy a v·ltozÛnak termÈszetes<br />
mÛdon Èrtelmes a fluxus·rÛl Ès ·raml·s·rÛl beszÈlni. ExtenzÌv ·llapothat·rozÛ<br />
pÈld·ul a tˆmeg, a belsı energia, vagy az impulzus.<br />
(b) Egy ·llapothat·rozÛt egyens˙lyinak nevez¸nk, ha teljes termodinamikai<br />
egyens˙lyban ÈrtÈke nem feltÈtlen¸l nulla. A teljes termodinamikai egyens˙ly<br />
fogalma (l·sd a kˆvetkezı pontot) pedig ˆsszefonÛdik az ·llapothat·rozÛk<br />
oszt·lyoz·s·val. A fenti extenzÌv ·llapothat·rozÛk kˆz¸l a tˆmeg Ès a belsı<br />
energia egyens˙lyi.<br />
(c) Dinamikai ·llapothat·rozÛk meghat·rozÛ tulajdons·ga, hogy teljes<br />
termodinamikai egyens˙lyban null·k. Az impulzus pÈld·ul dinamikai<br />
·llapothat·rozÛ.<br />
ExtenzÌv ·llapothat·rozÛ lehet egy˙ttal dinamikai vagy egyens˙lyi is, de a<br />
dinamikai Ès az egyens˙lyi komplementer fogalmak.<br />
SPECI¡LIS FOLYAMATOK ñ A FEJL’D…SI EGYENLET F…NY…BEN.<br />
(a) Egy fizikai rendszer termodinamikai egyens˙lya a hozz· tartozÛ fejlıdÈsi<br />
egyenlet idıben ·llandÛ, tÈrben homogÈn megold·sa. A termodinamikai<br />
egyens˙ly lÈtezÈse termÈszetesen f¸gg a fejlıdÈsi egyenlettıl Ès a megfelelı<br />
peremfeltÈtelektıl. Az extenzÌv ·llapothat·rozÛkra vonatkozÛ fejlıdÈsi<br />
egyenleteknek lÈtezik termodinamikai egyens˙lya, forr·smentes esetben,<br />
homogÈn peremfeltÈtelek Ès nulla ·rams˚r˚sÈgek esetÈn. A termodinamikai<br />
egyens˙ly az anyag nyugalmi ·llapota, minden termodinamikai elmÈlet<br />
alapfogalma.<br />
(b) Egy fizikai rendszer dinamikai egyens˙lyban van, ha minden ·llapothat·rozÛja<br />
·llandÛ. Dinamikai egyens˙lyban levı rendszer tulajdons·gai idıben ·llandÛk,<br />
de a rendszerben folyamatok zajlhatnak. Ilyen pÈld·ul, ha az extenzÌv<br />
37
38<br />
·llapothat·rozÛk fluxusai vagy a dinamikai ·llapothat·rozÛk ·llandÛk, de nem<br />
null·k.<br />
(c) Egy fizikai rendszer adott ·llapothat·rozÛra (vagy a megfelelı kˆlcsˆnhat·sra)<br />
vonatkoztatva rÈszleges termodinamikai egyens˙lyban, illetve rÈszleges<br />
dinamikai egyens˙lyban van, ha az elıbbi feltÈtelek az adott ·llapothat·rozÛra<br />
·llnak fenn. Az ˆsszes ·llapothat·rozÛra vonatkoztatott termodinamikai, illetve<br />
dinamikai egyens˙lyt teljes egyens˙lynak nevezz¸k.<br />
AZ ANYAGCSAL¡D (K÷ZEG) ñ AZ ¡LLAPOTHAT¡ROZ”K KIV¡LASZT¡SA SZERINT. Az<br />
anyagcsal·d (kˆzeg) az anyagf¸ggvÈnyek meghat·rozott oszt·ly·t jelenti az<br />
·llapothat·rozÛk kiv·laszt·sa szerint. PÈld·ul a termomechanikai anyagcsal·dba azok az<br />
anyagok tartoznak, amelyeknek anyagf¸ggvÈnyei (nyom·s, hı·ram, stb.) csak a<br />
mechanikai Ès termikus ·llapothat·rozÛktÛl Ès azok tÈr- Ès idıderiv·ltjaitÛl,<br />
integr·ljaitÛl f¸ggenek.<br />
(a) Egy anyagcsal·d egyens˙lyi, ha anyagf¸ggvÈnyei csak egyens˙lyi<br />
·llapothat·rozÛktÛl f¸ggenek.<br />
(b) Egy anyagcsal·d nemegyens˙lyi, ha nem egyens˙lyi. Ez nem vicc, hanem egy<br />
tov·bbi oszt·lyoz·sra buzdÌtÛ ˆsszefoglalÛ jelzı. A nemegyens˙lyis·gnak<br />
ugyanis tˆbb oka is lehet:<br />
(i) Az anyagf¸ggvÈnyek dinamikai v·ltozÛktÛl is f¸ggenek (ekkor<br />
tehetetlensÈgi tulajdons·gok miatt nemegyens˙lyi a kˆzeg).<br />
(ii) Az anyagf¸ggvÈnyek az ·llapothat·rozÛk idıderiv·ltjaitÛl f¸ggenek.<br />
Ennek egyik oka lehet, hogy nem tal·ltuk meg a megfelelı dinamikai<br />
·llapothat·rozÛkat. Persze egy idıderiv·lt is lehet dinamikai v·ltozÛ, de<br />
egy termodinamikai elmÈletben ez mindig egy speci·lis v·laszt·s.<br />
(iii) Nem tal·ltuk meg a jÛ egyens˙lyi v·ltozÛkat.<br />
Egy egyens˙lyi anyagcsal·dot, kis pontosÌt·ssal, nÈha lok·lis egyens˙lyban levınek<br />
nevezik tˆrtÈnelmi okokbÛl [GYARMATI 1969]. A tov·bbiakban ezt a jelzıt nem<br />
haszn·ljuk, mert csak a megfelelı tÈrbelileg homogÈn testekre vonatkozÛ<br />
termodinamikai (termosztatikai) elmÈlet kifejtÈsÈvel lehetne Èrtelmezni. Fontos Ès a<br />
hagyom·nyos felfog·stÛl eltÈrı, hogy a fenti Èrtelemben egy tiszt·n mechanikai<br />
anyagcsal·d nemegyens˙lyi, mert dinamikai ·llapothat·rozÛt is tartalmaz: az impulzust,<br />
illetve a sebessÈget (fajlagos impulzust). A fenomenologikus termodinamika elmÈleti<br />
alapstratÈgi·ja szerint a nemegyens˙lyis·g leÌr·s·hoz elsısorban a megfelelı<br />
·llapothat·rozÛkat kell megkeresn¸nk.<br />
AZ ANYAG ñ A FOLYAMATOK IR¡NYÕTHAT”S¡GA, AZAZ A FEJL’D…SI EGYENLET<br />
SZERINT. Az adott ·llapothat·rozÛkkal meghat·rozott anyagcsal·dhoz tartozÛ anyag ñ
amit a konkrÈt anyagf¸ggvÈnyek hat·roznak meg ñ oszt·lyozhatÛ a folyamatok<br />
ir·nyÌthatÛs·ga, azaz vÈgsı soron a fejlıdÈsi egyenlet szerkezete szerint is. Ebben az<br />
oszt·lyoz·sban elszigetelt rendszereket tekint¸nk, azaz speci·lisan a testet Ès azok<br />
kˆrnyezetÈt egy¸ttesen. Az anyagf¸ggvÈnyekhez termÈszetesen hozz· tartozik<br />
ÈrtelmezÈsi tartom·nyuk, az ˙gynevezett konstitutÌv ·llapottÈr is.<br />
(a) Egy anyag reverzibilis, ha konstitutÌv ·llapottere ˆsszef¸ggı, azaz elszigetelt<br />
rendszerben eljuttathatÛ konstitutÌv ·llapotterÈnek minden pontj·bÛl minden<br />
m·s pontj·ba.<br />
(b) Egy anyag irreverzibilis, ha nem reverzibilis. PÈld·ul akkor, ha konstitutÌv<br />
·llapotterÈben van olyan pont, hogy onnan m·r nem juthatunk vissza a<br />
kiindul·si ·llapotba.<br />
(c) Egy anyag egy vagy tˆbb adott ·llapothat·rozÛra vonatkoztatva, azaz<br />
rÈszlegesen reverzibilis, ha az ˆsszes tˆbbi ·llapothat·rozÛt ·llandÛ ÈrtÈken<br />
tartva reverzibilis.<br />
A reverzibilit·s fogalm·t kˆnny˚ fÈlreÈrteni (Ès nehÈz pontosan kˆr¸lhat·rolni).<br />
Fontos, hogy nem folyamat, hanem anyagtulajdons·g az egyens˙lyis·ghoz hasonlÛan.<br />
Sokkal kˆnnyebben Èrthetı feltÈtelt jelent a kˆvetkezı kÈt tulajdons·g.<br />
(d) Az anyag disszipatÌv ñ ha az entrÛpiaprodukciÛja nagyobb, mint nulla.<br />
(e) Az anyag nem disszipatÌv ñ ha az entrÛpiaprodukciÛja nulla.<br />
Teh·t a disszipativit·s felfog·sunk szerint az anyag Ès nem a folyamat tulajdons·ga,<br />
b·r termÈszetesen mondhatn·nk, hogy egy disszipatÌv anyag folyamatai disszipatÌv<br />
folyamatok, de ez fÈlrevezetı lenne. Az entrÛpia nˆvekedÈsÈt a megfelelı<br />
anyagf¸ggvÈnyek biztosÌtj·k (pl. FOURIER-fÈle hıvezetÈsi tˆrvÈny pozitÌv (!) hıvezetÈsi<br />
egy¸tthatÛval).<br />
Az egyens˙lyis·g Ès reverzibilit·s f¸ggetlen fogalmak (m·sra is vonatkoznak), a<br />
reverzibilit·s Ès disszipativit·s nem az. Egy disszipatÌv anyag mindig irreverzibilis Ès<br />
egy reverzibilis sosem disszipatÌv.<br />
Fontos mÈg megemlÌteni, hogy nem minden disszipativit·s foghatÛ fel belsı<br />
energi·ra vonatkozÛ rÈszleges irreverzibilit·skÈnt.<br />
Mint arra fentebb utaltunk, a nemegyens˙lyis·g egyik form·ja a tehetetlensÈg. A<br />
tehetetlensÈg speci·lis memÛriatulajdons·g, az anyag pillanatnyi ·llapota f¸gg az<br />
elızıektıl. M·s irreverzibilit·sok (pl. k·rosod·s) is lehetnek memÛriaszer˚ek. Vannak<br />
reverzibilis memÛriahat·sok is. Ilyet mutatnak az emlÈkezı fÈmek speci·lis<br />
f·zis·talakul·sai.<br />
ANYAGOK ¡LLAPOT¡NAK OSZT¡LYOZ¡SA KONTINUUMMECHANIKAI (VAGY<br />
ANYAGSZERKEZETI) SZEMPONTB”L. Az anyagok ñ mindaddig, amÌg folytonoss·guk<br />
39
megmarad, vagyis a tˆnkremenetelig ñ vagy rugalmasak, vagy kÈplÈkenyek (Èrtve<br />
ezalatt, hogy a rugalmas alakv·ltoz·sok mellett megjelennek a maradÛ<br />
(visszafordÌthatatlan) deform·ciÛk is).<br />
tengelyir·ny˙ fesz¸ltsÈg<br />
40<br />
rugalmas<br />
zÛna<br />
kÈplÈkeny<br />
zÛna<br />
tengelyir·ny˙ deform·ciÛ<br />
1. ·bra<br />
tˆredezett<br />
anyag<br />
zÛn·ja<br />
Az 1. ·br·n egytengely˚<br />
terhelÈs esetÈre ·br·zoltuk<br />
azokat a hat·rolÛ gˆrbÈket,<br />
amelyeken bel¸l helyezkednek<br />
el a fesz¸ltsÈgñdeform·ciÛ-<br />
diagramok tetszıleges deform·ciÛsebessÈg<br />
esetÈn. Ekkor 4<br />
k¸lˆnbˆzı esetet k¸lˆnbˆztethet¸nk<br />
meg a tapasztalatnak<br />
megfelelıen. Ez az elızıekben<br />
felsorolt oszt·lyoz·soknak<br />
megfelelıen a kˆvetkezık:<br />
Rugalmas tartom·nyon bel¸l:<br />
1 - egyens˙lyi,<br />
reverzibilis,<br />
nemdisszipatÌv,<br />
2 - nemegyens˙lyi,<br />
irreverzibilis,<br />
disszipatÌv,<br />
A rugalmas tulajdons·gok ugr·sszer˚ megv·ltoz·sa jelzi a kÈplÈkeny zÛna hat·r·t.<br />
KÈplÈkeny tartom·nyon bel¸l:<br />
2<br />
1<br />
3 - egyens˙lyi, irreverzibilis, disszipatÌv,<br />
4 - nemegyens˙lyi, irreverzibilis, disszipatÌv.<br />
4<br />
3<br />
� - reverzibilis<br />
��� - irreverzibilis<br />
TOV¡BBI MEGJEGYZ…SEK. Az irodalomban azÈrt tal·lhatÛ sz·mos fÈlreÈrtÈs, mert<br />
azonos elnevezÈsekkel illetnek m·s Ès m·s fizikai tartalmakat. Teljesen nyilv·nvalÛ,<br />
hogy a reverzibilis (visszafordÌthatÛ) Ès az egyens˙lyi nem azonos tartalmat takar. De<br />
ekkor az irreverzibilis (visszafordÌthatatlan) Ès a nemegyens˙lyi sem lehet azonos, holott<br />
a szÛ jelentÈstanilag szinte ugyanazt fejezi ki. PÈld·ul a nemegyens˙lyi termodinamik·t<br />
Ès az irreverzibilis termodinamik·t egym·s szinonim·jakÈnt is haszn·lj·k. Klasszikus<br />
irreverzibilis termodinamik·nak azt az egyens˙lyi elmÈletet nevezik, amelyben csak<br />
disszip·ciÛbÛl sz·rmazik az irreverzibilit·s [DE GROOT ñ MAZUR, 1962]. A termosztatik·ban<br />
haszn·lt kv·zisztatikus folyamatok az egyens˙lyi anyagcsal·dokra utalnak, csak<br />
disszip·ciÛbÛl sz·rmazÛ irreverzibilit·ssal, ennek megfelelıen a klasszikus irreverzibilis<br />
termodinamika anyagcsal·djainak homogÈn testekre vonatkozÛ megfelelıi.
Teljesen form·lisan, az s entrÛpiaf¸ggvÈnyt szok·s kÈt k¸lˆnbˆzı f¸ggvÈny<br />
ˆsszegekÈnt felÌrni:<br />
[folyamatra vonatkozÛ feloszt·s]:<br />
rev<br />
irrev<br />
s � s � s ,<br />
egyens˙lyi<br />
nemegyens˙lyi<br />
[·llapotra vonatkozÛ feloszt·s]: s � s � s ,<br />
[mechanikai (anyagszerkezeti) feloszt·s]:<br />
rug<br />
kÈpl<br />
elast<br />
plast<br />
s � s � s : � s � s .<br />
Mindh·rom esetben meg kell hat·roznunk a feloszt·s kritÈrium·t. A v·ltozÛk pontos<br />
felÌr·s·val v·lnak csak ÈrtelmezhetıvÈ ezek a kijelentÈsek. Mint l·ttuk, folyamatokra Ès<br />
·llapotokra tˆrtÈnı hivatkoz·s anyagi tulajdons·gkÈnt Èrtelmezhetı. Ennek megfelelıen<br />
egyed¸l a m·sodik feloszt·s olyan, amelynek termÈszetes matematikai tartalom adhatÛ.<br />
Ugyanis dinamikai v·ltozÛk jelenlÈte (tehetetlensÈg) esetÈn az entrÛpia termÈszetes<br />
mÛdon szÈtbonthatÛ egyens˙lyi Ès nemegyens˙lyi rÈszre:<br />
egyens˙lyi nemegyens˙lyi<br />
s(<br />
a,<br />
b)<br />
� s ( a)<br />
� s ( a,<br />
b)<br />
,<br />
ahol a az egyens˙lyi, b pedig a dinamikai v·ltozÛkat jelˆli, Ès a nemegyens˙lyi rÈsz<br />
nemegyens˙lyi<br />
nulla akkor, ha a dinamikai v·ltozÛk null·k, azaz s ( a,<br />
0)<br />
� 0 . Ez a feloszt·s<br />
semmifÈle megszorÌt·st nem jelent az entrÛpiaf¸ggvÈnyre vonatkozÛan, csak a<br />
dinamikai ·llapothat·rozÛk alaptulajdons·g·t haszn·lja. ReolÛgiai hat·sok esetÈn m·r<br />
haszn·ltuk [V¡N ñ ASSZONYI 2006, 58. o.] Ès a tov·bbiakban is felhaszn·ljuk.<br />
A dinamikai v·ltozÛk hat·s·nak, illetve a nem disszipatÌv irreverzibilit·soknak az<br />
ÈszlelhetısÈge meghat·rozott feltÈtelekhez kˆtıdik. Ilyen pÈld·ul az ·llapotv·ltoz·s<br />
sebessÈge, k¸lsı hat·s nagys·ga. Teh·t az ·ltal·nosabb anyagcsal·d termÈszetes mÛdon<br />
Ès nemcsak elvi hat·resetkÈnt tartalmazhatja a speci·lisat. Ez a fejlıdÈsi egyenletekben<br />
megjelenı idısk·l·ktÛl, vagy/Ès a k¸lsı hat·sok erıssÈgÈtıl f¸gghet, anyagonkÈnt m·sm·s<br />
mÛdon.<br />
4. MECHANIKAI ¡LLAPOTHAT¡ROZ”K …S K…PL…KENYS…G<br />
A vÈges deform·ciÛs kÈplÈkenysÈgtan elsı elmÈletei a hatvanas-hetvenes<br />
Èvekben sz¸lettek, miut·n a vÈges deform·ciÛs rugalmass·gtan tudom·nya eljutott<br />
bizonyos ÈrettsÈgi fokra. H·rom-nÈgy Èvtizeddel ezut·n m·ig sincs egyetlen<br />
·ltal·nosan elfogadott elmÈlet. BERTRAM a kˆvetkezıkÈppen jellemzi a helyzetet:<br />
ìA vÈges kÈplÈkenysÈgelmÈletek egyik alapvetı problÈm·ja a belsı v·ltozÛk<br />
definÌciÛja, Ès k¸lˆnˆsen a kÈplÈkeny vagy inelasztikus alakv·ltoz·sÈ. Hab·r a<br />
kÈplÈkeny deform·ciÛ kifejezÈs meglehetısen szok·sosnak t˚nik a mÈrnˆki<br />
41
42<br />
irodalomban, kider¸l, hogy nagy deform·ciÛk esetÈn meghat·roz·sa rendkÌv¸l<br />
bonyolult.î [BERTRAM, 2005, 249. o., kiemelÈs a szerzıtıl].<br />
Nincs sem elmÈleti, sem kÌsÈrleti ·ltal·nos szab·ly arra, hogyan k¸lˆnÌts¸k el a<br />
kettıt. A problÈma nehÈzsÈgÈt jÛl szemlÈlteti az (1) alatti<br />
H � H<br />
t<br />
plast<br />
t<br />
multiplikatÌv ˆsszef¸ggÈs. EmlÈkezz¸nk ugyanis arra, hogy a mozg·sgradiens a<br />
mozg·sf¸ggvÈny adott referenciakonfigur·ciÛn Èrtelmezett deriv·ltja. Viszont<br />
ak·rmilyen valÛdi vagy elkÈpzelt mozg·st (elmozdul·st) bontunk kÈt rÈszre, az additÌv<br />
lesz, a fenti multiplikatÌv ˆsszef¸ggÈs csak a referenciakonfigur·ciÛ v·ltoz·sakÈnt, az<br />
ˆsszetett f¸ggvÈnyek deriv·l·si szab·lya alapj·n Èrtelmezhetı:<br />
plast<br />
t<br />
elast<br />
t<br />
plast<br />
t<br />
elast<br />
t<br />
elast<br />
t<br />
�˜<br />
( ˜ ( R))<br />
�˜<br />
elast �˜<br />
plast elast<br />
H t ( R)<br />
� � ( ˜ t ( R))<br />
( R)<br />
� Ht<br />
Ht<br />
.<br />
�R<br />
�˜<br />
�R<br />
A referenciahelyzet ilyen felbont·s ut·n azonban tˆbbÈ nem reprezent·lja az<br />
anyagot, az elızı fejezetben elmondottak ÈrvÈny¸ket veszÌtik. B·rmilyen alakv·ltoz·s ñ<br />
azaz egy geometriailag meghat·rozott mennyisÈg ñ ·llapothat·rozÛkÈnt tˆrtÈnı<br />
bevezetÈse ehhez hasonlÛ problÈm·kat eredmÈnyez.<br />
Az al·bbiakban amellett Èrvel¸nk, hogy a kÈplÈkenysÈgnek a mozg·shoz tˆrtÈnı<br />
lekˆtÈsÈre nincs sz¸ksÈg. A l·tszat itt is elfedi a lÈnyeget, a kÈplÈkenysÈg, amit<br />
alakv·ltoz·son kereszt¸l Èszlel¸nk, anyagszerkezeti okokra vezethetı vissza. Ha a<br />
kÈplÈkenysÈgi feltÈtelt fizikailag sokkal termÈszetesebb mÛdon munka-alap˙nak<br />
tÈtelezz¸k fel ñ eset¸nkben konkrÈtan a deform·ciÛs munkavÈgzÈshez kˆtj¸k ñ, akkor<br />
egy megfelelı termodinamikai keretelmÈletben a rugalmas Ès kÈplÈkeny alakv·ltoz·sok<br />
termÈszetes mÛdon Èrtelmezhetıek Ès sz·rmaztathatÛak. R·ad·sul a kÈplÈkenysÈg<br />
ebben az esetben egysÈges mÛdon kezelhetı a tˆbbi termodinamikai kˆlcsˆnhat·ssal,<br />
ami lehetıvÈ teszi, hogy a rugalmass·g v·ltoz·sainak k¸lˆnfÈle okait egyszer˚en<br />
elk¸lˆnÌts¸k. K¸lˆnˆsen fontos ez a reolÛgia folyamatokhoz tˆrtÈnı termÈszetes<br />
csatolÛd·s miatt.<br />
Tekints¸k a legegyszer˚bb ide·lis kÈplÈkenysÈg esetÈt, amikor � ( Ft<br />
) csak az Ft<br />
fesz¸ltsÈg f¸ggvÈnye. Hol vannak ebben az ·ltal·nos leÌrÛ keretben a fizikai feltevÈsek?<br />
Elıszˆr is vegy¸k Èszre, hogy hab·r a kÈplÈkenysÈgi hat·rt kijelˆlı f¸ggvÈny csak a<br />
fesz¸ltsÈgtıl f¸gg, komplementer mÛdon meg szok·s adni alakv·ltoz·stÛl<br />
(mozg·sgradienstıl) f¸ggı du·lis v·ltozat·t is, pÈld·ul à ( t ) A � form·ban. AmÌg ez a<br />
f¸ggvÈny a rugalmas tartom·ny hat·r·t jelˆli ki, addig lÈnyegÈben mindegy, melyik utat<br />
j·rjuk, mert a F t ( A t ) rugalmas anyagtˆrvÈny miatt a v·ltozÛcsere ·ltal·ban egyÈrtelm˚.<br />
Viszont a v·ltozÛ megv·laszt·sa nem tetszıleges, a dualit·snak szigor˙ feltÈtelei<br />
vannak, ezÈrt valamilyen fizikai feltÈtelt kell keresn¸nk. A valÛs·gban, illetve az<br />
·ltalunk vizsg·lt ·ltal·nosabb, az idıbeli v·ltoz·sokat is tekintetbe vevı nemegyens˙lyi<br />
keretek kˆzˆtt is, nem feltÈtlen¸l a rugalmas tartom·nybÛl jutunk a kÈplÈkeny<br />
H<br />
elast<br />
t
tartom·ny hat·r·ra. Ugyanis a reolÛgiai viselkedÈsnek nincsenek a kÈplÈkenysÈghez<br />
hasonlÛ Ñtartom·nyaiî.<br />
Amikor az anyag kÈplÈkeny, Ès egy˙ttal a mechanikai viselkedÈsÈt a terhelÈs<br />
sebessÈge jelentısen befoly·solja, akkor a kÈplÈkenysÈgi hat·r nemcsak a fesz¸ltsÈgtıl,<br />
hanem a deform·ciÛtÛl Ès ezek idıderiv·ltjaitÛl is f¸gg, teh·t legal·bbis<br />
alak˙.<br />
�<br />
� f<br />
i<br />
� f<br />
2<br />
�<br />
1<br />
f<br />
� f 0<br />
� f<br />
0<br />
�<br />
�<br />
�<br />
f<br />
�<br />
i<br />
f<br />
�� � �<br />
�<br />
2<br />
f<br />
1 �<br />
�<br />
f<br />
�<br />
univ<br />
( F , F�<br />
, H , H�<br />
) � 0<br />
0 � �� � const � �<br />
0<br />
f<br />
t<br />
t<br />
t<br />
t<br />
Azonban egy ilyen<br />
f¸ggvÈnykapcsolat empirikus kijelˆlÈse<br />
egy·ltal·n nem vil·gos egy, a jelensÈgeket<br />
tiszt·n szÈtv·lasztÛ elmÈlet<br />
nÈlk¸l. A<br />
� ( F ) � 0<br />
t<br />
kritÈrium v·ltozÛj·nak kiv·laszt·sa<br />
azt a fizikai elkÈpzelÈst t¸krˆzi, hogy<br />
az anyag kÈplÈkeny viselkedÈse,<br />
vagyis belsı szerkezetÈnek ·trendezıdÈse<br />
valamilyen kritikus<br />
fesz¸ltsÈg hat·s·ra kˆvetkezik be. A<br />
fenti ·ltal·nosabb ˆsszef¸ggÈs azt<br />
mutatja, hogy ez az egyszer˚ fizikai<br />
kÈp nem tarthatÛ, a fesz¸ltsÈg<br />
ˆnmag·ban csak speci·lis esetekben<br />
szolg·ltat jÛ kÈplÈkenysÈgi feltÈtelt. A<br />
sematikus 2. ·bra mutatja, hogy a kÈplÈkenysÈgi hat·r jelentısen f¸gg a terhelÈs<br />
sebessÈgÈtıl is. Viszont ˙jabb, ( F , F ) � 0 � � jelleg˚ kÈplÈkenysÈgi feltÈtel empirikus<br />
˙j<br />
�� � 0<br />
KÈplÈkenysÈgi hat·r<br />
2. ·bra. A kÈplÈkenysÈgi hat·rfeltÈtel<br />
egytengely˚ nyomÛkÌsÈrlet alapj·n, k¸lˆnbˆzı<br />
·llandÛ deform·ciÛsebessÈg˚ mÈrÈseknÈl<br />
t<br />
t<br />
�<br />
elıÌr·sa ñ hab·r kÈzenfekvınek t˚nik ñ de egyrÈszt semmit nem magyar·z meg a<br />
jelensÈgbıl, m·srÈszt hamis eredmÈnyre vezethet. PÈld·ul azÈrt, mert objektivit·si Ès a<br />
termodinamika m·sodik fıtÈtelÈbıl eredı megszorÌt·sokat is figyelembe kell venn¸nk.<br />
Viszont van olyan fizikai mennyisÈg¸nk, amely mindezeket a hat·sokat kÈpes<br />
figyelembe venni Ès fizikailag is plauzibilis, r·ad·sul speci·lis esetkÈnt tartalmazza a<br />
hagyom·nyost. Tegy¸k fel ugyanis, hogy a kÈplÈkenysÈgi hat·r az anyaggal kˆzˆlt<br />
munk·tÛl, illetve teljesÌtmÈnytıl f¸gg. Ez egy fizikailag tiszta feltÈtel, rugalmaskÈplÈkeny<br />
anyag esetÈn egyenÈrtÈk˚ csak a fesz¸ltsÈget, vagy csak a deform·ciÛt<br />
bevezetı feltÈtelekkel. De pontosan mi lehet a kÈplÈkenysÈgi feltÈtel? Munka vagy a<br />
teljesÌtmÈny, rugalmas munka, plasztikus munka, vagy valami m·s? Ez egy tapasztalati<br />
kÈrdÈs, de a tapasztalatot egy elmÈletbe ·gyazottan ÈrtÈkelj¸k. Jelen esetben nagyon<br />
43
lÈnyeges, hogy ezeket az elkÈpzelÈseket ne a sz·rmaztatott anyagf¸ggvÈnyekbe, hanem<br />
kˆzvetlen¸l az entrÛpi·ba ÈpÌts¸k be. Ez a feltÈtel pedig kit¸nteti a deform·ciÛs<br />
munk·t, mint legegyszer˚bb lehetısÈget az ˆsszes tˆbbi lehetsÈges v·laszt·s kˆz¸l.<br />
Ennek megfelelıen a tov·bbiakban azzal a feltevÈssel Èl¸nk, hogy a plaszticit·si hat·r<br />
elÈrÈse az anyagon vÈgzett W deform·ciÛs munk·tÛl, illetve a P deform·ciÛs<br />
�1<br />
teljesÌtmÈnytıl f¸gg ( P W�<br />
� F : H�<br />
H ).<br />
44<br />
� t t t<br />
A v·ltozÛk kijelˆlÈsÈn t˙lmenıen a m·sik lÈnyeges fizikai kÈrdÈs a kÈplÈkenysÈgi<br />
hat·r eredete. KˆvetkezmÈnye valamilyen szerkezeti, fizikai elkÈpzelÈsnek (pl.<br />
f·zishat·r, mint a k·rosod·si fel¸let lehet [V¡N, 2001], vagy az anyag belsı mozg·sai<br />
miatti stabilit·svesztÈskÈnt Èrtelmezhetı [VERH¡S, 1985]), vagy az elmÈlet f¸ggetlen,<br />
azaz kÈzzel elıÌrt, kÌsÈrletileg meghat·rozandÛ alapfeltevÈse, mint a � ( F ) � 0<br />
klasszikus modellben. MindkÈt esetben a v·ltoz·sok egyir·ny˙s·g·t, irreverzibilit·st<br />
tekintetbe vevı elmÈletet kell alkotnunk. Ennek megfelelıen a termodinamika II.<br />
fıtÈtelÈnek pontos ÈrtelmezÈse Ès bevezetÈse a kÈplÈkenysÈgtanban sem mellızhetı.<br />
JÛl ismert, hogy a kÈplÈkenysÈgi hat·r, illetve a kÈplÈkeny alakv·ltoz·sra jellemzı<br />
foly·si tˆrvÈny tulajdons·gai a m·sodik fıtÈtellel szoros kapcsolatban vannak. PÈld·ul<br />
KESTIN Ès RICE klasszikus munk·i Ûta a kÈplÈkenysÈget termodinamikai belsı v·ltozÛk<br />
megjelenÈsÈhez kˆtj¸k (diszlok·ciÛk mozg·sa) (l·sd pÈld·ul [MAUGIN, 1999]). Ilyen<br />
mÛdon pÈld·ul a normalit·si szab·lyt a II. fıtÈtel kˆvetkezmÈnyekÈnt kaphatjuk [RICE,<br />
1971]. A legegyszer˚bb ilyen elmÈlet a kÈplÈkeny alakv·ltoz·st vezeti be az entrÛpia<br />
f¸ggvÈny v·ltozÛjakÈnt, Ès ebbıl von le kˆvetkeztetÈseket. Mi a kÈplÈkeny<br />
alakv·ltoz·st magyar·zandÛ tÈnynek tekintj¸k Ès helyette a kÈplÈkenysÈgi hat·rt<br />
meghat·rozÛ munkavÈgzÈst ÈpÌtj¸k be az elmÈletbe.<br />
Ennek megfelelıen az entrÛpia a kˆvetkezı v·ltozÛk f¸ggvÈnye lesz<br />
- a belsıenergia-s˚r˚sÈg [e],<br />
- mozg·sgradiens [H], illetve speci·lisan lehet valamelyik m·s belsı elmozdul·s<br />
mÈrtÈk is (pl. alakv·ltoz·s [A], vagy deform·ciÛ [D]),<br />
- a tÈrfogategysÈgre jutÛ deform·ciÛs munka [W],<br />
teh·t elvben<br />
(3) s s�e,<br />
H,<br />
W �<br />
� .<br />
Mivel az anyagmennyisÈg v·ltoz·s·val kapcsolatos jelensÈgek (diff˙ziÛ,<br />
f·zis·talakul·s, stbÖ), azaz az anyagi kˆlcsˆnhat·s nem szerepel a leÌr·sunkban, ezÈrt a<br />
� tˆmegs˚r˚sÈg v·ltoz·sa kiz·rÛlag a tÈrfogatv·ltoz·shoz kˆthetı, nem f¸ggetlen a<br />
mozg·sgradienstıl, nem lehet f¸ggetlen v·ltozÛja az entrÛpiaf¸ggvÈnynek.<br />
t
A K…PL…KENYS…GI HAT¡RFELT…TEL. Ennek bevezetÈse a HEAVISIDE-fÈle<br />
ugr·sf¸ggvÈnnyel tˆrtÈnik, annak megfelelıen, hogy a kÈplÈkenysÈgi hat·r az az<br />
elv·lasztÛ fel¸let, amelyiknek egyik oldal·n a rugalmas deform·ciÛk mellett mÈg<br />
nincsenek maradÛ deform·ciÛk, a m·sik oldal·n pedig megjelennek ezek a<br />
visszafordÌthatatlan deform·ciÛk.<br />
0<br />
s ij<br />
3<br />
1<br />
5<br />
Ez a kÈplÈkenysÈgi<br />
hat·rfeltÈtel termÈszetes<br />
definÌciÛja. Azonban a<br />
szok·sos megkˆzelÌtÈssel<br />
ellentÈtben mÈgsem bontjuk<br />
fel az alakv·ltoz·st<br />
kÈplÈkeny Ès rugalmas<br />
rÈszre.<br />
Sz·mos jelensÈg mutatja,<br />
hogy a kÈplÈkenysÈgi hat·r<br />
sem a fesz¸ltsÈgektıl, sem<br />
az alakv·ltoz·stÛl nem<br />
f¸gghet ˆnmag·ban, csup·n<br />
az ˆsszetartozÛ fesz¸ltsÈgek-<br />
tıl Ès deform·ciÛktÛl egy¸ttesen. ArrÛl a kˆzismert tÈnyrıl nem is beszÈlve, hogy a<br />
foly·s hat·r mÈg v·ndorol is, ugyanis az anyag ·ltal a m˙ltban elszenvedett hat·soknak<br />
is a f¸ggvÈnye, mint azt a 3. ·bra mutatja. Ha klasszikus felfog·sban ñ egy adott<br />
szitu·ciÛban ñ a kÈplÈkenysÈgi hat·rhoz tartozÛ ÈrtÈket { � f , � f }-vel jelˆlj¸k<br />
mikˆzben a terhelÈssel tov·bbhaladtunk, majd az ismÈtelt felterhelÈsnÈl a kÈplÈkenysÈgi<br />
k¸szˆb az elızı ÈrtÈk maximuma lesz: { � f , � f }, Ès Ìgy tov·bb. Vagyis egy adott<br />
szitu·ciÛn·l (pl. egyenletes sebessÈg˚ felterhelÈs- Ès leterhelÈs sorozat) a k¸szˆbÈrtÈkek<br />
egy monoton nˆvekvı sorozatot alkotnak:<br />
( 1)<br />
( 1)<br />
( 2)<br />
( 2)<br />
( 2)<br />
( 2)<br />
( i)<br />
( i)<br />
( 1)<br />
{ � f , � f } � { � f , � f } � Ö�{ � f , � f }� Ö<br />
Ez azt mutatja, hogy az anyag (minden anyag) memÛri·val rendelkezik, s a mai t *<br />
idıpillanatban a kÈplÈkenysÈgi k¸szˆb ˆsszetartozÛ fesz¸ltsÈg-deform·ciÛ ÈrtÈke:<br />
*<br />
���t�t<br />
�� � � � �t ��<br />
� � f , � �<br />
�<br />
f M a x f t ,<br />
* * � �<br />
f .<br />
� t�t<br />
t�t<br />
�<br />
Az ·ltal·nosabb munkafelfog·sban felÌrva<br />
2<br />
3 ·bra<br />
4<br />
KÈplÈkenysÈgi<br />
hat·r<br />
eij<br />
�W �t�� W f M a x f<br />
*<br />
���t�t<br />
� .<br />
( 1)<br />
45
M·r most lerˆgzÌtj¸k, hogy a kˆvetkezıkben a W teljes deform·ciÛs munk·t<br />
vessz¸k, holott tiszt·ban vagyunk azzal, hogy a W felbonthatÛ: Wí torzul·si Ès Wo<br />
tÈrfogatv·ltoz·si munka ˆsszegÈre, valamint � rugalmas (potenci·los) Ès L<br />
disszip·ciÛs munka ˆsszegÈre is. Ennek a kÈrdÈsnek a lÈnyegÈvel a 8. fejezetben<br />
foglalkozunk.<br />
46<br />
Az elıbbi indokoknak megfelelıen tegy¸k fel, hogy a hat·rf¸ggvÈny csak a<br />
munk·tÛl f¸gg [ � �W �<br />
� � ]. Ezt a 3. ·br·n a gˆrbÈk alatti ter¸letek (mint a munk·val<br />
ar·nyos ÈrtÈkek) is szemlÈletesen mutatj·k.<br />
Teh·t az entrÛpiaf¸ggvÈny<br />
(3a) s � s�e,<br />
H,<br />
� �W ��<br />
alak˙.<br />
0<br />
� (W )<br />
rugalmas<br />
zÛna<br />
Wf<br />
4. ·bra<br />
kÈplÈkeny<br />
zÛna<br />
W<br />
A � �W � f¸ggvÈny azt a fizikai kÈpet fejezi ki, hogy<br />
bizonyos kritikus W f munkamennyisÈgnÈl tˆbbet az<br />
anyag nem kÈpes szerkezeti v·ltoz·sok nÈlk¸l felvenni,<br />
Ès ekkor a rugalmass·gi zÛn·ban ÈrvÈnyes<br />
tulajdons·gai (a rugalmas Ès reolÛgiai anyag·llandÛk<br />
ÈrtÈkei)<br />
megv·ltoznak.<br />
Mivel a � (W ) ñt<br />
az entrÛpia v·ltozÛjakÈnt kÌv·njuk bevezetni, teh·t<br />
olyannak kell lennie, amely a rugalmas zÛn·ban<br />
nem okoz v·ltoz·st az entrÛpi·ban. EzÈrt olyan<br />
speci·lis ~ � ( W ) f¸ggvÈnyt kell alapul venni, a mely<br />
a rugalmas zÛn·ban vÈgig ·llandÛ. Az a kÈt feltÈtel,<br />
hogy a � f¸ggvÈny a W = 0 helyen, Ès a W = Wf<br />
helyen egyar·nt zÈrus legyen, tov·bb· e kÈt ÈrtÈk<br />
kˆzˆtt pedig ·llandÛ legyen, az eredmÈnyezi, hogy<br />
a rugalmas zÛn·ban � ~ vÈgig nulla legyen (5. ·bra).<br />
Ha a � f¸ggvÈny a kÈplÈkenysÈgi hat·rfeltÈtelt reprezent·lja, akkor ÈrtÈkÈnek a<br />
rugalmas tartom·nyban zÈrusnak kell lennie, s ezt ide·lis esetben a HEAVISIDE-fÈle<br />
egysÈgugr·s-f¸ggvÈnnyel Ìrjuk le:<br />
�<br />
H<br />
( W �W<br />
f<br />
� 0,<br />
) � �<br />
�<br />
1,<br />
ha<br />
ha<br />
W � W<br />
f<br />
W � W<br />
Ez a kifejezÈs azonban mÈg tov·bbi pontosÌt·sra szorul. A 3. ·br·bÛl is l·thatÛ, de<br />
k¸lˆnben is kˆztudott, hogy ha terhelÈsnÈl ·tlÈpt¸k a foly·shat·rt, majd tehermentesÌtÈst<br />
hajtunk vÈgre, akkor az anyag a Ñvissza˙tî sor·n a rugalmas anyagtˆrvÈnynek<br />
0<br />
� ~<br />
rugalmas<br />
zÛna<br />
f<br />
,<br />
.<br />
Wf<br />
kÈplÈkeny<br />
zÛna<br />
� �W � ~<br />
5. ·bra<br />
W
megfelelıen viselkedik. Ennek az ˆsszef¸ggÈseinkben kifejezÈsre kell jutniuk. ÑOda˙tî<br />
sor·n az anyaggal kˆzˆlt munka nˆvekszik: �W teh·t pozitÌv ( W � 0 � ), mÌg a vissza˙tn·l<br />
�W negatÌv ( W � 0 � ):<br />
�<br />
� 0,<br />
( W�<br />
) � �<br />
� 1,<br />
Ennek megfelelıen a korrekt ˆsszef¸ggÈs:<br />
� � �<br />
ha<br />
ha<br />
W�<br />
H �<br />
�<br />
�W , W�<br />
�� � �W �W<br />
�� �W� f H �� �<br />
��<br />
� 0,<br />
W<br />
ha<br />
�<br />
�<br />
0,<br />
0.<br />
W � W<br />
,<br />
vagy<br />
f<br />
H<br />
1,<br />
ha W � W f , Ès �<br />
W�<br />
� 0,<br />
W � 0.<br />
Itt a � f¸ggvÈnyrıl feltÈtelezt¸k a � �W � � 0 tulajdons·got. Teh·t kÈt gondolat<br />
ˆsszevetÈsÈbıl, miszerint az egysÈgugr·sra sz¸ksÈg van az alakv·ltoz·sokn·l, de akkor<br />
a kÈplÈkenysÈgi hat·rfeltÈtelt is ez kapcsolja az entrÛpi·hoz, a kÈplÈkenysÈgi hat·r<br />
megad·s·t cÈlszer˚en egyesÌthetj¸k a kÈplÈkeny ·llapot egy ·ltal·nosÌtott megad·s·val.<br />
f¸ggvÈnyt, Ès ennek segÌtsÈgÈvel a<br />
~ � �<br />
W<br />
(4) � ( W ) : ��W<br />
, W � � ( W ) � � ��<br />
( )<br />
alakba Ìrjuk elv·r·sainkat.<br />
A kÈsıbbiekben l·tni fogjuk, hogy m·r ebbıl az egyszer˚nek t˚nı feltevÈsbıl is<br />
kˆvetkezik a maradÛ alakv·ltoz·sok megjelenÈse.<br />
5. NEMEGYENS⁄LYI K÷ZEG ñ ¡LTAL¡NOS REOL”GIAI-PLASZTIKUS VISELKED…S<br />
V…GES DEFORM¡CI”K ESET…N<br />
DINAMIKAI ¡LLAPOTHAT¡ROZ”. Az ·llapothat·rozÛk ÈrtÈke az idı f¸ggvÈnyÈben<br />
v·ltozik, azonban nem ak·rmilyen mÛdon, hanem mindig a m·sodik fıtÈtel ·ltal<br />
megszabott p·ly·n, oly mÛdon, hogy a folyamat ir·nya a teljes termodinamikai<br />
egyens˙ly ñ a kiegyenlÌtıdÈs ñ felÈ mutat. Az egyens˙lyi kˆzegmodellen dinamikai<br />
v·ltozÛk bevezetÈsÈvel lÈphet¸nk t˙l. Az egyens˙lyi kˆzegmodelltıl valÛ eltÈrÈst egy Ó<br />
dinamikai ·llapothat·rozÛval jellemezz¸k (vagyis olyan v·ltozÛval, melynek ÈrtÈke<br />
termodinamikai egyens˙lyban zÈrus). A Ó v·ltozÛ egyesek szerint a<br />
mikrotulajdons·gok makroszkopikus (fenomenologikus) hat·s·t jelenÌti meg. Mi a<br />
v·ltozÛ mikroszkopikus ÈrtelmezÈsÈvel nem foglalkozunk, csak a termodinamika<br />
·ltal·nos elveibıl vonunk le kˆvetkeztetÈseket, ez·ltal nyitva hagyva a lehetısÈget<br />
tˆbbfÈle mikroszkopikus ÈrtelmezÈsnek Ès mechanizmusnak. Mivel a tov·bbiakban a<br />
dinamikai v·ltozÛt kik¸szˆbˆlj¸k az egyenletekbıl, ezÈrt valÛj·ban a speci·lis<br />
mikroszkÛpikus ÈrtelmezÈsek legfeljebb a megfelelı anyagi paramÈterek<br />
f<br />
47
meghat·roz·s·t eredmÈnyezhetik. A dinamikai ·llapothat·rozÛkat [VERH¡S 1986]<br />
dinamikai szabads·gfoknak nevezi.<br />
48<br />
A Ó v·ltozÛra vonatkozÛ fejlıdÈsi egyenletet nem ismerj¸k, annak form·j·ra a<br />
m·sodik fıtÈtelbıl fogunk megszorÌt·sokat kapni. Milyen v·ltozÛ lehet ez a Ó ?<br />
Tenzori rangja elvben b·rmilyen lehetne, de mivel a mechanikai hat·sokra vonatkozÛ<br />
nemegyens˙lyi tulajdons·gokat modellezz¸k vele, m·sodrend˚ tenzornak tekintj¸k.<br />
Ilyen mÛdon izotrÛp anyagok viselkedÈsÈt is Èszlelhetıen befoly·solja, mert ekkor is<br />
csatolÛdhat a mozg·sgradienshez.<br />
Az entrÛpiaf¸ggvÈnyt a kˆvetkezı form·ban Ìrjuk:<br />
~ � � ����<br />
� ��� �� �<br />
egyens˙lyi nemegyens˙lyi<br />
(5) s�e,<br />
H, �W �,<br />
Ó�<br />
� s � s � ~ s �e, H,<br />
� �W ��<br />
� 1 Ó : Ó.<br />
~ s<br />
A kvadratikus forma az elv·rt termodinamikai stabilit·snak (entrÛpia konk·vit·s) Ès<br />
annak kˆvetkezmÈnye, hogy Ó dinamikai v·ltozÛ, azaz teljes termodinamikai<br />
egyens˙lyban nulla. Ekkor a fenti f¸ggvÈnynek minimuma van a dinamikai v·ltozÛban,<br />
azaz az ·llapottÈr Ó -hez tartozÛ nemegyens˙lyi rÈszÈn. A MORSE-lemma biztosÌtja,<br />
hogy a fenti egyszer˚ forma egyben ·ltal·nos reprezent·ciÛ is [VERH¡S 1986]. KonkrÈt<br />
mikroszkopikus modellek esetÈn nem tekinthetnÈnk el a tehetetlensÈg mÈrtÈkÈnek<br />
jellemzÈsÈtıl, azaz a megfelelı termodinamikai induktivit·sok bevezetÈsÈtıl, ami<br />
matematikailag az entrÛpiaf¸ggvÈny LAGRANGE-fÈle kˆzÈpÈrtÈktÈtel szerinti ·ltal·nos,<br />
vagy Ó szerinti TAYLOR-sorba fejtÈsÈnek megfelelı speci·lis form·j·t jelenti (teh·t (5)-<br />
1 ben Ó : Ó helyett ÓMÓ<br />
2<br />
�s<br />
1<br />
2 ·llhat, ahol M a termodinamikai induktivit·sok m·trixa).<br />
6. AZ ENTR”PIA M…RLEGE<br />
Az elızı fejezet entrÛpiamÈrlegre vezetı gondolatmenetÈt megismÈtelhetj¸k,<br />
figyelembe vÈve a f¸ggvÈny ˙jabb v·ltozÛit is. Most is a hagyom·nyos LAGRANGEform·t<br />
haszn·ljuk,<br />
ds<br />
� � � � j s � � s � 0 .<br />
dt<br />
Az (5) fajlagos entrÛpia szubsztanci·lis idıderiv·ltj·t kisz·molva kapjuk, hogy<br />
~<br />
2
(6)<br />
� s�<br />
�e, H,<br />
� �W �,<br />
Ó�<br />
d<br />
� �<br />
dt<br />
1<br />
� �<br />
T<br />
� �� �<br />
�s<br />
�s<br />
: H�<br />
�s<br />
~ � �s<br />
� � e�<br />
� � � � ~ � � � : Ó�<br />
�<br />
�e<br />
�H<br />
��<br />
�Ó<br />
�~<br />
s �~<br />
s ~ ~<br />
: H�<br />
�s<br />
d�<br />
� � e�<br />
� � � � ~ W�<br />
� �Ó<br />
: Ó�<br />
2 �e<br />
�H<br />
��<br />
dW<br />
�~<br />
s ~ ~<br />
1<br />
: H�<br />
�s<br />
d�<br />
� � ~ F : H�<br />
�<br />
H � �Ó<br />
: Ó�<br />
q � �<br />
�<br />
�H<br />
��<br />
dW<br />
1 1<br />
~ ~<br />
1<br />
1<br />
j F : H�<br />
� �s<br />
H � : H�<br />
�s<br />
� � � �<br />
� � � F : H�<br />
�<br />
H � �Ó<br />
: Ó�<br />
q<br />
.<br />
T T<br />
�H<br />
�W<br />
�~ s � 1 Ó : Ó�<br />
�� � j � F : v � ��<br />
j<br />
q<br />
T<br />
Itt felhaszn·ltuk az elsı fejezetben tal·lhatÛ energiamÈrleg LAGRANGE-form·j·t. A<br />
hımÈrsÈkletet reciproka most is az entrÛpia belsı energia szerinti deriv·ltja:<br />
(7)<br />
1 �s<br />
�~<br />
s<br />
� � .<br />
T �e<br />
�e<br />
�1<br />
Felhaszn·ltuk tov·bb· a rugalmas teljesÌtmÈny definÌciÛj·t, � F : HH<br />
� � W form·ban.<br />
Legyen az entrÛpia fluxusa a szok·sos mÛdon a hı·rams˚r˚sÈg Ès a hımÈrsÈklet<br />
h·nyadosa, azaz<br />
(8)<br />
jq<br />
js � .<br />
T<br />
Ekkor a fenti (6) sz·mÌt·sbÛl kapjuk az entrÛpiaprodukciÛt:<br />
(9)<br />
� � j<br />
s<br />
q<br />
� �<br />
1 1 �<br />
~<br />
~<br />
�1<br />
� �1<br />
�<br />
�1<br />
�<br />
� �F<br />
: H�<br />
s<br />
H � H : H�<br />
s<br />
�T<br />
H � �T<br />
F : H�<br />
H � � �Ó<br />
: Ó�<br />
�<br />
T T �<br />
�H<br />
�W<br />
�<br />
1 1 ��<br />
�~<br />
s � �~<br />
s � �1<br />
j � � � �� �1<br />
� � �F<br />
� � H �� : H�<br />
H � �Ó<br />
: Ó�<br />
q<br />
T T<br />
� 0.<br />
T T ��<br />
�W<br />
� �H<br />
�<br />
Ez az egyenlıtlensÈg a tov·bbi vizsg·lÛd·saink kiindulÛpontja, a mechanikai<br />
kontinuumok anyagtˆrvÈnyeinek meghat·roz·s·nak alapja.<br />
7. ¡LTAL¡NOS ANYAGF‹GGV…NYEK<br />
A (9) egyenlıtlensÈgben az alap-·llapothat·rozÛk az e belsı energia, a H<br />
mozg·sgradiens Ès a Ó dinamikai v·ltozÛ. Az anyagf¸ggvÈnyek, azaz a q j<br />
hı·rams˚r˚sÈg Ès az F fesz¸ltsÈg ezektıl a mennyisÈgektıl Ès deriv·ltjaiktÛl f¸ggenek.<br />
A belsı v·ltozÛ fejlıdÈsi egyenlete nem ismert, de ·ltal·ban a kˆvetkezı form·j˙ lehet:<br />
(10) Ó� � G(<br />
e, H,<br />
Ó,<br />
W ) ,<br />
49
ahol G f¸gghet az argumentum·ban szereplı v·ltozÛk meghat·rozott tÈr- Ès<br />
idıderiv·ltjaitÛl is, a tekintetbe vett anyagcsal·dnak megfelelıen. Ugyanilyen<br />
Èrtelemben anyagf¸ggvÈnyek a fesz¸ltsÈg Ès a hı·ram is (azaz tulajdonkÈppen nem<br />
egyszer˚ f¸ggvÈnyek, hanem differenci·loper·torok). Ha a munka integr·lis felÌr·si<br />
�1<br />
mÛdj·t is figyelembe vessz¸k: W � � F : HH<br />
dt � , akkor l·tjuk, hogy az<br />
anyagf¸ggvÈnyek mÈg bonyolultabban is ˆsszef¸ggenek. A tov·bbiakban alkalmas<br />
egyszer˚sÌtÈsekkel el fogjuk ker¸lni az ebbıl adÛdÛ formai Ès matematikai<br />
komplik·ciÛkat. Ha a fenti (7) form·ban megadott hımÈrsÈklet f¸ggetlen a munk·tÛl,<br />
akkor (9) egyes tagjaiban termodinamikai erıket Ès ·ramokat azonosÌthatunk annak<br />
megfelelıen, hogy a termodinamikai erık az ·llapothat·rozÛk adott f¸ggvÈnyei, a<br />
termodinamikai ·ramok pedig mindig tartalmaznak anyagf¸ggvÈnyeket, amelyek<br />
form·j·ra ad megszorÌt·st a (9) egyenlıtlensÈg. Teh·t a (9) entrÛpiaprodukciÛban a<br />
termodinamikai erık [Xi] Ès termodinamikai ·ramok [Ji] k¸lˆn¸lnek el:<br />
(11) X iJ i � 0 ,<br />
50<br />
3<br />
�<br />
i�1<br />
azaz eset¸nkben a kˆvetkezı erı-·ram rendszert javasolhatjuk:<br />
Termikus<br />
Mechanikai<br />
( v<br />
Erı ¡ram<br />
1<br />
�<br />
T<br />
q j<br />
�1<br />
� �) � H�<br />
� H<br />
�� 1 ��<br />
�~<br />
s � �~<br />
s �<br />
�� �1<br />
� � T �F<br />
� �TH<br />
T ��<br />
�W<br />
� �H<br />
�<br />
ReolÛgiai � Ó<br />
G<br />
Vegy¸k Èszre, hogy a fenti erı-·ram-kÈpbıl anyagtˆrvÈnyt ˙gy kaphatunk, ha<br />
feltÈtelezz¸k, hogy az ·ramok az erıkkel ar·nyosak, azaz ÈrvÈnyesek az ˙n. vezetÈsi<br />
egyenletek a kˆvetkezı form·ban:<br />
(12)<br />
�<br />
�<br />
� 1 ��<br />
� �� �1<br />
T<br />
�<br />
�<br />
��<br />
�<br />
jq<br />
� � 1<br />
�<br />
�<br />
� � � �<br />
�~<br />
L<br />
s � �~<br />
s ��<br />
� �<br />
�<br />
T �F<br />
� �TH<br />
T<br />
��<br />
�<br />
� L �1<br />
�<br />
� �<br />
�L<br />
�W<br />
� �H<br />
� H�<br />
H<br />
� �<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�L<br />
G<br />
� � �Ó<br />
�<br />
� 1<br />
��<br />
�<br />
�<br />
� T<br />
�<br />
�H�<br />
H<br />
�<br />
��<br />
� �Ó<br />
11 12 13<br />
� � 21 L 22 L 23 �1<br />
Hangs˙lyozni szeretnÈnk, hogy ezek a vezetÈsi egyenletek a nemline·ris esetben,<br />
teh·t amikor L f¸gghet a termodinamikai erıktıl, a (9) egyenlıtlensÈg ·ltal·nos<br />
megold·s·t adj·k. Mi a tov·bbiakban megelÈgsz¸nk a line·ris kˆzelÌtÈs vizsg·lat·val.<br />
31<br />
L<br />
L<br />
32<br />
L<br />
L<br />
33<br />
�<br />
�<br />
� .<br />
�<br />
�<br />
�
Egy fontos problÈm·t ezen a ponton mindenkÈppen meg kell emlÌten¸nk. Ugyanis<br />
az entrÛpia anyagf¸ggvÈny, mi mÈgis a lok·lis LAGRANGE-leÌr·s f¸ggvÈnyeit haszn·ltuk<br />
az entrÛpiaprodukciÛ levezetÈsÈhez, holott az elızı fejezetben bevezett¸nk anyagi<br />
fizikai mennyisÈgeket Ès felÌrtuk az anyagi mÈrlegeket is. Elj·r·sunknak tˆbb oka is<br />
van. TermÈszetesen az anyagi mÈrleg haszn·lata lenne a korrektebb. ValÛban, a<br />
fentiekhez hasonlÛ sz·mol·s NANSON elsı fejezetben ismertetett formul·j·nak<br />
haszn·lat·val egyszer˚en eredmÈnyezi az entrÛpiaprodukciÛ anyagi form·j·t ebben a<br />
bıvÌtett v·ltozÛrendszerben is:<br />
j<br />
q<br />
A<br />
� �<br />
R<br />
s�<br />
� � �<br />
1 1 ��<br />
�~<br />
st<br />
�<br />
�<br />
�<br />
��1<br />
� �t<br />
T �F<br />
0<br />
T T ��<br />
�W<br />
�<br />
A<br />
A<br />
j<br />
s<br />
A<br />
� �<br />
sA<br />
�<br />
�~<br />
st<br />
�<br />
� �t<br />
T : � : � 0.<br />
0 �<br />
� H�<br />
t �t<br />
Ó<br />
0 t Ó�<br />
t<br />
�H<br />
t �<br />
Sz·munkra viszont a lok·lis termodinamikai ·ramok Ès erık kˆzˆtti ˆsszef¸ggÈsek<br />
kellenek, mert azokra van sz¸ksÈg a mÈrlegekben, m·rpedig ebben az esetben is<br />
� ~<br />
~<br />
sA 1 1 ��<br />
�s<br />
� �s<br />
� �1<br />
� � � j � � � 1<br />
� : � 0<br />
det<br />
�� � � �F<br />
� H �� : H�<br />
H Ó Ó�<br />
s q<br />
�T<br />
�T<br />
� .<br />
H<br />
T T ��<br />
�W<br />
� �H<br />
�<br />
Vagyis a kÈtfÈle entrÛpiaprodukciÛ lok·lis form·ja kˆzˆtt a mozg·sgradiens<br />
determin·nsa jelenti az egyetlen eltÈrÈst, ennek hat·s·tÛl pedig a tov·bbi<br />
vizsg·latainkban eltekint¸nk. A kÈrdÈskˆr termÈszetesen ezzel a megjegyzÈssel nincs<br />
lez·rva, tov·bbi kutat·st igÈnyel.<br />
Annyit azonban nagy biztons·ggal kijelenthet¸nk, hogy az eltÈrÈsek csak a nagy<br />
deform·ciÛk esetÈn jelentkezhetnek. Tekints¸k pÈld·ul a hıvezetÈsi tˆrvÈny pÈld·j·t.<br />
Line·ris kapcsolatot tÈtelezve fel az anyagi hı·ram Ès a megfelelı szubsztanci·lis<br />
tÈrderiv·lttal kÈpzett termodinamikai erı kˆzˆtt, kapjuk, hogy<br />
Ebbıl kˆvetkezik, hogy<br />
q<br />
1<br />
�1<br />
q<br />
T 1<br />
j A � �L11 �A � R � det H t H t j � �L11 �A<br />
H t � .<br />
T<br />
T<br />
q 1<br />
T 1 1<br />
j � H t �L11 �A<br />
H t � � L11�<br />
,<br />
det H<br />
T T<br />
t<br />
azaz az anyagi Ès a LAGRANGE-leÌr·sbÛl kapott vezetÈsi egy¸tthatÛk kˆzˆtt egyÈrtelm˚<br />
kapcsolat van a kˆvetkezı form·ban:<br />
1<br />
� .<br />
L11 H t 11<br />
det H t<br />
T �L � H<br />
Ez az ˆsszef¸ggÈs pedig azt mutatja, hogy mÈg az izotrÛp esetben is, az l FOURIER-fÈle<br />
hıvezetÈsi egy¸tthatÛ ñ amirıl azt v·rn·nk, hogy az anyagi leÌr·sban ink·bb ·llandÛ ñ<br />
erısen f¸gg a mozg·sgradienstıl:<br />
A<br />
t<br />
51
52<br />
1<br />
T<br />
l � H t : H t l A .<br />
det H<br />
t<br />
Teh·t nagy deform·ciÛs hıvezetÈs esetÈn nem mindegy, melyik kÈpet haszn·ljuk,<br />
melyik esetben alkalmazzuk a line·ris vezetÈsi tˆrvÈnyeket. Viszont az anyagi leÌr·s<br />
nem az egyetlen elkÈpzelhetı tiszt·n anyagi mÈrlegrendszer (ismeretesek pÈld·ul<br />
pszeudo-anyagi mÈrlegek is [MAUGIN, 1999]). EzÈrt azt·n sz·mos nyitott kÈrdÈs mer¸l<br />
fel ezzel kapcsolatban. Melyek az ëigazií termodinamikai erık Ès ·ramok? Eldˆnthetı-e<br />
ez a kÈrdÈs elmÈletileg? Eldˆnthetı-e kÌsÈrletileg?<br />
8. AZ ANYAGT÷RV…NY …S AZ ANYAGI OBJEKTIVIT¡S ELVE<br />
Az anyagtˆrvÈnyek jelentıs egyszer˚sÌtÈsÈt eredmÈnyezi az anyag szimmetri·inak<br />
figyelembe vÈtele. KÈt ilyen feltÈtelt fogunk alkalmazni. FeltÈtelezz¸k az anyag<br />
forg·sf¸ggetlensÈgÈt Ès izotrÛpi·j·t. Az izotrÛpi·t az elızı kˆtetben rÈszletesen<br />
t·rgyaltuk, ezÈrt arra a tov·bbiakban csak utalunk.<br />
Fontos szerepet j·tszik a mozg·sgradiens tenzornak az elsı fejezet (4) formul·j·ban<br />
bemutatott H t � Q t A t pol·ris dekompozÌciÛja a Qt ortogon·lis ( Q t � Q<br />
elfordul·si tenzor Ès az At szimmetrikus ( A � A ) alakv·ltoz·si tenzor szorzat·ra. E<br />
pol·ris felbont·s segÌtsÈgÈvel az entrÛpiaprodukciÛ mechanikai tagja a kˆvetkezı<br />
form·ba ÌrhatÛ (itt Ès a tov·bbiakban az A felsı index a tenzorok antiszimmetrikus<br />
rÈszÈt, az S felsı index a szimmetrikus rÈszt jelˆli):<br />
T�<br />
�<br />
�<br />
�Q<br />
�<br />
�<br />
�<br />
Q<br />
�<br />
�<br />
mech<br />
s<br />
T t<br />
T t<br />
FQ<br />
FQ<br />
� �s<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�F<br />
� �TH<br />
t �<br />
� : H�<br />
t H<br />
� �Ht<br />
�<br />
� �s<br />
�<br />
�<br />
�F<br />
� �TH<br />
t �<br />
� : Qt<br />
A�<br />
� �Ht<br />
�<br />
t<br />
t<br />
� �TA<br />
�<br />
� �T<br />
�<br />
� A<br />
�<br />
�<br />
� �T<br />
�<br />
� A<br />
�<br />
t<br />
t<br />
�s<br />
�H<br />
�s<br />
�H<br />
t<br />
t<br />
t<br />
�s<br />
�H<br />
Q<br />
t<br />
t<br />
t<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
A<br />
Q<br />
A<br />
�1<br />
t<br />
�<br />
Qt<br />
�<br />
� : A�<br />
t A<br />
�<br />
t<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
:<br />
�<br />
�<br />
�<br />
Q<br />
S<br />
T t<br />
�<br />
�<br />
:<br />
�<br />
�<br />
�1<br />
t<br />
�<br />
� �T<br />
�<br />
�H<br />
�<br />
�1<br />
t<br />
�1<br />
�A� A �<br />
t<br />
�s<br />
�H<br />
�<br />
� �T<br />
�<br />
�H<br />
�<br />
�<br />
T<br />
t<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�F<br />
� �TH<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�s<br />
�H<br />
�1<br />
A �A� A � � Q Q�<br />
�<br />
� 0.<br />
t<br />
t<br />
t<br />
t<br />
t<br />
S<br />
T t<br />
t<br />
t<br />
t<br />
�<br />
�<br />
t<br />
A<br />
t<br />
�s<br />
�H<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
A<br />
t<br />
t<br />
�<br />
�<br />
� :<br />
�<br />
: Q�<br />
Q<br />
T t<br />
�1<br />
�1<br />
�Q� Q � Q A�<br />
A Q �<br />
t<br />
�<br />
: Q�<br />
Q<br />
Itt felhaszn·ltuk, hogy F szimmetrikuss·ga miatt � �T T<br />
T<br />
FQ Q FQ<br />
T<br />
t<br />
t<br />
T t<br />
t<br />
T t<br />
�<br />
Q � is szimmetrikus,<br />
Ìgy a QtQ t<br />
� szˆgsebessÈggel valÛ szorzata kiesik. Igaz tov·bb·, hogy<br />
t<br />
t<br />
t<br />
t<br />
t<br />
T t<br />
�<br />
T<br />
t<br />
)
�s<br />
�s<br />
( H t ) Qt<br />
� ( H t ) .<br />
�H<br />
�A<br />
t<br />
Itt az argumentum kiÌr·s·val azt hangs˙lyozzuk, hogy ugyanaz a f¸ggvÈny van a kÈt<br />
oldalon. Teh·t ·ltal·ban<br />
�<br />
S �<br />
A<br />
(13) � T � �s<br />
� � �1<br />
S � �s<br />
�<br />
1<br />
: � � : �<br />
� � A T<br />
Q<br />
�<br />
� � � �<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� 0<br />
� t FQ t � � T<br />
�<br />
� A t �<br />
� A�<br />
� t A t �T<br />
A t A�<br />
t A t Q t Q�<br />
t .<br />
� � � �<br />
�<br />
�<br />
� �A<br />
t �<br />
A t<br />
�<br />
Ebbıl az formul·bÛl kiindulva kÈzenfekvınek t˚nik megvizsg·lni annak<br />
kˆvetkezmÈnyeit, ha az entrÛpia csak az alakv·ltoz·s f¸ggvÈnye. Ennek a feltevÈsnek<br />
az elemzÈsÈhez fel kell idÈzn¸nk a kontinuumfizika egyik m·r emlegetett ·ltal·nos<br />
elvÈt, illetve annak szokott form·j·t.<br />
AZ ANYAGI OBJEKTIVIT¡S ELVE. Az Ñanyagi objektivit·s elveî speci·lis<br />
megfogalmaz·sa annak az ·ltal·nos kˆvetelmÈnynek, hogy a valÛs·g objektÌv, azaz<br />
tıl¸nk f¸ggetlen, ezÈrt leÌr·s·ban is t¸krˆzıdnie kell ennek a kˆvetelmÈnynek. (A<br />
valÛs·g objektivit·s·ban a filozÛfusok kÈtelkedhetnek, de fizikai elmÈletek esetÈn ez<br />
egy igen produktÌv feltevÈs.) Az elv hagyom·nyos kimond·sa Ès alkalmaz·sa az<br />
irodalomban a kˆvetkezı mÛdon tˆrtÈnik. A megfigyelı (vonatkoztat·si rendszer)<br />
v·ltoztat·s·ra az anyagtˆrvÈnyek form·ja invari·ns. Speci·lisan tekints¸k azt a<br />
megfigyelıt, amely a kezdeti (cÈlszer˚en inerci·lisnak v·lasztott) megfigyelıhˆz kÈpest<br />
mereven forog, Ès kˆzÈppontj·nak relatÌv helyzete is v·ltozik. A merev forg·st egy B(t)<br />
1<br />
ortogon·lis tenzorral Ìrjuk le ( � , det � 1<br />
�<br />
B B B<br />
T<br />
), a kˆzÈppont helyzetÈt pedig egy<br />
c(t) vektorral jellemezz¸k. Ekkor a kontinuum egy pontj·nak helye a kˆvetkezıkÈppen<br />
transzform·lÛdik a vonatkoztat·si rendszer v·lt·sakor:<br />
(14)<br />
~ � ( R) � B(<br />
) � ( R)<br />
� c(<br />
t)<br />
.<br />
t<br />
t t<br />
Vil·gos, hogy ha az ˙j vonatkoztat·si rendszer¸nk a kˆzÈppontja kˆr¸l forog, akkor<br />
az ˆsszes vektor Ès tenzor is ennek megfelelıen transzform·lÛdik. Teh·t egy tetszıleges<br />
d vektor Ès egy D m·sodrend˚ tenzor transzform·lt alakja:<br />
(15)<br />
~<br />
~<br />
d � Bd,<br />
D �<br />
t<br />
T<br />
BDB<br />
A mozg·sgradiens viszont, hab·r m·sodrend˚ tenzor, mÈgis m·skÈpp<br />
transzform·lÛdik, mivel a mozg·sra kˆzvetlen¸l vonatkozÛ fizikai mennyisÈgrıl van<br />
szÛ:<br />
(16) )<br />
~<br />
~<br />
~ ( ) ( ) (<br />
)<br />
~<br />
~ ~ �<br />
~ � t ( R ��<br />
t<br />
H t ( R)<br />
� � B t R � BH t R ,<br />
�R<br />
�R<br />
ahol figyelembe vett¸k, hogy az anyagi pont helyvektora is megfelelıen v·ltozik:<br />
~<br />
R � B(<br />
t) R � c(<br />
t)<br />
. Teh·t a fesz¸ltsÈgre vonatkozÛ F(H) anyagf¸ggvÈny teljes<br />
transzform·lt form·ja:<br />
.<br />
53
54<br />
~ ~<br />
F ( H)<br />
)<br />
T<br />
� BF(<br />
BH B .<br />
Az anyagi objektivit·s elve szerint ez ugyanolyan form·j˙ kell legyen, mint az<br />
eredeti vonatkoztat·si rendszerben (hiszen az anyagtˆrvÈny csak az anyagra<br />
vonatkozik), azaz<br />
(17)<br />
~ ~<br />
F ( H)<br />
)<br />
T<br />
� F(<br />
H)<br />
� BF(<br />
BH B .<br />
Ennek a f¸ggvÈnyegyenletnek minden B ortogon·lis tenzorra teljes¸lnie kell.<br />
Speci·lisan a mozg·sgradiens pol·ris dekompozÌciÛj·val kapott Q t (R)<br />
-re is minden<br />
anyagi pontban. Ennek kˆvetkezmÈnyekÈnt (17)-et alkalmazva kapjuk, hogy<br />
(18) Q tFt<br />
( H t ) Q t � Ft<br />
( Q t H t ) � Ft<br />
( A t ) .<br />
(l·sd pÈld·ul [TRUESDELLñNOLL, 1965], (26.12)�(28.5) �(43.2)). Teh·t<br />
�<br />
�<br />
�Q<br />
�<br />
T<br />
t<br />
FQ<br />
t<br />
T<br />
T<br />
�~<br />
s �<br />
~<br />
�1<br />
S � �s<br />
� �1<br />
S<br />
� � TA t �<br />
� : �A� t At<br />
� �<br />
�<br />
�F<br />
� �TA<br />
t �<br />
� : �A� t At<br />
� � 0 .<br />
�A<br />
t �<br />
� �A<br />
t �<br />
Ahogy erre m·r az elızıekben is utaltunk, ez a hagyom·nyos gondolatmenet tˆbb<br />
szempontbÛl is hib·s, illetve kÈtsÈges.<br />
a) A (14) transzform·ciÛ nem tetszıleges vonatkoztat·si rendszer esetÈn ÈrvÈnyes,<br />
hanem csak egy nagyon speci·lis (mereven forgÛ) rendszer esetÈn. A<br />
transzform·ciÛ megfogalmaz·sa teh·t nem t¸krˆzi a fizikai kˆvetelmÈnyt.<br />
b) A (17) kˆvetelmÈnyrıl, mint az anyagf¸ggvÈny form·j·nak v·ltozatlans·g·rÛl<br />
egy·ltal·n nem nyilv·nvalÛ, hogy t¸krˆzi azt az elv·r·st, hogy mag·nak az<br />
anyagnak a viselkedÈse ne v·ltozzon m·sik vonatkoztat·si rendszerbıl nÈzve. Az<br />
anyagi objektivit·s elve minden vonatkoztat·si rendszertıl f¸ggetlen¸l, pontosan<br />
is megfogalmazhatÛ, Ès kider¸l, hogy a tiszt·n formai invariancia hib·s feltevÈs<br />
[MATOLCSI-GRUBER, 1996].<br />
c) A (17) feltÈtel egy f¸ggvÈnyegyenlet, amely nagyon hasonlÌt az izotrÛpia<br />
T<br />
T<br />
kˆvetelmÈnyÈhez ( BF( H)<br />
B � F(<br />
BHB ) ). Teh·t kˆvetkezmÈnyekÈnt a<br />
fesz¸ltsÈgtenzorra vonatkozÛ anyagf¸ggvÈnynek csak speci·lis alakjai<br />
megengedettek. Nem ismer¸nk azonban az irodalomban olyan munk·t, amely ezt<br />
ilyen form·ban akn·zn· ki, megadv·n a feltÈtelnek megfelelı f¸ggvÈnyform·kat,<br />
hanem mindig csak a speci·lis (18) alakot kˆvetelik meg.<br />
Teh·t az anyagi objektivit·s elvÈnek NOLL ·ltal javasolt fenti megfogalmaz·sa<br />
nÈzet¸nk szerint hib·s, leggyakoribb alkalmaz·sa a fesz¸ltsÈgtenzorra vonatkozÛan<br />
pedig utolsÛ megjegyzÈs¸nk szerint nem is igaz·n mag·t az elvet alkalmazza, hanem<br />
egy ann·l gyengÈbb kˆvetelmÈnyt. Ennek megfelelıen javasoljuk, hogy (18)-at<br />
tekints¸k anyagi jelleg˚, nem pedig elvi megszorÌt·snak.
Fizikailag teljesen vil·gos, hogy a (18) feltÈtellel olyan anyagot adunk meg,<br />
amelyben a fellÈpı fesz¸ltsÈgek csak a lok·lis ny˙l·soktÛl f¸ggenek, Ès f¸ggetlenek a<br />
belsı elfordul·soktÛl. Ugyanis koordin·t·kban gondolkodva a H t (R)<br />
tenzor megadja a<br />
kezdeti, anyagi vonatkoztat·si rendszer (kezdetben mondjuk ortonorm·lt) b·zis·nak<br />
v·ltoz·s·t, b·zistranszform·ciÛj·t. A pol·ris dekompozÌciÛval a b·zistranszform·ciÛt a<br />
b·zisvektorok hosszv·ltoz·s·ra Ès elforgat·s·ra bontjuk. Q t (R)<br />
az anyagi pontban az<br />
elfordul·st jelenti. …ppen ezÈrt mag·nak a mozg·sgradiensnek a ìvisszaforgat·saî nem<br />
T<br />
kˆveti a tenzorokra vonatkozÛ ·ltal·nos formul·t, hanem a speci·lis Hà t � A t � Q t H t<br />
alak˙. Ez felel meg (16)-nak, Ès ebbıl kˆvetkezik, hogy a forg·sf¸ggetlen<br />
anyagf¸ggvÈnyek csak az alakv·ltoz·si tenzoron kereszt¸l f¸ggenek a<br />
mozg·sgradienstıl. TermÈszetesen vektor Ès tenzor ÈrtÈk˚ anyagf¸ggvÈnyek esetÈn<br />
( d t (R)<br />
, illetve Dt (R)<br />
ir·nyults·g·ba se szÛljon bele az elfordul·s, azaz<br />
) azt is meg kell kˆveteln¸nk, hogy a vektor Ès a tenzor<br />
T T<br />
Q t<br />
dt (Q t H t ) � dt (H t ),<br />
T T<br />
Q t<br />
Dt (Q t H t )Q t � Dt (H t ).<br />
Teh·t speci·lisan a fesz¸ltsÈgre vonatkozÛan fogalmazva, annak a kˆvetelmÈnye, hogy<br />
az anyagban a belsı, pontonkÈnti elfordul·sok hat·s·ra ne lÈpjen fel fesz¸ltsÈg, Èppen<br />
azt jelenti, hogy se a fesz¸ltsÈgtenzor ir·nyults·g·ba ne szÛljon bele az elfordul·s<br />
(vissza kell forgatni), se a tenzor ne f¸ggjˆn semmilyen mÛdon tıle (argumentum·t is<br />
vissza kell forgatni), azaz<br />
T<br />
T<br />
Q t Ft<br />
( Q t H t ) Q t � Ft<br />
( H t ) .<br />
Ez pedig pontosan a (18) kˆvetelmÈny. …ppen ezÈrt a tov·bbiakban a (18) feltÈtelnek<br />
eleget tevı F t (H t ) fesz¸ltsÈgf¸ggvÈnnyel leÌrhatÛ anyagot forg·sf¸ggetlennek<br />
nevezz¸k.<br />
A kontinuummechanika haszn·lhatÛs·ga azt mutatja, hogy a forg·sf¸ggetlensÈg<br />
nagyon sok anyagra igen jÛ feltÈtelezÈs. Sz·mos esetben viszont komoly problÈm·kba<br />
¸tkˆz¸nk. Egyelıre nyitott kÈrdÈs, hogy pontosan mifÈle anyagok Ès hogyan ÌrhatÛk le<br />
az ·ltal·nosabb anyagtˆrvÈnnyel. A tov·bbiakban kiz·rÛlag a hagyom·nyos<br />
forg·sf¸ggetlen anyagok csal·dj·val foglalkozunk.<br />
Forg·sf¸ggetlen anyagokra az elıbbieknek megfelelıen termÈszetesen az alapvetı<br />
anyagf¸ggvÈny¸nk, az s skal·r entrÛpia is csak A-tÛl f¸gghet, ennek megfelelıen (13) is<br />
egyszer˚sˆdik:<br />
55
(19)<br />
56<br />
�<br />
�Q<br />
�<br />
�<br />
T<br />
t<br />
FQ<br />
t<br />
�<br />
~<br />
� � �s<br />
�<br />
F � �T<br />
� �<br />
� A t �<br />
�<br />
� � �A<br />
t �<br />
S<br />
� �~<br />
s � �<br />
� �T<br />
�<br />
�<br />
� A t �<br />
� :<br />
� �A<br />
�<br />
�<br />
t �<br />
S<br />
�<br />
� :<br />
�<br />
�<br />
�1<br />
S � �s<br />
�<br />
�1<br />
�A� A � � �T<br />
� A � : ��A�<br />
A �<br />
~<br />
�1<br />
S � �s<br />
�<br />
1<br />
� � : �<br />
� � A T<br />
A�<br />
A � �T<br />
� A � �A� A � � Q Q�<br />
�<br />
� � 0.<br />
t<br />
t<br />
t<br />
t<br />
�<br />
�<br />
t<br />
�<br />
�<br />
�A<br />
t<br />
t<br />
�<br />
�<br />
~<br />
�A<br />
A<br />
�<br />
t<br />
�<br />
�<br />
A<br />
t<br />
A �<br />
t t � Q<br />
�<br />
L·ttuk, hogy izotrÛp anyagtˆrvÈnyek esetÈn az entrÛpia A szerinti deriv·ltja az<br />
alakv·ltoz·s legfeljebb m·sodfok˙ polinomja, ezÈrt szimmetrikus [V¡N ñ ASSZONYI<br />
2006], Ès A-val szorozva is az. Ekkor teh·t (19) m·sodik tagja elt˚nik.<br />
Ezek ut·n izotrÛp forg·sf¸ggetlen anyagok esetÈn az entrÛpiaprodukciÛ LAGRANGEform·ja<br />
a kˆvetkezı egyszer˚ form·ban ÌrhatÛ:<br />
ha s�e,<br />
A�<br />
s � , illetve (9a):<br />
1 1 � �s<br />
� �1<br />
j ��<br />
� �F<br />
� A � : A�<br />
q � T A � 0 ,<br />
T T � �A<br />
�<br />
1 1 ��<br />
�~<br />
s � �~<br />
s � �1<br />
(20) j � � � �� �1<br />
� �F<br />
� A �� : A�<br />
A � Ó : Ó�<br />
q<br />
�T<br />
�T<br />
� � 0,<br />
T T ��<br />
�W<br />
� �A<br />
�<br />
~<br />
~<br />
ha s�e, A, � �W �,<br />
Ó�<br />
� s �e, A,<br />
� �W ��<br />
� 1 Ó : Ó.<br />
~<br />
2<br />
Mivel a tov·bbiakban csak izotrÛp, forg·sf¸ggetlen kontinuumokkal foglalkozunk,<br />
ezÈrt ez az egyenlıtlensÈg lesz minden tov·bbi vizsg·lÛd·sunk kiindulÛpontja.<br />
9. IZOTR”P, RUGALMAS-K…PL…KENY KONTINUUMOK ANYAGT÷RV…NYE<br />
A (20) ˆsszef¸ggÈs m·r jÛ alapot szolg·ltat az anyagtˆrvÈny meghat·roz·s·hoz, mivel<br />
az anyagok nagy rÈszÈnÈl a tapasztalat alapj·n elv·rjuk, hogy a vonatkozÛ<br />
anyagtˆrvÈny a D = A - I deform·ciÛtenzor f¸ggvÈnye legyen, nem pedig a H<br />
mozg·sgradiensÈ.<br />
A (20)-nak megfelelı termodinamikai erık Ès ·ramok :<br />
Termikus<br />
Mechanikai<br />
ER’ ¡RAM<br />
1<br />
�<br />
T<br />
q j<br />
�1<br />
A � A � �� 1 ��<br />
�~<br />
s � �~<br />
s �<br />
�� �1�<br />
� T �F<br />
� �TA<br />
T ��<br />
�W<br />
� �A<br />
�<br />
ReolÛgiai � Ó<br />
G<br />
t<br />
t<br />
t<br />
�<br />
T<br />
t<br />
Q�<br />
t<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�
Mielıtt az entrÛpiaprodukciÛ f¸ggvÈnyre kirÛva az izotrÛpi·t megadn·nk a vezetÈsi<br />
egyenleteket, vizsg·ljuk meg a disszip·ciÛmentes esetet rÈszletesebben.<br />
9.2. DISSZIP¡CI”MENTES ANYAGT÷RV…NY - A K…PL…KENYS…GI FELT…TEL SZEREPE<br />
Tekints¸k azt az esetet, amikor az anyag nem disszipatÌv, teh·t az entrÛpiaprodukciÛ<br />
nulla, viszont a kÈplÈkenysÈgi feltÈtel miatt nem feltÈtlen¸l reverzibilis. Tegy¸k fel<br />
ennek megfelelıen, hogy ebben az ide·lis, disszip·ciÛmentes anyagban a vezetÈsi<br />
egy¸tthatÛk m·trixa azonosan nulla. Ebben az esetben a vezetÈsi egyenletek a<br />
hıvezetÈsre Ès a dinamikai v·ltozÛnk fejıdÈsi egyenletÈre vonatkozÛan trivi·lisak:<br />
(21) j q � 0, Ès G � 0.<br />
A mechanikai kˆlcsˆnhat·sra ÈrvÈnyes vezetÈsi egyenlet, mely a fesz¸ltsÈgre<br />
vonatkozÛ anyagtˆrvÈny meghat·roz·s·ra szolg·l, azonban meglehetısen ˆsszetett:<br />
� �~<br />
s � �~<br />
s<br />
(22) �1�<br />
� T �F<br />
� �TA<br />
� 0.<br />
� �W<br />
� �A<br />
A (21)-(22) anyagtˆrvÈnyekkel meghat·rozott anyagokat rugalmas-kÈplÈkeny<br />
(elasztoplasztikus) anyagoknak nevezz¸k. A (4)-(4a) feltÈtel felhaszn·l·s·val a fenti<br />
egyenletekbıl egyszer˚en kaphatjuk, hogy<br />
(23)<br />
�~<br />
s<br />
�TA<br />
eq<br />
F � �<br />
�A<br />
�~<br />
.<br />
s<br />
1 � �T<br />
�W<br />
Az eq indexszel arra utalunk, hogy disszip·ciÛmentes esetben, az anyag egyens˙lyi<br />
·llapotban van, teh·t a (23) az anyagtˆrvÈny egyens˙lyban ÈrvÈnyes form·ja.<br />
Ezzel az egyenlettel az a gond, hogy a � s / �W<br />
~ deriv·lt csak implicite tartalmazza<br />
az ugr·sf¸ggvÈnyt, Ìgy nem l·tszik belıle a rugalmas Ès kÈplÈkeny tartom·ny elv·l·sa.<br />
EzÈrt a<br />
�~ s �~<br />
s �<br />
~ �<br />
�<br />
�W<br />
��~<br />
�W<br />
ˆsszef¸ggÈsbıl, a (4) definÌciÛ<br />
felhaszn·l·s·val<br />
~ � � ��<br />
,<br />
�� ��<br />
��<br />
� � � �<br />
�W<br />
�W<br />
�W<br />
~<br />
57
ÌrhatÛ.<br />
58<br />
��<br />
A<br />
�W<br />
deriv·lt minden W -nÈl nulla, kivÈve W f -et, ahol egy DIRAC-delta-szer˚<br />
(t˚impulzusszer˚) ugr·sa van. Ezen a W f helyen azonban a � f¸ggvÈny nulla ÈrtÈket<br />
��<br />
vesz fˆl, ezÈrt a � szorzatot a W f helyen is null·nak tekinthetj¸k. Teh·t<br />
�W<br />
�� ��<br />
� �<br />
�W<br />
�W<br />
~<br />
,<br />
Ès Ìgy<br />
� ~ s �~<br />
s ��<br />
�~<br />
s ��<br />
�~<br />
s<br />
� � � � � �<br />
�W<br />
�<br />
~<br />
�W<br />
�<br />
~<br />
.<br />
�<br />
� �W<br />
�W<br />
(24)<br />
Ennek felhaszn·l·s·val<br />
�~<br />
s<br />
�TA<br />
eq<br />
F � �<br />
�A<br />
�~<br />
.<br />
s<br />
1 � ��T<br />
�W<br />
A fenti ˆsszef¸ggÈs ·ltal·ban nem adja meg explicit mÛdon a fesz¸ltsÈget, mert<br />
�s<br />
s~ deriv·ltjai, Ìgy<br />
�A<br />
~ � s<br />
Ès<br />
�W<br />
~<br />
is f¸gghetnek a munk·tÛl, amely a fesz¸ltsÈg integr·lja.<br />
Sıt maga a hımÈrsÈklet is, mivel az entrÛpia belsı energia szerinti deriv·ltj·nak<br />
reciproka, ·ltal·ban a fesz¸ltsÈg f¸ggvÈnye. Teh·t a fenti (24) egyenlet csak bonyolult,<br />
integr·lisan implicit mÛdon hat·rozza meg a fesz¸ltsÈget, mert az ˆsszes deriv·ltban az<br />
s e,<br />
A , � ~<br />
� HF : dH<br />
, Ó f¸ggvÈny szerepel.<br />
� � � �<br />
Mi a tov·bbiakban elker¸lj¸k az ebbıl fakadÛ bonyodalmakat, Ès arra a speci·lis<br />
esetre szorÌtkozunk, amikor az entrÛpia � -f¸ggÈsÈt Èsszer˚en<br />
~ ( , H, ~ � ) � ( ��~<br />
, H)<br />
� s e s e<br />
alakban tÈtelezz¸k fel, mert<br />
~ � ( W ) is egy energiaszer˚ (vagy munkaszer˚) kifejezÈs.<br />
Ebben az esetben<br />
�<br />
�s<br />
�s<br />
�<br />
��<br />
�e<br />
~<br />
~<br />
,<br />
Ès a hımÈrsÈklet ·ltal·nos definÌciÛj·t felhaszn·lva,<br />
ezÈrt ilyenkor<br />
� ~<br />
~ �<br />
1 �s<br />
�s<br />
�~<br />
s<br />
� � � ,<br />
T �e<br />
�e<br />
�
�~<br />
s<br />
T ~ � 1.<br />
��<br />
Mindezek alapj·n a (24) ˆsszef¸ggÈs<br />
eq �T<br />
�~<br />
s<br />
F �<br />
A<br />
�~<br />
,<br />
s ��<br />
�A<br />
1�<br />
��T<br />
�<br />
~<br />
��<br />
�<br />
� �W<br />
s ezÈrt a disszip·ciÛmentes (Ès egyens˙lyi) anyagtˆrvÈny ·ltal·nosan<br />
eq �T<br />
�~<br />
s<br />
(25)<br />
F �<br />
A<br />
��<br />
�A<br />
1�<br />
��<br />
�W<br />
alak˙, amennyiben a � � / �W<br />
nem f¸gg az F-tıl.<br />
Ha feltessz¸k, hogy � (W ) a legegyszer˚bb, line·ris mÛdon f¸gg W -tıl, vagyis<br />
(26) ( ) ( )( f ) W W<br />
W � A � � � ,<br />
akkor mÈg egyszer˚bb lesz a helyzet, ahol � csak az alakv·ltoz·s f¸ggvÈnye (6 ·bra).<br />
Ez m·r kˆzelÌtı lineariz·lt ˆsszef¸ggÈs. A munkavÈgzÈs mindig a kiindul·si,<br />
feltÈtelezetten termodinamikai egyens˙lyi ·llapothoz kÈpest Èrtendı.<br />
Ezek ut·n a disszip·ciÛmentes (Ès egyens˙lyi) anyagtˆrvÈny - a (26) ˆsszef¸ggÈs<br />
felhaszn·l·s·val - a fesz¸ltsÈgre vonatkozÛan explicit, Ès a kˆvetkezı form·ban ÌrhatÛ:<br />
(27)<br />
F<br />
eq<br />
� ~<br />
0<br />
rugalmas<br />
zÛna<br />
Wf<br />
�<br />
�~<br />
s �~<br />
s � �~<br />
s<br />
�TA<br />
�TA<br />
��<br />
�TA<br />
,<br />
� � �<br />
� �<br />
�A<br />
� �<br />
A<br />
A<br />
� �<br />
��<br />
� �<br />
�~<br />
1 ��<br />
s<br />
1 � ��<br />
� �TA<br />
�W<br />
��<br />
�A<br />
,<br />
��<br />
1 � ��<br />
1<br />
kÈplÈkeny<br />
zÛna<br />
� �W �<br />
6 ·bra<br />
arctg �<br />
W<br />
ha<br />
ha<br />
W � W<br />
W � W<br />
f<br />
f<br />
,<br />
,<br />
vagy<br />
Ès<br />
W�<br />
� 0,<br />
W�<br />
� 0.<br />
59
A (27) anyagegyenlet a forg·sf¸ggetlen, izotrÛp, nem disszipatÌv, egyens˙lyi,<br />
egyszer˚ kÈplÈkeny-rugalmas anyag anyagf¸ggvÈnye, amely a kis Ès a nagy<br />
deform·ciÛk tartom·ny·n egyar·nt ÈrvÈnyes ˆsszef¸ggÈs.<br />
60<br />
A (27) ˆsszef¸ggÈsben pontosan szÈtv·laszthatÛ a rugalmas Ès a kÈplÈkeny<br />
tartom·ny a � = 0, illetve � = 1 ÈrtÈkkel.<br />
BefejezÈs¸l foglaljuk ˆssze az egyens˙lyi anyagtˆrvÈny ·ltal·nos<br />
(27)<br />
eq �T<br />
�~<br />
s<br />
(a) F � �<br />
A<br />
�~<br />
, (b) F<br />
s �A<br />
1� ��T<br />
�W<br />
Ès lineariz·lt form·it:<br />
(27)<br />
eq �T<br />
�~<br />
s<br />
(c) F � � A .<br />
1� ���<br />
�A<br />
eq<br />
�T<br />
�~<br />
s<br />
�<br />
A ,<br />
��<br />
�A<br />
1�<br />
��<br />
�W<br />
A � = 0 esetben, azaz a rugalmas ·llapotban mindh·rom kifejezÈs azonos, s ez az<br />
˙n. reverzibilis anyagtˆrvÈny.<br />
9.2 IZOTR”P, DISSZIPATÕV, EGYSZER¤ K…PL…KENY ANYAG - T⁄L AZ EGYENS⁄LYON<br />
Ezek ut·n tÈrj¸nk vissza a vezetÈsi egyenletek meghat·roz·s·ra, ñ az elızı<br />
levezetÈsek beÈpÌtÈsÈvel ñ a (20) egyenlıtlensÈg alapj·n:<br />
��<br />
�~<br />
s � �~<br />
s � �1<br />
�� �1<br />
� ��<br />
T �F<br />
� �TA<br />
�� : A�<br />
A � �TÓ<br />
: Ó�<br />
� 0,<br />
��<br />
�W<br />
� �A<br />
�<br />
illetve<br />
�<br />
�~<br />
s � �1<br />
��1<br />
� ���<br />
�F � �TA<br />
� : A�<br />
A � �TÓ<br />
: Ó�<br />
� 0 .<br />
�<br />
�A<br />
�<br />
Elıszˆr is vezess¸k be a kˆvetkezı jelˆlÈseket a rugalmas Ès reverzibilis fesz¸ltsÈg<br />
anyagtˆrvÈnyÈre:<br />
F rev :� ��TA �ò s<br />
�A ,<br />
illetve a � f¸ggvÈny deriv·ltj·ra a (26) szerint a kˆvetkezı kifejezÈst:<br />
��<br />
�<br />
�0,<br />
�<br />
�W , W�<br />
, A�<br />
�:<br />
K(<br />
W , W�<br />
, A)<br />
� ��<br />
�A� � �<br />
��<br />
� ( A),<br />
ha<br />
ha<br />
W � W<br />
W � W<br />
W f<br />
f<br />
,<br />
,<br />
vagy<br />
Ès<br />
W�<br />
� 0,<br />
W�<br />
� 0.
Ezek ut·n alkalmazzuk az entrÛpiaprodukciÛra az izotrÛp f¸ggvÈnyek reprezent·ciÛs<br />
tÈtelÈt. Õgy a (20)-nak megfelelıen fent bevezetett termodinamikai erıkkel Ès<br />
·ramokkal a vezetÈsi egyenletek a kˆvetkezıkÈppen ÌrhatÛk: 7<br />
(28)<br />
� 1<br />
� tr<br />
� T<br />
� tr G<br />
�<br />
� 1<br />
� T<br />
� S<br />
�G<br />
rev<br />
��1 � ���<br />
�F<br />
� F �<br />
rev<br />
��1 � ���<br />
�F<br />
� F �<br />
ahol bevezett¸k az l , l , k , k ,<br />
l 1,<br />
12 2 1 1 12 , k2<br />
ASSZONYI, 2006, 61. o.]-hoz hasonlÛan.<br />
S<br />
�<br />
�<br />
� � l1<br />
�<br />
� �l<br />
� � �<br />
� 0<br />
�<br />
� �<br />
�<br />
� 0<br />
�<br />
Vezess¸k be az F fesz¸ltsÈgtenzor Ès a rugalmas fesz¸ltsÈg<br />
12<br />
l<br />
12<br />
l<br />
2<br />
0<br />
0<br />
k<br />
k<br />
0<br />
0<br />
1<br />
12<br />
� �A� 1<br />
A �<br />
0<br />
�<br />
��<br />
tr<br />
�<br />
0 �<br />
�<br />
� tr Ó<br />
�<br />
k �<br />
12 �<br />
�<br />
k ��<br />
2 ��<br />
S<br />
��<br />
Ó<br />
�<br />
� �<br />
�<br />
� ���� � S<br />
A�<br />
1<br />
A<br />
k skal·r anyagi paramÈtereket, [V¡N ñ<br />
rev<br />
F anyagtˆrvÈnyÈnek<br />
rev rev<br />
nyom·ra illetve szimmetrikus nyomnÈlk¸li rÈszÈre a � , T Ès � , T jelˆlÈseket<br />
Ès a<br />
J , S<br />
�1<br />
J : � A�<br />
A , valamint Ó tenzor gˆmbi Ès szimmetrikus nyomnÈlk¸li rÈszÈre az<br />
o d Ès o d<br />
(29a)<br />
Ó , � jelˆlÈseket a kˆvetkezık szerint:<br />
��<br />
T<br />
F : �<br />
��<br />
T<br />
��<br />
J<br />
J : �<br />
��<br />
J<br />
o<br />
o<br />
d<br />
�<br />
� F � T ,<br />
�<br />
1<br />
3<br />
1<br />
3<br />
tr<br />
tr<br />
� J � J<br />
� � � rev<br />
� 1 rev<br />
F I � � I,<br />
T tr�F<br />
�<br />
o<br />
�J�I � J I,<br />
�Ó<br />
� 1 tr�Ó�<br />
o<br />
,<br />
o<br />
o<br />
F<br />
rev<br />
�<br />
Ó : �<br />
��<br />
Ó<br />
�<br />
: �<br />
��<br />
T<br />
o<br />
d<br />
o<br />
rev<br />
3<br />
o<br />
� F<br />
� Ó � Ó<br />
3<br />
rev<br />
o<br />
I � Ó<br />
.<br />
� T<br />
o<br />
I,<br />
0<br />
I � �<br />
Ezekkel a jelˆlÈsekkel a fenti (28) egyenletrendszer kÈt f¸ggetlen rÈszre esik szÈt:<br />
ahol '1 Tk1<br />
(29b)<br />
�1 � ���<br />
�<br />
rev<br />
T � T<br />
Ó�<br />
d<br />
� k'<br />
1<br />
� k'<br />
k � , k' 2 � Tk2<br />
Ès k'12 � Tk12<br />
. Tov·bb·<br />
�1 � ���<br />
�<br />
rev<br />
o<br />
o<br />
12<br />
J<br />
d<br />
J<br />
12<br />
d<br />
� k'<br />
12<br />
� k'<br />
� o � � � l'1<br />
J o � l'12<br />
�o<br />
,<br />
� � � l'<br />
J � l'<br />
� ,<br />
ahol l � T ( l � k ) , l � T ( l � k ) Ès l � T(<br />
l � k ) .<br />
'1 1 1<br />
'2 2 2<br />
'12 12 12<br />
Ezt Ès az ˆsszes eddigi feltÈtelt (20)-ba visszahelyettesÌtve, az entrÛpiaproduckiÛ<br />
nemnegativit·sa miatt kapjuk, hogy<br />
(30)<br />
k 1 � 0,<br />
l' 1 � 0,<br />
k 2 � 0,<br />
l' 2 � 0,<br />
Ès<br />
Ès<br />
o<br />
2<br />
k1k2 � k12 � 0,<br />
2<br />
l'1 l'2 �l'12 � 0.<br />
7 Ebben az esetben a (27) alatti lineariz·lt ˆsszef¸ggÈst vett¸k alapul. Semmi akad·lya annak, hogy az<br />
·ltal·nossal dolgozzunk, ekkor a ��<br />
� helyett � T ��s / �W<br />
�<br />
~<br />
� ÌrandÛ.<br />
2<br />
2<br />
Ó<br />
Ó<br />
d<br />
d<br />
,<br />
o<br />
,<br />
rev<br />
o<br />
,<br />
rev<br />
o<br />
I,<br />
�<br />
,<br />
61
A (29a-b) egyenletrendszerekbıl a dinamikai v·ltozÛ egyszer˚en kik¸szˆbˆlhetı, az<br />
elsı sor idıderiv·ltj·ba a m·sodik sort visszahelyettesÌtve kapjuk, hogy<br />
(31a)<br />
(31b)<br />
62<br />
( 1 ) T�<br />
�<br />
��<br />
o k'<br />
2 ( 1 ) : A�<br />
�<br />
� ���<br />
� � � ���<br />
� � �T<br />
�<br />
�<br />
�A<br />
�<br />
� k'<br />
J�<br />
� ( k'<br />
k'<br />
�k'<br />
k'<br />
) J � k'<br />
T<br />
1<br />
d<br />
1<br />
�<br />
��<br />
( 1 �� ) � o l'2<br />
( 1 �� ) : � �<br />
� � � � � � � � � A��<br />
o �<br />
�<br />
�A<br />
�<br />
� l'<br />
J�<br />
� ( l'<br />
l'<br />
�l'<br />
l'<br />
) J � l'<br />
�<br />
1<br />
o<br />
1<br />
2<br />
2<br />
12<br />
A (31a) torzul·si (nyÌr·si) anyagtˆrvÈnyben vezess¸k be a kˆvetkezı<br />
mennyisÈgeket:<br />
�<br />
��<br />
�<br />
(32) m � �k<br />
'2<br />
( 1 � ���<br />
) � � : A�<br />
� ,<br />
�<br />
�A<br />
�<br />
1<br />
12<br />
21<br />
21<br />
1<br />
o<br />
2<br />
d<br />
2<br />
�1<br />
12<br />
2<br />
rev<br />
o<br />
21<br />
rev<br />
o<br />
� ��<br />
� T�<br />
� � m( 1 � ���<br />
), � d � mk'<br />
, 2�<br />
� m(<br />
k'<br />
k'<br />
�k'<br />
k'<br />
), 2g<br />
� mk'<br />
.<br />
Ezek ut·n (31a)-bÛl<br />
(33)<br />
adÛdik.<br />
rev<br />
� T� � T ��<br />
J�<br />
� 2Ì J � mT�<br />
� 2gT<br />
d<br />
d<br />
Ezt az ˆsszef¸ggÈst nevezz¸k a kÈplÈkeny-rugalmas test vÈges deform·ciÛk<br />
tartom·ny·ban ÈrvÈnyes torzul·si reolÛgiai egyenletÈnek. HasonlÛan, a tÈrfogati<br />
mennyisÈgekre is bevezetve a megfelelı<br />
�<br />
��<br />
�<br />
(34) m o � �l'<br />
2 ( 1 � ���<br />
) � � : A�<br />
� ,<br />
�<br />
�A<br />
�<br />
� � m ( 1 � ���<br />
), � d � m l'<br />
, 2�<br />
� m ( l'<br />
l'<br />
�l'<br />
l'<br />
), 2g<br />
� m l'<br />
o<br />
o<br />
egy¸tthatÛkat, azt kapjuk, hogy<br />
(35)<br />
o<br />
o<br />
o<br />
o<br />
o<br />
1<br />
d<br />
o<br />
o<br />
1<br />
2<br />
�1<br />
rev<br />
12<br />
21<br />
rev<br />
o<br />
� ��<br />
� � ��<br />
�<br />
� � .<br />
rev rev<br />
do<br />
J o � 2� o J o � mo�<br />
o 2g<br />
o�<br />
o<br />
Ezt az ˆsszef¸ggÈst nevezz¸k a kÈplÈkeny-rugalmas test vÈges deform·ciÛk<br />
tartom·ny·ban ÈrvÈnyes tÈrfogati reolÛgiai egyenletÈnek.<br />
Vegy¸k Èszre, hogy a f W W � rugalmas esetben � d , � , � do<br />
Ès � o a szok·sos<br />
nyÌr·si Ès tÈrfogati reolÛgiai egy¸tthatÛk, a (33) Ès (35) egyenletek azonban mÈg ebben<br />
az esetben is jÛval ˆsszetettebbek a megfelelı kis deform·ciÛs kˆzelÌtÈs esetÈn ÈrvÈnyes<br />
egyenleteknÈl, azaz a tÈrzul·si POYNTING-THOMSON egyenletnÈl Ès a tÈrfogati DOBR”KA-<br />
CRISTESCU egyenletnÈl (vesd ˆssze [V¡N-ASSZONYI, 2006] 64-65. oldal, (54) Ès (55)<br />
egyenletekkel).<br />
rev<br />
o<br />
.<br />
.<br />
o<br />
2<br />
o<br />
2
(36)<br />
Kapott anyagegyenlet¸nkbıl<br />
� T�<br />
� T ��<br />
J�<br />
� T�<br />
o<br />
o<br />
� T<br />
o<br />
d<br />
� �<br />
do<br />
d<br />
J�<br />
o<br />
� 2Ì<br />
� 2�<br />
J<br />
o<br />
J<br />
d<br />
o<br />
� m T�<br />
� m T�<br />
o<br />
rev<br />
rev<br />
o<br />
� 2g<br />
T<br />
� 2g<br />
T<br />
nem l·tszik explicite a rugalmas Ès kÈplÈkeny tartom·ny k¸lˆnv·l·sa, mivel ez az<br />
anyagjellemzık elfedik. Ha a (32) Ès (34) ˆsszef¸ggÈseket kiÌrjuk, akkor<br />
(37)<br />
� �<br />
0 :<br />
�<br />
�m<br />
�<br />
��<br />
�<br />
��<br />
d<br />
�2�<br />
�<br />
�2g<br />
�<br />
�<br />
m<br />
� o<br />
�<br />
��<br />
o<br />
��<br />
do<br />
�<br />
�2�<br />
o<br />
�<br />
�2g<br />
o<br />
� k'<br />
� k'<br />
� k'<br />
� k'<br />
�k'<br />
�1,<br />
� l'<br />
� l'<br />
� l'<br />
� l'<br />
�l'<br />
1<br />
�1,<br />
�1<br />
2<br />
�1<br />
2<br />
�1<br />
2<br />
1<br />
�1<br />
2<br />
�1<br />
2<br />
�1<br />
2<br />
k'<br />
,<br />
,<br />
,<br />
,<br />
l'<br />
,<br />
1<br />
�1<br />
2<br />
,<br />
1<br />
�1<br />
2<br />
l'<br />
k'<br />
12<br />
12<br />
l'<br />
k'<br />
21<br />
21<br />
,<br />
,<br />
m<br />
�<br />
�<br />
d<br />
2�<br />
2g<br />
m<br />
�<br />
�<br />
o<br />
o<br />
do<br />
2�<br />
o<br />
2g<br />
o<br />
�<br />
� �k<br />
'<br />
�<br />
� m<br />
� mk'<br />
� m(<br />
k'<br />
� mk'<br />
�<br />
� �l'<br />
�<br />
� m<br />
o<br />
�1 � �� �<br />
o<br />
o<br />
o<br />
o<br />
2<br />
2<br />
,<br />
k'<br />
,<br />
�1 � �� �,<br />
rev<br />
rev<br />
o<br />
�k'<br />
��<br />
�<br />
( 1 � �� ) � : A�<br />
�<br />
�A<br />
�<br />
,<br />
��<br />
�<br />
( 1 � �� ) � : A�<br />
�<br />
�A<br />
�<br />
,<br />
1<br />
2<br />
1<br />
� m l'<br />
,<br />
1<br />
2<br />
1<br />
� m l'<br />
.<br />
2<br />
2<br />
12<br />
� m ( l'<br />
l'<br />
�l'<br />
12<br />
k'<br />
l'<br />
21<br />
21<br />
),<br />
),<br />
�1<br />
�1<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
: � �1<br />
A (36) anyagegyenlet azonban csak implicite tartalmazza az A alakv·ltoz·si tenzort, s a<br />
reverzibilis tenzorok sincsenek kifejtve.<br />
A (36) egyenletp·r kÈt egyenletÈnek ˆsszead·s·val visszatÈrhet¸nk a<br />
fesz¸ltsÈgtenzorra. A bal oldalak ˆsszege<br />
T � T ��<br />
T�<br />
� � T�<br />
� F ��<br />
F�<br />
� T�<br />
� � T�<br />
� F ��<br />
F�<br />
� � � � T�<br />
o<br />
o<br />
o<br />
� � � � ,<br />
o<br />
a jobb oldalak ˆsszege pedig<br />
2Ì J � 2�<br />
J � � J�<br />
� � J�<br />
� 2ÌJ<br />
� 2�<br />
� 2�<br />
J � � J�<br />
� � ��<br />
J�<br />
d<br />
o<br />
o<br />
d<br />
d<br />
do<br />
o<br />
o<br />
o<br />
o<br />
� o � o d � do<br />
d � o<br />
Ès<br />
2<br />
ˆsszege, s Ìgy<br />
� �<br />
� T<br />
(38)<br />
F � � F�<br />
� ��o � � �T� o � 2ÌJ<br />
� �2� o � 2�<br />
�J o � � d J�<br />
� �� do<br />
��<br />
d �J�<br />
o �<br />
rev<br />
rev rev<br />
rev<br />
2gF<br />
� 2g<br />
� 2g<br />
T � mF�<br />
� m � m T�<br />
o<br />
rev rev<br />
rev<br />
�2g � 2g�T<br />
� mF�<br />
� �m m��<br />
rev<br />
rev rev rev rev<br />
gT � 2g<br />
oTo<br />
� mT<br />
� moTo<br />
� 2gF<br />
� o o<br />
o o<br />
� � � � .<br />
A (38) egyenletbe behelyettesÌtendı a reverzibilis fesz¸ltsÈg<br />
��<br />
��<br />
�~<br />
rev s<br />
�~<br />
s � �~<br />
s �~<br />
s�<br />
�<br />
F � ��<br />
TA<br />
, F�<br />
rev<br />
� ��<br />
T A � ��T<br />
�<br />
�<br />
�A<br />
�<br />
A�<br />
� A<br />
�A<br />
�<br />
� �A<br />
�A<br />
�<br />
o<br />
o<br />
o<br />
o<br />
63
Ès az J tenzor A-val felÌrt alakja:<br />
anyagtˆrvÈny alakv·ltoz·si tenzorral felÌrt alakja:<br />
F ��<br />
F�<br />
� 1 � � � tr F �<br />
1<br />
2 � �<br />
ÌAA<br />
�<br />
(39)<br />
64<br />
3<br />
��<br />
�<br />
� . Õgy az<br />
�1<br />
J : � A�<br />
A , � �2 �<br />
�1<br />
�1<br />
�1<br />
J � A�<br />
A � A�<br />
�A<br />
� A�<br />
A<br />
� � � � 1<br />
1<br />
�2 2 �tr� � �<br />
� � � AA<br />
�<br />
o<br />
�<br />
3<br />
���<br />
� � d<br />
�~<br />
s<br />
� 2g�TA<br />
�<br />
�A<br />
��<br />
��<br />
�~<br />
s<br />
� m�T<br />
A �<br />
�A<br />
�� �1<br />
� 1<br />
1<br />
� �tr� � �<br />
AA<br />
� � ��<br />
AA<br />
�<br />
3<br />
o<br />
1<br />
3<br />
1<br />
3<br />
do<br />
�2g � 2g<br />
�<br />
���<br />
�<br />
� �~<br />
s �<br />
�Ttr�<br />
A � �<br />
� �A<br />
�<br />
���<br />
���<br />
� �~<br />
s �<br />
� �<br />
� �A<br />
�<br />
�m � m�<br />
�Ttr<br />
A .<br />
A (38) ˆsszef¸ggÈs az izotrÛp kontinuumok ·ltal·nos anyagtˆrvÈnye, amely kis Ès<br />
nagy alakv·ltoz·sok esetÈn, rugalmas Ès kÈplÈkeny ·llapotban egyar·nt ÈrvÈnyes.<br />
Az anyagtˆrvÈnyek konkrÈt Ès specifikus alakj·t ezen ·ltal·nos form·k alapj·n a<br />
kˆvetkezı fejezetekben mutatjuk be, ahol visszatÈr¸nk az anyagtˆrvÈnyeknÈl az<br />
alakv·ltoz·srÛl a m·r megszokott deform·ciÛkra.<br />
o<br />
o<br />
d<br />
�<br />
�
3. FEJEZET<br />
EGYENS⁄LYI ANYAGT÷RV…NY A RUGALMAS DEFORM¡CI”K<br />
TARTOM¡NY¡BAN 8<br />
Az entrÛpianˆvekedÈs 2. fejezetben levezett ñ<br />
izotrÛp Ès forg·sf¸ggetlen anyagokra ÈrvÈnyes ñ<br />
(27a) formul·j·t vessz¸k alapul:<br />
(1)<br />
��<br />
�~<br />
s � � �~<br />
s ��<br />
��1�<br />
��T<br />
�F<br />
� �T<br />
� A ��<br />
:<br />
��<br />
�W<br />
� � �A<br />
��<br />
� �TÓ<br />
: Ó�<br />
� 0,<br />
�1<br />
�A� A �<br />
s ebbıl a rugalmas ·llapotra vonatkozÛan a � = 0<br />
feltÈtel esetÈn az<br />
� � �~<br />
s ��<br />
�1<br />
(2) �F<br />
� � T� A ��<br />
: �A� A �� �TÓ<br />
: Ó�<br />
� 0<br />
� � �A<br />
��<br />
ˆsszef¸ggÈs adÛdik. Ezeket az egyenleteket az entrÛpiaf¸ggvÈny<br />
egyens˙lyi nemegyens˙lyi<br />
(3) s � s � s : � ~ s � �s<br />
felÌr·s·bÛl vezett¸k le, amelynÈl az egyens˙lyi entrÛpi·t [ s ~ ] Ès az egyens˙lytÛl valÛ<br />
eltÈrÈst [ Ó ] vett¸k alapul:<br />
�<br />
1 s � ~ s � Ó : Ó .<br />
L·ttuk azonban, hogy a reverzibilis ·llapotv·ltoz·s mindig egyens˙lyi ·llapotok sor·n<br />
valÛsul meg, s reverzibilit·s csak a rugalmas tartom·nyban lÈtezik. Ebbıl kˆvetkezik az<br />
is, hogy rugalmas ·llapotban, Ès csakis rugalmas ·llapotban, a (3)-mal ekvivalens a<br />
rev irrev<br />
(4) s � s � s : � sà<br />
� �s<br />
egyenlısÈg, mivel ekkor ~ s � sà<br />
, Ès Ó a rugalmastÛl, illetve a reverzibilistıl valÛ eltÈrÈst<br />
egyar·nt leÌrja.<br />
8 Az anyagtˆrvÈny meghat·roz·s·val foglalkozÛ ñ 3, 4, 6 Ès 7. ñ fejezeteknÈl, az egyszer˚sÌtett ñ Ès<br />
sz·moz·s nÈlk¸li ñ ·br·val (mintegy kriptogrammal) a jobb felsı sarokban minden¸tt felt¸ntett¸k, hogy<br />
az ·llapottÈr melyik rÈszÈre vonatkoznak a vizsg·lataink.<br />
2<br />
(F)ij<br />
tˆredezett anyag<br />
zÛn·ja<br />
kÈplÈkeny<br />
zÛna<br />
rugalmas<br />
zÛna<br />
(D)ij<br />
65
Kˆvess¸k a megszokott utat: elıszˆr hat·rozzuk meg az egyens˙lyi, nemdisszipatÌv<br />
·llapotban ÈrvÈnyes ˆsszef¸ggÈst, majd a nemegyens˙lyi, disszipatÌv esetre vonatkozÛt.<br />
66<br />
1. AZ ANYAGT÷RV…NY RUGALMAS NEMDISSZIPATÕV ESETRE KORL¡TOZOTT<br />
A<br />
ALAKJA<br />
� � � � 0 J : X J : X A A<br />
feltÈtelbıl egyens˙ly, azaz egyenlısÈg fenn·ll·sa esetÈn a termodinamikai erık [J] Ès<br />
termodinamikai ·ramok [X] egyar·nt zÈrusok:<br />
1 �A� �<br />
A � � 0,<br />
X � Ó�<br />
� 0,<br />
J � ��TÓ<br />
0.<br />
� �~<br />
s �<br />
X A � F � �T� A � � 0,<br />
J A �<br />
�<br />
A �<br />
� �A<br />
�<br />
Az anyagegyenlet az entrÛpiaprodukciÛ-s˚r˚sÈg zÈrus volt·bÛl kˆvetkezıen, a<br />
rugalmas ·llapotban:<br />
�~<br />
rev s<br />
(5)<br />
F � ��<br />
TA<br />
.<br />
�A<br />
Ennek az F fesz¸ltsÈgtenzornak tˆbb k¸lˆnbˆzı elnevezÈse is lehet. EgyrÈszt a<br />
mechanikai egyens˙lyra vonatkozik, m·srÈszt a rugalmas ·llapotra ÈrvÈnyes Ès<br />
nemdisszipatÌv, harmadrÈszt reverzibilis. A mechanikai ·llapottÈrben minden m·s<br />
v·ltoz·s irreverzibilis, ezÈrt jelˆlj¸k rev indexszel.<br />
Az (5) ˆsszef¸ggÈs teh·t a reverzibilis ·llapotv·ltoz·s esetÈre korl·tozott<br />
anyagtˆrvÈny.<br />
Ez az egyenlet teljesÌti az elıÌrt szimmetriafeltÈtelt is. KÈt szimmetrikus tenzor<br />
szorzata ·ltal·ban nem szimmetrikus, de jelen esetben az A tenzor Ès a � s / �A<br />
fıir·nyai<br />
megegyeznek, ezÈrt szorzatuknak is ezek a fıir·nyai, teh·t a szorzat is szimmetrikus.<br />
Vagyis teljes¸l a<br />
�~ s � �~<br />
T<br />
s � � �~<br />
T<br />
s � �~<br />
T s<br />
A � � A � � � � A � A<br />
�A<br />
� �A<br />
� � �A<br />
� �A<br />
feltÈtel. Az F , A, � / �A<br />
~ rev<br />
s Ès A� / �A<br />
~ s tenzorok fıir·nyai mind azonosak.<br />
Az anyagtˆrvÈnyt ·ltal·ban nem az A alakv·ltoz·ssal, hanem a D deform·ciÛval<br />
szok·s felÌrni, ezÈrt deform·ciÛra felÌrt anyagegyenlet:<br />
rev<br />
�s<br />
�s<br />
� .<br />
(6) F � � TA<br />
� ��T<br />
�D � I�<br />
�A<br />
�D
Ez az ˆsszef¸ggÈs a kis Ès a nagy deform·ciÛk teljes tartom·ny·n egyar·nt ÈrvÈnyes.<br />
2. A RUGALMAS EGYENS⁄LYI ANYAGT÷RV…NY KONKR…T ALAKJA<br />
ANYAGT÷RV…NY A CAYLEY-HAMILTON-T…TEL ALAPJ¡N. A CAYLEY-HAMILTON-tÈtel<br />
kimondja, hogy egy A szimmetrikus tenzor kielÈgÌti az saj·tvektorok meghat·roz·s·ra<br />
szolg·lÛ, (h·romdimenziÛs esetben) harmadfok˙, ˙n. karakterisztikus egyenletet:<br />
3 2<br />
� 1 2 3<br />
(7) A A A � A A � A I � 0 ,<br />
ahol A1, A2, A3 az A tenzor skal·rinvari·nsai.<br />
IzotrÛp tenzorok felÌrhatÛk egy vÈgtelen hatv·nysor alakj·ban:<br />
i<br />
0<br />
1<br />
i<br />
�A� � � A � � A � � A � � � A � �<br />
F �<br />
� � �<br />
rev<br />
F<br />
i�0<br />
mÛdon. Felhaszn·lva a (7) ˆsszef¸ggÈst, mint az<br />
n<br />
i<br />
n�1<br />
0<br />
n�2<br />
A ��<br />
A � � A ��<br />
A � 0<br />
n�1<br />
n�2<br />
rekurzÌv formul·t, a vÈgeredmÈny leg·ltal·nosabban az<br />
1<br />
n�3<br />
n�3<br />
rev<br />
0 1 2<br />
(8) F � F�A�<br />
� f A � f A � f A<br />
alak˙ anyagtˆrvÈnyt eredmÈnyezi, ahol az fi egy¸tthatÛk csak a Ai skal·rinvari·nsoktÛl<br />
f¸gghetnek. Ez a (8) ˆsszef¸ggÈs csak az izotrÛp tenzorokra vonatkozÛ egyenlet, s nem<br />
haszn·ltuk fel a felÌr·s·hoz az F rev Ès D kˆzˆtti fizikai ˆsszef¸ggÈst, amelyet az<br />
entrÛpiamÈrlegbıl kapunk.<br />
~ s � ~ e egyens˙lyi entrÛpiaf¸ggvÈnnyel:<br />
Az s � , A�<br />
F<br />
rev<br />
�~<br />
s<br />
� ��<br />
TA<br />
,<br />
�A<br />
A<br />
s ennek megfelelıen ÌrhatÛ, hogy<br />
�1<br />
F<br />
rev<br />
0<br />
�~<br />
s<br />
� ��T<br />
,<br />
�A<br />
d~<br />
s d~<br />
s<br />
1<br />
: A�<br />
� rev<br />
� �T<br />
� ��T<br />
� A F : A�<br />
� A<br />
dt dA<br />
�1<br />
� f1A<br />
: A�<br />
� f2<br />
I�<br />
: A�<br />
� f3A<br />
: A�<br />
.<br />
Az A skal·rinvari·nsai:<br />
A<br />
A<br />
A<br />
1<br />
2<br />
3<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�TrA� Tr A�<br />
TrA<br />
� I : A � a<br />
1<br />
2<br />
2<br />
�<br />
1<br />
1<br />
2<br />
det A � a a a<br />
2<br />
3<br />
,<br />
1<br />
� a<br />
2<br />
1<br />
�1<br />
� a<br />
A : A � a a<br />
1<br />
A<br />
2<br />
�1<br />
F<br />
rev<br />
2<br />
i<br />
~<br />
: A�<br />
�s<br />
� ��T<br />
: A�<br />
,<br />
�A<br />
2<br />
�f I � f A � f A �<br />
3<br />
,<br />
1<br />
� a<br />
2<br />
a<br />
3<br />
2<br />
� a<br />
3<br />
a<br />
1<br />
3<br />
,<br />
: A�<br />
�<br />
.<br />
67
(ahol ai-k az A saj·tÈrtÈkei) felhaszn·l·s·val a<br />
�<br />
d<br />
~<br />
s � �<br />
~<br />
s dA ~<br />
~<br />
1 �s<br />
dA2<br />
�s<br />
� �T<br />
� ��T<br />
� �<br />
�<br />
dt ��A1<br />
�dt �A2<br />
�dt �A3<br />
TrA�<br />
�TrA �TrA� A: A�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
dA � 3<br />
� �<br />
�dt<br />
�<br />
D3A:<br />
A�<br />
�<br />
� �~<br />
s ~<br />
TrA�<br />
�s<br />
� ��T<br />
� �<br />
��A1<br />
�A2<br />
~<br />
TrATrA�<br />
A : A�<br />
�s<br />
� �<br />
�A3<br />
1<br />
A3A<br />
: A�<br />
� �<br />
� f1A<br />
: A�<br />
� f 2TrA�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
eredmÈnyt kapjuk, ahonnan a A Ès A� tetszıleges volta miatt kˆvetkezik, hogy<br />
(9)<br />
f 0 � f 0 �A1 , A2<br />
, A3<br />
�<br />
f1<br />
� f1�A<br />
1,<br />
A2<br />
, A3<br />
�<br />
f 2 � f 2 �A1 , A2<br />
, A3<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�~<br />
s<br />
� �TA3<br />
,<br />
�A3<br />
� �<br />
~<br />
s �<br />
~<br />
s �<br />
� �T�<br />
� � A1<br />
,<br />
A1<br />
A �<br />
�<br />
� � � 2 �<br />
�~<br />
s<br />
� �T<br />
.<br />
�A<br />
68<br />
� � f A : A�<br />
,<br />
Az fi egy¸tthatÛk azonban nem lehetnek f¸ggetlenek egym·stÛl, mert pÈld·ul ki kell<br />
elÈgÌteni¸k a vegyes parci·lis deriv·ltak egyenlısÈgÈnek feltÈtelÈt.<br />
Ezek ut·n az A alakv·ltoz·si tenzorrÛl tÈrj¸nk ·t a D deform·ciÛtenzorra. Mivel a kettı<br />
kˆzˆtt az A = D +I kapcsolat van, ezÈrt D skal·rinvari·nsai a<br />
D<br />
D<br />
D<br />
1<br />
2<br />
3<br />
�<br />
�<br />
�<br />
TrD<br />
� I : D<br />
1<br />
2<br />
2 ��TrD � � D : D�<br />
detD<br />
form·ban felÌrhatÛk, s Ìgy az anyagtˆrvÈny:<br />
1<br />
3<br />
1<br />
2<br />
� A � 3,<br />
� 2A<br />
� A<br />
2<br />
1<br />
� 3,<br />
� A � 3A<br />
� A �1<br />
rev<br />
2<br />
(10) F � F�D�<br />
� � I � � D � � D<br />
ahol<br />
� � f � f � f , � � f � 2 f , � � f .<br />
0<br />
0<br />
1<br />
2<br />
1<br />
0<br />
AZ ANYAGT÷RV…NY DEVIATORIKUS …S T…RFOGATV¡LTOZ¡SI EGYENLETE. A<br />
rev rev rev<br />
devi·toros [ F � T � To<br />
] Ès gˆmbi [D = E + Eo] felbont·snak megfelelı<br />
egyenleteket torzul·si Ès tÈrfogatv·ltoz·si egyenleteknek szok·s nevezni, holott ez csak<br />
a kis deform·ciÛkn·l lenne megengedhetı elnevezÈs. 9 MÈgis a jˆvıben a megszok·s<br />
miatt ezt haszn·ljuk. ¡tmenetileg elhagyva a rev indexet, az<br />
F � F<br />
D � D<br />
� F<br />
: � T � T<br />
,<br />
1<br />
1<br />
� � I �<br />
2<br />
Tr<br />
2<br />
2<br />
,<br />
2<br />
2<br />
1<br />
�F�I, T � F � Tr�F�I<br />
,<br />
3<br />
1<br />
�D�I, E � D � Tr�D�<br />
I,<br />
1<br />
devi·tor gˆmb<br />
o o o 3<br />
devi·tor � D gˆmb : � E � Eo<br />
, Eo<br />
1 � � oI<br />
� Tr 3<br />
� o<br />
1 � 3 � x � � y � � z<br />
1 � Tr 3 ,<br />
1 � o � � � �<br />
3 x � y � z<br />
1 � 3<br />
T<br />
� � �F� � � Tr�D�<br />
9<br />
Ekkor ugyanis a relatÌv tÈrfogatv·ltoz·st kifejezı det( A ) � 1 kˆzelÌtıleg megegyezik a Tr(D)-vel.<br />
3<br />
3
egyenleteket ÈpÌtj¸k be a (10) anyagegyenletbe, figyelembe vÈve, hogy a tenzorok<br />
nyom·t az egyenlet mindkÈt oldal·ra fel kell Ìrni:<br />
0<br />
1<br />
o<br />
2 1<br />
1<br />
1 2<br />
�� I � � D � � D � � � Tr�I�<br />
� � Tr�D�<br />
� � Tr�<br />
�<br />
1 1<br />
� o � TrF<br />
� Tr<br />
3 3 0 1 2 3 0 3 1<br />
3 2 D<br />
1 2 2 2<br />
� � � � � � � �� � � � � �.<br />
3<br />
2<br />
x<br />
y<br />
z<br />
Ez maga az egyens˙lyi anyagegyenlet tÈrfogatv·ltoz·si rÈsze. A deform·ciÛtenzor<br />
felbont·s·t felhaszn·lva a fesz¸ltsÈgtenzor<br />
F � � I � � D � � D<br />
�<br />
alakban ÌrhatÛ fel.<br />
0<br />
�E � � I�<br />
� � �E � � I�<br />
2<br />
2<br />
�� � � � � � � �I � �� � 2� � �E � � E<br />
0<br />
1<br />
1<br />
o<br />
2<br />
2<br />
2<br />
o<br />
� � I � �<br />
Az anyagtˆrvÈny torzul·si rÈsze pedig, a definÌciÛbÛl kˆvetkezıen:<br />
0<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2 2 2<br />
�� � � � � � � �I � �� � 2�<br />
� �E � � E ��<br />
� � � � 1 � �� � � � � I,<br />
F � � oI<br />
� 0 1 o 2 o 1 2 o 2 0 1 o 3 2 x y � z<br />
s az egyszer˚sÌtÈsek ut·n az anyagtˆrvÈny kÈt egyenletbe felÌrt deviatorikus alakja:<br />
(11)<br />
2 1 2 2 2<br />
�� � �� � � � � ��I<br />
� �� � 2�<br />
� �<br />
T � � 2 o 1 2 3 1 2 o E � �2E<br />
,<br />
3<br />
1 2 2 2<br />
� � � � � � � � �� � � � � �.<br />
A szok·sos line·risan rugalmas esetre<br />
o<br />
0<br />
1<br />
o<br />
2 3<br />
1<br />
(12) � � � D , � � 2�,<br />
� � 0 , illetve � � � K � 2G�TrD<br />
, � � 2G,<br />
� � 0 ,<br />
0<br />
Tr 1<br />
2<br />
megkapjuk az ˙n. HOOKE-tˆrvÈnyt:<br />
rev<br />
1<br />
0<br />
2<br />
o<br />
o<br />
3<br />
2<br />
2<br />
3 3<br />
1<br />
2<br />
� 1 � 3K<br />
� � � � 3K<br />
� �<br />
2 � � �<br />
o<br />
3 2<br />
� � � �<br />
2<br />
�<br />
� � G � � � � G � �<br />
(13) F � G D � �1<br />
Tr�D�<br />
I � 2G<br />
D � �1<br />
� I ,<br />
illetve a megszokott torzul·si (devi·toros) Ès tÈrfogatv·ltoz·si (gˆmbi) rÈszre bontva, a<br />
HOOKE-tˆrvÈny egyszer˚bb, Ès szemlÈletesebb alakj·t:<br />
rev<br />
rev<br />
2 o<br />
o o o<br />
(14) T � GE,<br />
T � 3KE<br />
, [ � � 3K�<br />
].<br />
…rtelmezz¸k ezt az eredmÈnyt:<br />
(i) A fizikai tˆrvÈnyek kimondj·k, hogy izotrÛp anyag esetÈn a reverzibilis<br />
·llapotv·ltoz·st leÌrÛ anyagtˆrvÈny (az egyens˙lyban lÈvı kˆzeg anyagtˆrvÈnye) 10<br />
legfeljebb m·sodfok˙ lehet. Azt azonban nem mondja, hogy m·sodfok˙nak is kell<br />
lennie. Lehet elsıfok˙ is.<br />
(ii) Ha pl. az egytengely˚ nyomÛkÌsÈrletekre gondolunk, akkor ez azt jelenti, hogy a<br />
felterhelÈs m·sodfok˙ tˆrvÈnyt kˆvetve megy vÈgbe, s tehermentesÌtÈsnÈl<br />
10 Az ·ltal·nos anyagtˆrvÈny egyens˙ly esetÈre egyszer˚sˆdˆtt form·ja.<br />
o<br />
2<br />
�<br />
2<br />
�<br />
69
70<br />
ugyanezen m·sodfok˙ gˆrbe mentÈn jutunk vissza az origÛba, mivel reverzibilis<br />
·llapotv·ltoz·sn·l kˆrfolyamat esetÈn ��<br />
d � �0 .<br />
(iii) Az elm˙lt Èvek sor·n eddig nem tal·ltunk a (ii) feltÈtelt kielÈgÌtı agyagot (kızetet,<br />
acÈlt, gumit, m˚anyagot). Mindig azt tapasztaltuk, hogy ��<br />
d � �0 , vagyis<br />
hiszterÈzis jelentkezett, ami energiavesztesÈget, teh·t irreverzibilis ·llapotv·ltoz·st<br />
jelentett.<br />
(iv) Az anyagokn·l a ÑvÈgtelen lass˙î terhelÈsi sebessÈget kˆzelÌtı esetekben (nagy<br />
pontoss·ggal) line·ris ˆsszef¸ggÈst kaptunk. Ez azonban semmi bizonyÌtÈkot nem<br />
jelent, mert fizikai tˆrvÈnyeket gyakorlati kÌsÈrletekkel bizonyÌtani nem lehet, csak<br />
elmÈleti ˙ton.<br />
(v) Az elmondottakbÛl az kˆvetkezik, hogy ellenkezı bizonyÌtÈkok felbukkan·s·ig a<br />
rugalmas reverzibilis anyagtˆrvÈnyt m·sodfok˙nak kell tekinteni.<br />
3. A RUGALMAS EGYENS⁄LYI ANYAGT÷RV…NY LINE¡RIS ALAKJA<br />
Az (i)-(v) elmondottak ellenÈre a kˆvetkezıkben az ·ltal·nos kvadratikus forma<br />
helyett a speci·lis line·ris form·t fogjuk haszn·lni, amelynek tˆbb oka is van:<br />
1. Mind a mai napig nem siker¸lt a 0 1 ,� � Ès � 2 kˆzˆtti ˆsszef¸ggÈseket felt·rni,<br />
Ìgy alkalmaz·sukkal az izotrÛpia kÈt anyag·llandÛja helyet h·rmat haszn·ln·nk. 11<br />
2. Sz·mos laboratÛriumi vizsg·latot vÈgig elemezt¸nk oly mÛdon, hogy line·ris Ès<br />
kvadratikus f¸ggvÈnnyel kˆzelÌtett¸k a mÈrÈsi adatokat, s arra a kˆvetkeztetÈsre<br />
jutottunk, hogy a �2 ÈrtÈke (amely mindig negatÌv) a deform·ciÛ nÈgyzetÈvel szorozva<br />
mindig elhanyagolhatÛ eredmÈnyt szolg·ltatott, nem Èrte el a fesz¸ltsÈg 1%-·t sem, s a<br />
regressziÛs indexben sincs mÈrtÈkadÛ k¸lˆnbsÈg.<br />
Az 1. ·br·n a kˆzˆlt Ès alapul vett, szilÈziai feketeszÈnre vonatkozÛ K£ECZEK-fÈle<br />
egytengely˚ nyomÛkÌsÈrlet adataival mutatjuk be a kÈt esetet. AzÈrt k¸lˆn ·br·ban, mert<br />
szemmel szinte meg sem k¸lˆnbˆztethetık a line·ris Ès kvadratikus gˆrbÈk egym·stÛl.<br />
A legalsÛ ·bra mutatja a kÈt ˆsszef¸ggÈs kˆzˆtti k¸lˆnbsÈget kinagyÌtva.<br />
3. Az elızı kÈt pontban leÌrtakbÛl kˆvetkezıen: kisebb hiba kÈt anyag·llandÛval<br />
dolgozni, mint olyan h·rommal, ami valÛj·ban csak kettı, de nem ismerj¸k a kˆzˆtt¸k<br />
lÈvı ˆsszef¸ggÈst.<br />
11 Figyelemre mÈltÛ eredmÈnyeket hoztak [L¡MER G., (2007)] Ès [T”TH J., (2007)] tanulm·nyai, amelyek<br />
r·mutattak sz·mos belsı ˆsszef¸ggÈsre, azonban a kÌv·natos vÈgeredmÈnyt mÈg nem szolg·ltatt·k.
70MPa<br />
60MPa<br />
50MPa<br />
40MPa<br />
30MPa<br />
20MPa<br />
10MPa<br />
0MPa<br />
1,0MPa<br />
0,5MPa<br />
0,0MPa<br />
-0,5MPa<br />
s = 4727e<br />
R 2 = 0,9994<br />
0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 0,014<br />
70MPa<br />
60MPa<br />
50MPa<br />
40MPa<br />
30MPa<br />
20MPa<br />
10MPa<br />
s = 4853e -11626e 2<br />
R 2 = 0,9996<br />
0MPa<br />
0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 0,014<br />
1. a) ·bra 1. b) ·bra<br />
-1,0MPa<br />
0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 0,014<br />
1. c) ·bra<br />
A (6) alatti anyagtˆrvÈnyt Ìrjuk<br />
fel<br />
(15)<br />
�~<br />
rev<br />
s<br />
F � ��T<br />
�I � D�<br />
�<br />
�D<br />
� �~<br />
s �~<br />
s<br />
� �T<br />
�E<br />
�<br />
� �E<br />
��<br />
o<br />
�<br />
�1 � � o �I�� form·ban, ahol a m·sodik kifejezÈs a D tenzornak a felbont·sa egy nyomnÈlk¸lire<br />
(devi·toros rÈszre) Ès az I egysÈggel ar·nyos (gˆmbi) rÈszre. Ugyanezt tÈve az F<br />
tenzorral, megkapjuk az anyagtˆrvÈny deviatorikus alakj·t:<br />
(16)<br />
T<br />
T<br />
rev<br />
rev<br />
o<br />
� F<br />
� �<br />
rev<br />
rev<br />
o<br />
� �<br />
I<br />
rev<br />
o<br />
I<br />
� �~<br />
s 1 � �~<br />
s � �<br />
� ��T<br />
�E<br />
� tr�<br />
E�I<br />
,<br />
E 3 E<br />
�<br />
� � � � � �<br />
�1<br />
� �~<br />
s � �~<br />
s<br />
� ��T<br />
� tr�<br />
E�<br />
�<br />
�3<br />
� �E<br />
� ��<br />
o<br />
Ez a tˆrvÈny kis Ès nagy deform·ciÛkn·l egyar·nt ÈrvÈnyes.<br />
�1 � � � I.<br />
Ha feltÈtelezz¸k, hogy ezek a (16) ˆsszef¸ggÈsek line·risak (HOOKE-tˆrvÈny), akkor<br />
(14)-el egyenlıvÈ tÈve, a<br />
� �~<br />
s 1 � �~<br />
s � �<br />
� �T<br />
�E<br />
� tr�<br />
E�I<br />
E 3 E<br />
�<br />
� � � � � �<br />
�1<br />
� �~<br />
s � �~<br />
s<br />
� �T<br />
� tr�<br />
E�<br />
�<br />
�3<br />
� �E<br />
� ��<br />
o<br />
� 2GE,<br />
�1 � � � I � 3KE<br />
�3K� I�,<br />
egyenletekbıl a rugalmas anyag·llandÛk termodinamikai ˆsszef¸ggÈse vezethetı le:<br />
o<br />
�<br />
�<br />
�<br />
o<br />
o<br />
o<br />
�<br />
�<br />
�<br />
71
(17)<br />
72<br />
2GI<br />
3K<br />
: �<br />
: �<br />
� �~<br />
s 1 � �~<br />
s ��<br />
� �T<br />
�E<br />
� tr�<br />
E�<br />
3<br />
�E<br />
� �E<br />
� �E<br />
��<br />
�1<br />
� � � �~<br />
s<br />
� �T<br />
� tr�<br />
E�<br />
�<br />
�3<br />
� �E<br />
� ��<br />
o<br />
�1<br />
,<br />
�1 � � � .<br />
EGYTENGELY¤ FESZ‹LTS…G¡LLAPOT. A (16) ˆsszef¸ggÈsnek minden esetben fenn<br />
kell ·llnia, ezÈrt Èrdemes megnÈzni egytengely˚ fesz¸ltsÈg·llapotban az anyagtˆrvÈny<br />
alakj·t, mert kˆzelebb juthatunk az anyag·llandÛk termodinamikai tartalm·hoz,<br />
egyszer˚bb ˆsszef¸ggÈst kaphatunk.<br />
Legyen az egytengely˚ terhelÈs �, a hozz·tartozÛ tengelyir·ny˙ deform·ciÛ �, a<br />
keresztir·ny˙ pedig � k . A HOOKE-tˆrvÈnynÈl megszokott az m POISSON-sz·m<br />
haszn·lata, amely a definÌciÛ szerint: m : ��<br />
/ � k<br />
o<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� , 12 1<br />
s ekkor o � , 3<br />
1<br />
� � � � �� � 2�<br />
�,<br />
m � 2<br />
illetve � o � � . Ekkor a HOOKE-tˆrvÈny egyetlen skal·r egyenlettÈ egyszer˚sˆdik:<br />
3m<br />
(18)<br />
(19)<br />
ekkor<br />
Ekkor<br />
m � 1 m � 2 2G<br />
6K<br />
6K<br />
� 2G<br />
� � E�<br />
, E : � 2G<br />
: � 3K<br />
, m � � � .<br />
m m E � 2G<br />
3K<br />
� E 3K<br />
� 2G<br />
F �<br />
tov·bb·<br />
�<br />
ij<br />
�<br />
�<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0 ,<br />
0<br />
o<br />
o<br />
�<br />
o<br />
T � F ��<br />
I �<br />
1<br />
� � ,<br />
3<br />
�<br />
��<br />
E � D � � I � � � � �<br />
ij<br />
ij<br />
o<br />
o<br />
D �<br />
�<br />
ij<br />
ij<br />
: �<br />
: �<br />
�<br />
ij<br />
s<br />
s<br />
ij<br />
ij<br />
�<br />
�<br />
1<br />
0<br />
0<br />
1<br />
3<br />
�<br />
2<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
m �1<br />
�<br />
3m<br />
1<br />
m<br />
�1<br />
2<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
�<br />
0<br />
0<br />
1<br />
m<br />
0<br />
�1<br />
0<br />
�,<br />
0<br />
0<br />
�1<br />
,<br />
0<br />
�1<br />
o<br />
0 � ,<br />
m � 2 3m<br />
� m � 2 m � 1<br />
e � � � � o � � � � � � � 2 � ,<br />
3m<br />
3m<br />
3m<br />
� m � 2 3 � m � 2 m � 1<br />
ek<br />
� � k � � o � � � � � � � � � �.<br />
m 3m<br />
3m<br />
3m<br />
3<br />
m � 2<br />
� o � �,<br />
3m<br />
Egytengely˚ fesz¸ltsÈg·llapotra korl·tozott entrÛpiaf¸ggvÈnyt jelˆlj¸k sà -sel, s<br />
12<br />
Ne feledj¸k, hogy ez csak az idıf¸ggÈs nÈlk¸li HOOKE-tˆrvÈnynÈl anyag·llandÛ, mert ·ltal·ban a<br />
hossz- Ès keresztir·ny˙ deform·ciÛ h·nyadosa idıf¸ggı, s csup·n a t � � esetben konverg·l az m<br />
ÈrtÈkhez.<br />
k
�sà<br />
�sà<br />
��<br />
�sà<br />
3m<br />
� �<br />
�e<br />
��<br />
�e<br />
��<br />
2<br />
�m � 1�<br />
1<br />
2<br />
,<br />
�sà<br />
�e<br />
k<br />
�sà<br />
��<br />
�sà<br />
3m<br />
� � � ,<br />
��<br />
�e<br />
��<br />
m � 1<br />
k<br />
�sà<br />
��<br />
o<br />
�sà<br />
��<br />
�sà<br />
3m<br />
� � ,<br />
��<br />
��<br />
��<br />
m � 2<br />
0 0<br />
1 0 0<br />
�sà 3m<br />
�sà<br />
�sà<br />
�sà<br />
1 � �s<br />
� �sà<br />
� 0 �1<br />
0 , E � 0 1 0 � , tr�<br />
E�<br />
� �,<br />
�E<br />
m �1<br />
��<br />
�E<br />
��<br />
3 � �E<br />
� ��<br />
0 0 �1<br />
0 0 1<br />
ˆsszef¸ggÈsek adÛdnak, amelyekkel a (16) anyagegyenlet a kˆvetkezı:<br />
(20)<br />
Ezt egyenlıvÈ tÈve a HOOKE-tˆrvÈnnyel a<br />
(21)<br />
� m �1<br />
�<br />
� 2�T<br />
� �<br />
� 3m<br />
�<br />
�sà<br />
� 2�T<br />
��<br />
o<br />
�<br />
� m � 1�<br />
� �2�T<br />
� �<br />
� 3m<br />
�<br />
�sà<br />
� ,<br />
��<br />
�sà<br />
� o � �2�T<br />
��<br />
�1 � � o �.<br />
2<br />
�sà<br />
� � E�,<br />
��<br />
o<br />
o<br />
�1 � � � � 3K�<br />
, � 3K<br />
: � �2�T<br />
,<br />
o<br />
o<br />
�<br />
2<br />
� m �1<br />
�<br />
E : � �2�T<br />
� �<br />
� 3m<br />
�<br />
�sà<br />
,<br />
��<br />
�sà<br />
1�<br />
�<br />
��<br />
�<br />
teh·t az anyag·llandÛkra a (17)-nÈl sokkal egyszer˚bb kifejezÈst kapunk. Igaz, hogy ez<br />
nem az s-sel, hanem az sà -vel van kifejezve, Ès nincs meg a G cs˙sztatÛ rugalmass·gi<br />
modulus termodinamikai egyenlete. Ehhez az E, 3K, Ès 2G (18) alatti ˆsszef¸ggÈsÈt<br />
felhaszn·lva kÈt k¸lˆnbˆzı ˆsszef¸ggÈs is levezethetı:<br />
(22)<br />
Az utolsÛ sor<br />
� m � 1�<br />
E � �2�T<br />
� �<br />
� 3m<br />
�<br />
�sà<br />
,<br />
��<br />
�sà<br />
3K<br />
� �2�T<br />
��<br />
1 � � o<br />
,<br />
�<br />
2G<br />
� E<br />
kÈt ˆsszef¸ggÈsÈbıl:<br />
(23)<br />
o<br />
2<br />
o<br />
m m � 1 �sà<br />
m � 2 m � 2 �sà<br />
1 � � o<br />
� �2�T<br />
� 3K<br />
� �2�T<br />
.<br />
m � 1 9m<br />
��<br />
m � 1 m � 1 ��<br />
�<br />
m�m<br />
� 2�<br />
�m � 1�<br />
m � 1 �sà<br />
m � 2 �sà<br />
1 � � o<br />
�<br />
9m<br />
��<br />
m � 1 ��<br />
�<br />
o<br />
o<br />
2 �m � 1�<br />
m�m<br />
� 2�<br />
�sà 9 �sà<br />
1 � � o �sà<br />
�sà<br />
� o<br />
�<br />
, �<br />
��<br />
��<br />
� ��<br />
9 ��<br />
1 �<br />
2<br />
o o o<br />
� o<br />
4. A LINE¡RIS …S A M¡SODFOK⁄ ALAK ÷SSZEHASONLÕT¡SA<br />
AZ EGYTENGELY¤ ESET kapcs·n tÈrj¸nk mÈg vissza a kvadratikus anyagf¸ggvÈnyhez,<br />
amelyet megismerÈsi okokbÛl voltunk kÈnytelenek kiz·rni. Ez azt jelenti,<br />
o<br />
2<br />
o<br />
o<br />
.<br />
o<br />
o<br />
73
hogy ezideig kÈptelenek voltunk feltˆrni azt a z·rat, amely mˆgˆtt megtal·ln·nk azt az<br />
ˆsszef¸ggÈst, hogy a<br />
(23)<br />
74<br />
� � a� � a<br />
ˆsszef¸ggÈsben szereplı egy¸tthatÛk kˆzˆtt milyen ˆsszef¸ggÈs van. Az tudjuk, hogy a<br />
kvadratikus tag egy¸tthatÛja negatÌv ñ ugyanis a � �� � monoton nˆvekvı alulrÛl konvex<br />
ñ, ezÈrt Ìrtuk fel ilyen form·ban. A (23) helyett kifejezıbb, ha az a * -t az a ar·ny·ban<br />
fejezz¸k ki:<br />
ahol � min 0 � � � � max<br />
* 2<br />
�<br />
� *<br />
* 2<br />
�<br />
� � � �<br />
a<br />
� a � a � a 1�<br />
� ��<br />
� a�1<br />
� �� �� ,<br />
� �<br />
� a �<br />
� egy ·llandÛ, melyet meghat·rozni azonban eddig semmifÈle<br />
fizikai ˙ton nem siker¸lt.<br />
�<br />
� E�<br />
� 2<br />
arctg E<br />
Rajzoljuk fel az 1. ·br·nak<br />
megfelelıen, - de jelentısen eltorzÌtva - a<br />
line·ris Ès a kvadratikus ˆsszef¸ggÈst (2.<br />
·bra) abbÛl a cÈlbÛl, hogy a<br />
kontinuummechanik·val, laboratÛriumi<br />
vizsg·latokkal foglalkozÛ kutatÛk<br />
figyelmÈt r·ir·nyÌtsuk a problÈm·ra.<br />
Az � korl·tos: � min � � � �max. Az<br />
alsÛ korl·tja: �min = 0, s ekkor az<br />
anyagtˆrvÈny line·ris lesz. A felsı korl·t<br />
�max ÈrtÈkÈre azonban nagyon nehÈz<br />
becslÈst adni.<br />
Az egyik lehetısÈg (3. ·bra), hogy kimondjuk, hogy az � csak addig nˆvekedhet,<br />
- mÌg a �(�) f¸ggvÈny is nˆvekszik, mivel a maximumon t˙l m·r nem teljes¸l a<br />
monoton nˆvekedÈs feltÈtele. A szÈlsıÈrtÈk:<br />
d�<br />
� a<br />
d�<br />
� � a� � a��<br />
arctg a<br />
2. ·bra<br />
�<br />
d�<br />
d�<br />
1<br />
2�<br />
1<br />
�<br />
� � 2��<br />
� , � 0,<br />
� � � , � � ,<br />
1 max<br />
max<br />
�<br />
E�<br />
� max<br />
3. ·bra<br />
�<br />
f
Vagyis<br />
ahol �f a foly·shat·rhoz tartozÛ fajlagos ny˙l·s. Ez az ÈrtÈk azonban sokszorosa<br />
a re·lisnak.<br />
A m·sik lehetısÈg, hogy<br />
�<br />
E�<br />
Emin� - a maximumhoz tartozÛ gˆrbe kiegyenlÌtı egyenesÈnek<br />
ir·ny-tangense adja a felsı korl·tot:<br />
� E� 1� �� � E ,<br />
� max<br />
4. ·bra<br />
�<br />
� � �<br />
ahonnan<br />
�� , � �<br />
� �<br />
�<br />
� � �<br />
�<br />
� �<br />
� � �<br />
� min<br />
E � E<br />
� �<br />
E�<br />
min<br />
� E<br />
� �1�<br />
� E<br />
�� , � min �<br />
�� , � �<br />
� E�,<br />
� E�<br />
�1 ���<br />
�,<br />
�� , � � � E �.<br />
max<br />
min<br />
min<br />
� 1<br />
� .<br />
� �<br />
A kÈt szÈlsı esetben egyar·nt a line·ris anyagtˆrvÈnyt kapunk. …s a kˆzbensı<br />
esetekben? Mi lehet a teendı? A kÈrdÈsre a v·laszt nem tudjuk.<br />
� min<br />
5.·bra<br />
� max<br />
Vagy lehet az a megold·s ñ ami meglehetısen trivi·lisnak t˚nik ñ, hogy a<br />
kvadratikus anyagtˆrvÈny csup·n a CAYLEY-HAMILTON-tÈtelbıl adÛdÛ matematikai<br />
lehetısÈg, a fizikai megold·s a linearit·s? Ezt azonban L¡MER Ès T”TH vizsg·latai nem<br />
igazolj·k.<br />
Mivel a kÈrdÈst nem tudjuk eldˆnteni, vÈgezz¸nk el egy elvi sz·mÌt·st. Egytengely˚<br />
fesz¸ltsÈg·llapotban az anyagegyenlet line·ris tagj·t jelˆlj¸k, a HOOKE-tˆrvÈnynÈl<br />
megszokott E-vel, a kvadratikus tagot pedig adjuk meg az E sz·zalÈk·ban: -E�<br />
form·ban.<br />
E<br />
Emin<br />
�<br />
75
a tengelyir·ny˙ fesz¸ltsÈg [MPa]<br />
76<br />
90<br />
75<br />
60<br />
45<br />
30<br />
15<br />
0<br />
� � E�<br />
� 5.<br />
000�<br />
b�0%<br />
0 30 60 90 120 150 180<br />
a tengelyir·ny˙ fajlagos ny˙l·s [10 -4 ]<br />
6. ·bra<br />
0%<br />
1.000%<br />
2.500%<br />
5.000%<br />
10.000%<br />
maximum<br />
� Az anyagegyenlet<br />
1.000%<br />
2.500%<br />
5.000%<br />
10.000%<br />
maximum<br />
� �<br />
E� � E��<br />
0% � � 5 �10<br />
�<br />
3<br />
Az eddig ·tnÈzett laboratÛriumi<br />
mÈrÈseinknÈl maximum � = 400%-ot<br />
(az E ÈrtÈkÈnek nÈgyszeresÈt)<br />
Èszlelt¸nk.<br />
Ennek ellenÈre E = 5.000 MPa<br />
ÈrtÈk mellett, vegy¸k az � ÈrtÈkÈt<br />
kˆzˆttinek.<br />
� E<br />
0 � � � �1�<br />
� E<br />
min ��<br />
� 1<br />
�<br />
Az eredmÈnyek a 6. ·br·n<br />
l·thatÛk.<br />
Mindegyik gˆrbÈhez meghat·roztuk<br />
a line·ris kiegyenlÌtı f¸ggvÈnyt, s<br />
az adatokat a t·bl·zat t¸nteti fel.<br />
A line·ris kˆzelÌtÈs<br />
egyenlete regressziÛja<br />
3 6 2<br />
� 5 �10<br />
� � 5 10 � � � 4.<br />
827�<br />
R 2 = 0,9997<br />
� �<br />
3<br />
6 2<br />
� 5�10 � �12,<br />
5 10 � � � 4.<br />
598�<br />
R 2 = 0,9982<br />
� �<br />
3<br />
6 2<br />
� 5 �10<br />
� � 25 10 � � � 4.<br />
275�<br />
R 2 = 0,9940<br />
� �<br />
3 7 2<br />
� 5 �10<br />
� � 5 10 � � � 3.<br />
757�<br />
R 2 = 0,9802<br />
� �<br />
3 8 2<br />
� 5 �10<br />
� 10 � � � 2.<br />
178�<br />
R 2 = 0,7189<br />
� �<br />
A megoldandÛ feladatot teh·t tˆbb oldalrÛl kˆr¸lj·rtuk, azonban a kvadratikus<br />
anyagtˆrvÈnyben szereplı h·rom darab anyagf¸ggvÈnyt nem siker¸lt lecsˆkkenten¸nk<br />
kettıre. Helyesebben egytengely˚ fesz¸ltsÈg·llapotn·l tov·bbra is kÈt anyag·llandÛnk<br />
van: E Ès 3K, valamint egy nem f¸ggetlen � paramÈter.<br />
Foglaljuk ˆssze az eddigieket kicsit ·ltal·nosabban. A rugalmas tartom·nyban a<br />
reverzibilis (egyens˙lyi) anyagtˆrvÈny leg·ltal·nosabb form·ja tetszıleges nagys·g˙, de<br />
vÈges deform·ciÛk esetÈn:<br />
13 Jelen sz·mpÈld·nkn·l � max � 28.000%<br />
2<br />
f<br />
13
(11)<br />
2 2 2 2<br />
�� � 1 �� � � � � ��I<br />
� �� � 2�<br />
� �<br />
( a) T � �2<br />
o 1 2 3 1 2 o E � �<br />
3<br />
2E<br />
2 2 2<br />
( b)<br />
� � � � � � � � 1 �� � � � � �.<br />
o<br />
0<br />
1<br />
o<br />
2 3<br />
Egytengely˚ fesz¸ltsÈg·llapotn·l a fesz¸ltsÈgtenzornak egyetlen zÈrustÛl k¸lˆnbˆzı<br />
skal·r komponense van: � (a tengelyir·ny˙ fesz¸ltsÈg), a deform·ciÛtenzornak pedig 3,<br />
amely 2 k¸lˆnbˆzı � Ès �k (tengely- Ès keresztir·ny˙ fajlagos ny˙l·s). Az m POISSONsz·mmal<br />
ˆsszefoglalÛan:<br />
(24)<br />
�<br />
o<br />
�<br />
1<br />
3<br />
� ,<br />
2<br />
� � � o �<br />
3m<br />
� � � �<br />
o<br />
2<br />
3<br />
� ,<br />
�m �1�<br />
2�m<br />
�1�<br />
2 2 2<br />
� � � , �� � � � � �<br />
m � 2<br />
m � 2<br />
� o � �,<br />
3m<br />
2 2 2<br />
A (11b) alatti � � � � � � � 1 �� � � � � �<br />
kiindulva, a (24) felhaszn·l·s·val<br />
(25) � �� �<br />
ÌrhatÛ.<br />
o<br />
0<br />
1<br />
o<br />
o<br />
2 3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2<br />
3<br />
3m<br />
� � � o,<br />
m � 2<br />
3<br />
3<br />
2<br />
m � 2 2 m<br />
� � � 9<br />
2<br />
m<br />
2<br />
2<br />
,<br />
�m � 2�<br />
� 2 2<br />
� .<br />
� tÈrfogatv·ltoz·si egyenletbıl<br />
o<br />
o<br />
m � 2<br />
� � � � � � 3� �<br />
0<br />
1<br />
o<br />
2<br />
2<br />
�m � 2�<br />
2 2 2 2<br />
2<br />
A (11a) alatti T � �� � 1 �� � � � � ��I<br />
� �� � � � �E � f<br />
egyenletbıl kiindulva<br />
� torzul·si<br />
2 o 3 1 2 3 1 2 2 o 2E<br />
2<br />
(26) � �� � � � � � � �<br />
vezethetı le.<br />
1<br />
m �1<br />
m �1<br />
m<br />
2 2<br />
m<br />
Ha a (26) ˆsszef¸ggÈsbe a (24) megfelelı tÈrfogati paramÈtereket helyettesÌtj¸k,<br />
akkor a torzul·si egyenlet egy ˙jabb felÌr·s·t kapjuk:<br />
(27)<br />
m � 2 m � 2 2<br />
� �� � � 3� 0 � �1<br />
� � �2<br />
� ,<br />
2<br />
m m<br />
amelyek termÈszetesen azonosak:<br />
�<br />
1<br />
2<br />
2<br />
�m � 1�<br />
m � 1 2 m � 2 m � 2 2<br />
m<br />
� � �<br />
2<br />
m<br />
Ez az egyenlet � 0-ra megoldhatÛ:<br />
(28)<br />
2<br />
� � 3�<br />
� �<br />
0<br />
1<br />
2<br />
m<br />
1 1 2<br />
�0<br />
�1<br />
� � 2 �<br />
2 m m<br />
� � .<br />
2<br />
2<br />
2<br />
o<br />
� � �<br />
2<br />
m<br />
2<br />
� .<br />
Ez azt jelenti, hogy egy vezetÈsi f¸ggvÈnyt kik¸szˆbˆlt¸nk, de egy ·llandÛ (m)<br />
bevezetÈse ·r·n. Vagyis 2 vezetÈsi f¸ggvÈny¸nk van, Ès egy ˙jabb anyag·llandÛnk.<br />
2<br />
o<br />
77
(29)<br />
78<br />
Az anyagtˆrvÈny egytengely˚ ·llapot esetÈn<br />
�<br />
�<br />
�� �<br />
o<br />
�� �<br />
o<br />
m �1<br />
m �1<br />
2<br />
� �1<br />
� � �2<br />
�<br />
m<br />
2<br />
m<br />
2<br />
m �1<br />
m �1<br />
� �1<br />
� o � 3�<br />
2 �<br />
m � 2<br />
2<br />
2<br />
�m � 2�<br />
alak˙. Ha ezt az ˆsszef¸ggÈst a line·ris HOOKE-tˆrvÈnynÈl megszokott E Ès 3K<br />
jelˆlÈsekkel (anyag·llandÛkkal) Ìrjuk fel, s felhaszn·ljuk a m·r bevezetett � (torzul·si)<br />
ar·nyoss·gi tÈnyezıt, kiegÈszÌtve a � (tÈrfogati) ar·nyoss·gi tÈnyezıvel, akkor<br />
(30)<br />
( a)<br />
( b)<br />
�<br />
�<br />
2<br />
�� � � E�<br />
��E�<br />
,<br />
2<br />
o �� o � � 3K�<br />
o � �3K�<br />
o<br />
ˆsszef¸ggÈshez jutunk, ahol a tÈrfogati egyenlethez tartozÛ ar·nyoss·gi tÈnyezı. A (29)<br />
Ès (30) egyenlıvÈ tÈtelÈbıl:<br />
E<br />
3K<br />
m �1<br />
: � �1<br />
,<br />
m<br />
m �1<br />
: � �1<br />
,<br />
m � 2<br />
2<br />
o<br />
m �1<br />
�E<br />
: � ��2<br />
,<br />
2<br />
m<br />
3<br />
�3K<br />
: � ��<br />
2<br />
2<br />
2 �m �1�<br />
�m � 2�<br />
Ès a kÈt rugalmass·gi modulusra a megszokott ˆsszef¸ggÈst kapjuk:<br />
Ès<br />
m<br />
E 3K<br />
m 2 � ,<br />
�<br />
2 �m �1�<br />
�2<br />
m �1<br />
�2<br />
3<br />
� � � , � � �<br />
.<br />
� m �<br />
1<br />
1<br />
2<br />
�m � 2��m<br />
�1�<br />
T…RBELI ¡LLAPOT. Line·ris esetben az anyagtˆrvÈny a kˆzismert HOOKE-tˆrvÈny:<br />
ahol az anyag·llandÛk<br />
T<br />
T<br />
o<br />
m � 2<br />
2G<br />
� 3K<br />
,<br />
m �1<br />
� 2GE,<br />
� 3KE<br />
o<br />
,<br />
m �1<br />
3K<br />
� 2G<br />
,<br />
m � 2<br />
amelynÈl az m POISSON-sz·m nem f¸ggetlen anyag·llandÛ. Ez az m az egytengely˚<br />
fesz¸ltsÈg·llapot rÈvÈn ker¸lt bevezetÈsre, az m � ��<br />
/ � k ar·ny rÈvÈn. Ez·ltal az E<br />
rugalmass·gi modulus is defini·l·sra ker¸lt:<br />
,
m �1<br />
m � 2<br />
E : � 2G<br />
: � 3K<br />
,<br />
m m<br />
hogy az anyagtˆrvÈny egytengely˚ fesz¸ltsÈg·llapotban a � � E�<br />
egyszer˚ alakban<br />
legyen elı·llÌthatÛ.<br />
A kvadratikus esetnek tartalmaznia kell a line·ris esetet is (amikor a m·sodfok˙ tag<br />
egy¸tthatÛja zÈrus), ezÈrt nyugodtan felÌrhatjuk<br />
(31)<br />
T<br />
T<br />
o<br />
� 2GE<br />
� 3KE<br />
o<br />
*<br />
� 2G<br />
E<br />
*<br />
� 3K<br />
E<br />
form·ban (ahol a 2G * Ès 3K * mÈg ismeretlen ·llandÛk, amelyek a 2G-tıl Ès 3K-tÛl<br />
f¸ggenek), illetve<br />
(31a)<br />
T<br />
T<br />
o<br />
T<br />
T<br />
o<br />
�<br />
� 2G�E<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� 3K�<br />
E<br />
�<br />
�<br />
o<br />
*<br />
*<br />
3K<br />
�<br />
3K<br />
2<br />
2<br />
o<br />
,<br />
E<br />
,<br />
2G<br />
� E<br />
2G<br />
Haszn·ljuk fel itt is az egytengely˚ ·llapot ˆsszef¸ggÈseit:<br />
:<br />
:<br />
� � �<br />
�<br />
o<br />
o<br />
� 2G<br />
� 3K�<br />
* 2<br />
�� � � �� 2G<br />
�� � � � , � � �� �<br />
o<br />
o<br />
*<br />
2<br />
o<br />
� 3K<br />
� ,<br />
azaz defini·ljuk a kÈt ar·nyoss·gi tÈnyezıt:<br />
ahonnan:<br />
Ez·ltal az anyagtˆrvÈny:<br />
(31b)<br />
*<br />
E<br />
� �<br />
E<br />
3K<br />
� �<br />
3K<br />
*<br />
2G<br />
2G<br />
2G<br />
�<br />
2G<br />
*<br />
*<br />
2G<br />
�<br />
2G<br />
2<br />
3<br />
*<br />
o<br />
�<br />
2 �m �1�<br />
m<br />
2<br />
m �m �1�<br />
2�m<br />
�1�<br />
,<br />
m � 2<br />
�<br />
o<br />
2<br />
2<br />
o<br />
�<br />
�,<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�.<br />
�<br />
�<br />
* 2<br />
�� � � 3K�<br />
� 3K<br />
� ,<br />
o<br />
*<br />
2G<br />
�<br />
2G<br />
�m �1�<br />
m �1<br />
* 2<br />
2<br />
� 2G<br />
� � 2G<br />
� ,<br />
2<br />
� ��m<br />
�� ���<br />
�3<br />
�m ��<br />
E<br />
o<br />
�m �1�<br />
2<br />
3m<br />
3m<br />
3K<br />
3m<br />
� � , � � � � .<br />
2<br />
T<br />
T<br />
o<br />
*<br />
�m �1�<br />
3K<br />
m � 2<br />
�<br />
� 2G��<br />
E<br />
�<br />
�<br />
� 3K�<br />
E<br />
�<br />
o<br />
3m<br />
2 �<br />
� � E ,<br />
2�m<br />
�1�<br />
��<br />
�<br />
3m<br />
2 �<br />
� � Eo<br />
�.<br />
m � 2 �<br />
Az � Ès a � lehetsÈges ÈrtÈkÈrıl m·r meg·llapÌtottuk, hogy ·ltal·ban 0 Ö 4-5 kˆzˆtt<br />
v·ltozhat, m pedig 2 Ö � kˆzˆtt:<br />
,<br />
o<br />
*<br />
E<br />
2<br />
79
80<br />
T<br />
T<br />
o<br />
�<br />
� 2G��<br />
E<br />
�<br />
�<br />
� 2G�E<br />
�<br />
o<br />
3m<br />
� �<br />
2<br />
�m �1�<br />
3m<br />
� � E<br />
m � 2<br />
E<br />
2<br />
o<br />
2<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�T<br />
�<br />
� �<br />
�� � �T<br />
� �<br />
�T<br />
�<br />
�T<br />
�<br />
�<br />
� �T<br />
�<br />
�<br />
�<br />
T<br />
m�2<br />
m�2<br />
m��<br />
o m�2<br />
o m�2<br />
o m��<br />
� 2G<br />
�<br />
� 2G��<br />
E<br />
�<br />
� 2G<br />
� 0,<br />
�<br />
� 2G�<br />
E<br />
�<br />
� 2G<br />
2 �E � �E<br />
�,<br />
3m<br />
� �<br />
2<br />
�m �1�<br />
2 �E � 3 �E<br />
�,<br />
3m<br />
� � E<br />
m � 2<br />
2 �E � 3�E<br />
�.<br />
A 7. ·bra azt mutatja, hogy az � ÈrtÈke, amely a torzul·si ·llapothoz tartozik, a<br />
2 �<br />
3<br />
� � 1 intervallumon bel¸l v·ltozhat, ami nagyon kicsiny ÈrtÈknek sz·mÌt.<br />
A tÈrfogatv·ltoz·shoz tartozÛ � ÈrtÈkv·ltoz·sa m·r jelentıs: 2 � � � � , azonban<br />
tudjuk, hogy az m = 2 kˆzeli ÈrtÈk az anyag ˆsszenyomhatatlans·g·t, tÈrfogat-<br />
·llandÛs·g·t fejezi ki.<br />
Viszont az � / � viszony ñ mivel 1 / � ÈrtÈknÈl kezdıdik ñ szinte elhanyagolhatÛ:<br />
1<br />
3<br />
0 � � / � � .<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
*<br />
RˆgzÌtett G / G<br />
2 6 10 14 18 22<br />
az m Poisson sz·m<br />
7. ·bra<br />
esetÈn<br />
EzÈrt ıszinte meggyızıdÈs¸nk, hogy a line·ris anyagegyenlet alkalmaz·s·n·l jobb<br />
megold·st pillanatnyilag nem tudunk.<br />
Ne felejts¸k el azonban, hogy nem kÈt anyag·llandÛnak kell lennie, hanem kÈt<br />
vezetÈsi f¸ggvÈnynek. Vagyis a 0 1 ,� � Ès � 2 kˆz¸l csak kettı f¸ggetlen f¸ggvÈny, s<br />
minden f¸ggvÈnyben lehet tˆbb ·llandÛ is. Teh·t L¡MER G…ZA elıad·s·ban kifejtett<br />
h·rom, pÈld·ul [L¡MER, G (2007)].<br />
o<br />
o<br />
2<br />
o<br />
2<br />
o<br />
E<br />
2<br />
�<br />
�,<br />
�<br />
� � � �m� � � ��m�<br />
� /<br />
� �<br />
f<br />
�<br />
�� ,<br />
�<br />
�m�
4. FEJEZET<br />
NEMEGYENS⁄LYI ANYAGT÷RV…NY A RUGALMAS DEFORM¡CI”K<br />
TARTOM¡NY¡BAN<br />
NEMEGYENS⁄LYI HELYZETBEN, mivel a<br />
termodinamikai erık Ès a termodinamikai ·ramok<br />
nem zÈrusÈrtÈk˚ek, ezÈrt a kˆvetkezı<br />
egyenlıtlensÈget kell alapul venni:<br />
� � �s<br />
��<br />
�1<br />
(1) �F<br />
� � T� A ��<br />
: �A� A �� �TÓ<br />
: Ó�<br />
� 0 ,<br />
� � �A<br />
��<br />
termÈszetesen figyelembe vÈve, hogy mechanikai<br />
egyens˙lyban<br />
rev � �s<br />
�<br />
�s<br />
� �s<br />
�s<br />
�<br />
F � ��T<br />
� A � � ��T<br />
�I � D�<br />
� ��T<br />
�E<br />
� �1 � � o �I�� � �A<br />
�<br />
�D<br />
� �E<br />
��<br />
o<br />
illetıleg line·ris kˆzelÌtÈssel:<br />
rev � 1 � 3K<br />
� �<br />
F � 2G�D � � �1�Tr�D�I<br />
� 2GE<br />
� �3K � 2G�E<br />
o<br />
3 2G<br />
�<br />
,<br />
� � � �<br />
s Ìgy az (1) egyenlıtlensÈg az F = F rev + F irrev jelˆlÈsekkel az<br />
irrev<br />
� �1<br />
S<br />
T<br />
(2) F : �AA � � � Ó : Ó � 0<br />
alakot ˆlti.<br />
Az alapegyenlet megold·s·t a m·sodik fejezetben m·r megadtuk ·ltal·nosan, de a<br />
konkrÈt alak Ès forma kifejtÈshez levezetj¸k mÈg egyszer, devi·toros bont·sban.<br />
A (2) egyenlıtlensÈg megold·sa mint m·r l·ttuk, a LAGRANGE-fÈle kˆzÈpÈrtÈktÈtel<br />
felhaszn·l·s·val tˆrtÈnhet. Bevezetve a J : � A�<br />
A<br />
az<br />
jelˆlÈst, a (2) ˆsszef¸ggÈs (feltÈtel)<br />
(2a)<br />
irrev<br />
F : J � � T Ó : Ó�<br />
� 0<br />
alakban ÌrhatÛ fel, amelynek megold·sa az<br />
�1<br />
(F)ij<br />
�<br />
tˆredezett anyag<br />
zÛn·ja<br />
kÈplÈkeny<br />
zÛna<br />
rugalmas<br />
zÛna<br />
(D)ij<br />
81
(3) �� � irrev � � �<br />
�<br />
F<br />
J<br />
�<br />
� �<br />
� L��<br />
� Ó�<br />
� ��<br />
�T<br />
Ó�<br />
egyenletrendszer megold·s·val tˆrtÈnhet, ahol L egy negyedrend˚ ñ szimmetrikus Ès<br />
pozitÌv definit ñ impulzusvezetÈsi tenzor m·trixa.<br />
Az anyagtˆrvÈnyt legtˆbbszˆr az ˙n. tÈrfogatv·ltoz·si Ès torzul·si alakban<br />
alkalmazzuk, ezÈrt a (2a)-t Ìrjuk fel devi·toros Ès gˆmbi rÈszre bontva:<br />
irrev<br />
(2b) F : J � Ó�<br />
: �TÓ<br />
� 0,<br />
(2c) � � T �: �J � J �� �Ó � Ó �: �T<br />
�Ó � Ó � � 0,<br />
ahol a megszokott mÛdon<br />
82<br />
T<br />
T<br />
irrev<br />
o<br />
irrev<br />
�<br />
irrev irrev<br />
T o<br />
o d o d<br />
1<br />
3<br />
� F<br />
tr<br />
�<br />
irrev irrev<br />
1<br />
1<br />
�F �I � � I,<br />
J � tr�J�I<br />
� I,<br />
Ó � tr�Ó<br />
�<br />
irrev<br />
� T<br />
irrev<br />
o<br />
o<br />
J<br />
o<br />
d<br />
3<br />
�<br />
� J � J<br />
o<br />
,<br />
o<br />
J I � � I,<br />
o<br />
Ó<br />
o<br />
d<br />
3<br />
� Ó � Ó<br />
A (2b) egyenlıtlensÈgnek nemcsak ˆsszegÈben, hanem k¸lˆn-k¸lˆn is kell<br />
teljes¸lnie a k¸lˆnbˆzı tenzori rang˙ ·ramokra Ès erıkre, teh·t<br />
irrev<br />
(4) : � � irrev<br />
T J : � o o � �<br />
o o � 0<br />
���<br />
�� d �T Ó<br />
���d<br />
Ó<br />
TÓ<br />
Ó<br />
���<br />
d � � � .<br />
����<br />
�����<br />
�0<br />
Az erık Ès ·ramok deviatorikus felbont·shoz, a negyedrend˚ L impulzusvezetÈsi<br />
tenzort is, amelynek izotrÛp esetben csak 2 f¸ggetlen skal·r komponense van, fel kell<br />
bontani deviatorikus [Ld] Ès gˆmbi [Lo] rÈszre:<br />
�<br />
�<br />
F<br />
�<br />
� Ó�<br />
irrev<br />
�<br />
�<br />
F<br />
�<br />
� Ó�<br />
irrev<br />
� �<br />
� � �<br />
T<br />
� �<br />
� � Ó�<br />
� �<br />
� � �<br />
T<br />
� �<br />
� � Ó�<br />
irrev<br />
d<br />
irrev<br />
d<br />
� �<br />
� � �<br />
To<br />
� �<br />
� � Ó�<br />
� �<br />
� � �<br />
T<br />
� �<br />
� � Ó�<br />
irrev<br />
o<br />
irrev<br />
o<br />
o<br />
�0<br />
�<br />
� ,<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� J � � J d � � J o �<br />
�� �� � �<br />
�<br />
�<br />
� � �<br />
�<br />
��<br />
�TÓ<br />
� ��<br />
�TÓ<br />
d � ��<br />
�T<br />
Ó o �<br />
� � J<br />
� � L<br />
� ��<br />
� ��<br />
�<br />
�<br />
�� �<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
o<br />
.<br />
o<br />
, o L L L �<br />
� d ,<br />
d<br />
o<br />
�L � L � { � � � � �}<br />
d o<br />
T Ó<br />
� �TÓ<br />
d<br />
J<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� J<br />
�<br />
��<br />
�T<br />
Ó<br />
Ezek tov·bbra is negyedrend˚ tenzorok maradn·nak, de mivel csak kÈt f¸ggetlen skal·r<br />
komponens¸k van, ·ttranszform·lhatÛak olyan m·sodrend˚ tenzorokk·, amelyeket ha<br />
m·s tenzorokkal szorzunk, a vegyes rÈszek zÈrus tenzort eredmÈnyeznek:<br />
�<br />
�<br />
T<br />
�<br />
� Ó�<br />
irrev<br />
d<br />
� �<br />
� � �<br />
To<br />
� �<br />
� � Ó�<br />
irrev<br />
o<br />
�<br />
� � L<br />
�<br />
�<br />
d<br />
� J d<br />
�<br />
�<br />
��<br />
� Ó<br />
T d<br />
�<br />
�<br />
� � L<br />
�<br />
o<br />
� J o<br />
�<br />
�<br />
��<br />
�T<br />
Ó<br />
s a gˆmbtenzorok helyett ·ttÈrve a komponens¸k skal·r ÈrtÈkÈre, az<br />
(5) �� � irrev � � �<br />
�<br />
T<br />
J<br />
�<br />
d<br />
� �<br />
� L d �� ,<br />
� Ó�<br />
� ��<br />
�T<br />
Ó�<br />
o<br />
�<br />
�<br />
� ,<br />
�<br />
� irrev � � �<br />
�<br />
� o � � �<br />
J<br />
L o �<br />
� � o ,<br />
irrev � �<br />
� Ó o � ��<br />
�T<br />
Ó o �<br />
o<br />
�<br />
�<br />
�<br />
.
83<br />
kÈt f¸ggetlen egyenletrendszert kapunk. Az Ld Ès Lo hiperm·trixokn·l ·ttÈrhet¸nk a<br />
skal·ris komponensekre:<br />
(6a) � �<br />
�<br />
�<br />
��<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
��<br />
�<br />
�<br />
��<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
��<br />
�<br />
�<br />
��<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
Ó<br />
J<br />
Ó<br />
J<br />
Ó<br />
J<br />
L<br />
Ó<br />
T d<br />
d<br />
d<br />
d<br />
irrev<br />
L<br />
L<br />
L<br />
L<br />
T<br />
L<br />
L<br />
L<br />
L<br />
T 22<br />
12<br />
12<br />
11<br />
22<br />
12<br />
12<br />
11<br />
:<br />
'<br />
'<br />
�<br />
�<br />
�<br />
,<br />
(6b)<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
o<br />
o<br />
22<br />
12<br />
12<br />
11<br />
o<br />
o<br />
22<br />
12<br />
12<br />
11<br />
o<br />
o<br />
o<br />
o<br />
o :<br />
'<br />
'<br />
Ó Ó<br />
J<br />
l<br />
l<br />
l<br />
l<br />
Ó<br />
T<br />
J<br />
l<br />
l<br />
l<br />
l<br />
Ó<br />
T<br />
J<br />
irrev<br />
�<br />
�<br />
�<br />
L .<br />
Ezeknek az egyenleteknek a megold·sa a megszokott mÛdon tˆrtÈnhet, hogy a d<br />
Ó<br />
Ès o<br />
� v·ltozÛkat kik¸szˆbˆlj¸k az egyenletekbıl:<br />
TORZUL¡SI EGYENLET T…RFOGATV¡LTOZ¡SI EGYENLET<br />
,<br />
,<br />
22<br />
12<br />
12<br />
11<br />
d<br />
d<br />
d<br />
d<br />
irrev<br />
L<br />
L<br />
L<br />
L<br />
Ó<br />
J<br />
Ó<br />
Ó<br />
J<br />
T<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� � ,<br />
,<br />
,<br />
22<br />
11<br />
22<br />
2<br />
12<br />
11<br />
12<br />
11<br />
1<br />
12<br />
22<br />
11<br />
1<br />
12<br />
22<br />
12<br />
22<br />
12<br />
11<br />
1<br />
12<br />
1<br />
12<br />
irrev<br />
d<br />
d<br />
d<br />
irrev<br />
irrev<br />
d<br />
d<br />
d<br />
d<br />
irrev<br />
L<br />
L<br />
L<br />
L<br />
L<br />
L<br />
L<br />
L<br />
L<br />
L<br />
L<br />
L<br />
L<br />
L<br />
L<br />
L<br />
L<br />
L<br />
T<br />
J<br />
J<br />
Ó<br />
J<br />
T<br />
T<br />
J<br />
J<br />
Ó<br />
J<br />
Ó<br />
J<br />
T<br />
Ó<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� � ,<br />
11<br />
1<br />
22<br />
2<br />
12<br />
1<br />
22<br />
11<br />
1<br />
22<br />
d<br />
d<br />
irrev<br />
irrev<br />
L<br />
L<br />
L<br />
L<br />
L<br />
L<br />
J<br />
J<br />
T<br />
T<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
,<br />
2<br />
,<br />
2 E<br />
T<br />
T<br />
E<br />
T<br />
T<br />
T<br />
T<br />
�<br />
�<br />
� G<br />
G<br />
irrev<br />
rev<br />
irrev<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� �<br />
� � ,<br />
2<br />
2<br />
11<br />
1<br />
22<br />
2<br />
12<br />
1<br />
22<br />
11<br />
1<br />
22<br />
d<br />
d<br />
L<br />
L<br />
L<br />
L<br />
L<br />
G<br />
L<br />
G<br />
J<br />
J<br />
E<br />
T<br />
E<br />
T<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
,<br />
,<br />
o<br />
22<br />
o<br />
12<br />
o<br />
12<br />
o<br />
11<br />
o<br />
Ó<br />
l<br />
J<br />
l<br />
Ó<br />
Ó<br />
l<br />
J<br />
l<br />
irrev<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� � ,<br />
,<br />
,<br />
o<br />
22<br />
o<br />
11<br />
22<br />
2<br />
12<br />
o<br />
11<br />
o<br />
12<br />
o<br />
11<br />
o<br />
o<br />
1<br />
12<br />
22<br />
o<br />
11<br />
1<br />
12<br />
22<br />
o<br />
12<br />
o<br />
22<br />
o<br />
12<br />
o<br />
o<br />
11<br />
1<br />
12<br />
o<br />
1<br />
12<br />
o<br />
irrev<br />
irrev<br />
irrev<br />
irrev<br />
l<br />
J<br />
l<br />
l<br />
l<br />
J<br />
l<br />
Ó<br />
l<br />
J<br />
l<br />
l<br />
l<br />
J<br />
l<br />
l<br />
l<br />
J<br />
l<br />
Ó<br />
l<br />
J<br />
l<br />
Ó<br />
J<br />
L<br />
l<br />
l<br />
Ó<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� � ,<br />
o<br />
11<br />
1<br />
22<br />
2<br />
12<br />
o<br />
1<br />
22<br />
11<br />
o<br />
1<br />
22<br />
o<br />
J<br />
l<br />
l<br />
l<br />
J<br />
l<br />
l<br />
l<br />
irrev<br />
irrev<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
,<br />
3<br />
,<br />
3 o<br />
o<br />
o<br />
o<br />
o<br />
o<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� �<br />
�<br />
� K<br />
K<br />
irrev<br />
irrev<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� �<br />
� � ,<br />
3<br />
3<br />
o<br />
11<br />
1<br />
22<br />
2<br />
12<br />
o<br />
1<br />
22<br />
11<br />
o<br />
o<br />
1<br />
22<br />
o<br />
o<br />
J<br />
l<br />
l<br />
l<br />
J<br />
l<br />
l<br />
K<br />
l<br />
K<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� �<br />
�<br />
�<br />
�<br />
Vezess¸k be a<br />
1<br />
22<br />
11<br />
1<br />
22<br />
11<br />
11<br />
1<br />
22<br />
2<br />
12<br />
1<br />
22<br />
2<br />
:<br />
,<br />
:<br />
,<br />
:<br />
,<br />
:<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
GL<br />
L<br />
L<br />
L<br />
L<br />
L<br />
L<br />
L<br />
d<br />
d<br />
d<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
1<br />
22<br />
o<br />
o<br />
11<br />
1<br />
22<br />
11<br />
o<br />
11<br />
1<br />
22<br />
2<br />
12<br />
o<br />
1<br />
22<br />
o<br />
3<br />
:<br />
,<br />
:<br />
,<br />
:<br />
,<br />
:<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
Kl<br />
l<br />
l<br />
l<br />
l<br />
l<br />
l<br />
l<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
jelˆlÈseket, s akkor<br />
.<br />
2 E<br />
E<br />
J<br />
J<br />
T<br />
T G<br />
d<br />
d<br />
d<br />
d<br />
d<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� �<br />
�<br />
�<br />
� .<br />
3 o<br />
o<br />
o<br />
o<br />
o<br />
o<br />
o<br />
o<br />
o<br />
o<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� K<br />
J<br />
J �<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� �<br />
�<br />
�
(7)<br />
84<br />
A rugalmas tartom·nyban az anyagtˆrvÈny a teh·t<br />
T ��<br />
T�<br />
T ��<br />
T�<br />
o<br />
o<br />
o<br />
� � d J�<br />
� � J�<br />
o<br />
d<br />
o<br />
� � J<br />
d<br />
� � J<br />
o<br />
d<br />
o<br />
� � d E�<br />
� � E�<br />
o<br />
o<br />
� 2GE,<br />
� 3KE<br />
illetve a T � F � To<br />
, J � J d � J o , E � D � Eo<br />
behelyettesÌtÈssel<br />
(8)<br />
F � � F�<br />
� � J�<br />
d �<br />
� � D�<br />
�<br />
alak˙.<br />
A 2. fejezetben l·ttuk, hogy<br />
d<br />
� � 1<br />
D �<br />
1 �<br />
� � � ,<br />
J : � AA<br />
� D I<br />
�<br />
�<br />
���<br />
J�<br />
�<br />
�<br />
��<br />
�<br />
�� o � � �J� d o � � d J � ��o � � d �J<br />
o �<br />
�� o � � �E� o � 2GD � �3K � 2G�E<br />
o � �� o�<br />
� �T� d<br />
o<br />
� � � � � �<br />
� � � � � � .<br />
2<br />
�1<br />
�1<br />
�1<br />
�1<br />
�1<br />
�1<br />
�1<br />
�1<br />
A�<br />
A � A�<br />
�A<br />
� A�<br />
A � A�<br />
�A<br />
� A�<br />
A A�<br />
A � A�<br />
�A<br />
� A�<br />
A<br />
�1<br />
�1<br />
D�<br />
� D � I � D�<br />
D � I<br />
�~<br />
Vezess¸k be a J � : D jelˆlÈst ñ utalva ez·ltal arra, hogy ez a D ~ deform·ciÛtenzor a<br />
megszokott D-tıl eltÈrı deform·ciÛtenzor ñ, s ekkor<br />
(8a)<br />
(7a)<br />
~ ��<br />
~ ��<br />
~ �<br />
~ �<br />
F � � F�<br />
� � d D � �� o � � d �Eo � � d D � �� o � � d �E<br />
o �<br />
,<br />
� � D�<br />
� �� o � � �E� o � 2GD<br />
� �3K � 2G�E<br />
o � �� o�<br />
� �T� d<br />
d<br />
o<br />
T ��<br />
T�<br />
T ��<br />
T�<br />
~ ��<br />
~ �<br />
� � d E � � d E � � d E�<br />
� 2GE,<br />
~ ��<br />
~ �<br />
� � E � � E � � E�<br />
� 3KE<br />
,<br />
o<br />
o<br />
o<br />
o<br />
o<br />
s ez azt t¸krˆzi, hogy a nemegyens˙lyi ·llapot leÌr·s·hoz kÈtfÈle deform·ciÛtenzor<br />
sz¸ksÈges (melyek kˆzˆtt a � � 1<br />
~ �<br />
D � D D � I � �<br />
ˆsszef¸ggÈs ·ll fenn).<br />
A (7a) Ès (8a) formul·val elıszˆr siker¸lt az izotrÛp kontinuumok ·ltal·nos<br />
anyagtˆrvÈnyÈt ñ a rugalmas tartom·nyon bel¸l ñ felÌrni, amelyben csup·n annyi<br />
tekinthetı kˆzelÌtÈsnek, hogy az egyens˙lyi rÈszben nem a kvadratikus, hanem a line·ris<br />
ˆsszef¸ggÈst vett¸k. Ennek legfontosabb indokai: az egyszer˚ gyakorlati<br />
alkalmazhatÛs·g, Ès az a kˆr¸lmÈny, hogy a kvadratikus ˆsszef¸ggÈs alkalmaz·s·ban<br />
nem tudtunk d˚lıre jutni (ld. 3. fejezet). Azonban a semmi akad·lya nincs annak, hogy<br />
a leg·ltal·nosabbat is felÌrjuk. Ekkor a levezetÈsben haszn·lt (HOOKE-tˆrvÈny)<br />
rev<br />
o<br />
helyett a 3.fejezetben (11) alatt levezetett<br />
T<br />
T<br />
rev<br />
o<br />
� 2GE,<br />
� 3KE<br />
o<br />
o<br />
o<br />
o<br />
o<br />
o<br />
,<br />
2<br />
�
T<br />
T<br />
rev<br />
rev<br />
o<br />
� �<br />
� �<br />
2<br />
0<br />
2 1 2 2 2<br />
2<br />
2<br />
�� o � �� 1 � � 2 � � 3 ��I<br />
� ��1 � 2�<br />
2�<br />
o �E<br />
� �<br />
3<br />
2E<br />
�:<br />
A1E<br />
� A2E<br />
2 2 2<br />
2<br />
� � � � � �� � � � � � �:<br />
a E � a E<br />
1<br />
o<br />
2<br />
1<br />
3<br />
1<br />
2<br />
3<br />
kvadratikus ˆsszef¸ggÈst kell szerepeltetni (amelynek az a szÈpsÈghib·ja, hogy az<br />
anyag·llandÛk sz·ma ebben is csak kettı). A kÈt reverzibilis egyenlet ·ltal szolg·ltatott<br />
fesz¸ltsÈgÈrtÈkek tetszıleges deform·ciÛÈrtÈkek mellett sem haladja meg ·ltal·ban a<br />
0,5Ö1%-ot.<br />
A levezetÈst csak a torzul·si egyenletre felÌrva, mivel a tÈrfogatv·ltoz·si egyenlet<br />
azonos form·j˙, csak az egy¸tthatÛk m·sok (Lij helyett lij, Ès Ai helyett ai):<br />
irrev<br />
�1<br />
2 �1<br />
L22J<br />
d � �L12 L22<br />
L11<br />
� ,<br />
2 1 2 1<br />
�T� 1E�<br />
2E�<br />
� � 11 22J�<br />
�<br />
� a � a � L L d � �L12 L22<br />
� L11<br />
�J<br />
d ,<br />
2 �1<br />
2 �1<br />
1 2<br />
�L L L � J A E A E L A E�<br />
�<br />
� � � � � � L A E�<br />
,<br />
�1 irrev<br />
22T� � L �<br />
11<br />
d<br />
T � L � J<br />
T � a E � a<br />
T � L<br />
s ez·ltal<br />
(9)<br />
ahol<br />
1<br />
�1<br />
22<br />
T�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
d<br />
d<br />
d<br />
d<br />
2 �1<br />
2E<br />
� L22<br />
�1<br />
L11L22<br />
J�<br />
d<br />
T<br />
T<br />
o<br />
��<br />
T�<br />
��<br />
T�<br />
: � L<br />
: � L<br />
o<br />
: � �L<br />
: � �A<br />
L<br />
: � �A<br />
o<br />
�1<br />
22 ,<br />
�1<br />
11L22<br />
�1<br />
11L22<br />
�1<br />
1 22<br />
�1<br />
2L22<br />
12<br />
o<br />
22<br />
o<br />
11<br />
o<br />
d<br />
~ ��<br />
~ �<br />
� � d E � � d E<br />
~ ��<br />
~ �<br />
� � E � � E<br />
� �L<br />
� ,<br />
� L<br />
11<br />
� A � ,<br />
1<br />
11<br />
� A � ,<br />
2<br />
� �L<br />
11<br />
o<br />
�1 � � �,<br />
1<br />
� � d E�<br />
� � E�<br />
o<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
o<br />
o<br />
o<br />
o<br />
o<br />
o<br />
2<br />
� � d E�<br />
� � E�<br />
: � l<br />
: � l<br />
d<br />
: � �l<br />
: � �a<br />
2<br />
2<br />
o<br />
�1<br />
22 ,<br />
�1<br />
11l22<br />
�1<br />
11l22<br />
�1<br />
1 22<br />
�1<br />
2l22<br />
: � �a<br />
l<br />
22<br />
1<br />
1<br />
1<br />
� A E<br />
� a E<br />
� �l<br />
� l<br />
11<br />
11<br />
o<br />
� a � ,<br />
1<br />
� a � .<br />
1<br />
� A<br />
� ,<br />
2<br />
o<br />
� a<br />
o<br />
� �l<br />
o<br />
11<br />
2<br />
2<br />
o<br />
22<br />
E<br />
E<br />
2<br />
2<br />
o<br />
2<br />
,<br />
,<br />
2<br />
�1 � � �,<br />
A (9) ·ltal·nos alakot csak a teljessÈg kedvÈÈrt Ìrtuk fel, ugyanis bonyolults·ga<br />
ok·n, valamint a benne lÈvı 12 darab egy¸tthatÛ miatt (amelybıl csak 8 f¸ggetlen<br />
egym·stÛl ñ s ezt a f¸ggÈst nem ismerj¸k,) gyakorlati alkalmaz·sra nem is aj·nlhatjuk.<br />
ArrÛl nem is beszÈlve, hogy egy jÛ ÈrzÈs˚ kutatÛ, vagy tervezımÈrnˆk elborzad ennek a<br />
bonyolult anyagegyenletnek a l·tt·n.<br />
AZ ¡LTAL¡NOSS¡G SZ¤KÕT…SE. A 2. fejezetben m·r utaltunk r·, hogy az idı szerinti<br />
m·sodik deriv·lt hat·s·tÛl a gyakorlatban ·ltal·ban el szoktunk tekinteni, ugyanis ennek<br />
a szerkezetÈpÌtÈsi mÈrnˆki gyakorlatban nincs jelentısÈge, mert a gyors lecsengÈs<br />
(csillapod·s) miatt a hat·sa a mÈrnˆki beavatkoz·s ut·n gyorsan elenyÈszik. Az<br />
� 0, � � 0 esetÈn a (7a) anyagegyenlet a<br />
d<br />
(10)<br />
� o<br />
form·j˙ra egyszer˚sˆdik.<br />
T ��<br />
T�<br />
T ��<br />
T�<br />
o<br />
o<br />
o<br />
~ �<br />
� � d E � � E�<br />
d � 2GE,<br />
~ �<br />
� � E � � E�<br />
� 3KE<br />
o<br />
o<br />
o<br />
o<br />
o<br />
o<br />
o<br />
,<br />
85
K¸lˆnˆsebb gondot a mai sz·mÌt·stechnikai vil·gban nem jelent az, hogy kÈtfÈle<br />
deform·ciÛval kell dolgoznunk, b·r a mÈrnˆkˆknek meglehetısen szokatlan, mert egÈsz<br />
gondolkod·smÛdjukat ñ amelyet a mechanik·rÛl kialakÌtottak (vagy kÈszen kaptak) ñ<br />
kissÈ felborÌtja. A D Ès a D ~ tenzor kˆzˆtt a megszokott mÈrnˆki gyakorlat<br />
szempontj·bÛl nem is nagy a k¸lˆnbsÈg.<br />
ANYAGT÷RV…NY KIS DEFORM¡CI”K ESET…N. A (10) formul·ban kÈtfÈle deform·ciÛ<br />
is szerepel [ D, D<br />
~ ~ ~<br />
, illetve E, Eo<br />
, E,<br />
Eo<br />
]. Amennyiben a kis deform·ciÛk tartom·ny·ra<br />
~<br />
korl·tozzuk vizsg·latainkat: akkor D D�<br />
�1<br />
� �D � I�<br />
� D�<br />
, Ès Ìgy az anyagtˆrvÈny a<br />
reolÛgi·ban megszokott alakot ˆlti:<br />
(11)<br />
ahol<br />
86<br />
�1<br />
�1<br />
T<br />
T<br />
o<br />
��<br />
T�<br />
��<br />
T�<br />
o<br />
o<br />
� 2GE<br />
� 3KE<br />
o<br />
� 2�<br />
E�<br />
,<br />
� 3K<br />
E�<br />
� : � �L22<br />
, � o : � �l22<br />
, 2�<br />
: � � d � � d � 2L11<br />
L22<br />
� L11,<br />
3K<br />
v : � 2l11l22<br />
� l11.<br />
Ez az ·ltal·nos POYNTING-THOMSON-modell, amelynek anyag·llandÛi a reolÛgi·ban<br />
megszokott jellemzık:<br />
� - a relax·ciÛs idı, � - a tÈrfogatv·ltoz·si relax·ciÛs idı,<br />
G - a cs˙sztatÛ rugalmass·gi modulus, K - tÈrfogatv·ltoz·si rugalmass·gi modulus,<br />
� - viszkozit·si egy¸tthatÛ, Kv - tÈrfogatv·ltoz·si viszkozit·si modulus.<br />
Ez az anyagtˆrvÈny 3 torzul·si Ès 3 tÈrfogati (mindˆsszesen hat) anyag·llandÛt<br />
tartalmaz, amely logikusan megfelel annak, hogy az idıf¸ggetlen rugalmas ·llapothoz<br />
egy-egy tartozik, az elsırend˚ idıderiv·ltakat tartalmazÛ rÈszhez pedig kettı-kettı, egy<br />
k˙sz·si Ès egy relax·l·si jellemzı. IzotrÛp anyag esetÈn rugalmas, egyens˙lyi, vagy<br />
reverzibilis esetben kettı f¸ggetlen anyag·llandÛ lÈtezik. Nemegyens˙lyi, irreverzibilis<br />
esetben pedig kÈtszer kettı, azÈrt mert csak az elsırend˚ idıbeli deriv·ltakkal<br />
dolgozunk. Ez utÛbbiakat szoktuk reolÛgiai ·llandÛknak nevezni.<br />
A deform·ciÛk (·tlagos) kÈsÈsi idejÈnek [tdef], valamint a relax·ciÛs idınek [trel] a<br />
k¸lˆnbsÈge megadja a testre gyakorolt mechanikai hat·sra adott v·lasz idıbeli kÈsÈsÈt<br />
[�t]:<br />
torzul·sn·l:<br />
tÈrfogatv·ltoz·sn·l:<br />
'<br />
tdef t<br />
def �<br />
o<br />
�1<br />
v<br />
o<br />
,<br />
�1<br />
� '<br />
' ' ' �<br />
� , t rel � � , �t<br />
� tdef<br />
� trel<br />
� ��<br />
,<br />
G<br />
G<br />
K<br />
K<br />
v<br />
o<br />
o o o Kv<br />
, t rel � � o , �t<br />
� tdef<br />
� trel<br />
� ��<br />
o.<br />
K
terhelÈs Ès deform·ciÛ ÈrtÈkek<br />
[az ˆsszehasonlÌt·shoz ar·nyosÌtva]<br />
0,6<br />
0,4<br />
0,2<br />
0,0<br />
-0,2<br />
-0,4<br />
-0,6<br />
terhelÈs<br />
deform·ciÛ<br />
3 3,5 4 4,5 5<br />
a kÌsÈrlet ideje [sec]<br />
1. ·bra<br />
Egyens˙lyi ·llapotban nincs idıbeli eltÈrÈs, vagyis<br />
Az 1. ·bra a Debreceni<br />
Egyetem M˚szaki Fıiskolai<br />
Kar·nak Biomechanikai<br />
Anyagvizsg·lÛ LaboratÛrium·ban<br />
ñ HORV¡TH R”BERT<br />
·ltal ñ vÈgzett kÌsÈrletek kˆz¸l<br />
egyet mutat be.<br />
A 150 mm-es befog·si<br />
hossz˙s·g˙ lemez prÛbatestet<br />
(anyaga: m˚anyag ñ HDPE) 10<br />
%-os megny˙l·sig (432 N),<br />
elıfeszÌtettÈk majd 1 Hz<br />
frekvenci·j˙, 0,5 amplit˙dÛj˙<br />
oszcill·lÛ terhelÈst adtak r·. Az<br />
1. ·bra az idıbeli eltol·st<br />
ÈrzÈkelteti a mÈrt terhelÈs Ès a<br />
prÛbatest kˆzÈpsı 10 mm-Ènek<br />
deform·ciÛja kˆzˆtt.<br />
' ' ' �<br />
o o o Kv<br />
�t � tdef<br />
� trel<br />
� ��<br />
� 0, �t<br />
� tdef<br />
� trel<br />
� ��<br />
o �<br />
G<br />
K<br />
teh·t megkapjuk a HOOKE-tˆrvÈnyt [ � 2GE, T � 3KE<br />
, �� � 3K�<br />
�<br />
o<br />
o<br />
o<br />
o<br />
0,<br />
T ].<br />
Ha lÈtezne olyan anyag, amelynÈl a tÈrfogati idıdifferencia zÈrus:<br />
azonban a torzul·si nem:<br />
o o o Kv<br />
�t � tdef<br />
� trel<br />
� ��<br />
o<br />
K<br />
' ' ' �<br />
�t � tdef<br />
� trel<br />
� ��<br />
�<br />
G<br />
akkor annak anyagtˆrvÈnye a klasszikus POYNTING-THOMSON-modell lenne:<br />
T � 2GE � 2�E�<br />
� � T�<br />
, T � 3KE<br />
, � � 3K�<br />
].<br />
[ � �<br />
o<br />
o<br />
o<br />
AZ ANYAGVISELKED…S ¡BR¡ZOL¡SA. Az anyagegyenlet sÌkbeli ·br·zol·s·hoz a<br />
tenzorok helyett azok egy skal·r komponensÈt szerepeltetj¸k:<br />
T � F � T<br />
o<br />
E � D � E<br />
o<br />
� F � �<br />
I � �<br />
o<br />
� D � � I � �<br />
o<br />
ij<br />
ij<br />
o<br />
� � I �<br />
o<br />
� � I �<br />
o<br />
s<br />
e<br />
ij<br />
�<br />
ij<br />
0,<br />
0,<br />
,<br />
,<br />
s<br />
e<br />
ij<br />
ij<br />
�<br />
�<br />
�T� ij<br />
,<br />
�E� ,<br />
ij<br />
87
s Ìgy a kˆvetkezı skal·ris egyenleteket ·br·zoljuk:<br />
(12)<br />
88<br />
s<br />
�<br />
ij<br />
o<br />
�<br />
�<br />
� s�<br />
ij<br />
���<br />
o<br />
�<br />
�<br />
2Ge<br />
3K�<br />
ij<br />
o<br />
�<br />
�<br />
2�<br />
e�<br />
ij ,<br />
3K<br />
� � .<br />
Azonban mÈg ebben az esetben is 4 skal·r v·ltozÛnk van, s a sÌkbeli ·br·zol·shoz<br />
legfeljebb h·rmat engedhet¸nk meg. EzÈrt speci·lis eseteket v·lasztunk, mint<br />
d<br />
- ·llandÛ fesz¸ltsÈgv·ltoz·si sebessÈg:[ sij � sij<br />
� const � a<br />
dt<br />
e<br />
ij<br />
�<br />
1 �<br />
� �s<br />
2G<br />
�<br />
�<br />
ij<br />
� a<br />
ij<br />
�<br />
� � ��<br />
� ��<br />
��1<br />
� e<br />
� G ��<br />
�<br />
G s<br />
�<br />
� a<br />
d<br />
- ·llandÛ deform·ciÛsebessÈg: [ eij � eij<br />
� const � b<br />
dt<br />
s<br />
ij<br />
�<br />
�<br />
� 2 G�e<br />
�<br />
�<br />
ij<br />
� b<br />
ij<br />
�<br />
� � ��<br />
� ��<br />
��1<br />
� e<br />
� G ��<br />
�<br />
1 e<br />
�<br />
� b<br />
ij<br />
ij<br />
ij<br />
ij<br />
��<br />
��<br />
��<br />
��<br />
��<br />
��<br />
��<br />
��<br />
��<br />
��<br />
- ·llandÛ fesz¸ltsÈg (k˙sz·s): [ const � c<br />
e<br />
ij<br />
G<br />
� t<br />
�<br />
v<br />
o<br />
d<br />
�� ]<br />
dt<br />
� ][ o � � o � const � ao<br />
d<br />
�� ]<br />
dt<br />
� ][ o � � o � const � bo<br />
s ij<br />
� 0 �e � e �<br />
cij<br />
� cij<br />
�<br />
� 0<br />
�<br />
� � eij<br />
� � eij<br />
� ij ij<br />
G �<br />
�<br />
G �<br />
e<br />
e<br />
2 � 2 �<br />
� � const � c ]<br />
� ] [ o<br />
o<br />
G<br />
� t<br />
�<br />
- ·llandÛ deform·ciÛ (relax·ciÛ): [ const � d<br />
s<br />
ij<br />
� 2Ge<br />
0<br />
ij<br />
�<br />
e ij<br />
� t<br />
0 0 �d Ge � � 0 0 �<br />
� 2 e � s � �s � s �<br />
ij<br />
ij<br />
1<br />
ij<br />
ij<br />
� � const � d ]<br />
� ] [ o<br />
o<br />
A (12) ˆsszef¸ggÈsbıl l·tszik, hogy a torzul·si Ès tÈrfogatv·ltoz·si egyenlet azonos<br />
form·j˙, csup·n a benne szereplı ·llandÛk m·sok. EzÈrt a kˆvetkezıkben csak a<br />
torzul·si egyenleteket ·br·zoljuk:<br />
ij<br />
e<br />
1<br />
� t<br />
�
�<br />
e ij<br />
s ij<br />
e ij<br />
�<br />
G<br />
a � �<br />
arctg 2G<br />
G<br />
arctg<br />
�<br />
arctg 2G<br />
arctg 2�<br />
1<br />
e<br />
e ij<br />
� c �e � e �<br />
c<br />
e ij<br />
� �<br />
s � f �<br />
ij<br />
a�0<br />
a � 0<br />
2. ·bra. TerhelÈs egyenletes Ñaî<br />
fesz¸ltsÈgv·ltoz·si sebessÈggel<br />
� c �e � e �<br />
ij<br />
ij<br />
ij<br />
ij<br />
ij<br />
t<br />
4. ·bra. K˙sz·si gˆrbe (sij = constans) 5.·bra. Relax·ciÛs gˆrbe (eij = constans)<br />
Ebbıl ·ltal·nosabb kˆvetkeztetÈst is levonhatunk, nevezetesen: a reverzibilis<br />
·llapotv·ltoz·st csak idıtıl f¸ggetlen egyenlet Ìrhatja le. Ez pedig szil·rd testeknÈl csak<br />
kÈt esetben kˆvetkezhet be:<br />
1. Ñigen lass˙î v·ltoz·s esetÈn, amikor az anyagban a terhelÈs okozta deform·ciÛk<br />
lej·tszÛdnak, mielıtt a terhelÈs tov·bb folytatÛdna. Vagy m·skÈppen: a reverzibilis<br />
v·ltoz·shoz azÈrt tartozik nagyon lass˙ deform·lÛd·s, hogy az anyag belsı<br />
s˙rlÛd·s·nak legyızÈse ne okozzon energiavesztesÈget,<br />
2. olyan anyagtˆrvÈny esetÈn, amelynÈl a deform·ciÛk kÈsÈsi ideje (�/G) megegyezik<br />
a relax·ciÛs idıvel (� ), teh·t a megfigyelı idıtıl valÛ f¸ggetlensÈget Èszlel, mert a<br />
terhelÈs Ès a deform·lÛd·s azonos idej˚. Ebben az esetben az anyagviselkedÈs nem<br />
f¸gg sem a terhelÈsi-, sem a deform·ciÛsebessÈgtıl.<br />
s ij<br />
d<br />
s ij<br />
s ij<br />
b � �<br />
arctg 2G<br />
ij<br />
b�0<br />
arctg 2G<br />
b � 0<br />
arctg 2�<br />
e ij<br />
� �<br />
s � f �<br />
3. ·bra. TerhelÈs egyenletes Ñbî<br />
deform·ciÛsebessÈggel<br />
�<br />
�<br />
ij<br />
ij<br />
s � 2Ge<br />
d<br />
ij<br />
t<br />
89
90<br />
- periodikus terhelÈs:<br />
�<br />
ij<br />
ahol<br />
2<br />
2<br />
�<br />
��t � ��<br />
� Ae ,<br />
� A � B sin<br />
���<br />
�� �����<br />
����<br />
��<br />
1<br />
ij<br />
e<br />
2<br />
ij<br />
e<br />
G<br />
� t<br />
2G�<br />
� 2�<br />
2G<br />
� 2���<br />
A<br />
� sk�<br />
� 0,<br />
B � s<br />
� 0,<br />
� � arctg .<br />
2 2 2<br />
2 2 2<br />
4�<br />
� � 4G<br />
4�<br />
� � 4G<br />
B<br />
A k<br />
Az elıjelet az hat·rozza meg, hogy az entrÛpianˆvekedÈsbıl kˆvetkezıen a vezetÈsi<br />
m·trix pozitÌv definit, s ebbıl a kˆvetkezı feltÈtelek adÛdnak:<br />
2G � 0,<br />
2�<br />
� 0,<br />
� � 0,<br />
�<br />
�� � 0 .<br />
G<br />
Ha ez utÛbbi feltÈtel nem pozitÌv, hanem nulla, akkor az entrÛpia nem nˆvekszik, teh·t<br />
az ·llapotv·ltoz·s reverzibilis, s kiadÛdik a HOOKE-tˆrvÈny:<br />
2� � 2G�<br />
, 2�<br />
e�<br />
� 2Ge<br />
� s � � s�<br />
, 2G�<br />
e�<br />
� 2Ge<br />
� s � � s�<br />
, � s � 2Ge<br />
1,5<br />
1,25<br />
1<br />
0,75<br />
0,5<br />
0,25<br />
0<br />
-0,25<br />
-0,5<br />
-0,75<br />
-1<br />
ij<br />
ij<br />
s -terhelÈs<br />
ij<br />
ij<br />
e - deform·ciÛ<br />
e 2<br />
e 1<br />
0,0s 0,5s 1,0s 1,5s 2,0s 2,5s 3,0s 3,5s 4,0s<br />
5. ·bra<br />
Az �2 nagyon gyorsan lecseng. Gyakorlatilag nÈh·ny hull·m ut·n (� 5 sec, 1Hz-nÈl).<br />
A terhelÈs Ès a hozz·tartozÛ deform·ciÛ kˆzˆtti differencia: a � viszont ·llandÛ, nem<br />
f¸gg az idıtıl, csak az E, �, Ès � anyag·llandÛktÛl, Ès az � frekvenci·tÛl:<br />
ij<br />
2<br />
ij<br />
ij<br />
ij<br />
ij<br />
ij
tg�<br />
�<br />
A 2G�<br />
� 2�<br />
� �<br />
B 2G<br />
� 2���<br />
Ès a terhelÈs nagys·g·tÛl (amplit˙dÛj·tÛl) is f¸ggetlen. (Kiv·lÛ kÌsÈrleti mÛdszer az<br />
anyagtulajdons·gok elemzÈsÈhez.)<br />
AZ ANYAGT÷RV…NY REVERZIBILIS …S IRREVERZIBILIS R…SZE A RUGALMAS<br />
TARTOM¡NYBAN. Reverzibilis az a folyamat (·llapotv·ltoz·s), amelynek sor·n a<br />
alakv·ltoz·sra fordÌtott munka maradÈktalanul (azaz vesztesÈgek nÈlk¸l)<br />
visszanyerhetı. Ebbıl kˆvetkezik az is, hogy irreverzibilis ·llapotv·ltoz·sn·l a<br />
befektetett munka vesztesÈg nÈlk¸l soha sem nyerhetı vissza. Mechanikai szempontbÛl<br />
(hib·san) reverzibilisnek tekintik az anyagviselkedÈst rugalmas tartom·nyban, mivel a<br />
terhelÈs hat·s·ra lÈtrejˆvı deform·ciÛk a tehermentesÌtÈsre megsz˚nnek, a test<br />
visszanyeri eredeti alakj·t. Ugyanis ha nem, akkor m·r vannak maradÛ deform·ciÛk,<br />
teh·t m·r kilÈpt¸nk a rugalmas tartom·nybÛl. Ez a mechanikai reverzibilit·s azonban<br />
nem jelent energetikai reverzibilit·st is, mert legtˆbbszˆr a befektetett munka teljes<br />
egÈszÈben nem nyerhetı vissza.<br />
2 �<br />
A m·r hivatkozott tanulm·nyban kˆzˆlteket megismÈtelve:<br />
rev<br />
(13) T � T � T T � T � T ,<br />
(14)<br />
(15)<br />
T<br />
T<br />
rev<br />
rev<br />
o<br />
� 2GE,<br />
� 3KE<br />
o<br />
,<br />
0,<br />
irrev<br />
rev irrev<br />
, o o o<br />
T<br />
T<br />
irrev<br />
irrev<br />
o<br />
� 2�E�<br />
��<br />
T�<br />
� 3K<br />
E�<br />
��<br />
T�<br />
v<br />
o<br />
o<br />
irrev<br />
,<br />
irrev<br />
o<br />
L·thatjuk, hogy az anyagtˆrvÈny reverzibilis rÈszÈt, a teljes anyagtˆrvÈnybıl a<br />
lim T<br />
T�<br />
�0<br />
lim T<br />
T�<br />
�0<br />
o<br />
o<br />
� lim T<br />
E�<br />
�0<br />
lim T<br />
E�<br />
�0<br />
o<br />
o<br />
�<br />
lim<br />
T�<br />
, E�<br />
�<br />
lim<br />
T�<br />
, E�<br />
�0<br />
o<br />
o<br />
rev<br />
�2GE � 2�E�<br />
� � T�<br />
� � T � �T�min � 2GE,<br />
0<br />
rev<br />
�3KE o � 3K<br />
E�<br />
v � � T�<br />
o � � To<br />
� �To � � 3KE<br />
o<br />
hat·r·tmenettel kapjuk. A min indexszel nem a minim·lis fesz¸ltsÈget jelˆlj¸k, hanem<br />
azt az anyagtˆrvÈnyt, amelyik Pmin = 0 deform·ciÛs teljesÌtmÈnyhez tartozik.<br />
HasonlÛkÈppen, a P� Pmax teljesÌtmÈnyhez tartozÛ anyagtˆrvÈny:<br />
(16)<br />
lim T<br />
T�<br />
��<br />
lim<br />
T�<br />
o��<br />
T<br />
o<br />
� lim T<br />
E�<br />
��<br />
lim<br />
E�<br />
o��<br />
T<br />
o<br />
�<br />
lim<br />
T�<br />
, E�<br />
��<br />
lim<br />
T�<br />
o,<br />
E�<br />
o��<br />
�2GE � 2�E�<br />
��<br />
T�<br />
� � �T� 3K<br />
v<br />
�3KE � 3K<br />
E�<br />
��T�<br />
� � �T � � E .<br />
o<br />
v<br />
o<br />
o<br />
max<br />
min<br />
max<br />
.<br />
2�<br />
� E,<br />
�<br />
A (15) Ès (16) ˆsszevetÈse alapj·n felÌrhatÛ a teljesÌtmÈnyhez tartozÛ Pmax<br />
reverzibilis Ès irreverzibilis rÈsz:<br />
�<br />
o<br />
o<br />
91
92<br />
2�<br />
�<br />
rev<br />
�T� � E,<br />
�T� � �T� � �T� max<br />
2�<br />
�<br />
rev<br />
irrev<br />
�T� � �T� � 2GE,<br />
�T� � E � 2GE.<br />
max<br />
(A To analÛg mÛdon felÌrhatÛ.)<br />
min<br />
max<br />
A kÈsıbbiekben l·tni fogjuk, hogy ezek az ˆsszef¸ggÈsek magyar·zat nÈlk¸l<br />
fÈlrevezetık, mert azt a kÈpzetet kelti, hogy a fesz¸ltÈgtenzornak van egy reverzibilis Ès<br />
egy irreverzibilis rÈsze, s a kettı ˆsszege adja a teljes fesz¸ltsÈg·llapotot, holott mind<br />
kettı a teljes fesz¸ltsÈg·llapottÛl f¸gg. ValÛj·ban pl. a T rev azt jelenti, ami az<br />
egyenlısÈg m·sik oldal·n van, vagyis a T fesz¸ltsÈg·llapot a rugalmas ·llapoton bel¸l:<br />
lÈtrehozhat egy 2GE reverzibilis v·ltoz·st, Ès ugyanaz a T fesz¸ltsÈg·llapot egy<br />
2�E� ��<br />
T�<br />
irreverzibilis v·ltoz·st.<br />
(17)<br />
(18)<br />
max<br />
max<br />
irrev<br />
max<br />
Vagyis a rugalmas tartom·nybeli POYNTING-THOMSON-modell esetÈn:<br />
Ez a<br />
T � 2GE<br />
� 2�E�<br />
��<br />
T�<br />
,<br />
T � 3KE<br />
� 3K<br />
E�<br />
��<br />
T�<br />
o<br />
o<br />
v<br />
o<br />
o<br />
,<br />
T<br />
T<br />
rev<br />
rev<br />
o<br />
� 2GE,<br />
� 3KE<br />
rev irrev<br />
rev<br />
T � T � T To<br />
� To<br />
�<br />
o<br />
, T<br />
,<br />
T<br />
T<br />
irrev<br />
o<br />
irrev<br />
,<br />
irrev<br />
o<br />
� 2�E�<br />
��<br />
T�<br />
,<br />
� 3K<br />
E�<br />
��<br />
T�<br />
.<br />
felÌr·s azonban csak a rugalmas tartom·nyban egyÈrtelm˚, nem azÈrt, mert a<br />
POYNTING-THOMSON-test egy rugalmas modell, hanem azÈrt, mert az irreverzibilis rÈsz<br />
itt nem tartalmaz maradÛ deform·ciÛkat. Teh·t azt is mondhatn·nk, hogy<br />
elast<br />
irrev elast rev irrev<br />
, o o o<br />
(18a) T � T � T T � T � T .<br />
rev<br />
MEGJEGYZ…SEK. A kˆvetkezı fejezetben egy egytengely˚ kÌsÈrletet t·rgyalunk, ahol<br />
az adatok a teljes deform·ciÛs folyamatot felˆlelik egÈszen a tˆrÈsig. A kÈplÈkeny<br />
·llapotbeli anyagviselkedÈst viszont csak a 6. Ès 7. fejezetben t·rgyaljuk. EzÈrt m·r<br />
most felhÌvjuk a figyelmet arra, hogy a rugalmas-kÈplÈkeny tartom·nyban megjelennek<br />
a maradÛ deform·ciÛk is, amelyek teljes egÈszÈben irreverzibilisek, teh·t a deform·ciÛk<br />
teljes tartom·ny·ra<br />
(19)<br />
T<br />
T<br />
ÌrhatÛ, s Ìgy<br />
rug<br />
rug<br />
o<br />
� T<br />
� T<br />
rev<br />
rev<br />
o<br />
� T<br />
� T<br />
elast,<br />
irrev<br />
elast,<br />
irrev<br />
o<br />
,<br />
,<br />
T<br />
T<br />
maradÛ<br />
maradÛ<br />
o<br />
� T<br />
� T<br />
m,<br />
irrev<br />
m,<br />
irrev<br />
o<br />
,<br />
,<br />
T � T<br />
T<br />
o<br />
elast<br />
� T<br />
v<br />
elast<br />
o<br />
o<br />
� T<br />
� T<br />
maradÛ<br />
,<br />
maradÛ<br />
o<br />
o
T � T<br />
T<br />
o<br />
� T<br />
elast<br />
elast<br />
o<br />
� T<br />
� T<br />
maradÛ<br />
maradÛ<br />
o<br />
� T<br />
rev<br />
� T<br />
rev<br />
o<br />
elast,<br />
irrev<br />
irrev<br />
T<br />
elast,<br />
irrev<br />
o<br />
irrev<br />
To<br />
m,<br />
irrev<br />
� T�<br />
� �� ��<br />
�T ���<br />
� T<br />
m,<br />
irrev<br />
o<br />
rev<br />
� T � T � T<br />
��<br />
�� �����<br />
Ezt ·br·zolva nyilv·nvalÛ az ˆsszef¸ggÈs, ugyanis mÌg a rugalmas tartom·nyban<br />
reverzibilis Ès irreverzibilis ·llapotv·ltoz·s egyar·nt lehetsÈges, addig a kÈplÈkeny<br />
tartom·nyban ñ b·r vannak tiszt·n rugalmas deform·ciÛk is, ñ az ·llapotv·ltoz·s mindig<br />
irreverzibilis. A deform·ciÛk rugalmasak Ès maradÛk lehetnek, de maradÛ deform·ciÛ<br />
csak a kÈplÈkenysÈgi hat·r ·tlÈpÈse ut·n jelentkezik. Az ·llapotv·ltoz·s reverzibilis Ès<br />
irreverzibilis egyar·nt lehet, de a reverzibilis rÈsze teljes egÈszÈben a rugalmas<br />
deform·ciÛkhoz kˆtıdik.<br />
Az egysÈges anyagtˆrvÈny matematikai felÌr·s·hoz be kellett vezetni a HEAVISIDEfÈle<br />
egysÈgugr·sf¸ggvÈnyt:<br />
��<br />
0,<br />
� � �<br />
��<br />
1,<br />
ha<br />
ha<br />
W � W<br />
f<br />
W � W<br />
f<br />
,<br />
,<br />
vagy<br />
amely azt a tÈnyt t¸krˆzi, hogy a kÈplÈkenysÈgi hat·r alatt nincs maradÛ deform·ciÛ, s a<br />
kÈplÈkeny hat·r t˙llÈpÈse ut·n is csak a deform·ciÛs munka nˆvekedÈsÈvel nˆvekszik a<br />
maradÛ deform·ciÛ, csˆkkenÈsÈvel v·ltozatlan marad. Vagyis az ˙n. vissza˙t sor·n a<br />
m·r a maradÛ deform·ciÛ nem csˆkkenhet (azÈrt maradÛ!).<br />
(20)<br />
Ès<br />
W�<br />
W�<br />
�<br />
�<br />
rev<br />
o<br />
0,<br />
0,<br />
� T<br />
� T<br />
irrev<br />
,<br />
irrev<br />
o<br />
Ennek megfelelıen a folytonos deform·ciÛk teljes tartom·ny·n az anyagtˆrvÈny:<br />
F<br />
�<br />
F<br />
�T<br />
� �T<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� � �<br />
�<br />
�To<br />
� �T<br />
elast<br />
elast<br />
elast<br />
o<br />
� �F<br />
� �T<br />
� �T<br />
maradÛ<br />
maradÛ<br />
maradÛ<br />
o<br />
�<br />
F<br />
� �T<br />
� � �<br />
� �<br />
� �T<br />
rev<br />
rev<br />
rev<br />
o<br />
� F<br />
� T<br />
� T<br />
elast,<br />
irrev<br />
elast,<br />
irrev<br />
elast,<br />
irrev<br />
o<br />
� �F<br />
� �T<br />
� �T<br />
maradÛ<br />
maradÛ<br />
maradÛ<br />
o<br />
.<br />
,<br />
�<br />
�<br />
�<br />
.<br />
�<br />
93
94<br />
5. FEJEZET<br />
EGYTENGELY¤ FESZ‹LTS…G¡LLAPOT KÕS…RLETI ADATOK ALAPJ¡N<br />
EGY M…R…SI EREDM…NY. Az alapul vett kÌsÈrleti adatokat [K£ECZEK, Z. (1969)]<br />
tanulm·nya kˆzˆlte, s ezek szilÈziai feketeszÈn prÛbatestek egytengely˚ nyomÛkÌsÈrleteibıl<br />
sz·rmaznak.<br />
1. t·bl·zat<br />
TENGELYIR¡NY⁄ DEFORM¡CI” � [10 -4 ]<br />
FESZ‹LTS…G<br />
d�<br />
DEFORM¡CI”SEBESS…G � � � [10<br />
dt<br />
-4 min -1 ]<br />
�� � 0<br />
0 � �� � �<br />
�� � �<br />
[MPa] 0,031 0,062 0,146 0,316 0,728 1,93 3,16 5,38 8,87 27,2 54,1 109 1670 5000<br />
0,00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0<br />
7,14 13 13 13 11 11 10 5 5 5 6 6 6 6 6<br />
14,28 30 26 24 23 22 19 11 11 10 11 10 11 11 13<br />
21,42 45 43 36 36 32 28 17 20 18 16 15 18 17 19<br />
28,57 61 54 52 46 41 40 26 27 26 25 22 26 24 26<br />
35,71 75 66 61 57 51 48 33 35 34 32 29 34 31 33<br />
42,85 89 81 70 67 63 59 40 41 41 39 35 43 35 40<br />
50,00 105 97 83 81 75 68 51 48 46 48 42 46 42 47<br />
57,14 122 114 96 92 86 80 62 51 55 55 49 53 47 52<br />
64,28 137 129 113 103 96 89 72 67 63 61 54 60 56 57<br />
71,42 161 147 130 121 108 100 84 75 69 67 61 65 60 62<br />
78,57 184 170 148 135 122 111 95 85 76 75 67 73 67 68<br />
85,71 - 197 181 159 138 128 108 99 84 82 73 76 73 74<br />
86,80 240 - - - - - - - - - - - - -<br />
90,00 231 - - - - - - - - - - - -<br />
91,87 207 - 160 143 120 - - - - - - -<br />
92,85 181 - - - 113 92 89 80 83 79 82<br />
93,00 183 - - - - - - - - -<br />
100,00 - 136 129 100 99 87 87 84 86<br />
101,62 167 - - - - - - - -<br />
103,95 152 - - - - - - -<br />
107,14 - 113 105 93 92 91 92<br />
107,99 143 - - - - - -<br />
111,23 122 - - - - -<br />
115,33 118 101 99 97 97<br />
119,33 108 - - -<br />
121,42 106 - 103<br />
123,90 114 - -<br />
127,33 104 106<br />
133,04 112
A kÌsÈrlet sor·n K£ECZEK professzor Ès munkat·rsai 14 k¸lˆnbˆzı [ �� � constans]<br />
deform·ciÛsebessÈggel vÈgeztek mÈrÈseket (1. t·bl·zat). Ezen mÈrÈsek kˆz¸l azonban<br />
csak h·romnak az adatait fogjuk a kˆvetkezıkben felhaszn·lni. A Ñleglass˙bbatî, amely<br />
jÛ kˆzelÌtÈse a ÑvÈgtelen lass˙î kÌsÈrletnek, a Ñleggyorsabbatî, amely jÛ kˆzelÌtÈse a<br />
ÑvÈgtelen gyorsî kÌsÈrletnek, Ès egy kˆzepes sebessÈg˚ mÈrÈst.<br />
Mivel ezek a mÈrÈsek csak a tengelyir·ny˙ terhelÈs Ès a tengelyir·ny˙ fajlagos<br />
ny˙l·s ÈrtÈkeit tartalmazz·k az idı f¸ggvÈnyÈben, Ès hi·nyoznak a keresztir·ny˙<br />
deform·ciÛk ÈrtÈkei, kÈnytelenek vagyunk elvi engedmÈnyeket tenni. Az ·ltal·nos<br />
POYNTING-THOMSON-test<br />
T<br />
T<br />
o<br />
� 2GE<br />
� 2�E�<br />
� � T�<br />
,<br />
� 3KE<br />
� 3K<br />
E�<br />
� � T�<br />
,<br />
o<br />
v<br />
o<br />
o<br />
o<br />
�� � 3K�<br />
� 3K<br />
� � � � ��<br />
�<br />
anyagegyenlete ñ egytengely˚ fesz¸ltsÈg·llapotban [ASSZONYI, 2006, SZARKA, 20006] ñ<br />
mind a tengelyir·ny˙, mind a keresztir·ny˙ deform·ciÛt tartalmazza:<br />
� ����<br />
� 2G<br />
� ��<br />
��<br />
� 3K<br />
o<br />
o<br />
�� � � k �� 2�<br />
� � � � � � k �,<br />
�� � 2�<br />
�� 3K<br />
� � � � 2 � � �.<br />
Õgy elsı lÈpÈsben, Ès csak a rugalmas tartom·nyban ñ mivel a teljes tÈrbeli<br />
tenzor·llapot nem foghatÛ meg, ñ kÈnytelenek vagyunk a klasszikus POYNTING-<br />
THOMSON-test<br />
azaz<br />
T<br />
k<br />
E � 2�E�<br />
��<br />
T�<br />
, To<br />
� 3 Eo<br />
� 3 E�<br />
o ��<br />
oT�<br />
,<br />
K K<br />
G ahol o 0 � �� ,<br />
K<br />
� 2 v<br />
o<br />
T<br />
T<br />
o<br />
�<br />
�<br />
2GE<br />
� 2�E�<br />
��<br />
T�<br />
,<br />
3KE<br />
o<br />
,<br />
v<br />
o<br />
�� � 3K�<br />
�<br />
anyagegyenletÈt alapul venni. Egytengely˚ fesz¸ltsÈg·llapotn·l ekkor a rugalmas<br />
tartom·nyban lej·tszÛdÛ jelensÈgek leÌr·s·ra ·ltal·nosan a<br />
(1) � � E � � � � � � ���<br />
egyenletet haszn·ljuk, ahol<br />
9GK<br />
9GK<br />
9GK<br />
(2) E : � , � : � , � : � ,<br />
3K<br />
� G 3K<br />
� G 3K<br />
� G<br />
mÌg speci·lisan (vagyis az (1) differenci·legyenlet megold·s·t az �� � a � constans<br />
deform·ciÛsebessÈg feltÈtelezÈse esetÈn) a<br />
o<br />
o<br />
v<br />
k<br />
o<br />
o<br />
o<br />
K v<br />
95
(3)<br />
96<br />
�� � � � �� �<br />
� � �0<br />
�� � � � �� �<br />
0�<br />
� � �a��<br />
�� � � � �� � � �<br />
� � ��<br />
egyenleteket tekinthetj¸k.<br />
A mÈrÈsi adatokn·l<br />
0<br />
a<br />
�<br />
� E�,<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� � �<br />
� E � � a �<br />
�<br />
� � � 1�<br />
e<br />
� � E ��<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�6<br />
1 �<br />
�<br />
� a<br />
��<br />
��,<br />
��<br />
��<br />
�� � 3,<br />
1�10<br />
/min � 0, illetve �� � 0,<br />
5 /min � � feltÈte-<br />
lezÈssel Èlt¸nk. Az elsınÈl kisebb sebessÈg gyakorlatilag m·r Èrdektelen, mert legal·bb<br />
kÈt nagys·grenddel kisebb deform·ciÛt ·llÌtunk elı percenkÈnt, mint ami anyagainkn·l<br />
jelentkezik, nem beszÈlve az igen hossz˙ laboratÛriumi mÈrÈsi idırıl (a kÌsÈrlet 130 Ûra<br />
alatt zajlott le). A �� � 0,<br />
5 /min sebessÈg pedig szinte elı·llÌthatatlan, mert a 0,5/min azt<br />
jelenti, hogy egyetlen perc alatt a prÛbatest eredeti hossz·t felÈre csˆkkentett¸k a<br />
kÌsÈrlet sor·n (valÛj·ban a tˆrÈsig tartÛ kÌsÈrlet csak 1,344 m·sodpercig ideig tartott).<br />
terhelÈs (tengelyir·ny˙ fesz¸ltsÈg) [MPa]<br />
Az 1. t·bl·zat adataibÛl szerkesztett¸k a kˆvetkezı 1. ·br·t:<br />
140<br />
120<br />
100<br />
80<br />
60<br />
40<br />
20<br />
0<br />
Kleczek -fÈle egytengely˚ nyomÛkÌsÈrletek eredmÈnyei<br />
d e/ dt =<br />
5*10 -1 /min<br />
d e/ dt =<br />
1,93*10 -4 /min<br />
d e/ dt =<br />
3,1*10 -6 /min<br />
KÈplÈkenysÈgi<br />
hat·rgˆrbe<br />
TˆrÈsi<br />
hat·rgˆrbe<br />
0 40 80 120 160 200 240<br />
a tengelyir·ny˙ deform·ciÛ [10 -4 ]<br />
1.·bra
K÷VETKEZTET…SEK. Az 1. ·br·bÛl jÛl l·tszanak a BevezetÈsben rÈszletezett<br />
hat·rgˆrbÈk. A koordin·tarendszer ·ltal kifeszÌtett teret tekints¸k ·llapottÈrnek, amelyen<br />
bel¸l a re·lis ·llapotv·ltoz·soknak<br />
� van egy felsı korl·tja, amelynek a m·sik oldal·n m·r nincsenek folyamatok,<br />
� van egy alsÛ korl·tja, amelynek a m·sik oldal·n szintÈn nincsenek folyamatok,<br />
tov·bb·<br />
� lÈtezik egy kÈplÈkenysÈgi hat·r, amely elv·lasztja a tÈr kÈt rÈszÈt, egyik oldalon<br />
vannak a rugalmas, m·sik oldalon a kÈplÈkeny (maradÛ) deform·ciÛkkal j·rÛ<br />
folyamatok,<br />
� ez a hat·rfeltÈtel az alsÛ korl·tot is kÈt rÈszre osztja, reverzibilis Ès irreverzibilis<br />
rÈszre,<br />
� lÈtezik egy tˆnkremeneteli (tˆrÈsi) hat·r, amelyen kÌv¸li tÈrrÈszben m·r nincs<br />
kontinuit·s, teh·t a folytonos kˆzegekre vonatkozÛ ˆsszef¸ggÈsek m·r<br />
Èrtelm¸ket vesztik.<br />
Az 1. ·br·bÛl ñ mindennem˚ elemzÈs nÈlk¸l is ñ sz·mos alapvetı kˆvetkeztetÈs<br />
vonhatÛ le, amelyek megegyeznek [V¡N, P. ñ ASSZONYI, CS. (2006)] tanulm·ny·ban<br />
kˆzˆltekkel.<br />
Ezek kˆz¸l a legszemlÈletesebbek a kˆvetkezık:<br />
� Az ·bra a rugalmas tartom·nyban a POYNTING-THOMSON-test tulajdons·gait t¸krˆzi,<br />
amely szerint az �� � 0 Ès �� � � szÈlsı esetekben az anyagtˆrvÈny: line·ris.<br />
� A kÈplÈkenysÈgi Ès a tˆnkremeneteli hat·rfeltÈtel f¸gg a deform·ciÛsebessÈgtıl (a<br />
fesz¸ltsÈgv·ltoz·si sebessÈgtıl), teh·t nem fejezhetı ki mint fesz¸ltsÈgi, vagy mint<br />
deform·ciÛs hat·rfeltÈtel (f¸ggvÈny).<br />
� A ÑvÈgtelen lass˙î kÌsÈrlet jÛl kˆzelÌti az egyens˙lyi anyagtˆrvÈnyt, amely<br />
reverzibilis a kÈplÈkenysÈgi hat·rig, s irreverzibilis a tˆnkremeneteli hat·rig.<br />
Megmutatja azt az ismert tÈnyt, hogy a reverzibilis folyamat maga egy hat·r,<br />
amelynek csak egyik oldal·n lÈteznek re·lis mechanikai folyamatok.<br />
Az ·br·bÛl mÈg nem vonhatunk le kˆvetkeztetÈst ñ b·rmennyire is kÌn·lja mag·t ñ a<br />
hat·rfeltÈtelekre Ès a kÈplÈkeny ·llapotban lÈvı anyag viselkedÈsÈre. Viszont<br />
meghat·rozhatjuk azt az utat, amelyen j·rva fedezhetj¸k fel a ma mÈg ismeretlen<br />
ˆsszef¸ggÈseket.<br />
H·rom megv·laszolandÛ kÈrdÈs¸nk van:<br />
1. Az anyagtˆrvÈny ·ltal·nos ˆsszef¸ggÈsÈnek ismeretÈben meghat·rozni a<br />
kÌsÈrleti adatok alapj·n az egytengely˚ anyagegyenletet, amely nemcsak a<br />
rugalmas, hanem a kÈplÈkeny tartom·nyban is igaz.<br />
2. Milyen az a feltÈtel, amelyik elv·lasztja egym·stÛl a rugalmas Ès a kÈplÈkeny<br />
tartom·nyt? S ez milyen ·ltal·nos fizikai tˆrvÈnybıl sz·rmaztathatÛ?<br />
97
98<br />
3. Mitıl f¸gg a tˆnkremenetel, Ès mibıl vezethetı le?<br />
Mind a h·rom kÈrdÈsre a v·laszt fokozatos megkˆzelÌtÈssel keress¸k. Kiindulunk a<br />
legegyszer˚bb esetbıl [ �� � 0 ], mert ekkor line·ris ˆsszef¸ggÈs¸nk van, majd a<br />
kˆzepes Ès gyors [ � � � 0 , � � � � ] alakv·ltoz·sokat tekintj¸k ·t, s ezekbıl ·llÌtjuk ˆssze<br />
az anyagtˆrvÈnyt, a kÈplÈkenysÈgi hat·rfeltÈtelt Ès tˆnkremeneteli hat·rfeltÈtelt.<br />
1. A K…PL…KENY DEFORM¡CI”K TARTOM¡NY¡BAN …RV…NYES ÷SSZEF‹GG…S<br />
MEGHAT¡ROZ¡S¡NAK L…P…SEI, EGYTENGELY¤ ¡LLAPOTBAN<br />
1.1. AZ ANYAGT÷RV…NY Pmin = 0 DEFORM¡CI”S TELJESÕTM…NY ESET…N<br />
EmlÈkeztet¸nk r·, hogy P � P � 0 a îvÈgtelen lass˙î alakv·ltoz·si<br />
min<br />
�� �0<br />
sebessÈghez tartozÛ teljesÌtmÈny. Az �� � 0 vÈgtelen lass˙ kÌsÈrletet kˆzelÌtı<br />
�6<br />
( �� � 3,<br />
1�10<br />
/min) esetben kapott mÈrÈsi adatok, Ès az azokat kˆzelÌtı (kiegyenlÌtı)<br />
line·ris f¸ggvÈnyek a 2. Ès a 3. ·br·kon tal·lhatÛk. A 98-99 % szoross·g jÛl mutatja,<br />
hogy az ˆsszef¸ggÈsek elfogadhatÛk, nyugodtan haszn·lhatÛk.<br />
tengelyir·ny˙ terhelÈs [MPa]<br />
90<br />
75<br />
60<br />
45<br />
30<br />
15<br />
E = 4683 MPa<br />
R = 99,95%<br />
KÈplÈkenysÈgi<br />
hat·r<br />
M = 2037 MPa<br />
R = 98,14%<br />
Tˆnkremeneteli<br />
hat·r<br />
0<br />
0 40 80 120 160 200 240 280<br />
tengelyir·ny˙ deform·ciÛ [10 -4 ]<br />
Ebben az esetben a<br />
problÈma gyˆkereinek<br />
felismerÈsÈt egyrÈszt a<br />
linearit·s, m·srÈszt a t idıtıl<br />
valÛ f¸ggetlensÈg segÌti.<br />
Ekkor a deform·ciÛs<br />
(vagy alakv·ltoz·si) teljesÌtmÈny<br />
dW<br />
P �<br />
dt<br />
� F : v � � �<br />
� F :<br />
� �S v � �<br />
ˆsszef¸ggÈsÈbıl a deform·ciÛs<br />
munk·ra nagyon<br />
egyszer˚ formul·t nyer¸nk:<br />
D'<br />
dW � �Pdt<br />
� � F : dD<br />
,<br />
2. ·bra<br />
0
amely azonban idıtıl f¸ggı esetben m·r<br />
nem igaz.<br />
Ha a deform·ciÛ mechanizmus·t<br />
akarjuk megÈrteni, abban segÌt a 4. ·br·n<br />
l·thatÛ elvi sÈma, amely szerint az<br />
anyagtˆrvÈny 14<br />
a rugalmas tartom·nyban:<br />
(4) � � E�<br />
, ha � � � f ,<br />
a kÈplÈkeny tartom·nyban:<br />
(5) f � f �, M E � � � � � � � ha � � � f .<br />
120<br />
100<br />
80<br />
60<br />
40<br />
20<br />
184<br />
86,88<br />
137<br />
65,08<br />
240<br />
86,88<br />
Ebbıl az a kˆvetkeztetÈs is levonhatÛ lenne,<br />
hogy m·s anyagtˆrvÈny ÈrvÈnyes rugalmas<br />
esetben Ès m·s rugalmas-kÈplÈkeny esetben. Ez<br />
azonban nem igaz. Most is a tudom·nyos<br />
megismerÈs azon az esetÈvel ·llunk szemben,<br />
amikor a l·tszat elfedi a lÈnyeget. Ehhez mÈg azt<br />
is vegy¸k hozz·, hogy ha a felterhelÈs sor·n<br />
t˙llÈpt¸k a kÈplÈkenysÈgi hat·rt, s majd egy<br />
tehermentesÌtÈs kˆvetkezik, akkor ismÈt a<br />
rugalmas tartom·nybeli ˆsszef¸ggÈs ÈrvÈnyes.<br />
0<br />
0 40 80 120 160 200 240<br />
A 3. ·br·n berajzoltuk a rugalmas v·ltoz·st a<br />
kÈplÈkenysÈgi hat·ron t˙l is, a hozz·tartozÛ<br />
maradÛ deform·ciÛkkal egy¸tt.<br />
3. ·bra<br />
Ez az anyagviselkedÈs a reolÛgi·ban megszokott kapcsol·si v·zlattal is kifejezhetı<br />
(5. ·bra).<br />
Rugalmas KÈplÈkeny<br />
5. ·bra. Az ide·lisan rugalmas-kÈplÈkeny 15 test elvi v·zlata (mozg·ssÈm·ja)<br />
14 ¡tmenetileg a kÈplÈkenysÈgi modulusra az Epl helyett az Epl:=M jelˆlÈst alkalmazzuk.<br />
15 Az irodalomban megszokott elnevezÈse: line·risan rugalmas, felkemÈnyedı test.<br />
�<br />
�f<br />
�f<br />
�<br />
�f<br />
��<br />
� irrev<br />
E M<br />
� plast<br />
� rev �<br />
� irrev =� maradÛ � rev<br />
�<br />
4. ·bra<br />
�<br />
99
AnyagtˆrvÈny csak egyetlen lehet, nincs rugalmas Ès kÈplÈkeny, Ès az anyagnak nem<br />
lehet kÈtfÈle anyagtˆrvÈnye: egy az ˙n. terhelÈsre, Ès egy m·sik a tehermentesÌtÈsre. Ez<br />
ui. azt jelentenÈ, hogy az anyagtˆrvÈny f¸gg az alakv·ltoz·si ˙tvonaltÛl. Ebben az<br />
esetben az ilyen ˆsszef¸ggÈs nem lehet fizikai tˆrvÈny.<br />
Ekkor viszont kell mÈg valamit tal·lnunk, mert a fizikai viselkedÈsben az anyag<br />
kÈplÈkeny viselkedÈse is bennfoglaltatik. Lehet, hogy a v·laszt a kÈplÈkeny<br />
deform·ciÛk termÈszetÈnek m·ss·g·ban kell keresni? PÈld·ul abban, hogy a fesz¸ltsÈg<br />
a konduktÌv impulzus·ram s˚r˚sÈge, a deform·ciÛ viszont ettıl f¸gg, Ìgy az<br />
anyagtˆrvÈny valÛj·ban csak a konduktÌv deform·ciÛkat Ìrja le, viszont a kÈplÈkeny<br />
(maradÛ) deform·ciÛ konvektÌv, amely m·r nem fordÌthatÛ vissza konduktÌvv·. Ennek<br />
lÈnyege pontosan kiolvashatÛ a 4. ·br·bÛl, ha felÌrjuk az ·br·bÛl kiolvashatÛ elemi<br />
ˆsszef¸ggÈseket:<br />
(6) � � � � � � � � � .<br />
100<br />
rev<br />
irrev<br />
rev<br />
irrev<br />
� � E�<br />
� E��<br />
� � �,<br />
(7)<br />
� � E�<br />
f<br />
� M �� � � �,<br />
amelyek azt mutatj·k, hogy fesz¸ltsÈg csak egyetlen van, a hozz·tartozÛ deform·ciÛt<br />
viszont k¸lˆnbˆzı deform·ciÛk ˆsszegekÈnt Ìrhatjuk fel. 16 Ezek a kˆvetkezık:<br />
f<br />
f<br />
plast<br />
A REVERZIBILIS (VAGY RUGALMAS …S EGYENS⁄LYI) DEFORM¡CI”:<br />
rev �<br />
(8) � � ,<br />
E<br />
amely az ·br·bÛl kiolvashatÛan a kÈplÈkenysÈgi hat·r t˙llÈpÈse ut·n is jelentkezik, s<br />
mindaddig nˆvekszik, ameddig a � nı, Ès ar·nyosan csˆkken, ha a terhelÈs csˆkken;<br />
A PLASZTIKUS (VAGY K…PL…KENY) DEFORM¡CI”:<br />
plast<br />
(9) � � � � � ,<br />
amely a kÈplÈkeny hat·r t˙llÈpÈse ut·ni deform·ciÛk ˆsszessÈge, ez is mindaddig<br />
nˆvekszik, ameddig a � nı, Ès ar·nyosan csˆkken, ha a terhelÈs csˆkken; Ès vÈg¸l<br />
AZ IRREVERZIBILIS (VAGY MARAD”) DEFORM¡CI”:<br />
maradÛ m rev � M �<br />
(10) � : � � � � � � � �1�<br />
���<br />
� � f �,<br />
� E �<br />
16 A kÈplÈkenysÈgi hat·rfeltÈtellel mÈg nem foglalkozunk, Ìgy most csak annyit tesz¸nk fel, hogy az a<br />
jelen egyszer˚ egytengely˚ esetben egy pont, amelynek koordin·t·i f<br />
f �<br />
� , , s hogy milyen<br />
ˆsszef¸ggÈsbıl adÛdik, milyen fel¸let egy pontja stb., nem tˆrıd¸nk.<br />
f
amely vÈg¸lis vissza m·r nem alakÌthatÛ. Ez mindaddig nˆvekszik, ameddig a � nı, de<br />
nem csˆkken ñ hanem ·llandÛ marad ñ ha a terhelÈs csˆkken Ezt tekinthetj¸k a<br />
deform·ciÛk konvektÌv rÈszÈnek.<br />
A RUGALMASS¡GI MODULUS L¡TSZ”LAGOS MEGV¡LTOZ¡SA. A (10) egyenletbıl az<br />
M kÈplÈkenysÈgi modulus:<br />
� m<br />
� �<br />
��<br />
��<br />
(11) M � E�1<br />
� �,<br />
M � E , M � E .<br />
�<br />
plast<br />
� � �<br />
�<br />
� f �<br />
� � � f<br />
�<br />
Az M kÈplÈkenysÈgi modulus teh·t nem m·s, mint az E rugalmass·gi modulusnak a<br />
kÈplÈkenysÈgi h·t·ron t˙li l·tszÛlagos megv·ltoz·sa. E miatt az M nem is anyag·llandÛ.<br />
AzÈrt mondjuk, hogy ez l·tszÛlagos megv·ltoz·s, mert a rugalmass·gi modulus ˙gy is<br />
felÌrhatÛ, hogy<br />
��<br />
E � ,<br />
rev<br />
��<br />
viszont a kÈplÈkenysÈgi hat·r t˙llÈpÈse ut·n jelentkezik a<br />
Ìgy<br />
�<br />
�f 2<br />
�f 1<br />
M<br />
��<br />
� , illetve<br />
rev m<br />
��<br />
� ��<br />
6. ·bra<br />
M<br />
E<br />
m<br />
� � maradÛ deform·ciÛ, s<br />
rev<br />
��<br />
�<br />
rev<br />
��<br />
� ��<br />
m<br />
Az m<br />
� maradÛ deform·ciÛ az<br />
M/E h·nyadoson kÌv¸l attÛl f¸gg,<br />
hogy a fellÈpı deform·ciÛ<br />
mennyivel nagyobb, mint a<br />
foly·shat·r.<br />
Mivel az M az E-tıl f¸gg,<br />
kimondhatÛ, hogy a maradÛ<br />
deform·ciÛ az E modulus Ès a<br />
plasztikus deform·ciÛ f¸ggvÈnye.<br />
L·ttuk, hogy a foly·shat·r a<br />
m˙ltban lej·tszÛdott folyamatok<br />
f¸ggvÈnye (6. ·bra), amelynek<br />
ÈrtÈkei az ·bra szerinti<br />
1 1 2 2 3 3<br />
� � �� �� , � �� �� , � �� �<br />
� f , f f f f f ,<br />
sorozatot alkotj·k, amelyek elvileg a tˆrÈsi hat·rig nˆvelhetık. Az M ÈrtÈke viszont nem<br />
nˆvekszik. Teh·t a (11) ˆsszef¸ggÈsben az � f ÈrtÈke b·rmekkora is, nem j·tszik<br />
szerepet.<br />
�f 1<br />
Rugalmas<br />
tartom·ny<br />
�f 2<br />
KÈplÈkeny<br />
tartom·ny<br />
�f 3<br />
�<br />
101
A (11) ˆsszef¸ggÈs azÈrt is szenz·ciÛs, mert a foly·shat·r Ès a maradÛ deform·ciÛk<br />
kˆzˆtti ˆsszef¸ggÈsre mutat r·:<br />
(11a)<br />
102<br />
m<br />
�<br />
� � �<br />
f<br />
E � M<br />
� const � .<br />
M<br />
A 3. ·br·bÛl kiolvashatÛ, hogy az alapul vett kÌsÈrletnÈl a kÈplÈkenysÈgi hat·r<br />
�4<br />
t˙llÈpÈse [ � � 137 �10<br />
] ut·n, az<br />
elıtti pillanatban)<br />
(12)<br />
f<br />
�4<br />
� � 240 �10<br />
tˆrÈsi hat·rn·l (a tˆrÈs bekˆvetkezte<br />
t<br />
plast<br />
�4<br />
�4<br />
a plasztikus deform·ciÛ: � �240 �137�<br />
�10<br />
� 103�10<br />
� ,<br />
maradÛ<br />
�4<br />
�4<br />
a maradÛ deform·ciÛ pedig: � �240 �184�<br />
�10<br />
� 56 �10<br />
Ebbıl a kÈpbıl l·tszik, s most megismÈtelj¸k, hogy:<br />
� .<br />
A mechanikai anyagtˆrvÈny nem m·s, mint a<br />
konduktÌv impulzus·ram s˚r˚sÈge Ès a<br />
konduktÌv deform·ciÛ kˆzˆtti ˆsszef¸ggÈs.<br />
A konduktÌv deform·ciÛhoz hozz·j·rul mÈg a konvektÌv (irreverzibilis, vagy<br />
maradÛ) deform·ciÛ, s a kettı adja a teljes deform·ciÛt. Tal·n kezdettıl meg kellene<br />
k¸lˆnbˆztetni ezt a kettıt: a teljes w sebessÈget kÈt rÈszre bontani, egy v konduktÌv<br />
sebessÈgre Ès egy s konvektÌvra, vagy az elmozdul·st bontani kÈt rÈszre, stb. Azonban<br />
ehhez bizonyÌtani kellene, hogy a konvektÌv sebessÈg m·r a kezdeteknÈl megjelenik.<br />
Gyakorlati ñ de nem bizonyÌtott ñ tapasztalatunk, hogy amikor a testet mechanikai<br />
hat·snak tessz¸k ki ñ vagyis vele � w fajlagos impulzust Ès 1 /2 � w 2 fajlagos kinetikai<br />
energi·t kˆzl¸nk ñ, akkor a maradÛ deform·ciÛ csak akkor jelenik meg, amikor a<br />
kinetikus energia egy kritikus ÈrtÈket t˙llÈp, vagyis az anyag m·r nem tudja teljes<br />
egÈszÈben belsı energi·v· alakÌtani, s a differencia tov·bbra is kinetikai energiakÈnt<br />
van jelen.<br />
A 4. ·bra a maga egyszer˚sÈgÈvel Ès vil·gos ·ttekinthetısÈgÈvel azÈrt nagyszer˚,<br />
mert benne visszat¸krˆzıdik ñ mint cseppben a tenger ñ minden ·ltal·nos Ès specifikus<br />
tˆrvÈnyszer˚sÈg. Az ·br·bÛl l·tjuk, hogy fesz¸ltsÈg csak egy van, de a hozz·tartozÛ<br />
deform·ciÛ m·r tˆbb, de csak a kÈplÈkenysÈgi hat·r t˙llÈpÈse ut·n. Ebbıl kˆvetkezik,<br />
hogy egy ·ltal·nos mechanikai feladat megold·sa sor·n elÈgsÈges a fesz¸ltsÈgmezıt<br />
meghat·rozni [a mechanikai alapegyenletek egyetlen v·ltozÛra tˆrtÈnı visszavezetÈsÈvel,<br />
pl. az ˙n. erımÛdszerrel (ld. BELTRAMI-egyenlet)]. Ha ez rugalmas<br />
·llapotbeli anyagegyenlettel tˆrtÈnik, akkor a kapott deform·ciÛmezı az<br />
deform·ciÛ komponenseket tartalmazza, amelyhez hozz· kell adni az<br />
rev<br />
�<br />
rev<br />
� -tÛl f¸ggı<br />
m<br />
� komponenseket tartalmazÛ deform·ciÛmezıt, Ès m·ris rendelkezÈs¸nkre ·ll a
vÈgleges megold·s. Ez·ltal a kÈplÈkenysÈgtan irodalm·ban tal·lhatÛ ˆnkÈnyes Ès<br />
bonyolult ˆsszef¸ggÈseket Ès mÛdszereket ·tadhatjuk a m˙ltnak.<br />
Vegy¸k most csak pÈldakÈnt azt a feltevÈst, hogy a kÈplÈkenysÈgi hat·rfeltÈtel:<br />
(13) � � f W W W � �<br />
amely a linearit·s miatt � f<br />
� ,17<br />
� � alakban is felÌrhatÛ. 18 Ez az � 0<br />
�� esetben<br />
termÈszetesen igaz, b·r mÈg nem tudjuk, hogy az � f miÈrt annyi, mint amit a kÌsÈrlet<br />
kimutatott.<br />
Ezt felhaszn·lva m·r felÌrhatÛ az anyagtˆrvÈny, a 4. ·bra alapj·n:<br />
Rugalmas ·llapotban:<br />
(14) � � E�<br />
, ha 0 � � � � f ,<br />
KÈplÈkeny ·llapotban:<br />
(15)<br />
s Ìgy az egysÈges anyagtˆrvÈny:<br />
�� � � �,<br />
�E�<br />
f � M f<br />
� � �<br />
ha � f � � � � t ,<br />
�<br />
M�<br />
� �E � M ��<br />
f ,<br />
A deform·ciÛk teljes tartom·ny·n [ha 0 � � � � ]<br />
(16) � � E� � ��E<br />
� M ��� � � �,<br />
ahol � a 2. fejezetben m·r bevezetett HEAVISIDE-fÈle egysÈgugr·s:<br />
(17)<br />
� � � 0,<br />
�<br />
�<br />
� � 1,<br />
[ � � � ],<br />
[ � � � ],<br />
f<br />
f<br />
�<br />
�<br />
� � M�<br />
�<br />
f<br />
� � E�<br />
,<br />
�E � M �<br />
Gondolatmenet¸nket itt fÈlbe kell szakÌtanunk, mert a (15) vÈgleges form·j·hoz a<br />
tÈnyleges hat·rfeltÈtel is kell. Ami jelen esetben azt jelenti, hogy ismerni kellene a<br />
17<br />
W-vel most azt a mÈg ismeretlen v·ltozÛt jelˆlt¸k, amitıl a kÈplÈkenysÈgi k¸szˆb f¸gg. Erre azÈrt van<br />
sz¸ksÈg, mert az m·r bizonyÌt·st nyert [ASSZONYI (1975)], hogy a kÈplÈkenysÈgi hat·rfeltÈtel nem lehet<br />
sem fesz¸ltsÈgi, sem deform·ciÛs feltÈtel. A W-vel a deform·ciÛs munk·ra kÌv·ntunk utalni, ui. mivel a<br />
termodinamika II. fıtÈtele, az entrÛpiaprodukciÛ nˆvekedÈse Ès az anyagstabilit·s ˆsszef¸ggÈseiben a<br />
P � F : v � � � dW / dt deform·ciÛs teljesÌtmÈny szerepel, feltehetı, hogy a W hat·rozza meg a<br />
kÈplÈkeny ·llapot lÈtrejˆttÈnek feltÈtelÈt. Olyan feltevÈs ui. nem fogadhatÛ el, amelyik nem az ·ltal·nos<br />
fizikai tˆrvÈnyekbıl kˆvetkezik. Tov·bb· ebben fejezıdik ki a kˆzˆlt kinetikus energia k¸szˆbÈrtÈke is,<br />
vagyis az anyag ott folyik meg, ahol a kˆzˆlt kinetikus energia m·r tˆbb, mint amennyit az anyag kÈpes<br />
belsı energi·v· alakÌtani.<br />
18<br />
Tekints¸k ezt provizÛrikusan kÈplÈkenysÈgi hat·rfeltÈtelnek. Mivel jelen esetben line·ris<br />
ˆsszef¸ggÈseink vannak, Ìgy a f W W � kÈplÈkenysÈgi hat·rfeltÈtelt felÌrhatjuk � f -fel Ès � f -fel is.<br />
Mivel W � �� �<br />
f<br />
�<br />
2<br />
f<br />
2 � f<br />
� d 1<br />
1<br />
f f E 1<br />
� � � � � � �<br />
2<br />
2 f � , Ìgy �<br />
2<br />
f � 2EW<br />
, illetve f � f � 2W<br />
f / E .<br />
E<br />
0<br />
�<br />
f<br />
.<br />
103
tengelyir·ny˙ terhelÈs [MPa]<br />
hat·rfeltÈtelbıl kˆvetkezı � �� �<br />
104<br />
� f¸ggvÈnyt. Ezt. mÈg nem Ìrhatjuk fel az 0 � ��<br />
� f f<br />
esetre sem, mert ahhoz elmÈleti megfontol·sok kellenek, tov·bb· a h·rom k¸lˆnbˆzı<br />
[ � � � 0, 0 � � � � �,<br />
� � � 0 ] eset ˆsszehasonlÌt·s·ra is sz¸ksÈg van. EzÈrt<br />
vizsg·latainkat az ·llapottÈr m·sik hat·resetÈvel (felsı hat·rgˆrbÈvel), az �� � �<br />
feltÈtelezÈssel folytatjuk.<br />
1.2. AZ ANYAGT÷RV…NY Pmax DEFORM¡CI”S TELJESÕTM…NY ESET…N<br />
EmlÈkeztet¸nk r·, hogy<br />
Pmax � P a îvÈgtelen gyorsî alakv·ltoz·si<br />
�� ��<br />
sebessÈghez tartozÛ teljesÌtmÈny. A mÈrÈsi adatokat, Ès az azt kˆzelÌtı line·ris<br />
f¸ggvÈnyt a 7. ·bra mutatja. Ebben az esetben a kÈplÈkenysÈgi hat·rt Ès a tˆrÈsi hat·rt ñ<br />
elsı lÈpÈsben ñ nem siker¸lt k¸lˆnv·lasztani. KÈt eset lehetsÈges:<br />
140<br />
120<br />
100<br />
80<br />
60<br />
40<br />
20<br />
0<br />
E din = l/J<br />
= 12006<br />
MPa<br />
R = 99,76%<br />
134 MPa<br />
112.10 -4<br />
KÈplÈkenysÈgi<br />
Ès<br />
tˆnkremeneteli<br />
hat·r<br />
0 20 40 60 80 100 120<br />
tengelyir·ny˙ deform·ciÛ [10 -4 ]<br />
7. ·bra<br />
1. az �� � � sebessÈg nem<br />
engedi, hogy a kÈplÈkeny<br />
·llapotot ÈrzÈkelj¸k, mert<br />
m·r rˆgtˆn be is kˆvetkezik<br />
a tˆrÈs,<br />
2. ennÈl a sebessÈgnÈl a kÈt<br />
hat·rfeltÈtel egybeesik.<br />
A kÌsÈrleti adatokbÛl<br />
nem dˆnthetı el az igazs·g.<br />
Az viszont tiszt·n l·tszik,<br />
hogy ebben az esetben sem<br />
az � f , sem az � t nem<br />
egyezik meg az elızı pontban<br />
kapott ÈrtÈkekkel.<br />
Meg·llapÌthatjuk teh·t,<br />
hogy a hat·rfeltÈtelek f¸ggnek<br />
a v·ltoz·si sebessÈgtıl.<br />
Jelen esetben az anyagviselkedÈs<br />
egyetlen egyenessel<br />
ÌrhatÛ le, melynek<br />
egyenlete:<br />
�<br />
(18) � � � , 0 � � � � t .<br />
�
tengelyir·ny˙ terhelÈs [MPa]<br />
1.3. AZ ANYAGT÷RV…NY 0 < P < Pmax DEFORM¡CI”S TELJESÕTM…NY ESET…N<br />
A kÌsÈrleti adatokat Ès a � �� �<br />
� � kˆzelÌtı gˆrbÈt a 8. ·bra baloldali rÈsze mutatja,<br />
mÌg a jobboldali rÈsz nemcsak megadja a kÈplÈkenysÈgi Ès a tˆnkremeneteli hat·rn·l<br />
ÈrvÈnyes fesz¸ltsÈg-deform·ciÛ ÈrtÈkeket, hanem<br />
- felt¸nteti, hogyan v·ltozott volna a � �� �<br />
� f kÈplÈkenysÈgi k¸szˆb, vagyis ·br·zolja a tov·bbi<br />
� � ˆsszef¸ggÈs, ha nem ott lenne az<br />
rug<br />
rev<br />
� : � � deform·ciÛkhoz<br />
maradÛ<br />
tartozÛ � ÈrtÈkeket, ez·ltal sz·mÌthatÛan bemutatja az � � � � � ÈrtÈkeket,<br />
- az ·bra jobb oldali rÈszÈn szaggatott vonal jelzi a vÈgtelen lass˙ kÌsÈrlethez<br />
tartozÛ ˆsszef¸ggÈst, hogy szemlÈltesse, mennyivel tˆbb munk·t kellett ahhoz vÈgezni,<br />
hogy a vÈgtelen gyors kÌsÈrletnÈl ugyanolyan nagys·g˙ deform·ciÛt hozzunk lÈtre, mint<br />
a vÈgtelen lass˙n·l.<br />
110<br />
100<br />
90<br />
80<br />
70<br />
60<br />
50<br />
40<br />
30<br />
20<br />
10<br />
KÈplÈkenysÈgi<br />
hat·r<br />
Tˆnkremeneteli<br />
hat·r<br />
0<br />
0 25 50 75 100 125 150 175<br />
tengelyir·ny˙ deform·ciÛ [10 -4 ]<br />
8. ·bra. A � �� �<br />
�4<br />
rev<br />
Vagyis szemlÈltetj¸k a P = 0<br />
teljesÌtmÈnyhez Ès a P > 0 teljesÌtmÈnyhez<br />
tartozÛ ÈrtÈkeket.<br />
120<br />
100<br />
80<br />
60<br />
40<br />
20<br />
128<br />
85,70<br />
158<br />
101,6<br />
167<br />
101,6<br />
0<br />
0 40 80 120 160 200<br />
� � ˆsszef¸ggÈs �� � 1,<br />
94 �10<br />
/ min deform·ciÛsebessÈg esetÈn<br />
105
106<br />
1.4. A REVERZIBILIS …S IRREVERZIBILIS FESZ‹LTS…GEK<br />
Azonban, ahogy az irodalomban m·sok, ˙gy mi is haszn·ljuk az entrÛpiaprodukciÛs˚r˚sÈgÈnek<br />
nˆvekedÈsÈnÈl a reverzibilis Ès az irreverzibilis fesz¸ltsÈgek fogalm·t,<br />
holott l·ttuk, hogy egyetlen fesz¸ltsÈg hozza lÈtre a reverzibilis Ès irreverzibilis<br />
deform·ciÛkat.<br />
� � � �<br />
rev<br />
� � E�<br />
�<br />
� f<br />
irrev<br />
rev irrev<br />
�<br />
Rugalmas<br />
tartom·ny<br />
�E � M ��� � �<br />
� � � �<br />
�maradÛ = � irrev<br />
�<br />
�<br />
�<br />
f<br />
KÈplÈkeny<br />
tartom·ny<br />
arctg M<br />
arctg E<br />
�<br />
� rev<br />
� irrev<br />
� irrev = 0<br />
� = � rev<br />
�<br />
�<br />
� rev<br />
9. ·bra<br />
TermÈszetesen a fesz¸ltsÈgek ilyetÈn<br />
szÈtv·laszt·s·nak nincsen akad·lya.<br />
Azonban, hogy ez elÈggÈ mesterkÈlt, azt a<br />
9. ·br·n mutatjuk be, amely a 4. ·bra<br />
kiegÈszÌtÈse az irreverzibilis fesz¸ltsÈggel.<br />
Az ·br·bÛl l·thatÛ, hogy jelen egytengely˚<br />
fesz¸ltsÈg·llapotban mindkÈt<br />
ˆsszetevı jÛval ñ adott esetben<br />
tˆbbszˆrˆsen ñ nagyobb, mint maga a<br />
fesz¸ltsÈg. Ez a megszokott kÈp¸nket teh·t<br />
ugyancsak megzavarja.<br />
Mivel a 9. ·bra a nagyon lass˙ terhelÈsi<br />
sebessÈghez tartozÛ elvi ˆsszef¸ggÈs, ezÈrt<br />
a kˆvetkezıkben a vizsg·lt mindh·rom<br />
esethez tartozÛ elvi gˆrbÈket felrajzoltuk<br />
(10-12. ·br·k). Az ·br·k bal oldala a<br />
rugalmas tartom·nybeli, jobb oldala a<br />
kÈplÈkeny tartom·nybeli viselkedÈst is<br />
reprezent·lja. Bejelˆlt¸k pontozott vonallal<br />
egy esetleges tehermentesÌtÈs esetÈt is.<br />
�<br />
� f 0<br />
�<br />
� f 0<br />
10. ·bra. FelterhelÈs egyenletes Ñ a � 0 î fesz¸ltsÈg-v·ltoz·si �sebessÈggel<br />
�<br />
� irrev<br />
� rev<br />
�
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
a � �<br />
a � 0<br />
�<br />
a � �<br />
�<br />
� irrev<br />
� rev<br />
� irrev<br />
� rev<br />
�<br />
a � 0<br />
�<br />
�<br />
2. A K…PL…KENYS…GI …S T÷NKREMENETELI HAT¡ROK AZ EGYTENGELY¤<br />
KÕS…RLETEK ALAPJ¡N<br />
2.1.ENERGIA- …S MUNKA-÷SSZEF‹GG…SEK<br />
V·zlatosan foglaljuk ˆssze azokat az ˆsszef¸ggÈseket, amelyek szÛba jˆhetnek a<br />
hat·rfeltÈtelek fizikai (Ès ennek megfelelıen matematikai) form·j·nak<br />
meghat·roz·s·n·l.<br />
�<br />
A P deform·ciÛs teljesÌtmÈny Ès a deform·ciÛs munka kˆzˆtti alapvetı ˆsszef¸ggÈs<br />
�<br />
� f1<br />
� f0<br />
�<br />
� f1 � f0<br />
11. ·bra. FelterhelÈs egyenletes Ña > 0î fesz¸ltsÈg-v·ltoz·si sebessÈggel<br />
�<br />
A<br />
�<br />
� irrev<br />
� rev<br />
12. ·bra. FelterhelÈs egyenletes Ñ a � � î fesz¸ltsÈg-v·ltoz·si sebessÈggel<br />
�<br />
� irrev<br />
� rev<br />
�<br />
107
(19)<br />
ahonnan<br />
108<br />
dW<br />
�1<br />
P � � F : v � � � F : A�<br />
A ,<br />
dt<br />
(20) W � ��<br />
Pdt ��<br />
� : v � ��dt<br />
� �<br />
A deform·ciÛs munka tˆbbfÈle feloszt·sa ismert:<br />
t<br />
0<br />
t<br />
0<br />
W '<br />
F dW .<br />
EgyrÈszt, energia-szempontbÛl kÈt rÈszre bonthatÛ, egy � reverzibilis rÈszre,<br />
amelyet potenci·lis energi·nak, a deform·ciÛs munka potenci·los rÈszÈnek is neveznek,<br />
Ès egy L irreverzibilis rÈszre, amelyet disszip·ciÛs munk·nak is neveznek:<br />
(21)<br />
dW d�<br />
dL<br />
� � .<br />
dt dt dt<br />
M·srÈszt, a fesz¸ltsÈg- illetve deform·ciÛtenzor devi·toros Ès gˆmbi (izotrÛp)<br />
felbont·s·bÛl kˆvetkezıen, egy Wí torzul·si rÈszbıl Ès egy Wo tÈrfogatv·ltoz·si rÈszbıl:<br />
(22)<br />
A (21) Ès (22) alapj·n<br />
dt<br />
dW ' d�'<br />
dL'<br />
� � ,<br />
dt dt dt<br />
� d�'<br />
d�<br />
� �<br />
dt dt dt<br />
d o<br />
dW ' dW<br />
� � .<br />
dt dt<br />
dW o<br />
,<br />
dWo o<br />
dt<br />
L<br />
dt<br />
0<br />
L<br />
d�<br />
o d<br />
� � ,<br />
dt dt<br />
dL'<br />
dL<br />
� � .<br />
dt dt<br />
d o<br />
Az elemi (infinitezim·lis) dW deform·ciÛs munka a (20)-bÛl l·thatÛ mÛdon nem<br />
ÌrhatÛ fel kˆzvetlen¸l a deform·ciÛkkal kifejezve, F : d D form·ban, ahogy a kis<br />
deform·ciÛkra vonatkozÛ Ès idıf¸ggetlen kontinuumokkal foglalkozÛ munk·kban<br />
szok·s.<br />
Egytengely˚ fesz¸ltsÈg·llapot esetÈn azonban (ld. [V¡N-ASSZONYI (2006)]) a H<br />
mozg·sgradiens szimmetrikus, aminek eredmÈnyekÈnt a kis Ès nagy deform·ciÛkra<br />
egyar·nt ÈrvÈnyes deform·ciÛs tenzor,<br />
T<br />
D � H H � I ,<br />
anÈlk¸l, hogy csak a kis deform·ciÛkra lenne ÈrvÈnyes, a CAUCHY-fÈle deform·ciÛtenzorra<br />
egyszer˚sˆdik:<br />
�u � � � � u�<br />
� 1 ,<br />
2<br />
D �<br />
ahol u az elmozdul·svektor. Ha most figyelembe vessz¸k, hogy a kÈt [ �� � 0 , �� � � ]<br />
hat·resetben a v·ltoz·sok idıf¸ggetlen jelleget ˆltenek, akkor Ès csak akkor
(23) dW � F : dD<br />
is igaz. Õgy ezekre az esetekre<br />
(24a) dW F : dD<br />
� dW '�dWo � T : dE<br />
� To<br />
: dEo<br />
� ,<br />
(24b) dW '� T : dE<br />
� d�'�dL'<br />
,<br />
T L ,<br />
(24c) dWo � o : dEo<br />
� d�<br />
o � d o<br />
illetve, ha azt is figyelembe vessz¸k, hogy ekkor az anyagegyenlet line·ris, akkor<br />
1<br />
ij�<br />
ij ,<br />
2<br />
i,<br />
j<br />
(25a) dW � F : dD<br />
� ��<br />
ij ij ij ij<br />
i j<br />
i j<br />
e 1 1<br />
1<br />
2<br />
2 o o ,<br />
2<br />
,<br />
,<br />
(25b) � � � � � �<br />
s d dW ' T : E<br />
� � � �<br />
dW � T : dE<br />
� � � .<br />
1<br />
(25c) o o o 2 o o<br />
2.2. HAT¡RFELT…TEL A M…R…SI ADATOK T‹KR…BEN<br />
Ezek ut·n nÈzz¸k meg, hogy az energia- Ès munkakifejezÈsek hogyan alakulnak<br />
mÈrÈsi adatainkn·l.<br />
A h·rom kÌsÈrletnÈl a kÈplÈkenysÈgi Ès tˆnkremeneteli hat·rhoz tartozÛ � -� ÈrtÈkek<br />
a kˆvetkezık:<br />
2. t·bl·zat<br />
K…PL…KENYS…GI HAT¡R …RT…KEI T÷NKREMENETELI HAT¡R …RT…KEI<br />
�� � 0 0 � �� � � �� � � �� � 0 0 � �� � � �� � �<br />
� 69,8 MPa 85,7 MPa 134 MPa 89 MPa 100,2 MPa 134 MPa<br />
�<br />
149 � 10<br />
�4<br />
120 � 10<br />
�4<br />
112 � 10<br />
�4<br />
240 � 10<br />
�4<br />
167 � 10<br />
�4<br />
112 � 10<br />
s a hozz·juk tartozÛ f¸ggvÈnyeket a 13. ·br·n megismÈtelt¸k, Ès szaggatott vonallal a<br />
vÈgtelen lass˙ tehermentesÌtÈshez tartozÛ egyenest ·br·zoltuk, amely alatti ter¸let a<br />
visszanyerhetı munk·t (� potenci·lis energi·t) reprezent·lja.<br />
�4<br />
109
110<br />
tengelyir·ny˙ terhelÈs [MPa]<br />
140<br />
120<br />
100<br />
80<br />
60<br />
40<br />
20<br />
0<br />
Tˆnkremeneteli<br />
hat·r<br />
85,71MPa<br />
120.10 -4<br />
134 MPa<br />
112.10 -4<br />
KÈplÈkenysÈgi<br />
hat·r<br />
69,8 MPa<br />
149.10 -4<br />
KÈplÈkenysÈgi<br />
hat·r<br />
100,2 MPa<br />
167.10 -4<br />
Tˆnkremeneteli<br />
hat·r<br />
89 MPa<br />
240.10 -4<br />
Tˆnkremeneteli<br />
hat·r<br />
0 62,5 125 187,5 250<br />
tengelyir·ny˙ deform·ciÛ [10 -4 ]<br />
13. ·bra<br />
A K…PL…KENYS…GI HAT¡RFELT…TEL A W DEFORM¡CI”S MUNK¡VAL KIFEJEZVE.<br />
Ebben az egyszer˚ esetben a gˆrbÈk alatti ter¸letek nagys·ga a W tÈrfogategysÈgre jutÛ<br />
deform·ciÛs munk·t mutatj·k:<br />
W<br />
W<br />
W<br />
� '<br />
�� ( � ) � E�<br />
�<br />
W � ��<br />
( � ) d�<br />
, � � W � � E�d�,<br />
L � W � � � � d�<br />
.<br />
0<br />
� � �0<br />
� '<br />
Ha a W munkaÈrtÈkeket kisz·moljuk:<br />
�<br />
0 0,<br />
03110<br />
�4<br />
� � � �<br />
0�<br />
� � ��<br />
� � ��<br />
�<br />
0<br />
, 5<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� f<br />
� E�<br />
d�<br />
�<br />
0<br />
� f<br />
��<br />
0<br />
� f<br />
0<br />
�� �<br />
d�<br />
,<br />
�<br />
� �d�<br />
�<br />
�<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
��<br />
��<br />
f<br />
f<br />
�<br />
�<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
0<br />
E�<br />
2<br />
f<br />
�<br />
�<br />
�<br />
2<br />
f<br />
1<br />
� �<br />
2E<br />
2<br />
f<br />
� 2<br />
� � f<br />
2�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
69<br />
� '<br />
0<br />
, 8<br />
�<br />
149.<br />
10<br />
134 �112<br />
�10<br />
�1<br />
�1<br />
�<br />
�<br />
�<br />
51,<br />
9<br />
51,<br />
4<br />
75,<br />
3<br />
MJ/m<br />
MJ/m<br />
MJ/m<br />
3<br />
3<br />
3<br />
,<br />
,<br />
,
Ès egyetlen ·br·ba ˆsszefoglaljuk, akkor a 14. ·br·n l·thatÛ kÈpet kapjuk. Ez egy<br />
nagyon Èrdekes kÈp, ugyanis<br />
- egyrÈszt azt sugallja,<br />
150<br />
167<br />
tˆrÈsi<br />
hat·r<br />
240<br />
124,2<br />
hogy ha a kÈplÈkenysÈgi<br />
hat·r a deform·ciÛs munka<br />
f¸ggvÈnye lenne, akkor<br />
100<br />
112<br />
95,1<br />
olyan egyszer˚ ˆsszef¸ggÈs<br />
75,3<br />
is lehetne, mint<br />
tengelyir·ny˙ terhelÈs [MPa] W deform·ciÛs munka [MJ/m 3 ]<br />
50<br />
0<br />
150<br />
100<br />
50<br />
0<br />
kÈplÈkenysÈgi<br />
hat·r<br />
93<br />
51,9<br />
93<br />
111,7<br />
120<br />
85,71<br />
120<br />
51,4<br />
112<br />
134,5<br />
149<br />
51,9<br />
167<br />
100,2<br />
149<br />
69,78<br />
240<br />
89<br />
0 50 100 150 200 250<br />
tengelyir·ny˙ deform·ciÛ [10 -4 ]<br />
14. ·bra<br />
�<br />
kÈplÈkeny<br />
��<br />
k<br />
�� , W �<br />
� W �W<br />
f<br />
�<br />
�<br />
0,<br />
vagyis az anyag akkor ker¸l<br />
kÈplÈkeny ·llapotba, ha a<br />
deform·ciÛs munka egy<br />
k¸szˆbÈrtÈket elÈr. Mivel ez<br />
a k¸szˆbÈrtÈk f¸ggvÈnye a<br />
deform·ciÛsebessÈgnek, a<br />
kÈplÈkeny ·llapot teh·t<br />
k¸lˆnbˆzı � - � ÈrtÈkeknÈl<br />
kˆvetkezik be;<br />
- m·srÈszt azt is<br />
sugallja, hogy a vÈgtelen<br />
gyors terhelÈsnÈl is lÈtezhet<br />
kÈplÈkenysÈgi hat·r [�], de<br />
ez a nagy sebessÈg miatt<br />
nem k¸lˆnbˆztethetı meg,<br />
ill. nincs mark·ns<br />
v·ltoz·s; 19<br />
- harmadrÈszt olyan borzongtatÛ, hogy a W ÈrtÈke a kÈplÈkenysÈgi hat·ron szinte<br />
mindegyik gˆrbÈnÈl megegyezik, ha a vÈgtelen gyors terhelÈsnÈl bejelˆl¸nk egy pontot:<br />
51,43 MJ/m 3 < W < 51,98 MJ/m 3 .<br />
Ez azonban termÈszetesen nem jelent bizonyÌt·st, mert mÈrÈsi adatok csak<br />
valÛszÌn˚sÌthetnek, bizonyÌtani csup·n elmÈletileg Ès tudom·nyos eszkˆzˆkkel lehet.<br />
19<br />
A felt¸ntetett P pont nem v·lik el mark·nsan kˆrnyezetÈtıl, azonban itt a � �� �<br />
� � f¸ggvÈny nagyon<br />
Èrdekesen viselkedik. Ugyanis, ha k¸lˆn v·lasztjuk az adatsort Ès a 93 �10 ÈrtÈknÈl, s az elıtte lÈvı<br />
ÈrtÈkekre is illeszt¸nk egy kiegyenlÌtı egyenest (rug), s az ut·na lÈvı ÈrtÈkekre is illeszt¸nk a kˆzˆs<br />
pontbÛl indulÛ kiegyenlÌtı egyenest (kÈpl), akkor ez utÛbbi ir·nytangense egy gondolatnyival kisebb.<br />
Teh·t az Èrintıben ugr·s van [ �� � / ��<br />
�rug � ��� / ��<br />
�kÈpl ], ami a kÈplÈkenysÈgi hat·r jellemzıje.<br />
� 4<br />
111
A kÈplÈkenysÈgi Ès tˆnkremeneteli hat·rhoz tartozÛ �-� ÈrtÈkek ñ az �� � �<br />
mÈrÈsnÈl a mÛdosÌtott [�] ÈrtÈkekkel ñ a kˆvetkezık:<br />
112<br />
3. t·bl·zat<br />
K…PL…KENYS…GI HAT¡R …RT…KEI T÷NKREMENETELI HAT¡R …RT…KEI<br />
�� � 0 0 � �� � � �� � � �� � 0 0 � �� � � �� � �<br />
� 69,8 MPa 85,7 MPa 111,7 MPa 89 MPa 100,2 MPa 134,5 MPa<br />
� �4<br />
149 � 10<br />
120 � 10<br />
�4<br />
93�<br />
10<br />
�4<br />
240 � 10<br />
�4<br />
167 � 10<br />
�4<br />
112 � 10<br />
A K…PL…KENYS…GI …S T÷NKREMENETELI HAT¡R A � POTENCI¡LIS ENERGI¡VAL. A<br />
visszanyerhetı � energia szintjÈt a reverzibilis ·llapotv·ltoz·s hat·rozza meg. Ennek<br />
ÈrtÈkÈt a � � E�<br />
ˆsszef¸ggÈs alapj·n kapjuk meg. A 15. ·br·rÛl leolvashatÛ a<br />
W � � � L ˆsszef¸ggÈs alapj·n, geometriailag ter¸letekkel:<br />
K…PL…KENYS…GI Ès T÷NKREMENETELI<br />
�� � 0 esetÈn:<br />
HAT¡RON:<br />
,<br />
0<br />
OGKO<br />
W � W � OGHMO<br />
�� �<br />
�� �0<br />
0 , OGKO � ��� �<br />
��� �0 � NHMN<br />
L � OABO � 0,<br />
L � OGHNO<br />
�� �0<br />
0 � �� � � esetÈn:<br />
�� �0<br />
W � ODIO,<br />
W � ODELO<br />
0���<br />
��<br />
0���<br />
��<br />
�0��� ��<br />
� OIJO,<br />
�0 ��� ��<br />
� OFLO<br />
L � ODIO,<br />
L � ODEFO<br />
0���<br />
��<br />
�� � 0 esetÈn:<br />
W � OA<br />
�� ��<br />
� �<br />
*<br />
* *<br />
C O<br />
*<br />
0���<br />
��<br />
, W � OACO<br />
�� ��<br />
�� 0 � OB C O,<br />
��� �0 � OBCO<br />
* *<br />
L � OA B O,<br />
L � OABO<br />
�� �0<br />
�� �0<br />
tengelyir·ny˙ terhelÈs [MPa]<br />
140<br />
120<br />
100<br />
80<br />
60<br />
40<br />
20<br />
0<br />
O<br />
N<br />
A*<br />
B*<br />
A<br />
B<br />
D<br />
G<br />
I<br />
F<br />
E<br />
C* C J K L<br />
�4<br />
0 62,5 125 187,5 250<br />
tengelyir·ny˙ deform·ciÛ [10 -4 ]<br />
15. ·bra<br />
Jelˆlj¸k f indexszel a kÈplÈkenysÈgi hat·rhoz (foly·shat·rhoz) tartozÛ energia- Ès<br />
munkaÈrtÈkeket, Ès t indexszel a tˆnkremeneteli hat·rhoz tartozÛkat. A 22. ·bra mutatja<br />
a h·romfÈle deform·ciÛsebessÈghez tartozÛ ÈrtÈkeket: a rugalmas tartom·nyban, a<br />
kÈplÈkeny tartom·nyon ·t a tˆrÈsig.<br />
H<br />
M
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� � �0,<br />
031�10<br />
� � �1,<br />
93�10<br />
� � �0,<br />
5<br />
Wf= �f<br />
Wf<br />
Wf<br />
�4<br />
�4<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� �<br />
� �<br />
� �<br />
16.a) ·bra. �� � 0 deform·ciÛsebessÈg<br />
16.b) ·bra. 0 � �� � � deform·ciÛsebessÈg esetÈn<br />
� � �0<br />
�<br />
0�<br />
� � ��<br />
� � ��<br />
Lf<br />
Lf<br />
�f<br />
�f �<br />
Wt = �W + Wf<br />
Wf<br />
�<br />
16.c) ·bra. �� � � deform·ciÛsebessÈg esetÈn<br />
�<br />
�<br />
�<br />
f � � �0<br />
�W<br />
f � � ��<br />
Wt = �W + Wf<br />
Wf<br />
f<br />
0�<br />
� � ��<br />
Wf<br />
�<br />
�W<br />
�<br />
�<br />
�W<br />
�<br />
� 520 kJ/m<br />
� 337 kJ/m<br />
� 203 kJ/m<br />
3<br />
3<br />
3<br />
,<br />
,<br />
,<br />
Wt = �t + Lt<br />
�<br />
�<br />
�<br />
Lf<br />
L t = �L + L f<br />
� t = �� + � f<br />
Lf<br />
t � � �0<br />
t 0�<br />
� � ��<br />
t � � ��<br />
�L<br />
��<br />
�f �<br />
Lf<br />
�f<br />
�t<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�L<br />
�<br />
�� �<br />
607 kJ/m<br />
371 kJ/m<br />
224 kJ/m<br />
113<br />
3<br />
3<br />
3<br />
,<br />
,<br />
.
L disszip·ciÛs munka [kJ/m 3 ]<br />
Ennek a � ÈrtÈknek az alakul·sa azt mutatja, hogy a hat·rpontok jelentıs<br />
tˆrvÈnyszer˚sÈgeket nem t¸krˆznek. Teh·t nem valÛszÌn˚, hogy a kÈplÈkenysÈgi vagy a<br />
tˆnkremeneteli hat·r a rugalmas potenci·lnak lenne a f¸ggvÈnye. M·s szÛval, a foly·s<br />
bekˆvetkezÈse, illetve az anyag tˆrÈse nem attÛl f¸gg, hogy mennyi reverzibilis<br />
(potenci·los) munk·t vÈgezt¸nk az anyagon.<br />
114<br />
AZ L DISSZIP¡CI”S MUNKA. Ennek alakul·s·t a kÌsÈrleti adatokn·l, a 17. ·bra<br />
mutatja. A disszip·ciÛ mÈrtÈkÈt kÈt kˆr¸lmÈny hat·rozza meg:<br />
- egyrÈszt a deform·ciÛs sebessÈg, vagyis az a kˆr¸lmÈny, hogy egy adott<br />
deform·ciÛt milyen rˆvid idı alatt kÌv·nunk lÈtrehozni: minÈl gyorsabban, ann·l<br />
nagyobb az energiavesztesÈg,<br />
- m·srÈszt a kÈplÈkeny ·llapotban a maradÛ deform·ciÛk nagys·ga (18. ·bra).<br />
A 17. ·bra azt sugallja, hogy a kÈplÈkenysÈgi hat·r nem valÛszÌn˚, hogy az L-tıl<br />
f¸ggne. A tˆrÈsnek esetleg lehetne jellemzıje, de akkor magyar·zatot kellene tal·lni a<br />
disszip·ciÛs munka<br />
700<br />
600<br />
500<br />
400<br />
300<br />
200<br />
100<br />
112<br />
459<br />
120<br />
177<br />
167<br />
579<br />
240<br />
529<br />
0<br />
149<br />
0<br />
0 50 100 150 200 250<br />
tengelyir·ny˙ deform·ciÛ [10 -4 ]<br />
17. ·bra<br />
459 < 529 < 579 kJ/m 3<br />
nagys·g˙ szÛr·s·ra. Ennek a feltÈtelnek a<br />
vizsg·lat·t teh·t mÈg nem lehet lez·rni.<br />
m a ra d Û d e fo rm · ciÛ [1 0 -4 ]<br />
60<br />
50<br />
40<br />
30<br />
20<br />
10<br />
0<br />
50x nagyÌt·s<br />
0 2,5 5 7,5 10<br />
deform·ciÛsebessÈg [10 -4 /min]<br />
18. ·bra<br />
Ha ·br·zoljuk a rugalmas Ès a maradÛ deform·ciÛkat a kÈplÈkenysÈgi Ès a tˆrÈsi<br />
hat·ron, akkor a 19. ·br·n l·thatÛ eredmÈnyt kapjuk.<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0
erug ÈsemaradÛ deform·ciÛk [10 -4 ]<br />
240<br />
180<br />
120<br />
60<br />
1: �� � 0 îvÈgtelen lass˙î esetben:<br />
0<br />
2kÈpl<br />
3kÈpl = 3tˆr<br />
rugalmas<br />
3<br />
2tˆr<br />
1kÈpl<br />
1<br />
2 maradÛ<br />
1tˆr<br />
0 60 120 180 240<br />
e rug deform·ciÛk [10 -4 ]<br />
25. ·bra<br />
1kÈpl ñ a kÈplÈkeny hat·r, 1tˆr ñ a tˆrÈsi hat·r,<br />
2: 0 � �� � � Ñkˆzepes sebessÈg˚î esetben:<br />
2kÈpl ñ a kÈplÈkeny hat·r, 2tˆr ñ a tˆrÈsi hat·r,<br />
3: �� � � ÑvÈgtelen gyorsî esetben:<br />
3kÈpl ñ a kÈplÈkeny hat·r, 3tˆr ñ a tˆrÈsi hat·r.<br />
A W = � + L kifejezÈs mindh·rom elemÈt megvizsg·ltuk, most m·r a devi·toros<br />
(torzul·si) Ès gˆmbi (tÈrfogatv·ltoz·si) munk·k vizsg·lata van h·tra. Ezzel kapcsolatban<br />
azonban az a nehÈzsÈg jelentkezik, hogy a mÈrÈsek nem tartalmazt·k a keresztir·ny˙<br />
deform·ciÛk ÈrtÈkÈt. Emiatt legfeljebb becslÈst lehet tenni, ami azt jelenti, hogy a<br />
kˆvetkezıkben kˆzˆltek csup·n durva kˆzelÌtÈsek lehetnek.<br />
A K…PL…KENYS…GI HAT¡RFELT…TEL A Wí TORZUL¡SI DEFORM¡CI”S MUNK¡VAL<br />
KIFEJEZVE. Ha az anyag ismeretÈben a POISSON-sz·mot m = 3Ö4,3 kˆzˆtti ÈrtÈk˚nek<br />
vessz¸k, akkor az egytengely˚ ·llapotban<br />
1<br />
3<br />
1<br />
3<br />
� o � � Ès az � � �� � 2� k � � � ... �� ,<br />
o<br />
vagyis az � o ar·nyos az � -nal, ezÈrt W Ès a Wí kˆzˆtt jellegben nincs komoly eltÈrÈs.<br />
Ebbıl kˆvetkezik, hogy ugyanilyen valÛszÌn˚sÈggel kimondhatÛ a Wí torzul·si<br />
munk·ra is, hogy az anyag akkor ker¸l kÈplÈkeny ·llapotba, ha a torzul·si deform·ciÛs<br />
munka egy k¸szˆbÈrtÈket elÈr. Teh·t az egytengely˚ kÌsÈrletekbıl tov·bbi kˆvetkeztetÈs<br />
nem adÛdik.<br />
1<br />
6<br />
1<br />
9<br />
115
A K…PL…KENYS…GI FELT…TEL A Wo DEFORM¡CI”S MUNK¡VAL KIFEJEZVE. A Wo<br />
tÈrfogatv·ltoz·si deform·ciÛs munk·ra nem mondjuk ugyanezt, mert az a gyakorlati<br />
tapasztalatunk, ñ ami persze nem jelent semmit, ñ hogy a tiszt·n tÈrfogatv·ltoz·s, a<br />
hidrosztatikus nyom·s nem okoz maradÛ deform·ciÛt. 20 A Wo konkrÈt ÈrtÈkeinek<br />
kisz·mÌt·sa a mÈrÈsi adatokbÛl gondot jelent, mivel K£ECZEK, Z. nem rˆgzÌtette az � k<br />
keresztir·ny˙ deform·ciÛkat, teh·t nem tudjuk az � o ·tlagos deform·ciÛt meghat·rozni,<br />
kˆvetkezÈskÈpp nem tudunk a o o ,� � ÈrtÈkp·rok kˆzˆtt kiegyenlÌtı f¸ggvÈnyt sz·molni,<br />
s Ìgy a anyagegyenlet tÈrfogati rÈszÈt meghat·rozni.<br />
Egy durva kˆzelÌtÈst azonban alkalmazhatunk, amire nagyon ÈpÌteni termÈszetesen<br />
nem lehet. ASSZONYI (1975) bemutatta, hogy a tengelyir·ny˙ Ès keresztir·ny˙<br />
deform·ciÛ h·nyados·bÛl kÈpzett m � ��<br />
/ � k POISSON-sz·m ÈrtÈke 2,96 Ö 4,32 kˆzÈ<br />
eshet. Azonban azt is tudjuk, hogy az m nem anyag·llandÛ, ÈrtÈke a kÌsÈrlet sor·n<br />
v·ltozik, b·r igaz, hogy meghat·rozott ÈrtÈkhez konverg·l. Ha a Ñspeci·lisî POYNTING-<br />
THOMSON-modell Ès a Ñklasszikusî POYNTING-THOMSON-modell ˆsszeh·zasÌt·s·t<br />
vennÈnk alapul, akkor erre egy becslÈst tehetnÈnk. Vagyis a tÈrfogatv·ltoz·si egyenletet<br />
idıtıl f¸ggetlennek vennÈnk Ès a K kompresszibilit·si tÈnyezıt az E rugalmass·gi<br />
modulusbÛl Ès az m-bıl sz·rmaztathatjuk:<br />
116<br />
Em � 1 m � 2<br />
� o � 3K� o , 3K<br />
� , � k � � , � o �<br />
k<br />
o<br />
m � 2 � 3<br />
3m<br />
k<br />
1<br />
3<br />
�� � 2�<br />
� � � , � � �<br />
Nincs Èrtelme ezt a gondolatmenetet tov·bb folytatni, mert az Ìgy sz·mÌtott � Ès<br />
L -rÛl is csak azt mondhatjuk biztosra, hogy ˆsszeg¸k<br />
� o , valamint L' Ès o<br />
megegyezik a �-vel Ès az L-lel.<br />
A HAT¡RFELT…TELEKBEN SZEREPL’ KIFEJEZ…SEK ÷SSZEHASONLÕT¡SA.<br />
A K…PL…KENYS…GI HAT¡R<br />
…RT…KEI<br />
4. t·bl·zat<br />
A T÷NKREMENETELI HAT¡R<br />
…RT…KEI<br />
�� � 0 0 � �� � � �� � � �� � 0 0 � �� � � �� � �<br />
� [MPa] 69,8 85,7 117 89 100,2 134,5<br />
� [10 -4 ] 149 120 93 240 167 112<br />
W [kJ/m 3 ] 520 519 519 1243 956 753<br />
Wí [kJ/m 3 ] 462 462 462 1104 850 670<br />
Wo [kJ/m 3 ] 58 58 58 138 106 84<br />
20 Legal·bbis az ·ltalunk megvalÛsÌthatÛ nyom·sok tartom·ny·ban. B·r annak a kˆzsz·jon forgÛ<br />
meg·llapÌt·snak a bizonyÌt·s·t sehol sem tal·ltuk, hogy tetszıleges Wo tÈrfogati igÈnybevÈtellel sem<br />
maradÛ deform·ciÛt, sem tˆnkremenetelt nem lehet lÈtrehozni.<br />
.<br />
'
600<br />
450<br />
300<br />
150<br />
0<br />
A K…PL…KENYS…GI HAT¡R<br />
…RT…KEI<br />
4. t·bl·zat folytat·sa<br />
A T÷NKREMENETELI HAT¡R<br />
…RT…KEI<br />
�� � 0 0 � �� � � �� � � �� � 0 0 � �� � � �� � �<br />
� [kJ/m 3 ] 520 337 203 838 583 391<br />
�í [kJ/m 3 ] 462 300 180 741 518 347<br />
�o [kJ/m 3 ] 58 37 23 93 65 43<br />
L [kJ/m 3 ] 0 182 317 405 373 362<br />
Lí [kJ/m 3 ] 0 162 282 360 332 332<br />
L o [kJ/m 3 ] 0 20 35 45 41 40<br />
�� � 0 0 � �� � a � �<br />
L o<br />
W<br />
F<br />
W o<br />
L<br />
W '<br />
F'<br />
L '<br />
Fo<br />
�� � �<br />
26. ·bra. A deform·ciÛs munka ÈrtÈke<br />
[kJ/m 3 -ben] a kÈplÈkenysÈgi hat·ron, a h·rom<br />
k¸lˆnbˆzı terhelÈsi sebessÈg esetÈn<br />
�� � 0 0 � �� � a � � ��<br />
� �<br />
1300<br />
975<br />
650<br />
325<br />
0<br />
W<br />
L<br />
F<br />
W o<br />
27. ·bra. A deform·ciÛs munka ÈrtÈke [kJ/m 3 -ben]<br />
a tˆnkremeneteli hat·ron, a h·rom k¸lˆnbˆzı<br />
terhelÈsi sebessÈg esetÈn<br />
W'<br />
L '<br />
F'<br />
L o<br />
117<br />
F o
Z¡R” MEGJEGYZ…SEK. Az anyagtˆrvÈny ·ltal·nos meghat·roz·s·n·l a kÈplÈkenysÈgi<br />
feltÈtelre a W deform·ciÛs munka adÛdott. Ez alatt termÈszetesen azt kell Èrteni, hogy a teljes<br />
'<br />
'<br />
munka Ès b·rmelyik komponense [ W , W , Wo<br />
, �,<br />
� , �o<br />
, L,<br />
L'<br />
, Lo<br />
], illetve ezek kombin·ciÛja<br />
viheti a szerepet.<br />
Ezek kˆz¸l a tÈrfogatv·ltoz·ssal kapcsolatos tagok ·ltal·ban kiz·rhatÛk, mert ezid·ig<br />
nem tudunk olyan esetrıl, hogy csak hidrosztatikus terhelÈsekkel maradÛ alakv·ltoz·st<br />
siker¸lt volna lÈtrehozni.<br />
1<br />
0,8<br />
0,6<br />
0,4<br />
0,2<br />
0<br />
-0,2<br />
-0,4<br />
-0,6<br />
-0,8<br />
-1<br />
118<br />
s/s kˆzepes az e/e kˆzepes f¸ggvÈnyÈben<br />
6 4 2<br />
28. ·bra. Periodikus terhelÈs�-� gˆrbÈje<br />
0<br />
5 3 1<br />
-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2<br />
Ugyanez a helyzet a disszip·ciÛs<br />
munka esetÈben is. PÈld·ul ismÈtlıdı<br />
terhelÈsek esetÈn (egy lemez hajlÌtgat·sa<br />
a rugalmas hat·r alatti<br />
igÈnybevÈtellel) nem tudunk kÈplÈkeny<br />
foly·si jelensÈgekrıl, azonban<br />
a bizonyoss·ghoz kiterjedt kÌsÈrleteket<br />
kell mÈg vÈgezni. Gondoljunk az<br />
elızı fejezet 1. Ès 5. ·br·j·ra, ahol<br />
periodikusan ismÈtlıdı kÌsÈrlet<br />
eredmÈnyei l·thatÛk. Ha ezeket az<br />
adatokat nem az idı f¸ggvÈnyÈben<br />
·br·zoljuk, hanem a megszokott � -<br />
� sÌkon, akkor az ·br·n l·thatÛ<br />
gˆrbÈt kapjuk. A gˆrbÈk ·ltal hat·rolt<br />
ter¸let (a hiszterÈzis) a disszip·ciÛs<br />
munk·val ar·nyos. NÈh·ny<br />
periÛdus ut·n ez m·r nem v·ltozik.<br />
A W Ès az L ÈrtÈke nyomon<br />
kˆvethetı ( L � ��<br />
d�<br />
).
6. FEJEZET<br />
EGYENS⁄LYI ANYAGT÷RV…NY A K…PL…KENY DEFORM¡CI”K<br />
TARTOM¡NY¡BAN<br />
A FEJL’D…SI (EVOL⁄CI”S) EGYENLET. Az entrÛpia-nˆvekedÈs ·ltal·nos form·j·bÛl a<br />
2. fejezetben [(27a) formula] az<br />
��<br />
��<br />
��<br />
�<br />
�~<br />
s �<br />
�<br />
�W<br />
�<br />
�~<br />
s �<br />
�<br />
�A<br />
�<br />
� �1<br />
S<br />
T<br />
(1) 1�<br />
� T�<br />
F � �T<br />
A : �AA � � � Ó : Ó � 0<br />
egyenlıtlensÈget vezett¸k le. Ez a fejlıdÈsi<br />
(evol˙ciÛs) egyenlet rugalmas Ès kÈplÈkeny ·llapotra<br />
egyar·nt ÈrvÈnyes, az eddigi megkˆtÈsekkel: a<br />
kÈmiai, elektrom·gneses kˆlcsˆnhat·stÛl<br />
eltekintett¸nk, s a termikus kˆlcsˆnhat·st pedig<br />
izotermikus (T = constans), vagy adiabatikus (Tds =<br />
0, termikus munkavÈgzÈs nincs) feltevÈssel<br />
blokkoltuk.<br />
MECHANIKAI EGYENS⁄LY esetÈn a termodinamikai<br />
erık [J] Ès termodinamikai ·ramok [X] egyar·nt zÈrusok:<br />
X<br />
J<br />
A<br />
A<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
S<br />
�<br />
�<br />
��<br />
� � � � 0 J : X J : X A A<br />
,<br />
(F)ij<br />
~<br />
S<br />
� �s<br />
� � �s<br />
�<br />
�1�<br />
�T� �F<br />
� �T<br />
� A � � 0,<br />
X�<br />
� �W<br />
� � �A<br />
�<br />
�1<br />
S �A� A � � 0,<br />
J � � �TÓ<br />
� 0.<br />
Ennek megfelelıen<br />
� �~<br />
s �~<br />
s �<br />
(2) �F<br />
� � TA � �T�<br />
F�<br />
� 0,<br />
� �A<br />
�W<br />
�<br />
ezÈrt egyens˙lyi ·llapotban az anyagtˆrvÈny:<br />
eq �T<br />
� �~<br />
s �<br />
(3) F � �<br />
� �<br />
�~<br />
A .<br />
s � �A<br />
1� �T�<br />
�<br />
�W<br />
A (3) egyenlet mag·ba foglalja a rugalmas esetet [� = 0] is:<br />
A<br />
�<br />
�<br />
kÈplÈkeny<br />
zÛna<br />
rugalmas<br />
zÛna<br />
Ó�<br />
� 0,<br />
tˆredezett anyag<br />
zÛn·ja<br />
(D)ij<br />
119
� �~<br />
eq<br />
rev<br />
s �<br />
(4) F : � F � ��<br />
T�<br />
A � ,<br />
elast<br />
� �A<br />
�<br />
amelyet a 3. fejezetben rÈszletesen t·rgyaltunk, Ès a kÈplÈkeny esetet is [� = 1] is, a<br />
melyet a 4. fejezet vizsg·lt:<br />
T � �~<br />
eq<br />
eq,<br />
irrev � s �<br />
(5) F � F � � � A �<br />
plast<br />
�~<br />
.<br />
s � �A<br />
1�<br />
�T<br />
�<br />
�W<br />
A (4) Ès a (5) k¸lˆnbsÈge az egyens˙lyi ·llapotban jelentkezı maradÛ deform·ciÛs<br />
·llapothoz tartozÛ fesz¸ltsÈg 21 : F maradÛ := F m<br />
�~<br />
s<br />
T<br />
T � �~<br />
s � � �~<br />
�<br />
s � � � �~<br />
m eq,<br />
irrev rev �<br />
�<br />
F � F � F � � � A � � � A � �<br />
W s<br />
� A �<br />
�~<br />
�T<br />
s � �A<br />
� � �A<br />
� �~<br />
.<br />
s � �A<br />
1�<br />
�T<br />
1�<br />
�T<br />
�<br />
�W<br />
�W<br />
A reverzibilis fesz¸ltsÈg ÈrtÈkÈt behelyettesÌtve a (3) egyens˙lyi anyagtˆrvÈny a<br />
reverzibilis fesz¸ltsÈgtenzorral felÌrva:<br />
eq �T<br />
� �~<br />
s � 1 rev<br />
(6)<br />
F � �<br />
� A � �<br />
F<br />
�~<br />
s A<br />
�s<br />
T<br />
� �<br />
~ .<br />
1� � �<br />
�<br />
1�<br />
�T�<br />
�W<br />
�W<br />
AttÛl f¸ggıen, hogy az egyens˙lyi anyagtˆrvÈnyt az A alakv·ltoz·si tenzorral, a D<br />
deform·ciÛtenzorral, vagy az E Ès Eo deform·ciÛs devi·tor- Ès gˆmbtenzorral adjuk<br />
meg, az egysÈges anyagtˆrvÈny k¸lˆnbˆzı alakjait kapjuk:<br />
(7)<br />
(8)<br />
(9)<br />
120<br />
� �~<br />
s<br />
�<br />
� �T<br />
�D � I�<br />
,<br />
�<br />
�D<br />
eq<br />
F � � �T<br />
�~<br />
s<br />
� � � � ,<br />
� �<br />
~ D I<br />
s �D<br />
� 1�<br />
�T<br />
� �W<br />
� � �~<br />
s 1 � �~<br />
s � �<br />
��<br />
�T<br />
�E<br />
� tr�<br />
E�I�,<br />
� � �E<br />
3 � �E<br />
� �<br />
eq<br />
T � � �T<br />
� �~<br />
s 1 � �~<br />
s � �<br />
��<br />
� � tr�<br />
�<br />
�~<br />
E<br />
E I�,<br />
s<br />
�<br />
� �E<br />
3 � �E<br />
1�<br />
�T<br />
� �<br />
� �W<br />
� �1<br />
� �~<br />
s � �~<br />
s �<br />
��<br />
�T<br />
� tr�<br />
E�I<br />
� �1 � � o ��,<br />
�� �3<br />
� �E<br />
� ��<br />
o �<br />
eq<br />
T o � � �T<br />
�1<br />
� �~<br />
s � �~<br />
s �<br />
��<br />
� tr�<br />
� � �1 � ��,<br />
�<br />
�~<br />
E I � o<br />
s �3<br />
� �E<br />
� ��<br />
1�<br />
�T<br />
o �<br />
��<br />
�W<br />
ha<br />
ha<br />
ha<br />
ha<br />
ha<br />
ha<br />
� � 0,<br />
� � 1.<br />
� � 0,<br />
� � 1.<br />
� � 0,<br />
� � 1.<br />
21 Ez nem azonos a mechanik·ban haszn·lt maradÛ (remanens) fesz¸ltsÈggel, mert az alatt a D = 0<br />
·llapothoz tartozÛ F fesz¸ltsÈgtenzort Èrtik. Itt pedig a plasztikus Ès rugalmas fesz¸ltsÈg·llapot<br />
k¸lˆnbsÈgÈrıl van szÛ.
A REVERZIBILIS FESZ‹LTS…GTENZOR 22 ñ a rugalmas ·llapotbeli egyens˙lyi<br />
fesz¸ltsÈg-tenzor - ˆsszef¸ggÈsei [3. fej. (15) Ès (16)]:<br />
�~<br />
� �~<br />
�~<br />
rev s<br />
s s �<br />
,<br />
�D<br />
� �E<br />
��<br />
o<br />
(10) F � ��T<br />
�I � D�<br />
� ��T<br />
�E<br />
� �1 � � o �I�� (11)<br />
eq, irrev �F �ij eq �F �ij T<br />
T<br />
rev<br />
rev<br />
o<br />
1. ·bra<br />
� F<br />
� �<br />
rev<br />
rev<br />
o<br />
� �<br />
I<br />
rev<br />
o<br />
I<br />
� �~<br />
s 1 � �~<br />
s � �<br />
� ��T<br />
�E<br />
� tr�<br />
E�I<br />
,<br />
E 3 E<br />
�<br />
� � � � � �<br />
�1<br />
� �~<br />
s � �~<br />
s<br />
� ��T<br />
� tr�<br />
E�<br />
�<br />
�3<br />
� �E<br />
� ��<br />
o<br />
�1 � � � I.<br />
A reverzibilis Ès az irreverzibilis<br />
ˆsszetevık kˆzˆtti ˆsszef¸ggÈseket<br />
az 1. ·br·n mutathatjuk<br />
be egy tetszıleges ij index˚<br />
skal·r komponensre vonatkozÛan.<br />
(Az ·br·n az egyszer˚bb<br />
·ttekinthetısÈg kedvÈÈrt line·ris<br />
ˆsszef¸ggÈst vett¸nk.) Az ·br·bÛl<br />
l·thatÛ, hogy mivel a tÈnyleges<br />
F eq : az F eq,rev Ès F eq,irrev<br />
k¸lˆnbsÈge, az F eq,rev ·ltal·ban<br />
nagyobb, mint ami egy·ltal·n<br />
elÈrhetı, sokszor t˙l van a<br />
tˆnkremeneteli hat·ron is.<br />
Ez mag·tÛl Èrtetıdı, mert a kÈplÈkenysÈgi hat·r ut·n az anyag rugalmas viselkedÈse<br />
pont olyan, mint a hat·r alatt. Szerepe ebben ki is mer¸l az (a) Ès (b) ·llapot<br />
kijelˆlÈsÈben.<br />
A reverzibilis fesz¸ltsÈgtenzor konkrÈt line·ris ˆsszef¸ggÈse (a HOOKE-tˆrvÈny):<br />
rev<br />
� 1 � 3K<br />
� � � � 3K<br />
� �<br />
2G� � �<br />
o<br />
3 2<br />
� G�<br />
� �<br />
2<br />
�<br />
� � G � � � � G � �<br />
(10a) F � D � �1<br />
Tr�D�<br />
I � 2 D � �1<br />
� I ,<br />
rev<br />
rev<br />
(11a) T � GE,<br />
T � 3KE<br />
, [ � � 3K�<br />
]<br />
alapj·n:<br />
�F �ij Rugalmas<br />
tartom·ny<br />
�s<br />
� � 0<br />
�W<br />
(a)<br />
(b)<br />
KÈplÈkeny<br />
tartom·ny<br />
�s<br />
� � 0<br />
�W<br />
eq, rev �F �ij �D �ij 2 o<br />
o o o<br />
� �~<br />
s 1 � �~<br />
s � �<br />
� �T<br />
�E<br />
� tr�<br />
E�I<br />
E 3 E<br />
�<br />
� � � � � �<br />
�1<br />
� �~<br />
s � �~<br />
s<br />
� �T<br />
� tr�<br />
E�<br />
�<br />
�3<br />
� �E<br />
� ��<br />
o<br />
22 A fesz¸ltsÈg·llapotban a reverzibilis v·ltoz·shoz tartozÛ tenzor.<br />
� 2GE,<br />
�1 � � � I � 3K�<br />
I,<br />
o<br />
�<br />
�<br />
�<br />
o<br />
o<br />
�<br />
�<br />
�<br />
121
Õgy a rugalmas anyag·llandÛkra a<br />
� �~<br />
s 1 � �~<br />
s ��<br />
2GI<br />
: � ��T<br />
�E<br />
� tr�<br />
E��E<br />
� �E<br />
3 � �E<br />
��<br />
�1<br />
� �~<br />
s � �~<br />
s<br />
3K<br />
: � ��T<br />
� tr�<br />
E�<br />
�<br />
�3<br />
� �E<br />
� ��<br />
o<br />
ˆsszef¸ggÈst vezett¸k le [3. fej. (17)].<br />
(10)<br />
122<br />
A (7) ˆsszef¸ggÈs egytengely˚ fesz¸ltsÈg·llapot esetÈn a<br />
�<br />
� m � 1�<br />
� �2�T<br />
� �<br />
� 3m<br />
�<br />
�sà<br />
� ,<br />
��<br />
�sà<br />
� o � �2�T<br />
��<br />
�1 � � o �.<br />
o<br />
2<br />
�1<br />
,<br />
�<br />
�1 � � o ��� skal·r egyenletekre egyszer˚sˆdik, ahol az sà , az egytengely˚ ·llapothoz tartozÛ<br />
egyens˙lyi entrÛpia.<br />
A HOOKE-tˆrvÈny pedig a m·r megszokott<br />
� � E�<br />
,<br />
m � 1 m � 2<br />
E : � 2G<br />
: � 3K<br />
,<br />
m m<br />
egyszer˚ alakot ˆlti, s a (10) kÈt egyenletÈbıl - a � E�<br />
alapj·n ñ az anyag·llandÛk termodinamikai ˆsszef¸ggÈsei<br />
(11)<br />
form·j˙ra egyszer˚sˆdnek.<br />
� m �1<br />
� �sà<br />
E � �2�T<br />
� � ,<br />
� 3m<br />
� ��<br />
�sà<br />
1�<br />
� o<br />
3K<br />
� �2�T<br />
,<br />
��<br />
�<br />
o<br />
m � 2 �sà<br />
1�<br />
� o<br />
2G<br />
� �2�T<br />
,<br />
m �1<br />
��<br />
�<br />
2G<br />
6K<br />
6K<br />
m � � �<br />
E � 2G<br />
3K<br />
� E 3K<br />
2<br />
o<br />
o<br />
� Ès a o o<br />
o<br />
� 2G<br />
� 2G<br />
� � 3K� egyenlısÈg<br />
AZ ¡LTAL¡NOS EGYENS⁄LYI FESZ‹LTS…GTENZOR KONKR…T ALAKJA. Ha a (7)-(9)<br />
anyagegyenletekbe a (10a)-(11a) HOOKE-tˆrvÈnyt behelyettesÌtj¸k, akkor<br />
(12)<br />
F<br />
eq<br />
� � � 3K<br />
� �<br />
�2G�D<br />
� � �1��<br />
o I�,<br />
� � � 2G<br />
� �<br />
� � 2G<br />
� � 3K<br />
� �<br />
��<br />
� � � �1�<br />
�~<br />
D � o I�,<br />
s<br />
� � � � 2G<br />
1 �T<br />
� �<br />
� �W<br />
ha<br />
ha<br />
� � 0,<br />
� � 1.
(13)<br />
(14)<br />
T<br />
T<br />
eq<br />
eq<br />
o<br />
�<br />
� 2GE,<br />
�<br />
� � 2G<br />
��<br />
,<br />
�~<br />
E<br />
s<br />
� 1�<br />
�T<br />
� �W<br />
�<br />
� 3KEo<br />
,<br />
�<br />
� � 3K<br />
��<br />
�~<br />
E<br />
s<br />
� 1�<br />
�T<br />
� �W<br />
o<br />
,<br />
ha<br />
ha<br />
ha<br />
ha<br />
� � 0,<br />
� � 1.<br />
� � 0,<br />
� � 1.<br />
Az 5. fejezetben egytengely˚ ·llapotban elemezt¸k az anyagtˆrvÈnyt, s ekkor a<br />
kˆvetkezı eredmÈnyt kaptuk: 23<br />
Az anyagtˆrvÈny<br />
�E � E ��� �<br />
� � E� � � � �<br />
Rugalmas tartom·nyban [ � � 0 ] KÈplÈkeny tartom·nyban [ � � 1]<br />
A<br />
� E�<br />
pl<br />
� � � E� � �E � E ��� � � � � E�<br />
� E �� � � �<br />
~ � ( W ) � ��<br />
( W )<br />
kÈplÈkenysÈgi hat·rfeltÈtelt egy � egysÈgugr·sf¸ggvÈny egy � �W � f¸ggvÈny<br />
szorzatakÈnt vett¸k fel, amelynek legegyszer˚bb esete, ha<br />
(15) � � f W W W � �<br />
� ,<br />
ahol Wf a kÈplÈkenysÈgi hat·rhoz tartozÛ, tÈrfogategysÈgre jutÛ deform·ciÛs munka<br />
(vagy torzul·si deform·ciÛs munka). Vagyis (15) szerint rugalmas ·llapotban van a test<br />
mindaddig, amÌg W W � 0,<br />
s kÈplÈkeny ·llapotba ker¸l (vagyis megjelennek a<br />
� f<br />
maradÛ deform·ciÛk is), ha W W � 0 . Az is kˆztudott, hogy a kÈplÈkenysÈgi hat·r<br />
� f<br />
t˙llÈpÈse ut·n, ha tehermentesÌt¸nk, akkor a deform·ciÛk csak rugalmasak lehetnek (ui.<br />
a maradÛk nem alakulhatnak vissza). Ez azt jelenti, hogy amennyiben a deform·ciÛs<br />
munka csˆkken: �W < 0, vagyis negatÌv, akkor csak a rugalmas deform·ciÛk<br />
v·ltozhatnak. EzÈrt a � ~ f¸ggvÈny:<br />
23<br />
A klasszikus POYNTING-THOMSON-test estÈre, amelynÈl a tÈrfogatv·ltoz·si egyenlet a � o � 3K�<br />
o<br />
alak˙, a � o � 3K<br />
�o<br />
� 3Kv<br />
� � o ��<br />
o�<br />
o helyett, vagyis K v / K �� o � 0 .<br />
f<br />
pl<br />
f<br />
f<br />
pl<br />
f<br />
123
(16) � �W �<br />
124<br />
~<br />
�0,<br />
� �<br />
�<br />
W �W<br />
f<br />
,<br />
ha<br />
ha<br />
W �W<br />
W �W<br />
f<br />
f<br />
�<br />
�<br />
0,<br />
0,<br />
vagy<br />
A � ugr·sf¸ggvÈny bevezetÈse nem egy ˆnkÈnyes feltevÈsbıl fakadt, hanem az<br />
entrÛpia-f¸ggvÈnybıl, vagyis az ugr·s tÈnyÈbıl. Az egytengely˚ kÌsÈrletnÈl l·ttuk, hogy<br />
az anyagtˆrvÈny kÈt line·ris ˆsszef¸ggÈsbıl ·ll: 24<br />
�E�<br />
,<br />
� � �<br />
�<br />
E�<br />
f � E<br />
pl<br />
�� � � �,<br />
f<br />
ha<br />
ha<br />
amelynÈl E Ès Epl az ir·nytangens, s<br />
d�<br />
�E,<br />
� �<br />
d�<br />
�<br />
E<br />
pl<br />
,<br />
ha<br />
ha<br />
� � � ,<br />
� � � .<br />
� � � ,<br />
f<br />
� � � ,<br />
f<br />
f<br />
f<br />
Ès<br />
�W<br />
�W<br />
�<br />
�<br />
0,<br />
0.<br />
2. ·bra<br />
A hosszadalmas levezetÈseket mellızve ñ mivel a rugalmas Ès a kÈplÈkeny<br />
tartom·nyban egyar·nt line·ris anyagegyenletet vesz¸nk ñ a<br />
(17)<br />
Ès<br />
(18)<br />
T<br />
eq<br />
o<br />
T<br />
eq<br />
�T<br />
� �s<br />
1 � �s<br />
� � eq<br />
eq<br />
rev<br />
� � ~ tr<br />
s �E<br />
� � E�I<br />
� T � T � T � T<br />
� E 3 E<br />
� elast plast<br />
1 � � � �<br />
� �<br />
� �<br />
�W<br />
~<br />
�<br />
�<br />
�s<br />
�T�<br />
s 1 s<br />
s 1 s<br />
T<br />
� � � � �<br />
tr<br />
W � � � � � �<br />
� � � E � E I<br />
�<br />
�<br />
�<br />
~ E tr E I ,<br />
E 3 E<br />
s � �<br />
�<br />
� �<br />
� �<br />
�<br />
E 3 E<br />
�<br />
� � �<br />
� �<br />
1 � � � �<br />
� �<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
����<br />
���<br />
�������<br />
�<br />
����<br />
W�<br />
� �� �������<br />
�<br />
2GE<br />
���2G<br />
�2G<br />
��E�E �<br />
�T<br />
�1<br />
� �s<br />
� �s<br />
� � ~ tr E<br />
s<br />
� � � �<br />
� 3 E �<br />
1 � � � � �<br />
� �<br />
o<br />
�W<br />
�1 � � �<br />
�<br />
�<br />
�1<br />
� �s<br />
� �s<br />
�<br />
� � �T<br />
� tr�<br />
E�<br />
�<br />
o<br />
3 E �<br />
�<br />
� � � � � o �<br />
����<br />
������<br />
�������<br />
3KEo<br />
�3K�<br />
oI<br />
o<br />
�<br />
�I<br />
� T<br />
�<br />
eq<br />
o<br />
elast<br />
pl<br />
� T<br />
f<br />
eq<br />
o<br />
plast<br />
eq,<br />
irrev<br />
�~<br />
s<br />
�T�<br />
�W<br />
�1<br />
� �s<br />
� �s<br />
�<br />
~<br />
o I.<br />
s<br />
� � �<br />
�<br />
�<br />
3<br />
1 � � �E<br />
��<br />
� �<br />
� o �<br />
����<br />
W�<br />
����<br />
���������<br />
��<br />
�3K �3K<br />
�E ���<br />
�3K �3K<br />
��<br />
I<br />
�1 � � � I �<br />
tr E � �1 � � �<br />
egyenletekbıl a anyagtˆrvÈnyre a kˆvetkezı ˆsszef¸ggÈsek adÛdnak:<br />
(19)<br />
T<br />
T<br />
eq<br />
� 2GE<br />
� �<br />
pl<br />
o<br />
� T<br />
rev<br />
o<br />
pl<br />
� T<br />
o<br />
�<br />
eq,<br />
irrev<br />
o<br />
�2G � 2G<br />
pl ��E � E f �,<br />
�3K � 3K<br />
��E � E �, eq<br />
[ � � 3K�<br />
� ��3K<br />
� 3K<br />
��� � � �].<br />
eq<br />
o � 3KE<br />
� �<br />
pl o of<br />
o o<br />
pl o of<br />
24 Ott az Epl-t M-mel jelˆlt¸k.<br />
d �<br />
d�<br />
E<br />
Epl<br />
Rugalmas<br />
zÛna<br />
� f<br />
KÈplÈkeny<br />
zÛna<br />
�<br />
�
(19a)<br />
(19b)<br />
(20)<br />
T<br />
T<br />
eq<br />
eq<br />
o<br />
�<br />
�<br />
� �<br />
��<br />
�<br />
�<br />
� �<br />
��<br />
2GE,<br />
2G<br />
3K<br />
pl<br />
3KE<br />
pl<br />
E �<br />
o<br />
,<br />
E<br />
o<br />
�2G � 2G<br />
�<br />
�<br />
pl<br />
E<br />
�3K � 3K<br />
�<br />
A (17) Ès (19a), valamint (18) Ès (19b) egyenlıvÈ tÈtele<br />
� � 0<br />
� � 1<br />
� �s<br />
1 � �s<br />
� �<br />
� �T<br />
�E<br />
� tr�<br />
E�I<br />
E 3 E<br />
�<br />
� � � � � �<br />
�1<br />
� �s<br />
� �s<br />
� �T<br />
� tr�<br />
E�<br />
�<br />
�3<br />
� �E<br />
� ��<br />
o<br />
�T<br />
~ 2GE<br />
�s<br />
1 �<br />
�W<br />
�T<br />
~ 3K�<br />
oI<br />
�s<br />
1 �<br />
�W<br />
�1 � � �<br />
o<br />
pl<br />
�<br />
�I<br />
�<br />
f<br />
E<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
,<br />
of<br />
,<br />
ha<br />
ha<br />
2GE,<br />
ha<br />
ha<br />
3K�<br />
I,<br />
o<br />
� � 0,<br />
� � 1,<br />
� � 0,<br />
� � 1.<br />
�2G � 2G<br />
��E � E �,<br />
pl<br />
�3K � 3K<br />
� � I,<br />
alapj·n, az anyagtˆrvÈnyben szereplı anyag·llandÛk termodinamikai ˆsszef¸ggÈsei<br />
egyszer˚en kiadÛdnak:<br />
(21)<br />
2GI<br />
2G<br />
3K<br />
3K<br />
pl<br />
pl<br />
I<br />
: �<br />
: �<br />
: �<br />
: �<br />
� �s<br />
1 � �s<br />
��<br />
�1<br />
� �T<br />
�E<br />
� tr�<br />
E�<br />
,<br />
3<br />
�E<br />
� �E<br />
� �E<br />
��<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
1<br />
2 �<br />
�T<br />
�<br />
G I � ~ E�E<br />
� E � �<br />
f ,<br />
� �s<br />
�<br />
� 1�<br />
�<br />
� �W<br />
�<br />
�1<br />
� �s<br />
� �s<br />
�<br />
� �T<br />
� tr�<br />
E�<br />
� �1 � � o ��,<br />
�3<br />
� �E<br />
� ��<br />
o �<br />
� �<br />
� �<br />
3 �<br />
�T<br />
K 1�<br />
�<br />
~ .<br />
� �s<br />
�<br />
� 1�<br />
�<br />
� �W<br />
�<br />
A plasztikus anyag·llandÛk, mint l·tjuk, nem f¸ggetlenek a rugalmastÛl, a 2Gpl a<br />
2G, mÌg a 3Kpl pedig a 3K l·tszÛlagos megv·ltoz·sa.<br />
A maradÛ deform·ciÛk ñ a definÌciÛbÛl kˆvetkezıen ñ pedig<br />
m<br />
rev � G pl �<br />
E E E �1<br />
�<br />
m<br />
rev � G pl �<br />
� � �<br />
�<br />
� �E � E f �,<br />
G �<br />
Eo � Eo<br />
� Eo<br />
� �1<br />
�<br />
�<br />
� �E o � Eof<br />
�.<br />
� �<br />
G �<br />
� �<br />
form·ban ÌrhatÛk fel.<br />
pl<br />
o<br />
f<br />
125
(22)<br />
126<br />
EGYTENGELY¤ FESZ‹LTS…G¡LLAPOT esetÈn az anyagegyenlet<br />
�<br />
eq<br />
��<br />
� �<br />
��<br />
E�,<br />
E<br />
pl<br />
� �<br />
�E � E �<br />
pl<br />
� ,<br />
f<br />
�<br />
eq<br />
o<br />
��<br />
� �<br />
��<br />
3K�<br />
,<br />
3K<br />
pl<br />
o<br />
�<br />
o<br />
�<br />
�3K � 3K<br />
�<br />
pl<br />
�<br />
of<br />
,<br />
ha<br />
ha<br />
� � 0,<br />
� � 1.<br />
alak˙. Ha bevezetj¸k az m POISSON-sz·mot, a tengely- Ès a keresztir·ny˙ fajlagos<br />
ny˙l·s jellemzÈsÈre[ m � ��<br />
/ � k ], akkor a � = 0 rugalmas ·llapotban a kˆzismert<br />
m �1<br />
m � 2<br />
E : � 2G<br />
: � 3K<br />
,<br />
m m<br />
6K<br />
� 2G<br />
2G<br />
6K<br />
m � � �<br />
3K<br />
� 2G<br />
E � 2G<br />
3K<br />
� E<br />
ˆsszef¸ggÈseket kapjuk. A � = 1 kÈplÈkeny ·llapotban is fenn kell ·llni az<br />
ar·nyoss·gnak:<br />
E<br />
pl<br />
: � 2G<br />
pl<br />
m pl �1<br />
: � 3K<br />
m<br />
pl<br />
pl<br />
m pl � 2<br />
,<br />
m<br />
Azonban itt m·r dilemm·ink vannak.<br />
pl<br />
m<br />
pl<br />
6K<br />
�<br />
3K<br />
pl<br />
pl<br />
� 2G<br />
� 2G<br />
pl<br />
pl<br />
�<br />
E<br />
pl<br />
2G<br />
pl<br />
� 2G<br />
pl<br />
6K<br />
pl<br />
�<br />
3K<br />
� E<br />
Az irodalomra ·ltal·nosan az a jellemzı, hogy kimondja azt a ñ semmivel nem<br />
bizonyÌthatÛ ñ feltevÈst, miszerint Ña kÈplÈkeny ·llapotban az anyag<br />
ˆsszenyomhatatlanî, vagyis<br />
E<br />
pl<br />
: 3G<br />
m �<br />
� pl pl<br />
KÈplÈkeny ·llapotban az anyag, ha elıtte nem volt ˆsszenyomhatatlan, akkor itt sem<br />
lesz az, de lÈtezhet a kÈplÈkenysÈgi hat·rfeltÈtel Ès a tˆrÈsi hat·rfeltÈtel kˆzˆtt egy olyan<br />
hat·r, amely ut·n m·r az eredetileg ˆsszenyomhatÛ anyag is ˆsszenyomhatatlann· v·lik.<br />
Az is elıfordulhat, hogy egyes anyagokn·l nincs ilyen hat·r, hamarabb bekˆvetkezik a<br />
tˆnkremenetel, minthogy ˆsszenyomhatatlann· v·lna az anyag. [ASSZONYI, 1975] a<br />
tˆkÈletesen kifejlıdˆtt kÈplÈkeny ·llapot tartom·ny·nak nevezte azt a tartom·nyt, ahol<br />
az anyag m·r ˆsszenyomhatatlan.<br />
FeltevÈs¸nk szerint, ha az anyagi testre, egyens˙lyi ·llapotban (akkor Ès csakis<br />
m � , akkor a kÈplÈkenysÈgi hat·r nagyon kicsi � �<br />
akkor) jellemzı POISSON-sz·m 2<br />
·tlÈpÈse ut·n sem csˆkkenhet le 2-re. Ha pedig ez nem tˆrtÈnik meg, akkor kÈsıbb se<br />
tˆrtÈnhet meg, mert az Epl, vagy Gpl ÈrtÈke konstans kell, hogy legyen. Ez nem z·rja ki,<br />
hogy a kÈsıbbiekben ne lÈtezzen mÈg egy hat·r, ami ut·n a tˆkÈletesen kifejlıdˆtt<br />
kÈplÈkeny ·llapot tartom·nya kˆvetkezik. Ez viszont azt jelenti, hogy addig<br />
teh·t<br />
E<br />
pl<br />
: �<br />
2G<br />
pl<br />
m �1<br />
: � 3K<br />
m<br />
pl<br />
m � 2<br />
,<br />
m<br />
6K<br />
m �<br />
3K<br />
m = mpl,<br />
pl<br />
pl<br />
� 2G<br />
� 2G<br />
pl<br />
pl<br />
2.<br />
�<br />
E<br />
pl<br />
2G<br />
pl<br />
� 2G<br />
pl<br />
6K<br />
pl<br />
�<br />
3K<br />
� E<br />
pl<br />
pl<br />
pl<br />
,<br />
pl<br />
.
s ekkor az<br />
6K<br />
m �<br />
3K<br />
pl<br />
pl<br />
ˆsszef¸ggÈsbıl<br />
� 2G<br />
� 2G<br />
pl<br />
pl<br />
6K<br />
� 2G<br />
2G<br />
pl<br />
� �<br />
3K<br />
� 2G<br />
E � 2G<br />
pl<br />
2Gpl<br />
E pl<br />
� ,<br />
2G<br />
E<br />
pl<br />
2G<br />
6K<br />
pl<br />
� �<br />
E � 2G<br />
3K<br />
� E<br />
K<br />
K pl<br />
� .<br />
G Gpl<br />
pl<br />
pl<br />
6K<br />
�<br />
3K<br />
� E<br />
A ÑkÈplÈkeny ·llapotban az anyag ˆsszenyomhatatlanî tÈvhitnek azonban nagyon is<br />
re·lis alapjai vannak. A 3. ·br·n egy laboratÛriumi gˆrbÈt t¸ntett¸nk fel, amelynÈl<br />
bejelˆlt¸k azt a C pontot, ahol valÛszÌn˚sÌthetı (de nem bizonyÌtott), hogy az anyag<br />
ut·na ˆsszenyomhatatlann· v·lik.<br />
TˆrÈsi<br />
hat·r<br />
Rugalmass·gi<br />
hat·r<br />
Ar·nyoss·gi<br />
hat·r<br />
�<br />
A<br />
*<br />
�<br />
F<br />
A<br />
0<br />
m ≠ 2<br />
0<br />
m = 2<br />
* l � l0<br />
� �<br />
l0<br />
TˆkÈletesen kifejlıdˆtt kÈplÈkeny tartom·ny<br />
Rugalmas<br />
tartom·ny<br />
B<br />
C<br />
KÈplÈkeny tartom·ny<br />
3. ·bra<br />
tˆrÈs<br />
A tˆrÈst a D pontban cÈlszer˚ elkÈpzelni, mert az ut·na lÈvı szakasz m·r<br />
kontroll·lhatatlan.<br />
Ha D ut·ni gˆrbe lefelÈ megy, az azt mutatja, hogy a keresztmetszet m·r lesz˚k¸lt<br />
(pl. h˙z·sn·l a kontrakciÛ miatt), nyom·sn·l a tˆrÈsi diszkontinuit·sok miatt. Ha felfelÈ,<br />
akkor m·r a vizsg·lati berendezÈs tehetetlensÈgÈnek hat·sa jelenik meg.<br />
Az A Ès B pontok kˆzˆtti gˆrb¸letet esetleg annak is tekinthetnÈnk, hogy a<br />
kÌsÈrleteknÈl a fesz¸ltsÈgeket Ès deform·ciÛkat a kezdeti ·llapottal adjuk meg:<br />
D<br />
127
fesz¸ltsÈg [MPa]<br />
128<br />
125<br />
100<br />
75<br />
50<br />
25<br />
0<br />
0 25 50 75 100 125 150<br />
fajlagos ny˙l·s [10 -3 ]<br />
* *<br />
A 3. ·br·n lÈvı � f �� �<br />
�<br />
*<br />
�<br />
2<br />
2 � � �<br />
, A � A0<br />
�1 � � k � � A0<br />
�1�<br />
�<br />
0<br />
� m �<br />
F<br />
A<br />
mÛdon. Az F/A Ès F/A0 kˆzˆtti differencia<br />
jelenik meg a 4. ·br·n.<br />
Ha elfogadn·nk azt a feltÈtelezÈst, hogy<br />
van olyan ·llapot, mely ut·n az anyag<br />
ˆsszenyomhatatlan (m = 2), akkor az 5. ·br·n<br />
l·thatÛ elvi ˆsszef¸ggÈssel dolgozhatunk.<br />
4. ·bra<br />
5. ·bra<br />
ˆsszef¸ggÈseivel) a valÛdi (tÈnyleges) � f �� �<br />
kÈphez jutunk.<br />
� t<br />
�<br />
�<br />
m<br />
f<br />
f<br />
� �<br />
� f<br />
F<br />
A<br />
m<br />
� f<br />
arc tg<br />
arc tg<br />
arc tg E pl , [ E pl � 3G<br />
pl ]<br />
m �1<br />
E pl , [ E pl � 2G<br />
pl ]<br />
m<br />
m �1<br />
E,<br />
[ E � 2G<br />
]<br />
m<br />
� t<br />
du<br />
� �<br />
dx<br />
� gˆrbÈt ·tszerkesztve (az 5. ·bra bejelˆlt<br />
� ˆsszef¸ggÈsre, a 6. ·br·n l·thatÛ
tengelyir·ny˙ fesz¸ltsÈg s [MPa]<br />
90<br />
80<br />
70<br />
60<br />
50<br />
40<br />
30<br />
20<br />
10<br />
0<br />
0 30 60 90 120 150 180<br />
tengelyir·ny˙ fajlagos ny˙l·s e [10 -4 ]<br />
6. ·bra<br />
Innen m·r Èrthetı, hogy a kÈplÈkenysÈgtan klasszikus irodalm·ban miÈrt<br />
hanyagolj·k el a [B-C] mÈg ˆsszenyomhatÛ rÈszt.<br />
� �<br />
F<br />
A0<br />
7.·bra<br />
A 7. ·br·n lÈvı ˆsszef¸ggÈsekkel, a 8.<br />
·br·n adott 2G Ès 2Gpl ÈrtÈkekhez<br />
felrajzoltuk a k¸lˆnbˆzı m POISSONsz·mok<br />
esetÈre vonatkozÛ egyens˙lyi<br />
egytengely˚ anyagegyenleteknek megfelelı<br />
gˆrbÈket, b·r ez csak egy elvi spekul·ciÛ.<br />
m<br />
m<br />
m<br />
m<br />
m<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
A � A ( 1 � � )<br />
2<br />
0 k<br />
�<br />
�<br />
6<br />
4<br />
3<br />
2<br />
B<br />
110<br />
100<br />
90<br />
80<br />
70<br />
60<br />
50<br />
40<br />
30<br />
20<br />
10<br />
0<br />
eredeti<br />
C<br />
szerkesztett<br />
B<br />
C<br />
0 30 60 90 120 150 180<br />
8.·bra<br />
m = 2<br />
m = 3<br />
m = 6<br />
m =oo<br />
129
130<br />
7. FEJEZET<br />
NEMEGYENS⁄LYI ANYAGT÷RV…NY A K…PL…KENY DEFORM¡CI”K<br />
TARTOM¡NY¡BAN<br />
A FEJL’D…SI EGYENLET. A 2 fejezetbıl [(27a)<br />
formula] az anyagtˆrvÈnyt determin·lÛ ˆsszef¸ggÈs a<br />
termodinamikai erıkre Ès termodinamikai ·ramokra az<br />
(1) : � � : � � 0 J X J X A A<br />
,<br />
illetve kiÌrva az<br />
� �s<br />
�s<br />
� �1<br />
�F<br />
� � TA � �T�<br />
F�<br />
: A�<br />
A � �TÓ<br />
: Ó�<br />
� 0<br />
� �A<br />
�W<br />
�<br />
egyenlıtlensÈgeket szolg·ltatta.<br />
EGYENS⁄LY esetÈre, amikor a termodinamikai erık [J] Ès termodinamikai ·ramok<br />
[X] egyar·nt zÈrusok:<br />
(2)<br />
a<br />
X A<br />
J A<br />
�<br />
�<br />
� �~<br />
s �<br />
�1<br />
�1�<br />
�T� �F<br />
� �T<br />
A�<br />
A � 0,<br />
� �W<br />
�<br />
1<br />
A�<br />
�<br />
A � 0,<br />
X�<br />
J A<br />
�<br />
�<br />
Ó�<br />
� 0,<br />
� �TÓ<br />
� 0,<br />
(3)<br />
S<br />
eq �T<br />
� �~<br />
s � 1 rev<br />
F � �<br />
� A � �<br />
F<br />
�~<br />
s A<br />
�s<br />
T<br />
� �<br />
~<br />
1� � �<br />
�<br />
1�<br />
�T�<br />
�W<br />
�W<br />
egyens˙lyi anyagtˆrvÈnyt vezett¸k le.<br />
¡ttÈrve az A alakv·ltoz·si tenzorrÛl a D = A - I deform·ciÛtenzorra, az egyens˙lyi<br />
fesz¸ltsÈgtenzor reverzibilis rÈsze:<br />
�~<br />
s<br />
D<br />
�D<br />
(4) � ��<br />
T � � � ,<br />
F<br />
rev<br />
Ès a teljes egyens˙lyi fesz¸ltsÈgtenzor (reverzibilis Ès irreverzibilis egy¸tt):<br />
F<br />
eq<br />
(5) � �<br />
�~<br />
s �D<br />
I<br />
�T<br />
� �<br />
1� �T�<br />
�W<br />
I � D<br />
�~<br />
s<br />
(F)ij<br />
rugalmas<br />
kÈplÈkeny<br />
zÛna<br />
tˆredezett anyag<br />
zÛn·ja<br />
(D)ij
alakban ÌrhatÛ fel, illetve deviatorikus felbont·sban a kˆvetkezı:<br />
(6)<br />
(7)<br />
T<br />
T<br />
rev<br />
rev<br />
o<br />
� �~<br />
s 1 � �~<br />
s � �<br />
� ��T<br />
�E<br />
� tr�<br />
E�I<br />
,<br />
E 3 E<br />
�<br />
� � � � � �<br />
�1<br />
� �~<br />
s � �~<br />
s<br />
� ��T<br />
� tr�<br />
E�<br />
�<br />
�3<br />
� �E<br />
� ��<br />
o<br />
�1 � � � I,<br />
~ ~<br />
eq �T<br />
� �s<br />
1 � �s<br />
� �<br />
T � � ~ �E<br />
� tr�<br />
E�I<br />
,<br />
�s<br />
3<br />
�<br />
1 � �E<br />
� �E<br />
� �T�<br />
� �<br />
�W<br />
�1<br />
� �~<br />
� �~<br />
eq �T<br />
s s �<br />
To<br />
� � ~ � tr�<br />
E�I<br />
�<br />
o<br />
�s<br />
�<br />
3<br />
1 � � �E<br />
� ��<br />
� �T�<br />
o �<br />
�W<br />
o<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�1 � � � .<br />
EGYENS⁄LYON T⁄LI ¡LLAPONTBAN a (2) ˆsszef¸ggÈs ñ figyelembe vÈve a (3),<br />
illetve (4)-(7) jelˆlÈseket ñ az<br />
irrev �1<br />
(8) F : A�<br />
A � � TÓ<br />
: Ó�<br />
� 0<br />
form·ban ÌrhatÛ fel, ahol<br />
irrev<br />
eq<br />
F � F � F .<br />
Vezess¸nk be ˙j jelˆlÈseket. A megszokott D deform·ciÛtenzor mellett egy tov·bbi<br />
D ~ szintÈn deform·ciÛszer˚ tenzort Èrtelmezve,<br />
illetve<br />
~ �<br />
J<br />
A<br />
: � J � A�<br />
A<br />
�1<br />
� D�<br />
~ �<br />
,<br />
�1<br />
�D � I�<br />
�:<br />
D<br />
~ �D 1 ~ �D�I � 1 ~ ~ ~ ~ ~ ~<br />
tr tr�D�I<br />
D Do<br />
: E Eo<br />
E ~ � I �<br />
� � � � � � � �<br />
� � � � � � � �<br />
D �<br />
3 3<br />
d<br />
o<br />
form·ban. Tov·bb·, a 4. fejezetben alkalmazott mÛdon a Ó dinamikai v·ltozÛt is<br />
bontsuk fel<br />
alak˙ra.<br />
�Ó � 1 tr�Ó�I �� 1 tr�Ó�I<br />
: � Ó � Ó � Ó � � I<br />
Ó �<br />
3 3<br />
d o d o<br />
Ekkor a (8) helyett ÌrhatÛ:<br />
(9)<br />
irrev ~ �<br />
F : D � � TÓ<br />
: Ó�<br />
� 0 ,<br />
illetve<br />
(10)<br />
irrev ~ �<br />
: � �<br />
irrev<br />
T E �T Ó : �<br />
~ �<br />
o o � �<br />
o o � 0<br />
�������<br />
d Ó<br />
TÓ<br />
Ó<br />
��d<br />
� � � .<br />
��<br />
�� �����<br />
�0<br />
Ez a felÌr·s korrekt¸l megmutatja, hogy a pozitivit·snak minden tenzori rang˙ ·ramra<br />
k¸lˆn-k¸lˆn teljes¸lnie kell.<br />
�0<br />
131
Ezek ut·n az anyagtˆrvÈny meghat·roz·sa a 2. Ès 4. fejezetben m·r gyakorolt<br />
mÛdon tˆrtÈnhet.<br />
A (10) egyenlıtlensÈg megold·sa, mint m·r l·ttuk, a LAGRANGE-fÈle kˆzÈp-<br />
ÈrtÈktÈtel felhaszn·l·s·val tˆrtÈnhet az<br />
(11)<br />
132<br />
�<br />
�<br />
F<br />
�<br />
� Ó�<br />
irrev<br />
� � ~ � �<br />
� � D �<br />
� �<br />
�<br />
L , illetve �<br />
T<br />
� �<br />
� ��<br />
�TÓ<br />
� �<br />
� � Ó<br />
irrev<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� L<br />
�<br />
egyenletrendszerek megold·s·val, amelyek kiÌrva a kˆvetkezık:<br />
(11)<br />
T<br />
Ó�<br />
irrev<br />
� L<br />
� L<br />
11<br />
12<br />
~ �<br />
E<br />
~ �<br />
E<br />
� L<br />
� L<br />
12<br />
22<br />
Ó<br />
Ó<br />
d<br />
d<br />
,<br />
,<br />
d<br />
� ~ � � � irrev � �<br />
� � �<br />
�<br />
~<br />
E<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� � o<br />
, o L<br />
� � � � o �<br />
��<br />
�T<br />
Ó�<br />
� Ó�<br />
o � ��<br />
�T<br />
Ó<br />
�<br />
Ó�<br />
irrev<br />
o<br />
A levezetÈsek mellızÈsÈvel ñ amelyek analÛgok a 4. fejezetben leÌrtakkal ñ a<br />
vÈgeredmÈny:<br />
irrev �1<br />
� irrev �1<br />
�~<br />
� 2 �1<br />
~ �<br />
T � L22T<br />
� L11L22<br />
E � �L12 L22<br />
� L11<br />
�E,<br />
(13)<br />
irrev �1<br />
irrev �1~<br />
2 1<br />
� � l � � � l l � ��<br />
�<br />
� l l � l<br />
~ � �<br />
o<br />
22<br />
o<br />
11 22<br />
o<br />
� l<br />
� l<br />
11<br />
12<br />
~ � � o<br />
~ � �<br />
o<br />
� � ,<br />
12 22<br />
s ez az izotrÛp kontinuumok anyagtˆrvÈnyÈnek leg·ltal·nosabb form·ja.<br />
Ahhoz, hogy a (13) teljes legyen, be kell helyettesÌteni mÈg a<br />
T<br />
irrev<br />
eq<br />
� T � T ,<br />
irrev<br />
ˆsszef¸ggÈst, amelyhez a 6.fejezet (19) alatti form·t<br />
(14)<br />
T<br />
eq<br />
eq<br />
o<br />
�� � ��<br />
� ��<br />
eq<br />
�2G � 2G<br />
pl ��E � f �,<br />
�3K � 3K<br />
��� � �<br />
� 2GE<br />
� �<br />
E<br />
� � 3K�<br />
� �<br />
�<br />
o<br />
haszn·ljuk fel, illetve a E � E � E , E : � E � E , ( ill. � : � � � � )<br />
jelˆlÈsekkel:<br />
(14a)<br />
A (13)-ba behelyettesÌtve:<br />
T<br />
� � �<br />
o<br />
� T<br />
eq<br />
eq<br />
o<br />
pl<br />
o<br />
of<br />
11<br />
o<br />
� l<br />
� l<br />
pl<br />
pl<br />
pl<br />
: f o o of<br />
o o of<br />
� L<br />
� l<br />
T<br />
eq<br />
eq<br />
o<br />
� � 3K�<br />
� � �<br />
�1<br />
22<br />
�1<br />
22<br />
�2G � 2G<br />
pl � pl<br />
,<br />
�3K 3K<br />
pl � � .<br />
� 2GE<br />
� � E<br />
o<br />
�� eq<br />
�1<br />
�~<br />
� 2 �1<br />
~ �<br />
T � T � � L11L22<br />
E � �L12 L22<br />
� L11<br />
�E<br />
eq<br />
�1<br />
� � ~ 2 1<br />
��<br />
� ��<br />
� l l � ��<br />
�<br />
� �l l � l � ~ � � ,<br />
o<br />
o<br />
11 22<br />
o<br />
pl<br />
o<br />
12 22<br />
11<br />
12<br />
o<br />
22<br />
Ó<br />
Ó<br />
,<br />
o<br />
o<br />
,<br />
.<br />
o<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�
133<br />
� �<br />
� �<br />
� � � �<br />
� �<br />
� �<br />
� � � � ,<br />
~<br />
~<br />
3<br />
3<br />
3<br />
3<br />
3<br />
3<br />
,<br />
~<br />
~<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
11<br />
1<br />
22<br />
2<br />
12<br />
o<br />
1<br />
22<br />
11<br />
o<br />
o<br />
o<br />
1<br />
22<br />
o<br />
o<br />
o<br />
11<br />
1<br />
22<br />
2<br />
12<br />
1<br />
22<br />
11<br />
1<br />
22<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
l<br />
l<br />
l<br />
l<br />
l<br />
K<br />
K<br />
K<br />
l<br />
K<br />
K<br />
K<br />
L<br />
L<br />
L<br />
L<br />
L<br />
G<br />
G<br />
G<br />
L<br />
G<br />
G<br />
G<br />
pl<br />
pl<br />
pl<br />
pl<br />
pl<br />
pl<br />
pl<br />
pl<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
E<br />
E<br />
E<br />
E<br />
T<br />
E<br />
E<br />
T<br />
majd ·trendezve:<br />
� �<br />
� � � �<br />
� �<br />
� � � � .<br />
3<br />
3<br />
3<br />
3<br />
3<br />
3<br />
~<br />
~<br />
,<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
~<br />
~<br />
o<br />
1<br />
22<br />
o<br />
1<br />
22<br />
o<br />
o<br />
11<br />
1<br />
22<br />
2<br />
12<br />
o<br />
1<br />
22<br />
11<br />
o<br />
1<br />
22<br />
o<br />
1<br />
22<br />
1<br />
22<br />
11<br />
1<br />
22<br />
2<br />
12<br />
1<br />
22<br />
11<br />
1<br />
22<br />
pl<br />
pl<br />
pl<br />
pl<br />
pl<br />
pl<br />
pl<br />
pl<br />
K<br />
K<br />
l<br />
Kl<br />
K<br />
K<br />
K<br />
l<br />
l<br />
l<br />
l<br />
l<br />
l<br />
G<br />
G<br />
L<br />
GL<br />
G<br />
G<br />
G<br />
L<br />
L<br />
L<br />
L<br />
L<br />
L<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
E<br />
E<br />
E<br />
E<br />
E<br />
E<br />
T<br />
T<br />
Bevezetve a<br />
,<br />
:<br />
,<br />
:<br />
,<br />
:<br />
,<br />
:<br />
,<br />
:<br />
,<br />
:<br />
11<br />
o<br />
2<br />
12<br />
11<br />
1<br />
22<br />
2<br />
12<br />
o<br />
11<br />
2<br />
12<br />
11<br />
1<br />
22<br />
2<br />
12<br />
o<br />
11<br />
1<br />
22<br />
11<br />
o<br />
11<br />
1<br />
22<br />
11<br />
1<br />
22<br />
o<br />
1<br />
22<br />
l<br />
l<br />
l<br />
l<br />
l<br />
L<br />
L<br />
L<br />
L<br />
L<br />
l<br />
l<br />
l<br />
L<br />
L<br />
L<br />
l<br />
L<br />
d<br />
d<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
jelˆlÈseket, az izotrÛp kontinuumok leg·ltal·nosabb rugalmas-kÈplÈkeny anyagtˆrvÈnye:<br />
(16)<br />
� �<br />
� �<br />
� �� �<br />
� �<br />
� �<br />
� �� �.<br />
3<br />
3<br />
3<br />
3<br />
3<br />
3<br />
~<br />
~<br />
,<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
~<br />
~<br />
o<br />
o<br />
o<br />
o<br />
o<br />
o<br />
o<br />
o<br />
o<br />
o<br />
f<br />
pl<br />
pl<br />
f<br />
pl<br />
pl<br />
d<br />
d<br />
K<br />
K<br />
K<br />
K<br />
K<br />
K<br />
G<br />
G<br />
G<br />
G<br />
G<br />
G<br />
E<br />
E<br />
E<br />
E<br />
E<br />
E<br />
T<br />
T<br />
E<br />
E<br />
E<br />
E<br />
E<br />
E<br />
T<br />
T<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
illetve<br />
(16a)<br />
� �<br />
� �� �<br />
� �<br />
� �� �.<br />
3<br />
3<br />
3<br />
3<br />
3<br />
3<br />
~<br />
~<br />
,<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
~<br />
~<br />
o<br />
o<br />
o<br />
o<br />
o<br />
o<br />
o<br />
o<br />
o<br />
o<br />
o<br />
o<br />
f<br />
pl<br />
pl<br />
f<br />
pl<br />
pl<br />
d<br />
d<br />
K<br />
K<br />
K<br />
K<br />
K<br />
K<br />
G<br />
G<br />
G<br />
G<br />
G<br />
G<br />
E<br />
E<br />
E<br />
E<br />
E<br />
E<br />
E<br />
T<br />
T<br />
E<br />
E<br />
E<br />
E<br />
E<br />
E<br />
E<br />
T<br />
T<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
ANYAGT÷RV…NY LINE¡RIS K÷ZELÕT…SBEN. Ha a m·sodik idıderiv·lt hat·s·tÛl<br />
eltekint¸nk, akkor<br />
� � � �<br />
� �<br />
� �� �,<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
~ 1<br />
22<br />
11<br />
1<br />
22<br />
2<br />
12<br />
1<br />
22<br />
f<br />
pl<br />
pl<br />
G<br />
G<br />
G<br />
G<br />
G<br />
G<br />
L<br />
L<br />
L<br />
L<br />
L<br />
E<br />
E<br />
E<br />
E<br />
E<br />
T<br />
T<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� �<br />
�<br />
�<br />
� � � �<br />
� �<br />
� �� �,<br />
3<br />
3<br />
3<br />
3<br />
3<br />
3<br />
~<br />
o<br />
o<br />
o<br />
o<br />
1<br />
22<br />
o<br />
11<br />
1<br />
22<br />
2<br />
12<br />
o<br />
1<br />
22<br />
o<br />
f<br />
pl<br />
pl<br />
K<br />
K<br />
K<br />
K<br />
K<br />
K<br />
l<br />
l<br />
l<br />
l<br />
l<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� �<br />
�<br />
�
Ès ha a<br />
~ �<br />
D D�<br />
�1<br />
� �D � I�<br />
� D�<br />
kˆzelÌtÈssel Èl¸nk, amelynek eredmÈnyekÈnt a kÈtfÈle<br />
~ �<br />
deform·ciÛsebessÈg egyenlı lesz [ E � E�<br />
,<br />
~ � � o � � � o ], akkor<br />
134<br />
T<br />
�<br />
o<br />
� L<br />
� l<br />
�1<br />
22<br />
�1<br />
22<br />
T�<br />
o<br />
� 2GE<br />
� �<br />
�<br />
�2G � 2G<br />
pl ��E � E f ��<br />
�1<br />
�1<br />
� L11<br />
� L22<br />
2G<br />
� �L22<br />
�2G � 2G<br />
pl �<br />
�3K � 3K<br />
pl ��� o � � of<br />
��<br />
l<br />
�1<br />
�1<br />
� l 3K<br />
� �l<br />
�3K � 3K<br />
� � �<br />
2 �1<br />
�L L<br />
� E�<br />
,<br />
12<br />
22<br />
��<br />
� 3K�<br />
� �<br />
�<br />
2 �1<br />
�l l �<br />
� .<br />
12<br />
o<br />
22<br />
11<br />
22<br />
A m·r megszokott jelˆlÈsekkel, a fesz¸ltsÈgv·ltoz·si sebessÈg egy¸tthatÛja a<br />
relax·ciÛs idı a rugalmas Ès kÈplÈkeny tartom·nyban egyar·nt:<br />
� : � �L<br />
a deform·ciÛsebessÈg egy¸tthatÛja a viszkozit·si tÈnyezı:<br />
�1<br />
22<br />
2<br />
2 12 11<br />
22<br />
pl<br />
o :<br />
o<br />
�1<br />
22<br />
� � �l<br />
,<br />
2<br />
3K v 12 11<br />
rugalmas tartom·nyban � : � . L � � L � 2G�<br />
, : � . l � � l � 3K�<br />
,<br />
2<br />
2� pl 12 11 pl<br />
2<br />
3 v,<br />
pl 12�<br />
11 pl<br />
kÈplÈkeny tartom·nyban : � . L � � L � 2G<br />
� , K : � . l � l � 3K<br />
� ,<br />
az anyagegyenlet a kˆvetkezı alakot ˆlti:<br />
(17)<br />
� � 0<br />
� � 1<br />
T ��T�<br />
� 2GE<br />
� 2�E�<br />
� �<br />
T<br />
o<br />
��<br />
T�<br />
� 3KE<br />
o<br />
o<br />
� 3K<br />
v<br />
�2G � 2G<br />
��E E � �2 2 �E�<br />
pl � f � � � � � pl ,<br />
E�<br />
� ��3K<br />
� 3K<br />
��E � E �� ��3K<br />
� 3K<br />
� E�<br />
,<br />
o<br />
Ha k¸lˆnv·lasztjuk a rugalmas Ès a kÈplÈkeny ·llapotot, akkor<br />
�<br />
�<br />
T ��<br />
T�<br />
T ��<br />
T�<br />
o<br />
o<br />
o<br />
T ��<br />
T�<br />
T ��<br />
T�<br />
o<br />
o<br />
o<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
2GE<br />
3KE<br />
2GE<br />
3KE<br />
o<br />
o<br />
�<br />
�<br />
� 2�E�<br />
,<br />
� 3K<br />
E�<br />
v<br />
o<br />
,<br />
pl<br />
o<br />
of<br />
v<br />
v,<br />
pl<br />
�2G � 2G<br />
��E E � 2 E�<br />
�2 2 �E�<br />
pl � f � � � � � � pl ,<br />
�3K � 3K<br />
��E � E � � 3K<br />
E�<br />
� �3K � 3K<br />
� E�<br />
.<br />
EGYTENGELY¤ FESZ‹LTS…G¡LLAPOT. Nemegyens˙lyi esetben az anyagtˆrvÈny<br />
egytengely˚ fesz¸ltsÈg·llapot esetÈn nem ÌrhatÛ le egyetlen egyenlettel, mivel a tengely-<br />
Ès a keresztir·ny˙ deform·ciÛk h·nyadosa nem konstans, hanem az idı f¸ggvÈnyÈben<br />
v·ltozik. A skal·ris felÌr·s ÈrdekÈben tÈrj¸nk ·t a klasszikus POYNTING-THOMSON-testre,<br />
amelynÈl a tÈrfogatv·ltoz·s f¸ggetlen az idıtıl, vagyis<br />
Kv K<br />
o � ��<br />
0<br />
Ès<br />
K<br />
v,<br />
pl<br />
K<br />
v<br />
pl<br />
o<br />
of<br />
Kv,<br />
pl Kv<br />
��<br />
o � 0,<br />
� ,<br />
K K<br />
s ennek megfelelıen � 3 � � ��3K<br />
� 3K<br />
��� � � �<br />
o<br />
� .<br />
K o<br />
pl o of<br />
v<br />
v<br />
o<br />
v<br />
o<br />
v,<br />
pl<br />
o
ahol<br />
EnnÈl a modellnÈl m·r csak egy skal·r egyenlet¸nk van:<br />
9GK<br />
E � ,<br />
3K<br />
� G<br />
�E � E ��� � � �� ���<br />
� ��<br />
� � ��<br />
� E� � � � � � �<br />
� � ,<br />
� pl f<br />
pl<br />
9�K<br />
3K�<br />
��<br />
9G<br />
pl K pl<br />
9G<br />
pl K pl<br />
� � , E � , E pl �<br />
, � pl �<br />
.<br />
3K<br />
� G 3K<br />
� G 3K<br />
� G 3K<br />
� G<br />
Az al·bbi ·bra mutatja ebben az esetben az ˆsszef¸ggÈseket.<br />
� pl<br />
� � � f � �<br />
�<br />
� � � ��<br />
0<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
pl<br />
�� � �<br />
� � � �0<br />
�<br />
�<br />
f<br />
�<br />
f<br />
�<br />
f<br />
� E�<br />
�<br />
t<br />
�<br />
�<br />
0<br />
f<br />
�<br />
0�<br />
� � ��<br />
t<br />
� � � �0<br />
�<br />
TˆrÈsi hat·r<br />
0�<br />
� � ��<br />
� E�<br />
f<br />
� �<br />
� E<br />
pl<br />
�� � �<br />
f � E pl � f<br />
�<br />
� � ��<br />
� E ��<br />
� � � � ��<br />
��1<br />
� e<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� E ��<br />
�<br />
0<br />
t<br />
pl<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� � � �<br />
f � � �<br />
� �<br />
��<br />
�<br />
E<br />
pl<br />
pl<br />
pl<br />
KÈplÈkenysÈgi hat·r<br />
1 �<br />
�<br />
� � �<br />
��<br />
�<br />
��<br />
�<br />
�1<br />
� e<br />
�<br />
��<br />
�<br />
��<br />
��<br />
�<br />
��<br />
�<br />
�<br />
pl<br />
1 � ��<br />
f<br />
�<br />
� � �<br />
pl<br />
��<br />
��<br />
�<br />
��<br />
���<br />
135
136<br />
8. FEJEZET<br />
A HAT¡RFELT…TELEKR’L<br />
1. EL’ZETES MEGJEGYZ…SEK<br />
A 2. fejezetben az anyagtˆrvÈny ·ltal·nos form·j·nak levezetÈse alapj·n,<br />
kiegÈszÌtve az 5. fejezetben az egytengely˚ kÌsÈrlet elemzÈsÈbıl levont<br />
kˆvetkeztetÈsekkel, kimondhatjuk, hogy a kÈplÈkenysÈgi hat·rfeltÈtel a W deform·ciÛs<br />
munka f¸ggvÈnye. A W azonban mÈg sz·mos ˆsszetevıbıl ·ll, s nemcsak az<br />
ˆsszmunk·nak, hanem valamelyik komponensÈnek is a f¸ggvÈnye lehet.<br />
A W T…RFOGATEGYS…GRE JUT” DEFORM¡CI”S MUNKA FELBONT¡SA. Az egyszer˚sÈg<br />
kedvÈÈrt dolgozzunk most kivÈtelesen 25 a<br />
kˆzelÌtı ˆsszef¸ggÈssel. 26<br />
Ez kÈtfÈlekÈppen bonthatÛ fel:<br />
� �D � I�<br />
F : D�<br />
� F :<br />
� F : A�<br />
�1 W � A � F : D�<br />
1<br />
�<br />
W � � F : D�<br />
dt � dD<br />
- egyrÈszt � rugalmas deform·ciÛs munk·ra Ès L disszip·ciÛs munk·ra:<br />
(1) W = � + L,<br />
ahol<br />
rug<br />
reol<br />
W � � F : Ddt<br />
� � F : dD<br />
� � F : dD<br />
� .<br />
- m·srÈszt a megszokott devi·toros Ès gˆmbi felbont·ssal<br />
'<br />
W torzul·si<br />
deform·ciÛs munk·ra Ès W o tÈrfogatv·ltoz·si deform·ciÛs munk·ra:<br />
(2) W = W í + Wo,<br />
ahol<br />
W � � F : D�<br />
dt � � T : dE�<br />
� To<br />
: dE<br />
.<br />
25 Megjegyezz¸k, hogy a kˆvetkeztetÈsek nem csak ebben a kˆzelÌtı esetben ÈrvÈnyesek.<br />
26<br />
D<br />
�� 1.<br />
o
Ezek egy¸tt ˆsszesen:<br />
W , L L � L .<br />
'<br />
'<br />
'<br />
(3) � W �Wo<br />
� � � � �o<br />
, � o<br />
Ha a rugalmas tartom·nyban a POYNTING-THOMSON-fÈle modellt vessz¸k alapul,<br />
akkor a<br />
T<br />
T<br />
o<br />
akkor<br />
� 2GE<br />
� 2�E�<br />
��<br />
T�<br />
,<br />
� 3KE<br />
o<br />
� 3K<br />
E�<br />
v<br />
o<br />
o<br />
��<br />
T�<br />
o<br />
o<br />
,<br />
�<br />
�<br />
T<br />
T<br />
rug<br />
rug<br />
o<br />
� 2GE,<br />
� 3KE<br />
o<br />
,<br />
�<br />
�<br />
T<br />
T<br />
reol<br />
reol<br />
o<br />
o<br />
d<br />
� �2�E ��<br />
T�,<br />
dt<br />
d<br />
� �3K vE<br />
o ��<br />
oTo<br />
�,<br />
dt<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
��� �� �����<br />
� ��� �� � � ��� �� � � �� ����<br />
�<br />
��� ��<br />
�<br />
rug<br />
reol<br />
rug<br />
reol<br />
W � � T : E dt � � To<br />
: Eodt<br />
� � T : E dt � � T : Edt<br />
� � To<br />
: Eodt<br />
� � To<br />
: Eodt<br />
.<br />
'<br />
W<br />
W<br />
'<br />
�<br />
' L<br />
�<br />
L<br />
A LEHETS…GES K…PL…KENYS…GI HAT¡RFELT…TELEK. Az ˆsszes szÛbajˆhetı<br />
munkafeloszt·s alapj·n a kˆvetkezı 9 darab kÈplÈkenysÈgi feltÈtel lehet:<br />
� � f W W �<br />
� 0<br />
a maxim·lis<br />
deform·ciÛs munka elve<br />
� � � � � f<br />
� 0<br />
a maxim·lis rugalmas<br />
deform·ciÛs munka elve<br />
L<br />
L<br />
� � � f<br />
� 0<br />
a maxim·lis disszip·ciÛs<br />
munka elve<br />
�<br />
' '<br />
� W �W<br />
f<br />
� 0<br />
a maxim·lis torzul·si<br />
deform·ciÛs munka elve<br />
�<br />
' '<br />
� � � � f<br />
� 0<br />
a maxim·lis rugalmas<br />
torzul·si deform·ciÛs munka<br />
elve<br />
�<br />
L<br />
L<br />
' '<br />
� � f<br />
� 0<br />
a maxim·lis torzul·si<br />
disszip·ciÛs munka elve<br />
A lehetısÈgek sz·ma ˆsszesen 9, de ezek kˆz¸l csak 1 lehet az igazi.<br />
�<br />
� o � of<br />
W W<br />
o<br />
� 0<br />
a maxim·lis tÈrfogatv·ltoz·si<br />
deform·ciÛs munka elve<br />
�<br />
� � o � � of<br />
� 0<br />
a maxim·lis rugalmas<br />
tÈrfogatv·ltoz·si deform·ciÛs<br />
munka elve<br />
�<br />
L<br />
L<br />
� o � of<br />
� 0<br />
a maxim·lis tÈrfogatv·ltoz·si<br />
disszip·ciÛs munka elve<br />
PrÛb·ljuk meg sz˚kÌteni a kˆrt. Az egytengely˚ kÌsÈrletbıl sz·rmazÛ inform·ciÛt<br />
haszn·ljuk fel annak ellenÈre, hogy egytengely˚bıl nem hat·rozhatÛ meg a tÈrbeli<br />
hat·rfeltÈtel. Viszont ha valami egytengely˚nÈl nem igaz, akkor az a tÈrbelinÈl sem<br />
lehet igaz. Teh·t Ìgy csak azok a feltevÈsek z·rhatÛk ki, amelyeket az egytengely˚<br />
tapasztalatok kiz·rnak. Amelyeket megengednek, azoknak viszont mindegyike<br />
lehetsÈges.<br />
137
1. Az egyens˙lyi (reverzibilis) esetben a disszip·ciÛs munka zÈrus ÈrtÈk˚. Teh·t, ha<br />
az L, vagy valamelyik komponense lenne a kÈplÈkenysÈgi hat·rfeltÈtel, akkor<br />
egyens˙lyi esetben nem jˆhetne lÈtre a kÈplÈkeny ·llapot. A disszip·ciÛs munka teh·t<br />
kiz·rhatÛ.<br />
138<br />
1.·bra<br />
2. A rugalmas deform·ciÛs munka ÈrtÈke a kÈplÈkenysÈgi hat·rn·l annyira<br />
k¸lˆnbˆzı (1.·bra), hogy hat·rfeltÈtelkÈnt nyugodtan kiz·rhatÛ. Ha a h·rom k¸lˆnbˆzı<br />
deform·ciÛs sebessÈgnÈl azonos lenne az �f ÈrtÈke, akkor megegyeznÈnek a � ÈrtÈkek<br />
is. Ez azt jelenti, hogy a kÈplÈkenysÈgi hat·rfeltÈtel gˆrbÈjÈnek egy f¸ggıleges<br />
egyenesnek kellene lennie. A rugalmas munka teh·t nem lehet a kÈplÈkenysÈg feltÈtele.<br />
K÷VETKEZM…NY: EnnÈlfogva, kiz·r·sos alapon m·r csak 3 feltÈtel¸nk maradt.<br />
- � � 0 W W<br />
� � f a maxim·lis deform·ciÛs munka elve, amely BELTRAMI<br />
' '<br />
� f<br />
nevÈhez f˚zıdik,<br />
- � W �W<br />
� 0 a maxim·lis torzul·si deform·ciÛs munka 27 elve, amely<br />
HUBER, MISES, Ès VON HENCKY nevÈhez f˚zıdik.<br />
- � � 0 W W � a maxim·lis tÈrfogatv·ltoz·si deform·ciÛs munka28 elve.<br />
� o of<br />
Ezek kˆz¸l nem vÈletlen, hogy az irodalomban a tÈrfogatv·ltoz·shoz mag·hoz senki<br />
nem kˆtˆtte a kÈplÈkeny ·llapot kialakul·s·t.<br />
27 Alaktorzul·si munka<br />
28 TÈrfogati munka<br />
0 � L<br />
�� �<br />
�<br />
�� �0<br />
0<br />
L<br />
0���<br />
��<br />
�<br />
0 ���<br />
��<br />
L<br />
�� ��<br />
�<br />
�� ��
Ennek tˆbb oka is lehet:<br />
- egyik, hogy feltÈteleztÈk, hogy a hidrosztatikus ·llapot nem hoz lÈtre foly·st,<br />
- m·sik, hogy ·ltal·ban a Wo jÛval kisebb, mint a W í . Egytengely˚ ·llapotn·l pl.<br />
W<br />
W<br />
0<br />
0<br />
� � � �2 0 2 1 0<br />
� � �<br />
� f � f<br />
1 0 0 1<br />
f � � d�<br />
� E�<br />
d�<br />
� �<br />
0<br />
f � f � E<br />
� � � � �<br />
f<br />
0 0 2 2 2<br />
of<br />
� � �0<br />
�<br />
�<br />
0<br />
of<br />
0<br />
of<br />
��<br />
o d�<br />
o � � 3K�<br />
od�<br />
o �<br />
A kettı egym·shoz viszonyÌtott ar·nya:<br />
0<br />
W<br />
W<br />
�<br />
0<br />
of<br />
� � �0<br />
f � � �0<br />
m � 2<br />
� ,<br />
9m<br />
teh·t maxim·lisan csak a 11,11%-ot Èrheti el.<br />
3<br />
2<br />
K<br />
min :<br />
max :<br />
E<br />
0 2 1 m � 2 0<br />
�� � � E �� �<br />
of<br />
2<br />
m � 2<br />
m � �<br />
Ezek alapj·n a deform·ciÛs munka elve vagy a torzul·si deform·ciÛs munka elve<br />
jˆhet sz·mÌt·sba kÈplÈkenysÈgi hat·rfeltÈtelkÈnt. ASSZONYI, CS. (1975)-ben ez utÛbbit<br />
valÛszÌn˚sÌtette.<br />
Ne felejts¸k el azonban, hogy ezek gondolati kÌsÈrletek, nek¸nk fizikai bizonyÌtÈkokra<br />
van sz¸ksÈg¸nk.<br />
A T÷NKREMENETELI HAT¡RFELT…TEL. Egytengely˚ kÌsÈrleteink adatai alapj·n a<br />
kˆvetkezı elvi ·bra rajzolhatÛ fel:<br />
L<br />
�� �0<br />
�<br />
�� �0<br />
L<br />
�� ��<br />
�<br />
�� ��<br />
2. ·bra<br />
Az ·bra alapj·n tˆrÈsi hat·rfeltÈtelnek csak egyetlen lehetısÈg kÌn·lkozik, a<br />
maxim·lis disszip·ciÛs munka elve, annak ellenÈre, hogy a mÈrÈsi adatok jelentısen<br />
szÛrnak: (-11%
140<br />
A T÷NKREMENETELI HAT¡R<br />
…RT…KEI<br />
�� � 0 0 � �� � � �� � �<br />
L [kJ/m 3 ] 405 373 362<br />
Lí [kJ/m 3 ] 360 332 332<br />
L o [kJ/m 3 ] 45 41 40<br />
K÷VETKEZM…NY: EnnÈlfogva, kiz·r·sos<br />
alapon m·r csak 3 feltÈtel¸nk maradt:<br />
- � L � L � 0 a maxim·lis disszip·ciÛs munka elve,<br />
t<br />
� t<br />
' '<br />
- � L � L � 0 a maxim·lis torzul·si disszip·ciÛs munka elve,<br />
t<br />
� t<br />
- � L � L � 0 a maxim·lis tÈrfogatv·ltoz·si disszip·ciÛs munka elve.<br />
az L í.<br />
t � o ot<br />
Az ·ll·sfoglal·st megnehezÌti, hogy<br />
(i) a tˆrÈs pillanat·ban a mÈrÈsi eredmÈnyek m·r bizonytalanok, teh·t nagy a<br />
szÛr·suk,<br />
(ii) a kÈplÈkeny ·llapot kezdete Ès a tˆrÈs bekˆvetkezte kˆzˆtt valÛszÌn˚sÌthetı,<br />
hogy az anyag ˆsszenyomhatatlann· v·lik. Ez az a pont, ahonnan a<br />
tˆkÈletesen kifejlıdˆtt kÈplÈkeny ·llapot tartom·ny·t vessz¸k. Ha az anyag<br />
ˆsszenyomhatatlan, akkor a tÈrfogati munk·ja onnantÛl kezdve zÈrus.<br />
E miatt csak kÈt lehetsÈges munka-feltÈtel marad a tˆrÈsi hat·rfeltÈtelkÈnt: az L Ès<br />
2. A K…PL…KENY ¡LLAPOT L…TREJ÷TTE …S A T÷R…S KIALAKUL¡SA<br />
Amikor egy testen mechanikai munk·t vÈgz¸nk, impulzust Ès kinetikai energi·t<br />
kˆzl¸nk vele. Az impulzus Ès a kinetikai energia egym·stÛl elv·laszthatatlan, ha van<br />
impulzus [mv], akkor van kinetikus energia [ mv 2 ] is, Ès fordÌtva.<br />
a deform·ciÛs munka komponensei [kJ/m 3 ]<br />
�� � 0 0 � �� � � ��<br />
� �<br />
L o<br />
L<br />
L '
Az impulzust a szil·rd test kˆtˆtt rÈszei nem kÈpesek ˙gy tov·bb sz·llÌtani, mint a<br />
folyadÈkok, konvektÌv vezetÈs rÈvÈn, hanem csak konduktÌve (diff˙z ˙ton). LÈtrejˆn az<br />
impulzus konduktÌv ·rams˚r˚sÈge, a fesz¸ltsÈg [jimp := F].<br />
A kinetikus energia ·ltal·ban a rendszer belsı energi·j·v· alakul, disszip·lÛdik. Ezt<br />
az energiamÈrleg fejezi ki idıegysÈgre jutÛ deform·ciÛs munkakÈnt, teljesÌtmÈnykÈnt<br />
[ W � � F : v � � ]. Ez a W deform·ciÛs munka kÈt rÈszre bonthatÛ:<br />
- egyrÈszt rugalmas potenci·lra (amely a befektetett munk·nak az a rÈsze, amely<br />
elvben visszanyerhetı, s mint potenci·l, azaz energia f¸ggetlen az ˙ttÛl),<br />
- m·srÈszt disszip·ciÛra, amely az anyag belsı s˙rlÛd·s·nak legyızÈse folyt·n, m·r<br />
felemÈsztıdik, s mechanikai munkakÈnt nem nyerhetı vissza (pl. hıvÈ alakul).<br />
Ha az anyagi rendszer¸nkkel kˆzˆlt kinetikai energia egy ñ az anyagtÛl f¸ggı Wf ñ<br />
mÈrtÈket, k¸szˆbÈrtÈket meghalad, akkor anyagunk azt abban a pillanatban azt m·r nem<br />
kÈpes teljes egÈszÈben belsı energi·v· alakÌtani. A k¸szˆb fˆlˆtti |W - Wf | differencia<br />
mÈg tov·bbra is kinetikai energiakÈnt funkcion·l. Ez a rÈsz a konduktÌv vezetÈs mellett<br />
kÈnytelen konvektÌv vezetÈsre fanyalodni. 29 Ez eredmÈnyezi a foly·st, a kÈplÈkenysÈget<br />
Ès a visszafordÌthatatlan maradÛ deform·ciÛkat. Ez a pont, ez a k¸szˆbÈrtÈk a<br />
kÈplÈkenysÈgi hat·r.<br />
Ha az impulzus- Ès energiakˆzlÈs tov·bb folytatÛdik, akkor ezt a tˆbbletet az anyag<br />
m·r csak tˆnkremenetel ˙tj·n tudja disszip·lni, kilˆkni mag·bÛl.<br />
3. A K…PL…KENYS…GI HAT¡RFELT…TEL A DEFORM¡CI”S HULL¡M ALAPJ¡N<br />
Az elmondottaknak megfelelıen a kÈplÈkenysÈgi hat·rfeltÈtel a deform·ciÛs munka<br />
(vagy teljesÌtmÈny) f¸ggvÈnye. Mivel a munka maga torzul·si Ès tÈrfogatv·ltoz·si<br />
rÈszre bonthatÛ (devi·toros Ès gˆmbi feloszt·s), a hat·rfeltÈtel is a deform·ciÛs<br />
munk·nak, vagy valamelyik komponensÈnek f¸ggvÈnye lehet:<br />
W � W �<br />
'<br />
Wo.<br />
Kˆztudott, hogy a mechanikai hat·sok izotrÛp kˆzegben longitudin·lis Ès<br />
transzverz·lis hull·m form·j·ban terjednek a kˆzegben, s ezek terjedÈsi sebessÈge<br />
jelentısen eltÈr egym·stÛl. A longitudin·lis hull·m a tÈrfogati, a transzverz·lis hull·m a<br />
torzul·si deform·ciÛs hat·sokat viszi tova. Teh·t azt is mondhatjuk, hogy a deform·ciÛs<br />
munka Ès a hull·mok kˆzˆtt a<br />
29 Mivel z·rt rendszerben az ˆsszenergia Ès az ˆsszimpulzus megmaradÛ mennyisÈg.<br />
141
megfeleltetÈs van.<br />
142<br />
W � longitudin·lis + transzverz·lis hull·m egy¸tt,<br />
W í � transzverz·lis (torzul·si) hull·m,<br />
Wo � longitudin·lis (tÈrfogati) hull·m,<br />
KÈplÈkenysÈgi feltÈtel azonban csak egy lehet. Tov·bb·, ez a feltÈtel nem lehet<br />
anyagonkÈnt m·s Ès m·s, mert az ·ltal·nos fizikai tˆrvÈnyekkel dolgozunk, amelyeknek<br />
minden anyag al· van vetve. A fenti h·rombÛl kettıt ki kell z·rni.<br />
A � = Wo - Wof = 0 FELT…TEL KIZ¡R¡S¡RA TETT KÕS…RLET. Le kell rˆgzÌteni, hogy<br />
ilyen feltevÈssel a mechanikai irodalomban mÈg nem tal·lkoztunk. ¡ltal·ban azt<br />
mondj·k, hogy a tiszta hidrosztatikus ·llapot nem hoz lÈtre foly·st, de erre bizonyÌtÈkot<br />
eddig nem tal·ltunk. Az is igaz, hogy ehhez igen nagy nyom·sokat kellene lÈtrehozni.<br />
Ebbıl tal·n az lehet az igaz, hogy norm·lis mechanikai viszonyok mellett a Wo csak<br />
nÈh·ny sz·zalÈka a W-nek, ezÈrt a kÈplÈkeny ·llapot lÈtrejˆttÈt a nagyobb ÈrtÈkhez<br />
kˆtik. Azonban hidrosztatikus ·llapotban: W = Wo Ès W í = 0. Ebbıl kˆvetkezik, hogy<br />
ak·r ki is z·rhatÛ, mert ˙gyis benne van a Wñben. De ez nem igaz·n korrekt Èrv.<br />
Kiz·r·s·ra tal·n a longitudin·lis hull·m termÈszete adhat v·laszt, amely jelentısen<br />
nagyobb sebessÈg˚, mint a torzul·si hull·m, vagyis vÈlhetıen hamarabb adna kÈplÈkeny<br />
v·ltoz·st. Ennek azonban nyoma kellene legyen a kÌsÈrletekben is.<br />
EzÈrt, b·r kiz·rjuk ezt a feltevÈst mi is, de erre tudom·nyos magyar·zatot vagy<br />
c·folatot kellene megkeresni.<br />
A � = W - Wf = 0 FELT…TEL KIZ¡R¡S¡RA TETT KÕS…RLET. Az alapul vett kÌsÈrletsorozat<br />
erre nem tud v·laszt adni, mivel a W Ès W í kˆzˆtt csak egy szorzÛtÈnyezı a<br />
k¸lˆnbsÈg a rugalmas tartom·nyban. A dˆntÈshez tov·bbi ñ cÈlir·nyosan tervezett -<br />
kÌsÈrletekre van sz¸ksÈg, b·r fizikai tˆrvÈnyeket kÌsÈrleti ˙ton bizonyÌtani nem lehet.<br />
ValÛszÌn˚sÌteni azonban igen, s ez utat mutathat arra, hogyan kÌsÈrelj¸k meg fizikai<br />
tˆrvÈnyekbıl levezetett feltÈtel¸nket finomÌtani. Nek¸nk nyomÛs Èrv az is, hogy a kÈt<br />
hull·m elk¸lˆn¸l, ezÈrt h·tha nem a kompozÌciÛjuk adja a fizikai feltÈtelt.<br />
Õgy hi·nyos tud·sunk jelenlegi szintjÈn a kˆvetkezı kÈplÈkenysÈgi feltÈtellel<br />
dolgozunk:<br />
A MAXIM¡LIS TORZUL¡SI DEFORM¡CI”S 30 MUNKA ELVE.<br />
Az anyag mindaddig rugalmas ·llapotban marad, amÌg a<br />
Wí torzul·si munka egy Wíf k¸szˆbÈrtÈket el nem Èr.<br />
30 Alaktorzul·si munka<br />
' '<br />
� f<br />
� W �W<br />
� 0 . (HUBER-MISES-HENCKY-fÈle feltÈtel).
4. A T÷NKREMENETELI HAT¡RFELT…TEL<br />
Ha a kÈplÈkenysÈgi hat·rfeltÈtelnÈl igazunk lenne, akkor a tˆrÈsi feltÈtelnÈl is<br />
figyelembe kell venni az ottani indokokat.<br />
Õgy, hi·nyos tud·sunk jelenlegi szintjÈn a kˆvetkezı tˆrÈsi feltÈtellel dolgozunk:<br />
A MAXIM¡LIS TORZUL¡SI DISSZIP¡CI”S MUNKA ELVE. Az<br />
anyag mindaddig megırzi kontinuit·s·t, amÌg a Lí torzul·si<br />
disszip·ciÛs munka egy Lít k¸szˆbÈrtÈket el nem Èr:<br />
L<br />
L<br />
' '<br />
� t<br />
� � � 0 .<br />
5. N…H¡NY GONDOLATI KÕS…RLET<br />
AZ ANYAG A K…PL…KENYS…GI HAT¡RON T⁄L …S A T÷R…SI HAT¡RON INNEN<br />
T÷K…LETESEN KIFEJL’D÷TT K…PL…KENYS…G TARTOM¡NYA. Azzal a kˆr¸lmÈnnyel<br />
KÈplÈkenysÈgi hat·r TˆrÈsi hat·r<br />
�T �ij �T o �ij rugalmas<br />
zÛna<br />
m<br />
3.·bra<br />
kÈplÈkeny<br />
zÛna<br />
�E �ij �E o �ij a tˆkÈletesen kifejlıdˆtt<br />
kÈplÈkeny ·llapot zÛn·ja<br />
m > 2<br />
m = 2<br />
¡tmeneti zÛna<br />
�E �ij szembe kell nÈzn¸nk, hogy az anyag<br />
egy bizonyos hat·r ut·n ˆsszenyomhatatlann·<br />
v·lhat. Ez a kÈplÈkenysÈgi<br />
hat·r elıtt nem kˆvetkezhet be, csak<br />
ut·na. De mivel ez az anyagi tulajdons·gok<br />
f¸ggvÈnye, az is lehet, hogy a<br />
tˆrÈs hamarabb bekˆvetkezik, mint az<br />
ˆsszenyomhatatlans·g ·llapota. Ez nem<br />
lehet ·ltal·nos eset, csup·n az anyag-<br />
·llandÛk olyan egy m·shoz viszonyÌtott<br />
ar·nya, amely ezt lehetıvÈ teszi.<br />
A kÈplÈkeny ·llapotban az anyag, ha<br />
elıtte nem volt ˆsszenyomhatatlan,<br />
akkor itt sem lesz az, de lÈtezhet a<br />
kÈplÈkenysÈgi hat·rfeltÈtel Ès a tˆrÈsi<br />
hat·rfeltÈtel kˆzˆtt egy olyan hat·r,<br />
amely ut·n m·r az eredetileg ˆsszenyomhatÛ<br />
anyag is ˆsszenyomhatatlann·<br />
v·lik. [ASSZONYI, 1975] (3. ·bra.) a<br />
tˆkÈletesen kifejlıdˆtt kÈplÈkeny ·llapot<br />
tartom·ny·nak nevezte azt a tartom·nyt,<br />
143
ahol az anyag m·r ˆsszenyomhatatlan. Nem tudjuk, hogy ez egy Èles hat·r-e, vagy egy<br />
·tmeneti zÛna?<br />
T÷NKREMENETEL - K…PL…KENY ¡LLAPOT N…LK‹L. HasonlÛ gondolatot felvethet¸nk<br />
a kÈplÈkenysÈgi hat·rral kapcsolatosan is. Nem lehetsÈges olyan anyagtulajdons·g,<br />
amelynÈl az anyag azelıtt tˆnkremegy, mielıtt kÈplÈkeny ·llapot megjelenne? MiÈrt<br />
ne? Ismerj¸k is ezt a jelensÈget.<br />
Itt kÈt k¸lˆnbˆzı jelensÈg is lehet, az egyik az anyagtulajdons·gokbÛl kˆvetkezhet,<br />
a m·sik a terhelÈs fajt·j·bÛl.<br />
144<br />
Az anyagtˆrvÈnyben szereplı anyag·llandÛk<br />
2G , 2�<br />
, � , 2G pl , 2�<br />
pl , � E , �,<br />
�,<br />
E pl , � pl , � ,<br />
amelyekre az entrÛpianˆvekedÈs tÈnyÈbıl a<br />
�<br />
�� � 0,<br />
G<br />
�<br />
G<br />
pl<br />
pl<br />
�� � 0,<br />
�<br />
�� � 0,<br />
E<br />
�<br />
E<br />
pl<br />
pl<br />
�� �<br />
feltÈteleknek kell teljes¸lni¸k. Ha ezeknek az anyag·llandÛknak olyan az ÈrtÈk¸k Ès az<br />
ar·nyuk, hogy az Lí ñ Ltí = 0 tˆrÈsi hat·rfeltÈtel elıbb teljes¸l, mint a Wí ñ Wíf = 0<br />
kÈplÈkenysÈgi feltÈtel, akkor elıbb tˆrik az anyag, minthogy megfolyna. (Pl. egytengely˚<br />
·llapotban<br />
a kÈplÈkenysÈgi feltÈtel, Ès<br />
'<br />
f<br />
1<br />
2<br />
f<br />
f<br />
1<br />
2<br />
2<br />
f<br />
1<br />
2E<br />
W � � � � E�<br />
� �<br />
L '<br />
t<br />
�<br />
1<br />
2<br />
� � �<br />
t<br />
a tˆrÈsi hat·rfeltÈtel. LehetsÈges olyan �t deform·ciÛ ÈrtÈk, amely �t < �f, Ès ennÈl<br />
W(�t) ÈrtÈke mÈg kisebb, mint Wf, de az m·r teljes¸l.) Erre az anyagra az a jellemzı,<br />
hogy nincs kÈplÈkeny ·llapota.<br />
M·sik esetben az anyagnak van kÈplÈkeny ·llapota, mÈgis tˆnkremegy anÈlk¸l,<br />
hogy kÈplÈkeny ·llapotba ker¸lt volna. Ez minden re·lis anyagn·l megvalÛsÌthatÛ.<br />
Ugyanis az ismÈtelt terhelÈs hat·s·ra, ha ez a terhelÈs nem Èri el a kÈplÈkenysÈgi hat·rt,<br />
akkor az anyag sose ker¸lhet kÈplÈkeny ·llapotba.<br />
IsmÈtelt igÈnybevÈtelnÈl az energiadisszip·ciÛ viszont ·llandÛan ˆsszeadÛdik. Pl.<br />
lemez hajlÌtgat·sa sor·n, anÈlk¸l, hogy az igÈnybevÈtel elÈrnÈ a kÈplÈkenysÈgi hat·r<br />
tˆredÈkÈt, bekˆvetkezik a tˆnkremenetel. Ezt az irodalom a kif·rad·s, a rideg tˆrÈs<br />
jelensÈgÈnek nevezi. IsmÈtelt igÈnybevÈtel hat·s·ra az anyag eltˆrik, anÈlk¸l, hogy<br />
kÈplÈkeny ·llapotba ker¸lt volna. Ezeket mutatj·k az ˙n. W÷HLER-gˆrbÈk.<br />
t<br />
1<br />
2<br />
E�<br />
2<br />
t<br />
2<br />
f<br />
0
1<br />
0,8<br />
0,6<br />
0,4<br />
0,2<br />
0<br />
-0,2<br />
-0,4<br />
-0,6<br />
-0,8<br />
-1<br />
s/s kˆzepes az e/e kˆzepes f¸ggvÈnyÈben<br />
6 4 2<br />
0<br />
5 3 1<br />
-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2<br />
4. ·bra<br />
1.periÛdus: 0-1-2-3<br />
2.periÛdus: 3-4-5<br />
3.periÛdus: 5-6-5<br />
a tov·bbiak m·r egybeesnek.<br />
Ez az eset ·ll fenn az 5.<br />
fejezetben kˆzˆlt, itt megismÈtelt<br />
·br·n l·thatÛ kÌsÈrletnÈl<br />
is. A deform·ciÛs munka<br />
� �<br />
kÈt hat·r, W Ès W kˆzˆtt<br />
v·ltozik, mÌg az energiadisszip·ciÛ<br />
ñ amely a gˆrbe<br />
·ltal hat·rolt ter¸let ñ minden<br />
periÛdusn·l egy meghat·ro-<br />
zott Li ÈrtÈkkel nˆvekszik a<br />
Lt-ig, s ekkor<br />
M<br />
Lt = �L i�1<br />
alapj·n, az M-edik periÛdusn·l<br />
bekˆvetkezik a tˆrÈs.<br />
i<br />
145
146<br />
9. FEJEZET<br />
÷SSZEFOGLAL¡S<br />
IZOTR”P KONTINUUMOK ELM…LETE<br />
Az elızı fejezetek levezetÈseivel bizonyÌtani kÌv·ntuk, hogy az izotrÛp<br />
kontinuumok anyagtˆrvÈnye fizikai alapokon elmÈletileg meghat·rozhatÛ, c·folva azt az<br />
·ltal·nos nÈzetet, amely ezt tagadta, s csak azt rˆgzÌtette, hogy az anyagtˆrvÈny kˆteles<br />
figyelembe venni a fizikai tˆrvÈnyeket, nem sÈrtheti azokat. Az elızı fejezetekben<br />
remÈlhetıleg demonstr·ltuk, hogy a II. fıtÈtel konstruktÌvan is haszn·lhatÛ, Ès<br />
lÈnyegÈben megszabja az anyagtˆrvÈnyek form·j·t.<br />
BizonyÌtani kÌv·ntuk tov·bb· azt is, hogy az izotrÛp kontinuumoknak csak egy<br />
anyagtˆrvÈnye lÈtezik, amely azonban<br />
� kis Ès nagy deform·ciÛk tartom·ny·n,<br />
� rugalmas deform·ciÛktÛl a kÈplÈkenyen ·t a tˆrÈsig,<br />
� egyens˙lyban Ès nemegyens˙lyi ·llapotban<br />
egyar·nt ÈrvÈnyes. Nincs teh·t k¸lˆn anyagtˆrvÈny a rugalmas tartom·nyban Ès k¸lˆn<br />
anyagtˆrvÈny a kÈplÈkeny tartom·nyban. Tov·bb·, nincs k¸lˆn anyagtˆrvÈny, ha<br />
nˆvekszik a terhelÈs (igÈnybevÈtel), Ès k¸lˆn anyagtˆrvÈny, ha csˆkken. Ennek, mint<br />
l·tni fogjuk, igen nagy elmÈleti, de fıkÈnt gyakorlati jelentısÈge van. Mivel mostan·ig<br />
nem ez a nÈzet uralkodott, ezÈrt mestersÈgesen szÈtv·lt egym·stÛl a rugalmass·gtan Ès a<br />
kÈplÈkenysÈgtan.<br />
A deform·ciÛk teljes folytonos tartom·ny·n ÈrvÈnyes anyagtˆrvÈny azonban csak<br />
egy rÈsze a kontinuummechanika ˙j elmÈletÈnek. Sz¸ksÈg van ezen kÌv¸l az ÈrtelmezÈsi<br />
tartom·ny hat·rainak termodinamikai alapokon tˆrtÈnı kijelˆlÈsÈre. Egy matematikai<br />
ˆsszef¸ggÈs csak az ÈrtelmezÈsi tartom·ny·val egy¸tt Èrtelmezhetı.<br />
Ebben a kˆnyvben a kontinuummechanika alapegyenletei kˆz¸l csak az<br />
anyagtˆrvÈnyt t·rgyaltuk, holott a mechanikai feladatok megold·s·hoz a tˆbbi<br />
egyenletre is sz¸ksÈg van. Ezekre k¸lˆn figyelmet m·r nem fordÌtunk. Ugyanis az 1.<br />
fejezetben a geometriai egyenlet kÈrdÈsÈt lez·rtuk a deform·ciÛk kinematik·j·val, a<br />
dinamikai (illetve egyens˙lyi) egyenletet pedig mÈrlegegyenletek ñ ezen bel¸l az<br />
impulzusmÈrleg (impulzus kontinuit·si egyenlet), mint megmarad·si egyenlet ñ<br />
t·rgyal·s·val.
A kˆvetkezıkben a kapott eredmÈnyeket v·zlatosan ˆsszefoglaljuk a m·r<br />
megszokott ñ de kiegÈszÌtett ñ 1. ·br·nak megfelelıen.<br />
fesz¸ltsÈgtÈr (F)ij<br />
TˆkÈletesen<br />
kifejlıdˆtt<br />
kÈplÈkenysÈg<br />
hat·ra<br />
rugalmas<br />
zÛna<br />
kÈplÈkeny<br />
zÛna<br />
(a) Ès (b)<br />
deform·ciÛtÈr (D) ij<br />
1.·bra<br />
tˆredezett<br />
anyag<br />
zÛn·ja<br />
(c)<br />
Az ·ltal·nos anyagtˆrvÈny a 4. tartom·nyra kell, hogy vonatkozzon [amikor � ≠ 0,<br />
Ès A� � 0 ], Ìgy belıle lehet az egyszer˚bbeket korl·toz·ssal felÌrni:<br />
- � = 0 feltevÈssel megkapjuk a csak rugalmas tartom·nyra vonatkozÛ<br />
ˆsszef¸ggÈst [1 Ès 2], ahol 1 esetÈn A � 0 � , 2 esetÈn A� � 0 ,<br />
- A � 0 � feltevÈssel megkapjuk az anyagtˆrvÈny egyens˙lyban ÈrvÈnyes<br />
form·j·t [1 Ès 3], mikor az anyagegyenlet f¸ggetlen az idıtÈnyezıtıl<br />
(nemreolÛgiai).<br />
Vagyis - 1, ha � = 0 Ès A � 0 � ,<br />
- 2, ha � = 0 Ès A� � 0 ,<br />
- 3, ha � = 1 Ès A � 0 � ,<br />
- 4, ha � = 1 Ès A� � 0 .<br />
1<br />
2<br />
�<br />
Az egysÈges anyagegyenlettel szemben sz·mos ellenvetÈs van. Legegyszer˚bben<br />
Ìgy fogalmazhatÛ meg:<br />
4<br />
KÈplÈkenysÈgi<br />
hat·r<br />
3<br />
Tˆnkremeneteli<br />
hat·r<br />
147
148<br />
(a) MiÈrt lenne jobb egyetlen egyenlet, mint az elıbbi ·br·n l·thatÛ nÈgy?<br />
(b) Ugyan˙gy k¸lˆn van a rugalmas, mint a kÈplÈkeny anyagegyenlet, mi a haszna annak,<br />
hogy egy � egysÈgugr·s f¸ggvÈnnyel egyetlen ˆsszef¸ggÈsbe van ˆsszefogva?<br />
A v·laszunk csak egy lehet. Ezek a kÈrdÈsek a termÈszet meg nem ÈrtÈsÈbıl, vagy<br />
fÈlreÈrtÈsÈbıl fakadnak. Ugyanis ez a l·tszÛlag bonyolult rugalmas-kÈplÈkenyreolÛgiai<br />
anyagegyenlet visszat¸krˆzi a termÈszet egyszer˚sÈg ut·ni v·gy·t, Ès<br />
megÈrteti vel¸nk a fizikai feladatok egyszer˚ megold·s·t. Kicsit prÛzaibban<br />
fogalmazva: egysÈges elmÈleti keretek nÈlk¸l az anyagtˆrvÈny l·tszÛlag k¸lˆnbˆzı<br />
rÈszeit nagyon nehezen lehet egyeztetni, Ès a k¸lˆnbˆzı eredet˚ jelensÈgek egym·sra<br />
hat·s·t szinte lehetetlen elk¸lˆnÌteni.<br />
1. ANYAGT÷RV…NY LINE¡RIS K÷ZELÕT…SBEN A D DEFORM¡CI”TENZORRAL<br />
Ha az anyagtˆrvÈnyben<br />
KIFEJEZVE<br />
(i) az A alakv·ltoz·si tenzor helyÈre a D = A ñ I deform·ciÛtenzort vessz¸k:<br />
A � D � I,<br />
Ès<br />
(ii) a � � 1<br />
1 ~ � �<br />
D : � A�<br />
A<br />
�<br />
� D�<br />
D � I kifejezÈs helyett a<br />
~ �<br />
D D�<br />
�1<br />
� �D � I�<br />
� D�<br />
kˆzelÌtÈst<br />
haszn·ljuk,<br />
(iii) a m·sodrend˚ idıderiv·lt hat·s·tÛl<br />
� �<br />
��<br />
��<br />
� A�<br />
�A<br />
�1<br />
�1<br />
�1<br />
�AA � � A�<br />
�A<br />
� A�<br />
�A �<br />
� D�<br />
�<br />
�<br />
� �2 �1<br />
�1<br />
�D � I�<br />
� D�<br />
�D � I�<br />
eltekint¸nk, tov·bb·<br />
�1<br />
� A�<br />
A<br />
�1<br />
A�<br />
A<br />
(iv) az egyens˙lyi, reverzibilis fesz¸ltsÈgtenzort az<br />
�1<br />
� A�<br />
�A<br />
0<br />
�1<br />
�<br />
�1<br />
�A� A �<br />
F � f I � f D � f D ·ltal·nos<br />
kvadratikus ˆsszef¸ggÈs helyett a line·rissal (HOOKE-tˆrvÈny) vessz¸k egyezınek,<br />
akkor a deviatorikus felbont·sban az anyagegyenlet<br />
(2)<br />
adÛdik.<br />
T<br />
T<br />
o<br />
� � T�<br />
��<br />
T�<br />
o<br />
o<br />
� 2GE<br />
� 3KE<br />
o<br />
� 2�<br />
E�<br />
� 3K<br />
E�<br />
v<br />
o<br />
� �<br />
� �<br />
Az anyagtˆrvÈny kÈplÈkeny ·llapotban felÌrhatÛ mÈg<br />
��2G � 2G<br />
��E E � �2 2 �E�<br />
pl � f � � � � pl �,<br />
��3K � 3K<br />
��E � E �� �3K � 3K<br />
�E�<br />
�<br />
pl<br />
o<br />
of<br />
1<br />
v<br />
2<br />
2<br />
�<br />
2<br />
v,<br />
pl<br />
o
egyens˙lyban<br />
egyens˙lyon t˙li ·llapotban<br />
alakban is.<br />
T<br />
T<br />
o<br />
��<br />
T�<br />
��<br />
T�<br />
Rugalmas, irreverzibilis<br />
T ��<br />
T�<br />
� 2GE<br />
� 2�E�<br />
T<br />
o<br />
�T�ij �To �ij ��<br />
T�<br />
o<br />
o<br />
� 3KE<br />
o<br />
o<br />
o<br />
T<br />
T<br />
eq<br />
eq<br />
o<br />
� 2G<br />
� 3K<br />
T<br />
T<br />
� 3K<br />
E�<br />
pl<br />
pl<br />
� 2G<br />
� 3K<br />
E<br />
E<br />
o<br />
�<br />
�<br />
pl<br />
pl<br />
E<br />
E<br />
Rugalmas, reverzibilis<br />
T<br />
T<br />
o<br />
v<br />
rev<br />
rev<br />
o<br />
� 2GE<br />
� 3KE<br />
o<br />
�<br />
�<br />
�2G � 2G<br />
pl �E<br />
f<br />
�3K � 3K<br />
pl �E of<br />
�2G � 2G<br />
�E �2 2 �E�<br />
pl f � � � � pl<br />
�3K � 3K<br />
�E o �3 3 , �E� pl f � Kv<br />
� Kv<br />
pl o<br />
¡ltal·nos ñ rugalmas-kÈplÈkeny, irreverzibilis<br />
��<br />
T�<br />
� 2GE<br />
� 2G<br />
� 2G<br />
E � E � 2�<br />
� 2�<br />
��<br />
T�<br />
o<br />
o<br />
� 3KE<br />
o<br />
o<br />
� �� � � �E�<br />
pl<br />
f<br />
pl<br />
�3K � 3K<br />
��E o Eo<br />
� �3 3 , �E� pl � f � Kv<br />
� Kv<br />
pl o<br />
2. ·bra<br />
KÈplÈkeny, egyens˙lyi<br />
� 2GE<br />
� 2G<br />
� 2G<br />
E � E<br />
� pl �� f �<br />
�3K � 3K<br />
��E � E �<br />
2. ANYAGT÷RV…NY EGYTENGELY¤ FESZ‹LTS…G¡LLAPOTBAN<br />
Egytengely˚ fesz¸ltsÈg·llapotban egyetlen skal·regyenlettel csak a (rugalmas, Ès a<br />
kÈplÈkeny) egyens˙lyi ·llapotban ÌrhatÛ fel az anyagtˆrvÈny. Ugyanis nemegyens˙lyi<br />
�<br />
T<br />
T<br />
eq<br />
eq<br />
o<br />
� 3KE<br />
o<br />
�<br />
pl<br />
o<br />
of<br />
�E �ij , �Eo �ij 149
(idıf¸ggı ñ reolÛgiai) esetben a hosszir·ny˙ Ès keresztir·ny˙ fajlagos ny˙l·sok<br />
h·nyadosa az idı f¸ggvÈnyÈben nem ·llandÛ.<br />
Az egytengely˚ ·llapotn·l alkalmazott jelˆlÈsek:<br />
F � �<br />
D �<br />
150<br />
�<br />
ij<br />
ij<br />
�<br />
�<br />
o<br />
�<br />
0<br />
0<br />
1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
�<br />
0<br />
1<br />
m<br />
0<br />
0<br />
0 ,<br />
0<br />
�<br />
o<br />
0<br />
0<br />
1<br />
� o � � ,<br />
3<br />
1<br />
m<br />
� ,<br />
E � D � � I � � � � � : � s<br />
ij<br />
ij<br />
T � F ��<br />
I � � ��<br />
�<br />
m � 2<br />
� o � � ,<br />
3m<br />
ij<br />
m �1<br />
�<br />
3m<br />
2<br />
0<br />
0<br />
o<br />
0<br />
�1<br />
0<br />
0<br />
0 �.<br />
�1<br />
ij<br />
o<br />
ij<br />
: � s<br />
(a) Rugalmas, reverzibilis, egyens˙lyi esetben a T � 2GE, To<br />
� 3KEo<br />
ˆsszef¸ggÈsbe tˆrtÈnı behelyettesÌtÈssel az anyagegyenlet<br />
� � E�<br />
alak˙ra egyszer˚sˆdik, ahol<br />
9KG<br />
m �1<br />
m � 2 2G<br />
6K<br />
6K<br />
� 2G<br />
E : � � 2G<br />
: � 3K<br />
, m � � � .<br />
3K<br />
� G m m E � 2G<br />
3K<br />
� E 3K<br />
� 2G<br />
(b) Rugalmas-kÈplÈkeny egyens˙lyi esetben a<br />
eq<br />
rev<br />
ij<br />
�<br />
1<br />
3<br />
2<br />
0<br />
0<br />
0<br />
�1<br />
0<br />
rev<br />
0<br />
0<br />
�1<br />
eq<br />
�2G � 2G<br />
��E � E �, T � 3KE<br />
� �3K � 3K<br />
��E �<br />
T � 2 � E<br />
GE �<br />
pl f o<br />
o<br />
pl o of<br />
ˆsszef¸ggÈsbe tˆrtÈnı behelyettesÌtÈssel az anyagtˆrvÈny<br />
alak˙ lesz, ahol<br />
� E� � �E � E pl ��� � f �,<br />
ill. � � E pl�<br />
� �E � E pl �� f<br />
� �<br />
9KG<br />
9K<br />
plG<br />
pl<br />
E : � , E pl : �<br />
.<br />
3K<br />
� G 3K<br />
� G<br />
A kettı egy¸tt, az egysÈges egyens˙lyi anyagtˆrvÈny:<br />
(c) Rugalmas, reolÛgiai esetben a<br />
T<br />
pl<br />
�E � E ��� �<br />
� � E� � � � � .<br />
�� T�<br />
� 2GE � 2�E�<br />
, T ��<br />
T�<br />
� 3KE<br />
� 3K<br />
E�<br />
o<br />
egyenletbe tˆrtÈnı behelyettesÌtÈsnÈl m·r nem haszn·lhatjuk fel az � � ��<br />
/ m<br />
ˆsszef¸ggÈst, ugyanis ekkor m·r m � ��<br />
/ � k � const , ezÈrt az egytengely˚<br />
anyagegyenlet<br />
pl<br />
o<br />
o<br />
f<br />
pl<br />
o<br />
v<br />
o<br />
k<br />
,
ahol az anyag·llandÛk:<br />
E<br />
E<br />
k<br />
9GK<br />
: � ,<br />
3K<br />
� G<br />
6EK<br />
: � ,<br />
E � 3K<br />
� � ���<br />
� E�<br />
� � � � ,<br />
� � � ��<br />
� E � � � � � ,<br />
k<br />
�<br />
�<br />
k<br />
k<br />
k<br />
k<br />
9�K<br />
: � ,<br />
3K<br />
� G<br />
6�K<br />
: � ,<br />
E � 3K<br />
k<br />
�<br />
�<br />
k<br />
3K�<br />
��<br />
: � ,<br />
3K<br />
� G<br />
� � 3K�<br />
: � .<br />
E � 3K<br />
Innen kiolvashatÛ, hogy milyen feltÈtel teljes¸lÈse esetÈn zsugorodik a 2 egyenlet<br />
eggyÈ. Ha<br />
akkor o o<br />
Kv K<br />
o � ��<br />
T � 3KE , s ekkor a klasszikus POYNTING-THOMSON-testhez jutottunk, amelynÈl<br />
a tÈrfogati deform·ciÛk kÈsÈse megegyezik a tÈrfogati relax·ciÛval, Ìgy a tÈrfogatv·ltoz·s<br />
idıtıl f¸ggetlennek t˚nik. Ekkor az anyagegyenlet m·r egyetlen egyenletbıl ·ll:<br />
0 ,<br />
� � ���<br />
� E � � � � � .<br />
(d) Rugalmas-kÈplÈkeny, reolÛgiai esetben ekkor az anyagtˆrvÈny:<br />
��E � E ��� � � �� �� � ��<br />
�<br />
� � ��<br />
� E� � � � � � �<br />
� � .<br />
� pl f<br />
pl<br />
3. ¡LTAL¡NOS ANYAGT÷RV…NY ALKALMAZ¡SA M…RN÷KI FELADATOK<br />
MEGOLD¡S¡N¡L<br />
A legbonyolultabb rugalmas-kÈplÈkeny reolÛgiai feladat is megoldhatÛ az eddig<br />
t·rgyalt ismeretek t¸krÈben, egyszer˚ rugalmass·gtani megold·sok alapj·n. Erre<br />
konkrÈt pÈld·kat a f¸ggelÈk ismertet kˆrszelvÈny˚ v·gatok esetÈre.<br />
A kˆvetkezıkben elvileg kˆvetj¸k vÈgig az egyes lÈpÈseket.<br />
Egy kontinuummechanikai feladatot kˆzismerten megoldottnak tekint¸nk, ha<br />
ismerj¸k az<br />
�r, t�<br />
F � F - fesz¸ltsÈgmezıt, mint a hely Ès idı f¸ggvÈnyÈt, vagyis a fesz¸ltsÈg-<br />
�r, t�<br />
·llapotot a test minden pontj·ban, minden idıpillanatban, a<br />
D � D - deform·ciÛmezıt; az<br />
�r, t�<br />
u � u - elmozdul·smezı pedig sz·mÌthatÛ az ˙n. geometriai egyenletbıl, a D Ès<br />
u kˆzˆtti definÌciÛs egyenletbıl.<br />
151
A mezıf¸ggvÈnyek meghat·roz·s·hoz ismern¸nk kell az anyagtˆrvÈnyt, illetve a<br />
benne szereplı anyag·llandÛk ÈrtÈkÈt, s rendelkezÈs¸nkre ·llnak ñ az illusztr·ciÛ<br />
kedvÈÈrt most csak statikai feladatra koncentr·lva ñ az al·bbi ˆsszef¸ggÈsek:<br />
Egyens˙lyi egyenlet: f �F� � 0<br />
Anyagegyenlet: f �F, D�<br />
� 0<br />
152<br />
f<br />
f<br />
e � Div F = 0,<br />
a � f �F, F�<br />
, D, D�<br />
, ��<br />
� 0 ,<br />
'<br />
a<br />
o<br />
a<br />
�T, E,<br />
��<br />
� 0<br />
�T , E , ��<br />
� 0<br />
Geometriai egyenlet: f �D, u�<br />
� 0<br />
o<br />
o<br />
�<br />
g �<br />
f<br />
f<br />
'<br />
a<br />
o<br />
a<br />
�u� � �I � u ����<br />
u � I�<br />
I<br />
D � D<br />
� �<br />
�E, E , u�<br />
0<br />
�T, T�<br />
, E,<br />
E�<br />
, ��<br />
� 0,<br />
�T , T�<br />
, E , E�<br />
, ��<br />
� 0,<br />
� , 31<br />
1 1<br />
f g o � � E � D � �D�I, Eo<br />
� tr�D�<br />
I.<br />
o<br />
o<br />
o<br />
o<br />
tr 3<br />
3<br />
K÷VETKEZM…NY: B·rmilyen mechanikai feladat megold·s·n·l elÈgsÈges a<br />
legegyszer˚bb 1. szerinti feladatot ñ ld. 1. ·bra - megoldani, s a tˆbbi m·r ñ legal·bbis<br />
az ·ltalunk vizsg·lt egyszer˚ esetekben - meghat·rozhatÛ. Az al·bb v·zolt megold·si<br />
stratÈgi·t remÈnyeink szerint sokkal ·ltal·nosabb kˆr¸lmÈnyek kˆzˆtt is sikeresen<br />
alkalmazhatjuk.<br />
¡ltal·ban a mechanikai feladat megold·sa azt jelenti, hogy meghat·rozzuk az<br />
�r, t,<br />
��<br />
�r, t,<br />
��<br />
�r, t,<br />
��<br />
�r, t,<br />
��<br />
� To<br />
�r, t,<br />
��<br />
�<br />
�<br />
�r, t,<br />
��<br />
� E �r, t��<br />
�<br />
u�r,<br />
t,<br />
��<br />
�<br />
�<br />
� F � � T<br />
� � �<br />
M �r, t�<br />
� � D � � � E<br />
o .<br />
� � �<br />
� u � �<br />
mechanikai mezıt, adott kezdeti Ès ker¸leti feltÈtelek mellett, az<br />
�f<br />
��<br />
�<br />
��<br />
L = � � � �<br />
� � � �<br />
T<br />
�f<br />
g D � H u H u � I�<br />
�<br />
f F � F D,<br />
�<br />
��<br />
e<br />
a<br />
F�<br />
� 0<br />
mechanikai alapegyenletek megold·s·val [M � L], vagy m·s szÛval: az L ÈrtelmezÈsi<br />
tartom·nyon.<br />
Vegy¸k sorba a lehetsÈges eseteket.<br />
A REOL”GIAI MEGOLD¡S A RUGALMAS TARTOM¡NYON. Ekkor a � = 0 korl·toz·s˙<br />
anyagtˆrvÈnnyel van dolgunk. Legyen a kiindul·s a rugalmas egyens˙ly [1], s keress¸k<br />
a mechanikai mezı alakul·s·t a 0 � t � � idıintervallumon [1�2].<br />
31<br />
Kis deform·ciÛk esetÈn D 1 �u � � � � � u�<br />
� 2<br />
.<br />
�
Ekkor az alapegyenletek:<br />
�<br />
�f<br />
�<br />
�<br />
�<br />
L = �f<br />
�<br />
�<br />
�f<br />
��<br />
e<br />
g<br />
a<br />
� T �<br />
�<br />
F�<br />
� �<br />
�<br />
�<br />
��<br />
� 0<br />
�<br />
� To<br />
�<br />
�<br />
�E<br />
� E �u� �<br />
�<br />
D � �<br />
� .<br />
�Eo<br />
� Eo<br />
�u� �<br />
�T<br />
� 2GE<br />
� 2�<br />
E�<br />
��<br />
T�<br />
�<br />
F � �<br />
�<br />
�To<br />
� 3KEo<br />
� 3K<br />
Eo<br />
��<br />
oT�<br />
v<br />
o ��<br />
Elsı lÈpÈs: Megoldjuk a feladatot a klasszikus HOOKE-tˆrvÈny [ T � 2GE, To<br />
� 3KEo<br />
]<br />
felhaszn·l·s·val, s tudjuk, hogy az ·ltal·nos megold·s ehhez konverg·l a t � �<br />
esetben. Ezzel teh·t rendelkezÈs¸nkre ·ll az<br />
megold·s.<br />
�r, ��<br />
� F<br />
�<br />
� � D<br />
� u<br />
�<br />
� �<br />
� �<br />
� � � �<br />
� � � �<br />
r T � T �<br />
o<br />
� �� � � ��<br />
r � � � E � E �<br />
� � �<br />
r u<br />
�<br />
M � M<br />
�<br />
�<br />
o<br />
�<br />
M·sodik lÈpÈs: Sz¸ksÈg van mÈg a t = 0 idıpontbeli megold·sra is. Ehhez meg kell<br />
hat·roznunk a t = 0 idıpontban ÈrvÈnyes HOOKE-tˆrvÈnyt. Pl. fˆldalatti ¸regnyit·sn·l<br />
ezt ·ltal·ban vÈgtelen gyors terhelÈs-·trendezÈsnek tekintj¸k, s ebben az esetben a<br />
HOOKE-tˆrvÈny anyag·llandÛi mÛdosulnak csak [ T �2 / �E, To<br />
� / v �E o K K �<br />
� �<br />
�<br />
��<br />
�<br />
� ]<br />
form·ban. (Azt is mondhatjuk, hogy a statikai modulusok helyett a dinamikai<br />
modulusokat haszn·ljuk.) Az ismÈtelt sz·mÌt·ssal megkapjuk az<br />
megold·st.<br />
M<br />
0<br />
� M<br />
�r, 0�<br />
� F<br />
�<br />
� � D<br />
� u<br />
�<br />
0<br />
0<br />
0<br />
�<br />
�<br />
� �<br />
� �<br />
� � � �<br />
0 0<br />
r � T � To<br />
� ��<br />
0 0 ��<br />
r � � � E � Eo<br />
�<br />
� � 0<br />
r u<br />
Az ·ltal·nos megold·s az elızı kÈt megold·s ˆsszekapcsol·s·bÛl, az<br />
·tviteli f¸ggvÈnnyel adÛdik:<br />
��it<br />
e<br />
�<br />
��<br />
�<br />
153
p<br />
0<br />
0<br />
0<br />
2p<br />
�<br />
1<br />
� t �<br />
� � 0 �<br />
T � T � �T � T �e<br />
� , �<br />
�<br />
�<br />
1<br />
�<br />
� t �<br />
� � 0 � �<br />
To<br />
� To<br />
� �To � T �e<br />
o<br />
o �<br />
�<br />
�<br />
G<br />
�<br />
�<br />
� t<br />
�<br />
�<br />
� 0 � �<br />
� E � E � �E � E �e<br />
, �<br />
�<br />
K �<br />
�<br />
� t<br />
� 0 � K �<br />
� E o � E o � �E o � E o �e<br />
v , �<br />
�<br />
G �<br />
�<br />
� t<br />
� 0 � � �<br />
� u � u � �u � u �e<br />
. �<br />
��<br />
��<br />
form·ban, amely a POYNTING-THOMSON-modell differenci·legyenletÈnek megold·s·bÛl<br />
vezethetı le.<br />
A mellÈkelt 3. ·br·val illusztr·ln·nk az elmondottakat, ahol p nyom·s˙<br />
hidrosztatikus primÈr fesz¸ltsÈgmezıben kihajtott R sugar˙ v·gat kˆr¸li mechanikai<br />
mezıt l·tjuk (levezetÈsek a F¸ggelÈkben tal·lhatÛk).<br />
p /2G<br />
-p/2G<br />
154<br />
s j<br />
s r<br />
e j<br />
e r<br />
u<br />
0,0R 0,5R 1,0R 1,5R 2,0R<br />
p<br />
0<br />
0<br />
0<br />
2p<br />
s j<br />
s r<br />
e r<br />
u<br />
0,0R 0,5R 1,0R 1,5R 2,0R<br />
2p<br />
-p/2G<br />
p<br />
0<br />
p /2G<br />
p t /2h<br />
-p t /2h<br />
0<br />
pR /2G<br />
p t R /2h<br />
Az ¸reg fal·tÛl mÈrt t·vols·g az R v·gatsug·r ar·ny·ban<br />
0<br />
s j<br />
s r<br />
e j<br />
e r<br />
u<br />
0,0R 0,5R 1,0R 1,5R 2,0R<br />
3. ·bra. A mechanikai mezı (a) ñ a vÈgsı( t � � ) ·llapotban, (b) ñ a kezdeti (t = 0<br />
idıpontban) ·llapotban, Ès (c) ñ a 0 � t � � idıtartam sor·n
Ro<br />
�<br />
R<br />
A 4. ·bra azt az esetet<br />
mutatja a kezdeti Ès vÈgsı ·llapotban,<br />
amikor a v·gatba egy<br />
Ro sugar˙, R - Ro falvastags·g˙<br />
biztosÌt·s ker¸lt beÈpÌtÈsre.<br />
.<br />
A reolÛgiai mechanikai<br />
mezı meghat·roz·si mÛdja<br />
f¸ggetlen a feladat jellegÈtıl.<br />
4. ·bra<br />
A MECHANIKAI MEZ’ EGYENS⁄LY ESET…N. Ekkor a � ≠ 0, Ès A � 0 � korl·toz·s˙<br />
anyagtˆrvÈnnyel van dolgunk., vagyis klasszikus rugalmas-kÈplÈkeny feladattal. A<br />
kiindul·s most is a rugalmas egyens˙ly [1], s keress¸k a kÈplÈkeny egyens˙lyt[1�3].<br />
Elsı lÈpÈs: Megoldjuk a feladatot a m·r ismert mÛdon klasszikus HOOKE-tˆrvÈny<br />
[ T 2GE, To<br />
� 3KEo<br />
� ] felhaszn·l·s·val. A mechanikai ·llapotv·ltozÛk ebben az<br />
esetben idıf¸ggetlenek:<br />
�r� �r� �r� � elast � � elast<br />
F<br />
T � To<br />
elast � elast � � elast<br />
M � M�r�<br />
� � D � � � E � Eo<br />
� elast � � elast<br />
u<br />
u<br />
� � �<br />
M·sodik lÈpÈs: Meghat·rozzuk a kÈplÈkenytartom·nybeli megold·st a � = 1 esetre<br />
ÈrvÈnyes anyagtˆrvÈnnyel. Ezt kÈtfÈlekÈppen tehetj¸k, mivel a deform·ciÛknak kÈtfÈle<br />
felÌr·si mÛdja is lehet:<br />
E<br />
D � E � Eo<br />
, amelyben<br />
E<br />
o<br />
� E<br />
� E<br />
f<br />
of<br />
� E<br />
� E<br />
plast<br />
plast<br />
o<br />
� E<br />
� E<br />
elast<br />
elast<br />
rev<br />
rev<br />
o<br />
(a) Meghat·rozzuk a megold·st a plasztikus anyagtˆrvÈnnyel:<br />
T<br />
T<br />
� �<br />
o<br />
� T<br />
f<br />
� T<br />
( t � �)<br />
� � ( t � 0)<br />
� ( t � �)<br />
�<br />
r<br />
of<br />
� � ( t �<br />
� 2G<br />
� 3K<br />
0)<br />
( t � �)<br />
pl<br />
pl<br />
�<br />
�<br />
� .<br />
�<br />
�<br />
� E<br />
� E<br />
maradÛ<br />
maradÛ<br />
o<br />
plast<br />
plast<br />
�E � E f �,<br />
T � 2G<br />
plE<br />
,<br />
plast<br />
plast<br />
�E � E � , T � 3K<br />
E .<br />
o<br />
of<br />
Az elızı megold·sbÛl rendelkezÈs¸nkre ·ll a<br />
�<br />
� r ( t �<br />
0)<br />
o<br />
r<br />
pl<br />
o<br />
,<br />
.<br />
155
156<br />
E f Eof<br />
W f � d d 1<br />
� T : E � � To<br />
: Eo<br />
�<br />
2 f f of<br />
of<br />
0<br />
0<br />
�T : E � T : E �<br />
kÈplÈkenysÈgi hat·rhoz tartozÛ fesz¸ltsÈg Ès deform·ciÛ: f f o f of<br />
, , , E T E T konkrÈt<br />
ÈrtÈke. Õgy voltakÈpp az elsı feladatnak megfelelıen j·runk el, csak most a plasztikus<br />
anyag·llandÛkat alkalmazzuk, nem elfelejtve, hogy csak a kÈplÈkeny tartom·nyra<br />
ÈrvÈnyes eredmÈnyt kapunk:<br />
�r� �r� �r� � plast � � plast<br />
F<br />
T � To<br />
plast plast � plast � � plast<br />
M � M �r� � � D � � � E � Eo<br />
� plast � � plast<br />
u<br />
u<br />
� � �<br />
plast<br />
plast<br />
�<br />
� ' '<br />
� , ha W � W f .<br />
�<br />
�<br />
Ekkor a rugalmas tartom·nyban az M = M elast az ÈrvÈnyes megold·s, s a kÈplÈkeny<br />
tartom·nyban pedig az M = Mf + M plast .<br />
M<br />
�r� ( a)<br />
�<br />
�<br />
�M<br />
�<br />
�<br />
� �<br />
�<br />
�M<br />
�<br />
�<br />
�<br />
elast<br />
f<br />
� M<br />
plast<br />
�F<br />
�<br />
� �D<br />
�u<br />
�<br />
�F<br />
��<br />
� �D<br />
�<br />
�u<br />
�<br />
elast<br />
elast<br />
elast<br />
f<br />
f<br />
f<br />
,<br />
,<br />
,<br />
� F<br />
� D<br />
� u<br />
plast<br />
plast<br />
,<br />
plast<br />
,<br />
,<br />
ha<br />
ha<br />
W<br />
W<br />
'<br />
'<br />
� W<br />
� W<br />
(b) A m·sik lehetısÈg, hogy az elsı megold·s alapj·n sz·mÌtott f f o f of<br />
, , , E T E T<br />
ÈrtÈkekbıl meghat·rozzuk a maradÛ deform·ciÛkat az E � E � E , Ès<br />
m<br />
o<br />
o<br />
rev<br />
o<br />
E � E � E ˆsszef¸ggÈsnek megfelelıen, azaz<br />
m � G pl �<br />
E �1<br />
�<br />
�<br />
� �E � E f �,<br />
G �<br />
� �<br />
m � pl �<br />
� E � � ��E<br />
� �<br />
m<br />
K<br />
o �<br />
�<br />
1 o Eof<br />
K �<br />
.<br />
� �<br />
Vagyis a kÈplÈkeny tartom·ny minden r pontj·n·l az ott ÈrvÈnyes rugalmas<br />
deform·ciÛkhoz hozz·adjuk, az ott ÈrvÈnyes maradÛ deform·ciÛkat.<br />
A kÈt mÛdszer:<br />
M<br />
�r� ( b)<br />
�<br />
�<br />
�M<br />
��<br />
� �<br />
�<br />
�M<br />
�<br />
��<br />
elast<br />
elast<br />
� M<br />
plast<br />
�F,<br />
�<br />
� �D<br />
�<br />
�u<br />
�F,<br />
�<br />
� �D<br />
�<br />
�u<br />
elast<br />
elast<br />
elast<br />
elast<br />
,<br />
,<br />
� D<br />
� u<br />
m<br />
m<br />
,<br />
,<br />
ha<br />
ha<br />
W<br />
W<br />
'<br />
'<br />
'<br />
f<br />
'<br />
f<br />
� W<br />
� W<br />
,<br />
.<br />
'<br />
f<br />
'<br />
f<br />
,<br />
.<br />
rev
elmozdul·s deform·ciÛk fesz¸ltsÈgeloszl·s<br />
Az 5. ·br·n ezt illusztr·ljuk a kˆrszelvÈny˚ v·gat pÈld·j·val. Az (a) annyiban tÈr el<br />
ettıl kÈpileg, hogy a kÈplÈkeny tartom·nyban egy konstans, azaz vÌzszintes egyenes<br />
adja a foly·shat·rhoz tartozÛ fesz¸ltsÈg-, deform·ciÛ- Ès elmozdul·sÈrtÈkeket, s ehhez<br />
adÛdnak a<br />
ÈrtÈkek.<br />
2p<br />
p<br />
0<br />
0<br />
pR/ 2G<br />
0<br />
p/ 2G<br />
-p/ 2G<br />
s j<br />
s r<br />
e j<br />
e r<br />
u<br />
�<br />
plast<br />
�<br />
plast plast plast plast<br />
�r� � �r�, � �r�, � �r�, u �r� W = Wf<br />
0,0R 0,5R 1,0R 1,5R 2,0R<br />
, r<br />
�<br />
�<br />
s j<br />
e j<br />
e r<br />
u<br />
0,0R 0,5R 1,0R 1,5R 2,0R<br />
(a) (b-1) (b-2)<br />
Az ¸reg fal·tÛl mÈrt t·vols·g az R v·gatsug·r ar·ny·ban<br />
s j<br />
e j<br />
e r<br />
u<br />
0,0R 0,5R 1,0R 1,5R 2,0R<br />
5. ·bra. A mechanikai mezı az ¸reg fal·tÛl mÈrt t·vols·g az R v·gatsug·r ar·ny·ban<br />
(a) - rugalmas ·llapotban, (b) ñ rugalmas kÈplÈkeny ·llapotban, (b-1) - foly·shat·r Ès a<br />
plasztikus deform·ciÛk ˆsszesen), (b-2) - a rugalmas Ès maradÛ deform·ciÛk egy¸ttesen<br />
157
e lm o zd u l· s d e fo rm · ciÛ k fe sz¸ ltsÈ g e lo szl· s<br />
2p<br />
p<br />
0<br />
0<br />
0<br />
AZ ¡LTAL¡NOS ESET. Az elızı kÈt esetbıl - [1�2] Ès [1�3] - m·r levezetÈs nÈlk¸l<br />
is evidensen kˆvetkezik az [1�4] esetre, azaz az ·ltal·nos esetre vonatkozÛ megold·s<br />
elı·llÌt·sa.<br />
158<br />
s j<br />
s r<br />
e j<br />
e r<br />
kÈplÈkenysÈgi hat·r a<br />
t = 0 kezdı ·llapotban<br />
u<br />
0,0R 0,5R 1,0R 1,5R 2,0R<br />
2p<br />
p<br />
0<br />
0<br />
0<br />
s j<br />
s r<br />
e j<br />
e r<br />
kÈplÈkenysÈgi hat·r a<br />
t � � vÈg·llapotban<br />
u<br />
0,0R 0,5R 1,0R 1,5R 2,0R<br />
Az ¸reg fal·tÛl mÈrt t·vols·g az R v·gatsug·r ar·ny·ban<br />
2p<br />
p<br />
0<br />
0<br />
0<br />
s j<br />
s r<br />
e j<br />
e r<br />
u<br />
0,0R 0,5R 1,0R 1,5R 2,0R<br />
6. ·bra. A mechanikai mezı (a) ñ a kezdeti (t = 0 idıpontban) ·llapotban, (b) ñ a vÈgsı<br />
( t � � ) ·llapotban, Ès (c) ñ a 0 � t � � idıtartam sor·n<br />
A 6. ·bra a kÈt sz·mÌt·si lÈpÈst Ès a vÈgeredmÈnyt mutatja be.
A 7. ·br·n a kÈplÈkenysÈgi hat·ridıbeli v·ndorl·sa ñ a kÈplÈkeny ·llapot<br />
kifejlıdÈse - l·thatÛ.<br />
0<br />
0<br />
A kÈplÈkenysÈgi hat·r v·ndorl·sa<br />
az ¸regnyit·stÛl a deform·ciÛk<br />
lej·tszÛd·s·ig<br />
e j<br />
e r<br />
0,0R 0,5R 1,0R 1,5R<br />
Az ¸reg fal·tÛl mÈrt t·vols·g az R ar·ny·ban<br />
7.·bra<br />
u<br />
159
160<br />
F‹GGEL…K<br />
K÷RSZELV…NY¤ ALAG⁄T K÷R‹LI MECHANIKAI MEZ’<br />
1. A FELADAT EL’K…SZÕT…SE …S MEGFOGALMAZ¡SA<br />
KIINDUL¡SI FELT…TELEK. A feladat egy hidrosztatikus, minden ir·nyban ·llandÛ p<br />
nyom·s˙, primer mezıben kihajtott kˆrszelvÈny˚, nyitott folyosÛ (v·gat) kˆr¸li<br />
mechanikai mezı meghat·roz·sa (1. ·bra). A megfogalmaz·s szerint teh·t az adott<br />
hidrosztatikus ·llapothoz kell keresni egy olyan, m·sik mechanikai mezıt, hogy ezeket<br />
szuperpon·lva, a kit˚zˆtt feladat megold·s·t kapjuk.<br />
p<br />
R<br />
0<br />
p<br />
1. ·bra. KˆrszelvÈny˚ v·gat hidrosztatikus<br />
nyom·s˙ primÈr mezıben<br />
y<br />
r<br />
P<br />
�<br />
p<br />
p<br />
r<br />
x<br />
A feladat Ès annak megold·sa a<br />
szil·rds·gtanban, illetve a kızetmechanik·ban<br />
kissÈ j·rtas olvasÛ sz·m·ra is ismert,<br />
mint a vastagfal˙, hossz˙, nyitott csıre<br />
vonatkozÛ feladat egyik v·ltozata, mely<br />
szerint a csı k¸lsı pal·stja a vÈgtelenben van,<br />
Ès erre p intenzit·s˙ radi·lis ir·ny˙ nyom·s<br />
hat, a belsı pal·st pedig terheletlen. Ezt a<br />
kˆzelÌtÈst fogjuk alkalmazni. A megold·s<br />
bizonyos rÈszleteit ·tvehetnÈnk onnan is,<br />
ennek ellenÈre ink·bb a rÈszletesebb<br />
bemutat·s mellett dˆntˆtt¸nk, ugyanis<br />
tanuls·gos rÈszek is vannak benne, amelyek<br />
mellızÈse csorbÌtan· a teljessÈget.<br />
Az egyenes tengely˚, kˆrszelvÈny˚ v·gat<br />
nyit·s·val egy ir·nyt kit¸ntet¸nk. legyen ez a<br />
DESCARTES-koordin·tarendszer z tengelye.<br />
Ugyanakkor a hidrosztatikus terhelÈs egyben kˆrszimmetrikus Ès<br />
tengelyszimmetrikus, a v·gat pedig z tengely˚ kˆrhenger. Mindezek miatt a megold·s<br />
sor·n cÈlszer˚ hengerkoordin·t·kat bevezetni. Ha a hengerkoordin·ta-rendszer z<br />
tengelye Ès a DESCARTES-koordin·tarendszer z tengelye egybeesik, ˙gyszintÈn a kÈt<br />
origÛ is, tov·bb· az x tengely pozitÌv fele Ès a � � 0 tengely, akkor ñ mint ismeretes ñ
az x y,<br />
z<br />
, DESCARTES-fÈle Ès az r , z<br />
ˆsszef¸ggÈsek ·llnak fenn:<br />
,� hengerkoordin·t·k kˆzˆtt az al·bbi<br />
2 2<br />
x � r cos�<br />
� r � x � y �<br />
�<br />
�<br />
�<br />
y �<br />
y � r sin�<br />
� � � � arctg �<br />
�<br />
x �<br />
z � z � z � z.<br />
�<br />
�<br />
�<br />
Kihangs˙lyozzuk, hogy r a tartom·ny P pontj·nak a z tengelytıl (Ès nem az<br />
origÛtÛl) mÈrt t·vols·g·t jelenti.<br />
Az emlÌtett szimmetriaviszonyok miatt a mechanikai mezıben mind az r, mind a<br />
� (tangenci·lis), mind a z ir·nyok fıir·nyok, ezÈrt a cs˙sztatÛfesz¸ltsÈgek Ès a<br />
szˆgtorzul·sok mindegyike nulla. Tov·bb· a fesz¸ltsÈgek csak az r v·ltozÛtÛl<br />
f¸ggenek. Mindezek kˆvetkeztÈben<br />
a fesz¸ltsÈgtenzor:<br />
�<br />
r<br />
0<br />
0<br />
F � 0 � � 0 ,<br />
0 0 �<br />
z<br />
az alakv·ltoz·si tenzor:<br />
D �<br />
�<br />
r<br />
0<br />
0<br />
�<br />
0<br />
�<br />
0<br />
�<br />
0<br />
0<br />
z<br />
,<br />
az elmozdul·svektor:<br />
u<br />
r<br />
z<br />
u<br />
u<br />
u � u�<br />
: � v � 0<br />
u w w<br />
alak˙ lesz. Az r u u � : , v : � u�<br />
� 0 , z u w � : jelˆlÈseket cÈlszer˚sÈgi okokbÛl vezett¸k be.<br />
A rugalmass·gtan alapegyenletei ennek megfelelıen egyszer˚sˆdnek, Ès Ìgy a<br />
megold·s is egyszer˚sˆdik. Feladatunk megold·s·hoz teh·t az al·bbi egyenleteket<br />
haszn·ljuk fel:<br />
(1) Egyens˙lyi egyenletek:<br />
��<br />
� r ��<br />
r<br />
�<br />
� � 0, �r<br />
r<br />
��<br />
�<br />
� 0,<br />
��<br />
��<br />
z<br />
�z<br />
� 0;<br />
;<br />
(2) Geometriai egyenletek:<br />
(3) Anyagegyenletek:<br />
�u<br />
� r � ,<br />
�r<br />
u<br />
� � � ,<br />
r<br />
�w<br />
�<br />
�z<br />
� z ; 32<br />
� � r � ��<br />
� � z �<br />
� r � 2G��<br />
r �<br />
�,<br />
� m � 2 �<br />
� � r � ��<br />
� � z �<br />
��<br />
� 2G��<br />
� �<br />
�,<br />
� m � 2 �<br />
� � r � ��<br />
� � z �<br />
� z � 2G��<br />
z �<br />
�.<br />
� m � 2 �<br />
32 Itt kell megjegyezni, hogy ezek az egyenletek a CAUCHY-fÈle deform·ciÛs tenzor definÌciÛs<br />
ˆsszef¸ggÈsei. Mivel a mozg·sgradiens ennÈl a feladatn·l szimmetrikus, ezÈrt ezek az ˆsszef¸ggÈsek nem<br />
csak a kis deform·ciÛk tartom·ny·ban Èrtelmezhetı kˆzelÌtÈsek, hanem tetszıleges nagys·grend˚<br />
deform·ciÛk esetÈn pontos ñ teh·t nem kˆzelÌtı ñ formul·k.<br />
�<br />
�<br />
�<br />
��<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
��<br />
161
(4)<br />
162<br />
A (3) alatti (HOOKE-tˆrvÈny) egyenleteket a deform·ciÛkra megoldva:<br />
m � ��<br />
� � z �<br />
� r � ��<br />
r � �,<br />
2G(<br />
m �1)<br />
� m �<br />
m � � r � � z �<br />
��<br />
� ��<br />
� �<br />
�<br />
�,<br />
2G(<br />
m 1)<br />
� m �<br />
m � � r � ��<br />
�<br />
� z � ��<br />
z � �.<br />
2G(<br />
m �1)<br />
� m �<br />
Mint l·thatÛ, a 9 skal·r egyenletben 9 skal·r ismeretlen van ( � r � � � z , , ,<br />
� , � � , � , u,<br />
v,<br />
w)<br />
, mÌg G a cs˙sztatÛ rugalmass·gi modulus, m pedig a POISSON-<br />
r<br />
z<br />
sz·m ( m � 2)<br />
adott (anyag-) ·llandÛk. EgyÈrtelm˚ megold·shoz teh·t mÈg egy<br />
egyenletet, vagy egy feltÈtelt meg kell adni. A feladat teh·t egyÈrtelm˚en megoldhatÛ,<br />
de termÈszetesen sz¸ksÈges mÈg bizonyos peremfeltÈtelek megad·sa is.<br />
A megold·st illetıen jelen esetben az l·tszik cÈlszer˚nek, Ès a megfogalmaz·s is ezt<br />
sugallja, hogy a feladatot bontsuk fel az al·bbi kÈt feladatra:<br />
ELS’ FELADAT [AZ ’SFESZ‹LTS…GI, VAGY PRIMER ¡LLAPOT SZ¡MÕT¡SA]. Meghat·rozandÛ<br />
egy hidrosztatikus, minden ir·nyban ·llandÛ p intenzit·s˙ nyom·ssal 33<br />
terhelt, vÈgtelen tartom·ny mechanikai ·llapota (2. ·bra). Az ehhez tartozÛ mechanikai<br />
mezıt hÌvjuk primÈr mezınek, s az F p , D p , u p jelˆlÈseket alkalmazzuk.<br />
p<br />
p<br />
p<br />
2. ·bra. Primer ·llapot˙, v·gat nÈlk¸li mezı<br />
y<br />
R<br />
p<br />
p<br />
x<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
3. ·bra. KˆrszelvÈny˚ v·gat, peremÈn<br />
ñp intenzit·s˙ h˙zÛterhelÈssel<br />
33 A fizik·ban Ès a kontinuummechanik·ban a p nyom·s mindig negatÌv (p < 0), de a kızetmechanika<br />
konvencion·lisan a nyom·st tekinti pozitÌvnak. Ezen ok miatt, hogy b·rmelyik szakter¸let kÈpviselıjÈnek<br />
Èrtelmezhetıek legyenek a levezetett kÈpletek, p alatt elıjeltıl f¸ggetlen¸l a nyom·s, vagy h˙z·s<br />
intenzit·s·t (nagys·g·t) Èrtj¸k. Õgy nem okozhat gondot a deform·ciÛkban, illetve elmozdul·sokban az<br />
elıjelv·lt·s.<br />
- p<br />
y<br />
R<br />
x
M¡SODIK FELADAT [AZ ‹REGNYIT¡S HAT¡S¡NAK SZ¡MÕT¡SA]. Meghat·rozandÛ<br />
annak az R sugar˙ kˆrhengerrel ·tf˙rt vÈgtelen tartom·nynak a mechanikai ·llapota,<br />
amelyet a henger pal·stj·n p intenzit·s˙, radi·lis ir·ny˙ h˙zÛerı terhel (3. ·bra). Ezt az<br />
·llapotot hÌvjuk kiegÈszÌtı, vagy ¸regnyit·si ·llapotnak, s a mezıf¸ggvÈnyeket F * , D * ,<br />
u * form·ban jelˆlj¸k.<br />
Az elsı feladat megold·s·nak a fesz¸ltsÈgekre vonatkozÛ rÈsze nyilv·n<br />
� � � � � � � p a tÈr b·rmely pontj·n. Õgy � p azon kÈpzeletbeli<br />
r<br />
z<br />
hengerpal·ston is, amelynek tengelye a z tengely, sugara pedig R. Ezt a hengerpal·stot<br />
teh·t p nyom·s terheli. A 2. ·br·n ezt pontozva jelˆlt¸k.<br />
A v·gatnyit·s ut·n ez a hengerpal·st (a belsı fel¸letÈn) szabadd· v·lik, ezÈrt ott<br />
� � 0 lesz. Ez ˙gy valÛsulhat meg, ha a hidrosztatikus ·llapotra egy olyan ·llapotot<br />
r<br />
szuperpon·lunk, amely ezen a hengerpal·ston p intenzit·s˙ h˙zÛerıt kÈpvisel. 34 A 3.<br />
·br·n ezt ·br·zoltuk. (Õgy lesz a p nyomÛerı Ès a -p h˙zÛerı ˆsszege nulla). Ez<br />
indokolja a 2. feladat megfogalmaz·s·t. Mivel ebben a feladatban a vÈgtelen<br />
tartom·nyra csak a p intenzit·s˙ h˙zÛerı hat, Ès ez csak vÈges ( 2 R�<br />
) hossz˙s·g˙<br />
szakaszon (peremen), ezÈrt ennek hat·sa a v·gattÛl nagy t·vols·gra gyakorlatilag<br />
elenyÈszik.<br />
Ha a henger belsejÈbıl elt·volÌtan·nk az anyagot, de a peremen Ès a vÈgtelenben<br />
meghagyn·nk a p nyom·st, akkor a keletkezı r � R tartom·ny b·rmely pontj·ban<br />
� � � � � � � p fesz¸ltsÈg m˚kˆdne (merÌts¸k vÌzbe a tartom·nyt!). Ez az r � R<br />
r<br />
z<br />
tartom·ny teh·t mechanikai szempontbÛl egyenÈrtÈk˚ az eredeti vÈgtelen tartom·ny<br />
r � R rÈszÈvel (az adott terhelÈsek mellett). EzÈrt a fenti eredeti feladat helyett erre a<br />
ÑcsonkÌtottî tartom·nyra vonatkozÛ feladatot is vehetj¸k, ahol az R sugar˙ kˆrˆn Ès a<br />
vÈgtelenben egyar·nt p intenzit·s˙, radi·lis ir·ny˙ nyomÛerı m˚kˆdik. Ez azzal az<br />
elınnyel j·r, hogy ez utÛbbi feladathoz Ès a m·sodik feladathoz tartozÛ ÈrtelmezÈsi<br />
tartom·ny azonos lesz ( r � R ), Ìgy a szuperpozÌciÛnak elvi akad·lya sincs.<br />
A kÈt feladat megold·s·nak шsszegeî az eredeti feladat megold·sa lesz, amelyet<br />
szekunder ·llapotnak hÌvunk:<br />
secunder<br />
u : � u � u � u .<br />
p<br />
*<br />
secunder<br />
F : � F � F � F<br />
p<br />
*<br />
,<br />
r �<br />
secunder<br />
D : � D � D � D ,<br />
Megjegyezz¸k, hogy sz·munkra a m·sodik feladat megold·sa a lÈnyeges, hiszen<br />
elsısorban a v·gatnyit·s kˆvetkeztÈben elı·llÛ v·ltoz·sok Èrdekelnek benn¸nket.<br />
34 Ne felejts¸k el, hogy a szuperpozÌciÛ csak homogÈn-line·ris anyagtˆrvÈny esetÈn lehetsÈges, sem<br />
reolÛgiai, sem kÈplÈkeny esetben m·r nem. (Helyesebben nem egyszer˚ ˆsszead·s rÈvÈn, hanem<br />
valamivel bonyolultabb szuperpozÌciÛs tˆrvÈnnyel.)<br />
p<br />
*<br />
163
164<br />
2. A PRIMER FELADAT MEGOLD¡SA<br />
Tekintettel arra, hogy itt nincs kit¸ntetett ir·ny, a terhelÈsek Ès az anyagegyenletek<br />
szimmetri·i miatt<br />
(5) � � � � � � � p .<br />
(6)<br />
A deform·ciÛk is azonosak, Ìgy a (4) szerint<br />
p<br />
r<br />
p<br />
p<br />
z<br />
p p p p m � 2<br />
� r � � � � � z � .<br />
2G m �1<br />
A (2) geometriai egyenletek szerint pedig<br />
p m<br />
(7) u r<br />
G m<br />
p � 2 p<br />
p m<br />
� , v � 0,<br />
w z<br />
2 �1<br />
G m<br />
p � 2<br />
� .<br />
2 �1<br />
Kˆnny˚ meggyızıdni arrÛl, hogy ezek az ÈrtÈkek kielÈgÌtik az (1)-(4)<br />
egyenletrendszert Ès a � ( � ) � � � ( �)<br />
� � ( �)<br />
� p feltÈteleket, teh·t az (5), (6), (7)<br />
r<br />
valÛban megold·sa az (1) - (4) rendszernek. FigyelemremÈltÛ, hogy az elmozdul·s az<br />
origÛban (azaz r � 0 Ès z � 0 esetÈn) nulla, mikˆzben u Ès w tetszılegesen nagy<br />
lehet. Ebben az esetben teh·t az origÛt tekintj¸k fixnek.<br />
Ugyanakkor meg kell emlÌteni, hogy az Èrintıir·ny˙ elmozdul·s, v � 0 . Ez a<br />
kissÈ furcs·nak t˚nı jelensÈg egyrÈszt a kˆrszimmetri·bÛl, m·srÈszt a hengerkoordin·tarendszer<br />
jellegÈbıl kˆvetkezik. Õgy a primer ·llapotot jellemzı fesz¸ltsÈgi<br />
tenzor, alakv·ltoz·si tenzor Ès elmozdul·svektor:<br />
(8)<br />
p<br />
p<br />
F � 0 p 0 ,<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
p<br />
z<br />
1 0 0<br />
p p m � 2<br />
D � 0 1 0 ,<br />
2G m �1<br />
0 0 1<br />
r<br />
p p m � 2<br />
u � 0 .<br />
2G m �1<br />
z<br />
A primÈr ·llapothoz tartozÛ mozg·sok az ısfesz¸ltsÈgi ·llapot kialakul·sakor m·r<br />
rÈgen lej·tszÛdtak, Ìgy az ¸regnyit·s sor·n Èszlelt tÈnyleges primer ·llapot, amelyet<br />
p<br />
figyelembe kell venni: F � p I, D � 0, u � 0 .<br />
p<br />
3. A M¡SODIK FELADAT MEGOLD¡SA RUGALMAS TARTOM¡NYON<br />
Mint m·r kor·bban megfogalmaztuk, annak az R sugar˙ kˆrhengerrel ·tf˙rt<br />
vÈgtelen tartom·nynak a mechanikai ·llapot·t kell meghat·rozni, amelyet a henger<br />
pal·stj·n p intenzit·s˙, radi·lis ir·ny˙ h˙zÛerı terhel. Matematikailag ez azt jelenti,<br />
hogy meg kell oldani az (1) - (4) egyenletrendszert a<br />
p
(9) � ( R)<br />
� � p , � ( �)<br />
� 0<br />
r<br />
peremfeltÈtelek mellett. A henger tengelyÈre merıleges b·rmelyik sÌkban, a pal·st menti<br />
-p terhelÈs hat·s·ra ugyanaz a mechanikai ·llapot keletkezik. A feladat teh·t sÌkbeli<br />
feladatkÈnt kezelhetı.<br />
A megold·s elı·llÌt·s·hoz az (1)-(4) rendszerbıl k¸szˆbˆlj¸k ki a deform·ciÛkat.<br />
Ehhez helyettesÌts¸k be a (2)-ben szereplı � r Ès � � deform·ciÛkat a (3)-ba. Ekkor a<br />
(10)<br />
2G<br />
� r �<br />
m � 2<br />
� du u �<br />
�<br />
( m �1)<br />
� � � z �<br />
,<br />
� dr r �<br />
2G<br />
� � �<br />
m � 2<br />
�du<br />
u �<br />
�<br />
� ( m �1)<br />
� � z �<br />
,<br />
� dr r �<br />
2G<br />
� z �<br />
m � 2<br />
�du<br />
u �<br />
�<br />
� � ( m �1)<br />
� z �<br />
� dr r �<br />
egyenletrendszert kapjuk. A tov·bbiakban feltÈtelezz¸k, hogy � z ·llandÛ. A (10) elsı<br />
Ès m·sodik egyenletÈt helyettesÌts¸k be az (1) egyens˙lyi egyenletbe. RendezÈsek Ès<br />
ˆsszevon·sok ut·n az<br />
2 d u du<br />
(11) r � r � u � 0<br />
2<br />
dr dr<br />
2<br />
m·sodrend˚, line·ris differenci·legyenlethez jutunk, melynek ·ltal·nos megold·sa<br />
(12)<br />
(13)<br />
C2<br />
u C1r<br />
r<br />
� � .<br />
Ezt visszahelyettesÌtve a (10) rendszerbe:<br />
2G<br />
� r �<br />
m � 2<br />
�<br />
C<br />
�mC1<br />
� ( m � 2)<br />
�<br />
r<br />
2G<br />
� � �<br />
m � 2<br />
�<br />
C<br />
�mC1<br />
� ( m � 2)<br />
�<br />
r<br />
2G<br />
� z �<br />
m � 2<br />
1<br />
r<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
�<br />
� � z �,<br />
�<br />
�<br />
� � z �,<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� � � ��<br />
2C<br />
� ( m �1)<br />
� .<br />
SÕKALAKV¡LTOZ¡SI ¡LLAPOT esetÈn, azaz ha � � 0 , akkor<br />
2G<br />
�<br />
C2<br />
�<br />
� r � �mC1<br />
� ( m � 2)<br />
m � 2<br />
2 � .<br />
�<br />
r �<br />
Kihaszn·lva itt a � ( �)<br />
� 0 Ès a ( R)<br />
� � p<br />
·llandÛkra a<br />
r<br />
z<br />
z<br />
� r feltÈteleket, a 2<br />
�<br />
C 1,C integr·ciÛs<br />
165
166<br />
p<br />
C1 � 0, C2<br />
� R<br />
2G<br />
ÈrtÈkeket kapjuk. A C 0 Ès 0 � � eredmÈnyekÈnt a (13) harmadik egyenletÈbıl<br />
1 �<br />
z<br />
� � 0 adÛdik. Mindezeket visszahelyettesÌtve a (13) rendszerbe, a fesz¸ltsÈgek:<br />
z<br />
(14)<br />
2<br />
� R �<br />
� r � � p�<br />
� ,<br />
� r �<br />
CÈlszer˚ lehet a fesz¸ltsÈgeket a dimenziÛ nÈlk¸li<br />
felÌrni. Ezzel a transzform·ciÛval � r Ès � � a<br />
2<br />
� R �<br />
� � � p�<br />
� , � z � 0.<br />
� r �<br />
(14a) � � � p�<br />
, � � � p�<br />
line·ris ñ teh·t egyszer˚ Ès jÛl szemlÈltethetı ñ alakban ÌrhatÛ fel.<br />
(15)<br />
(16)<br />
Az alakv·ltoz·sok a (4) szerint<br />
p � R �<br />
� r � � � � ,<br />
2G<br />
� r �<br />
Az elmozdul·sok, a (2) geometriai egyenletekbıl:<br />
r<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
� R �<br />
� � � � v·ltozÛ segÌtsÈgÈvel<br />
� r �<br />
p � R �<br />
� � � � � , � z � 0 .<br />
2G<br />
� r �<br />
p R<br />
u � , v � 0 , w � 0 .<br />
2G<br />
r<br />
A 2. feladat megold·sa teh·t, egy˙ttal a v·gatnyit·s kˆvetkeztÈben lÈtrejˆvı mechanikai<br />
·llapotot jellemzı fesz¸ltsÈgi tenzor, alakv·ltoz·si tenzor Ès elmozdul·svektor:<br />
(17)<br />
2 �1<br />
0 0<br />
* � R �<br />
F � p�<br />
� 0 1 0 ,<br />
� r �<br />
0 0 0<br />
2 �1<br />
0 0<br />
* p � R �<br />
D � � � 0 1 0 ,<br />
2G<br />
� r �<br />
0 0 0<br />
2<br />
1<br />
* pR � R �<br />
u � � � 0 .<br />
2G<br />
� r �<br />
0<br />
A (14) kÈpletekben is tal·n logikusabb lenne a Ñcsillagosî jelˆlÈs ( � stb.). A<br />
kÈnyelmesebb Ìr·smÛd kedvÈÈrt azonban ettıl eltekint¸nk, s a tov·bbiakban is ezt<br />
kˆvetj¸k.<br />
A fesz¸ltsÈgek, a deform·ciÛk, illetve az elmozdul·sok jelleggˆrbÈi a kˆvetkezı<br />
oldalon lÈvı 4. ·br·n l·thatÛk.<br />
PÈldakÈppen sz·mÌtsuk ki a v·gat peremÈnek elmozdul·s·t, ha p = 100MPa, 2G =<br />
4.000MPa, m = 4, R = 2.000 mm. Ekkor r � R , Ès Ìgy a (16) szerint<br />
pR<br />
u( R)<br />
� � 50 mm.<br />
2G<br />
Ugyanakkor a v·gatnyit·s elıtti (azaz primer) elmozdul·s a (7) szerint, ugyanezekkel<br />
az adatokkal, 20 mm (ami m·r nem jelentkezik).<br />
*<br />
r
� r<br />
+p<br />
0<br />
- p<br />
pR<br />
2G<br />
SÕKFESZ‹LTS…GI ¡LLAPOT esetÈn, azaz ha � � 0,<br />
akkor a (13) rendszer elsı, ill.<br />
harmadik egyenlete<br />
(18)<br />
(19)<br />
� �<br />
0<br />
u , v,<br />
w<br />
Kihaszn·lva a ( �)<br />
� 0<br />
2G<br />
�<br />
� r � �mC<br />
m � 2 �<br />
C<br />
� ( m � 2)<br />
r<br />
0 � 2C<br />
� ( m �1)<br />
�<br />
� r peremfeltÈtelt, a 1<br />
2C<br />
1<br />
1<br />
mC<br />
1<br />
� ( m �1)<br />
�<br />
z<br />
z<br />
��<br />
� � z ��<br />
��<br />
�<br />
�<br />
2<br />
1 2 .<br />
� �<br />
z<br />
z<br />
C Ès � z ismeretlenekre az<br />
homogÈn line·ris egyenletrendszert kapjuk. Ennek a trivi·listÛl k¸lˆnbˆzı megold·sa<br />
akkor van, ha a determin·nsa nulla, azaz, ha<br />
�<br />
�<br />
0<br />
0<br />
m ( m �1)<br />
� 2 � 0 .<br />
Ez csak m � �1<br />
vagy m � 2 esetÈn teljes¸l. Mivel ez a kÈt gyˆk fizikailag<br />
sz·munkra nem ad lehetsÈges ·llapotot, ezÈrt a (19) egyenletrendszer megold·sakÈnt<br />
csak C 0 Ès 0 � � jˆhet szÛba. Ez viszont azt jelenti, hogy � � 0,<br />
Ìgy<br />
1 �<br />
� z<br />
� �<br />
� r<br />
z<br />
pR<br />
u �<br />
2G<br />
v � 0, w �<br />
0<br />
�<br />
�<br />
�<br />
R<br />
r<br />
�<br />
�<br />
�<br />
R 1,5R 2R 2,5R<br />
2<br />
� R �<br />
� � p�<br />
�<br />
� r �<br />
� 0<br />
2<br />
� R �<br />
� � p�<br />
�<br />
� r �<br />
R 1,5R 2R 2,5R<br />
r<br />
r<br />
� r<br />
p<br />
�<br />
2G<br />
0<br />
p<br />
�<br />
2G<br />
��<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� z<br />
� �<br />
� r<br />
p<br />
� �<br />
2G<br />
� 0<br />
p<br />
� �<br />
2G<br />
z<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
R<br />
r<br />
R<br />
r<br />
R 1,5R 2R 2,5R<br />
2<br />
�<br />
�<br />
�<br />
2<br />
�<br />
�<br />
�<br />
4. ·bra. A v·gatnyit·s kˆvetkeztÈben<br />
kialakulÛ fesz¸ltsÈgek, deform·ciÛk Ès<br />
elmozdul·sok<br />
r<br />
167
168<br />
2<br />
� R �<br />
� r � � p�<br />
� ,<br />
� r �<br />
2<br />
� R �<br />
� � � p�<br />
� , � z � 0 .<br />
� r �<br />
Teh·t a m·sodik (¸regnyit·si) feladat megold·sa a (17)-ben adott F * , D * , u * , ak·r<br />
sÌkalakv·ltoz·st, ak·r sÌkfesz¸ltsÈgi ·llapotot tÈtelez¸nk fel. Ez a feladat speci·lis<br />
jellegÈbıl kˆvetkezik. 35<br />
A (16) elmozdul·ssal kapcsolatban megjegyezz¸k, hogy most az r � � hengert<br />
tekintj¸k fixnek, vagyis az u elmozdul·s az � r deform·ciÛk ÑvÈgtelentıl r-ig terjedı<br />
ˆsszegezÈsÈvelî kaphatÛ, azaz<br />
u �<br />
ami termÈszetesen megegyezik r�� -vel.<br />
r 2<br />
r<br />
2<br />
�<br />
�<br />
p R p 2 �1�<br />
p R<br />
( � ) dr � R �<br />
2G<br />
2<br />
r 2G<br />
�r<br />
�<br />
� � 2G<br />
r<br />
A (12) Ès (13) egyenlısÈgekbıl l·thatÛ, hogy ilyen Ès ehhez hasonlÛ feladatokn·l<br />
az u radi·lis elmozdul·s, Ès a radi·lis, ill. tangenci·lis fesz¸ltsÈg az al·bbi alakban<br />
·llÌthatÛ elı:<br />
(20)<br />
(21)<br />
p b<br />
p<br />
a<br />
p a<br />
5. ·bra. Vastagfal˙ csı pb<br />
belsı Ès pb k¸lsı terhelÈssel<br />
a<br />
b<br />
C2<br />
u C1r<br />
r<br />
� � ,<br />
�<br />
B<br />
B<br />
� r � A � , ill. �<br />
2<br />
� � A � .<br />
2<br />
r<br />
r<br />
PÈld·ul tekints¸k az 5. ·br·n l·thatÛ vastagfal˙<br />
csˆvet, amelyre kÌv¸lrıl pb, bel¸lrıl pa intenzit·s˙<br />
nyom·s hat.<br />
A fesz¸ltsÈgek meghat·roz·s·n·l a � r ( a) � pa<br />
Ès � r ( b) � pb<br />
peremfeltÈteleket kell alkalmazni.<br />
B<br />
A � r � A � fesz¸ltsÈg esetÈben<br />
2<br />
r<br />
B<br />
B<br />
pa � A � , p<br />
2 b � A � ,<br />
2<br />
a<br />
b<br />
ahonnan A Ès B kˆnnyen meghat·rozhatÛ.<br />
35<br />
Figyelj¸k meg, hogy mind az (5)-nÈl, mind a (14)-nÈl teljes¸l a �<br />
1<br />
z � ( � � � )<br />
2<br />
r � ˆsszef¸ggÈs,<br />
ami megfelel a Hooke-tˆrvÈnybıl adÛdÛ � 1<br />
z � ( � r � ��<br />
) ˆsszef¸ggÈsnek m = 2 mellett, ugyanis a<br />
m<br />
kˆzeg ennÈl a speci·lis esetnÈl (hidrosztatikus ·llapot ñ kˆrszimmetria) tetszıleges Poisson sz·m (m ≠ 2)<br />
esetÈn is ˙gy viselkedik, mintha ÈrtÈke 2 lenne.<br />
,
Alkalmazva ezt a mi eset¸nkre, ha pa � � p , p � 0 Ès a � R , b � � , akkor<br />
Ekkor a (21) alapj·n<br />
ami egyezik (14)-gyel.<br />
A � pb<br />
� 0 ,<br />
2<br />
� R �<br />
� r � � p�<br />
� ,<br />
� r �<br />
b<br />
2<br />
B � pR .<br />
2<br />
� R �<br />
� � � p�<br />
� ,<br />
� r �<br />
Az u elmozdul·s C 1 Ès C 2 egy¸tthatÛi is kˆnnyen elı·llÌthatÛk a (12) Ès (13)<br />
egy¸tthatÛinak ˆsszehasonlÌt·s·val, Ès a peremfeltÈtelek felhaszn·l·s·val.<br />
5. AZ EREDETI FELADAT MEGOLD¡SA RUGALMAS TARTOM¡NYON<br />
Az 1. feladat megold·s·bÛl l·thatÛ, hogy a kÈpzeletbeli v·gat peremÈre, az r � R<br />
hengerre, egyrÈszt p megoszlÛ terhelÈs h·rul. M·srÈszt 2. feladat megold·sa szerint<br />
ugyanerre a hengerre � p megoszlÛ terhelÈs hat. A kÈt megold·s szuperpozÌciÛjakÈnt<br />
az r � R sugar˙ hengerre p � p � 0 radi·lis terhelÈs hat, vagyis a v·gat pereme<br />
terheletlen lesz. A szuperpozÌciÛ eredmÈnye teh·t az eredeti feladat megold·sa:<br />
(22)<br />
(23)<br />
(24)<br />
(25)<br />
� 2<br />
� R � �<br />
� r � p�1<br />
� � � � ,<br />
��<br />
� r � ��<br />
�<br />
2<br />
p m � 2 � R �<br />
�<br />
� r � � � � � � ,<br />
2G � m �1<br />
�<br />
� r � ��<br />
� 2<br />
� R �<br />
�<br />
� � � p�1<br />
� � � � , z p<br />
��<br />
� r � ��<br />
� � ;<br />
�<br />
2<br />
p m � 2 � R �<br />
�<br />
� � � � � � � � ,<br />
2G � m �1<br />
�<br />
� r � ��<br />
�<br />
2<br />
p m � 2 R �<br />
p m � 2<br />
u � � r � � , v � 0 , w � z .<br />
2G<br />
��<br />
m �1<br />
r ��<br />
2G m �1<br />
Ugyanez tenzoros alakban:<br />
F F � F<br />
� p<br />
*<br />
, � * p<br />
D � D � D<br />
�0<br />
p *<br />
, u � u�<br />
� u<br />
�0<br />
p m � 2<br />
� z � ;<br />
2G m �1<br />
.<br />
169
A v·gatnyit·s ut·n tÈnylegesen a most<br />
meghat·rozott fesz¸ltsÈgek ñ az ˙n.<br />
szekunder ·llapot fesz¸ltsÈgei - lÈpnek fel,<br />
ezeket Èszlelj¸k, szemben a deform·ciÛkkal<br />
Ès az elmozdul·sokkal. Ez utÛbbiakbÛl<br />
ugyanis a primer ·llapothoz tartozÛ rÈszek<br />
m·r kor·bban lej·tszÛdtak (kialakultak), Ès<br />
Ìgy Ñelt˚ntekî sz·munkra.<br />
A 6. ·br·n a (22) fesz¸ltsÈgek gˆrbÈi<br />
l·thatÛk.<br />
170<br />
6. ·bra. A szekunder ·llapot fesz¸ltsÈgei<br />
A kit˚zˆtt feladatot teh·t megoldottuk, de sz·munkra tulajdonkÈppen a 2. feladat<br />
megold·sa a lÈnyeges. Ugyanis v·gatnyit·skor azok a v·ltoz·sok Èrdekelnek benn¸nket,<br />
amelyek a v·gatnyit·s kˆvetkeztÈben lÈpnek fel. Ezeket pedig Èppen a (14), (15), (16)<br />
ÈrtÈkek adj·k.<br />
EzÈrt a tov·bbiakban erre fordÌtjuk figyelm¸nket.<br />
6. A 2. FELADAT MEGOLD¡SA IDE¡LISAN K…PL…KENY ANYAGMODELLN…L,<br />
KONVENCION¡LIS FELT…TELEZ…S MELLETT<br />
Akkor mondjuk, hogy a tartom·ny rugalmas-kÈplÈkeny ·llapotban van, ha a terhelÈs<br />
folyam·n a tartom·ny egyik rÈsze rugalmas, m·sik rÈsze kÈplÈkeny ·llapotba ker¸l (7.<br />
·bra).<br />
TÈtelezz¸k fel, hogy a terhelÈs valamely<br />
Rugalmas zÛna<br />
KÈplÈkeny zÛna<br />
R<br />
R0<br />
7. ·bra. A v·gat kˆr¸l kialakulÛ<br />
kÈplÈkeny zÛna<br />
� r<br />
2p<br />
0<br />
p<br />
ÈrtÈkÈnÈl a tartom·ny 0 R r � rÈsze rugalmas,<br />
R � r � R rÈsze kÈplÈkeny ·llapotban van. A<br />
0<br />
� �<br />
� �<br />
z � �<br />
� r<br />
kÈt zÛn·t teh·t az 0 R r � sugar˙ kˆrhenger<br />
v·lasztja el egym·stÛl. Az 0 R r � rugalmas<br />
tartom·nyon v·ltozatlanul ÈrvÈnyesek az (1) -<br />
(5) egyenlısÈgek. A kÈplÈkeny tartom·nyban<br />
azonban az eddig haszn·lt anyagegyenletek m·r<br />
nem ÈrvÈnyesek. Ugyanakkor az egyens˙lyi Ès<br />
geometriai egyenletekhez egy ˙n. kÈplÈkenysÈgi<br />
feltÈtel j·rul. Jelˆlje ezt a feltÈtelt<br />
� � 0 .<br />
� 2<br />
� R � �<br />
� p�1<br />
� � � �<br />
��<br />
� r � ��<br />
p<br />
� 2<br />
� R � �<br />
� p�1<br />
� � � �<br />
��<br />
� r � ��<br />
R 1,5R 2R 2,5R<br />
r
Abban az esetben, amikor ide·lis kÈplÈkenysÈgrıl beszÈl¸nk, vagyis amikor<br />
egytengely˚ fesz¸ltsÈg·llapot esetÈn az anyagtˆrvÈnyt leÌrÛ � f �� �<br />
� f¸ggvÈny a<br />
kÈplÈkeny tartom·nyban ·llandÛ, teh·t azonos fesz¸ltsÈghez k¸lˆnbˆzı deform·ciÛk<br />
tartozhatnak, ekkor az irodalomban azzal a fog·ssal Èlnek, hogy a kÈplÈkenysÈgi<br />
hat·rfeltÈtelt veszik anyagtˆrvÈnynek. 36<br />
Õgy a kÈplÈkeny tartom·nyon a feladat megold·sa az al·bbi egyenletekbıl ·llÛ<br />
rendszer megold·s·bÛl ·ll:<br />
Egyens˙lyi egyenlet:<br />
(26) KÈplÈkenysÈgi feltÈtel:<br />
Geometriai egyenletek: � ��<br />
d�<br />
� r � �<br />
r<br />
�<br />
�<br />
� � 0,<br />
�<br />
dr r<br />
��<br />
� � 0,<br />
�<br />
du u dw<br />
� r � , ��<br />
� , � z � .<br />
dr r dr �<br />
5.1. K…T KONVENCION¡LIS K…PL…KENYS…GI FELT…TEL<br />
A terhelÈs nˆvekedÈsÈvel a kor·bban rugalmas tartom·ny, vagy annak egy rÈsze,<br />
kÈplÈkeny ·llapotba ker¸l. Ennek a kÈplÈkeny tartom·nynak a hat·r·t jelˆli ki a<br />
kÈplÈkenysÈgi hat·rfeltÈtel. Az irodalomban tal·lhatÛ sz·mos feltÈtel kˆz¸l a<br />
legnevesebbek idırendben: 17. sz·zad: GALILEI, MARIOTTE, 18. sz·zad: COULOMB,<br />
19. sz·zad: LAM…, De SAINT-VENANT, DUGUET, 20. sz·zad: GUEST, MOHR, BELTRAMI,<br />
HUBER-MISES-HENCKY, stb.<br />
A kÈplÈkeny ·llapot lÈtrejˆtte annak kˆvetkezmÈnye, hogy a torzul·si deform·ciÛs<br />
munka t˙llÈpi azt a hat·rt, amelyet az anyag mÈg kÈpes elviselni anÈlk¸l, hogy maradÛ<br />
alakv·ltoz·st szenvedne. A mi eset¸nkben ez a torzul·si deform·ciÛs munka, a (14),<br />
(15) Ès (17) felhaszn·l·s·val:<br />
(27)<br />
W<br />
Ez az egyenlısÈg<br />
'<br />
1<br />
1<br />
� T : E � W � F : D �<br />
2<br />
2<br />
�<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2 4<br />
p � R � 1 2<br />
�� � � � � � � � � � � .<br />
r<br />
r<br />
�<br />
�<br />
2G<br />
� r �<br />
36<br />
TermÈszetes, hogy ennek a feltevÈsnek semmi fizikai alapja nincs, csup·n a matematikai megold·s<br />
ÈrdekÈben alkalmazott szubjektÌv konstrukciÛ.<br />
�<br />
r<br />
0<br />
0<br />
�<br />
0<br />
�<br />
0<br />
2G<br />
r<br />
0<br />
0 :<br />
0<br />
�<br />
r<br />
0<br />
0<br />
�<br />
0<br />
�<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
�<br />
171
1<br />
(28) � � � , � � �<br />
172<br />
r 2GW �<br />
2 r<br />
alakban is felÌrhatÛ, ugyanis jelen esetben � � � � r � 2�<br />
r .<br />
Ha W a tartom·ny valamely pontj·ban elÈri az emlÌtett hat·rt, jelˆlje ezt Wf,<br />
akkor ebben a pontban az anyag kÈplÈkeny ·llapotba ker¸l. A TRESCA-fÈle elmÈlet<br />
szerint ez akkor kˆvetkezik be, ha ebben a pontban a legnagyobb nyÌrÛfesz¸ltsÈg elÈri a<br />
foly·st elıidÈzı � f foly·si hat·rt. A mi eset¸nket szemlÈltetve, 8. ·br·n v·zolt MOHR-<br />
kˆrˆk alapj·n l·thatÛ, hogy<br />
� � � p � � 0 � � � p<br />
r<br />
ugyanakkora (·llandÛ).<br />
Mindezek alapj·n a � � 0 kÈplÈkenysÈgi feltÈtel<br />
(29) � � � � � � � 2k � 0,<br />
azaz � � � 2k<br />
alakban ÌrhatÛ fel, ahol<br />
(30) � � f � � max<br />
r<br />
k , ill.<br />
� � � � � 1<br />
max<br />
� 2<br />
A HUBER-MISES-HENCKYelmÈlet<br />
szerint a kÈplÈkeny ·llapot<br />
akkor kˆvetkezik be, ha az<br />
oktaÈderes nyÌrÛfesz¸ltsÈg elÈri a<br />
f<br />
2 � ÈrtÈket. MindkÈt elmÈlet<br />
3<br />
esetÈn lÈnyeges kihangs˙lyozni,<br />
hogy ha az anyag nemcsak egy<br />
pontban, hanem egy tartom·nyban<br />
kÈplÈkeny ·llapotban van, akkor<br />
mind a fajlagos torzul·si munka,<br />
mind a legnagyobb nyÌrÛfesz¸ltsÈg<br />
a tartom·ny minden pontj·ban<br />
� �<br />
r<br />
� f<br />
k � � f �<br />
3<br />
attÛl f¸ggıen, hogy a TRESCA-fÈle, ill. a HUBER-MISES-HENCKY-fÈle elmÈlet szerint<br />
j·runk el. Az alkalmaz·sokn·l termÈszetesen � f Ès � f ÈrtÈkÈt ismerni kell ( � f a<br />
foly·si hat·r tiszta h˙z·s esetÈn).<br />
�<br />
z<br />
� � � � � 1 max<br />
� 2<br />
8. ·bra. A legnagyobb nyÌrÛfesz¸ltsÈg<br />
meghat·roz·sa<br />
�<br />
r<br />
�<br />
r<br />
.
5.2. MEGOLD¡S A RUGALMAS Z”N¡BAN<br />
TÈtelezz¸k fel, hogy ismerj¸k a rugalmas Ès kÈplÈkeny zÛna R 0 hat·r·t. A<br />
tartom·ny rugalmas rÈsze az 0 R r � tÈrrÈsz. Keress¸k ennek a tÈrrÈsznek<br />
(rÈsztartom·nynak) a mechanikai ·llapot·t, ha az R 0 zÛnahat·ron m·r ÈrvÈnyes¸l a<br />
(29) kÈplÈkenysÈgi feltÈtel, azaz<br />
� �<br />
� � � 2k<br />
.<br />
Ugyanakkor a vÈgtelenben m·r sem a v·gatnyit·snak, sem a kÈplÈkeny zÛna<br />
kialakul·s·nak nincs hat·sa, vagyis � ( �)<br />
� 0 .<br />
Keress¸k a fesz¸ltsÈgeket a (21) szerint<br />
B<br />
� r � A � ,<br />
2<br />
r<br />
r<br />
r<br />
B 1<br />
� � � A � , � �� � �<br />
2 z � r � �<br />
r 2<br />
alakban. A � ( �)<br />
� 0 feltÈtelbıl az kˆvetkezik, hogy A � 0 , Ìgy<br />
(31)<br />
(32)<br />
(33)<br />
r<br />
Az 0 R<br />
r � zÛnahat·ron<br />
Ezeket felhaszn·lva,<br />
B<br />
� r � � ,<br />
2<br />
r<br />
(<br />
� �<br />
�� r ) r�<br />
2<br />
0<br />
2<br />
R<br />
� r � �k<br />
,<br />
r<br />
A deform·ciÛk a (4) szerint:<br />
Az elmozdul·sok:<br />
2<br />
0<br />
2<br />
k R<br />
� r � � ,<br />
2G r<br />
2<br />
R0<br />
B<br />
� � � , � � 0<br />
2 z .<br />
r<br />
2B<br />
� � 2k<br />
� B � kR<br />
R<br />
2<br />
0<br />
2<br />
0<br />
2<br />
R<br />
� � � k , z � 0<br />
r<br />
2<br />
0<br />
2<br />
2<br />
0<br />
� , 0<br />
k R<br />
� � � , z � 0<br />
2G r<br />
k R0<br />
u � , v � 0 , � 0<br />
2G<br />
r<br />
.<br />
R r � .<br />
r � R .<br />
� , 0<br />
r � R .<br />
w , 0<br />
173
174<br />
6.3. MEGOLD¡S A K…PL…KENY Z”N¡BAN<br />
Az R r � R0<br />
� kÈplÈkeny zÛn·ban ñ a klasszikus felfog·s szerint ide·lis<br />
kÈplÈkenysÈg esetÈn ñ ÈrvÈnyesnek tekintik a (29) kÈplÈkenysÈgi feltÈtelt, teh·t nem<br />
csak a kÈplÈkenysÈgi hat·r kijelˆlÈsÈre haszn·lj·k, hanem anyagegyenletkÈnt is. Ezt az<br />
egyens˙lyi egyenlettel egy¸tt ÈrvÈnyesÌtj¸k. Teh·t most meg kell oldani a<br />
d� � r ��<br />
r<br />
�<br />
� � 0 , � r � � � � �2k<br />
, k ·llandÛ<br />
dr r<br />
rendszert. Ez a<br />
(34)<br />
d� r 2k � � 0<br />
dr r<br />
differenci·legyenletre vezet, melynek ·ltal·nos megold·sa<br />
� � 2k<br />
ln r � C .<br />
r<br />
Az 0 R zÛnahat·ron ennek a � r -nek Ès a rugalmas zÛn·ban ÈrvÈnyes (a (31)-ben<br />
adott) � r -nek, egyeznie kell, vagyis � r ( R0<br />
) � �kR0<br />
/ R0<br />
� �k<br />
kell, hogy legyen. Ezt a<br />
feltÈtelt a<br />
R0<br />
� r � �k<br />
� 2k<br />
ln<br />
r<br />
megold·s elÈgÌti ki. A � � � � r � 2k<br />
feltÈtelbıl � � , a � 1 �� � � �<br />
ˆsszef¸ggÈsbıl pedig � z sz·mÌthatÛ. A fesz¸ltsÈgek teh·t:<br />
2<br />
2<br />
z �<br />
2 r<br />
R0<br />
R0<br />
R0<br />
(35) � r � �k<br />
� 2k<br />
ln , � � � k � 2k<br />
ln , � z � �2k<br />
ln , 0<br />
r<br />
r<br />
r<br />
R r R � � .<br />
Mint ahogy a rugalmas tartom·ny esetÈben a (14) fesz¸ltsÈgek transzform·ciÛj·n·l,<br />
itt is cÈlszer˚ lehet bevezetni a<br />
k<br />
k/2<br />
-k<br />
0<br />
-k/2<br />
-3k/2<br />
�<br />
R<br />
R0<br />
��<br />
�z<br />
�r<br />
9. ·bra. Fesz¸ltsÈgek a kÈplÈkeny<br />
Ès a rugalmas zÛn·ban<br />
r<br />
� R0<br />
�<br />
� 0 � � � jelˆlÈst.<br />
� r �<br />
Ekkor<br />
2<br />
� � �k<br />
� 2k ln�<br />
,<br />
r<br />
� �<br />
0<br />
0<br />
� k � 2k ln�<br />
,<br />
� � �2k<br />
ln�<br />
,<br />
azaz �0 = 1-nÈl.<br />
z<br />
A � r , � � Ès � z fesz¸ltsÈgeket<br />
a p = 1,5k terhelÈs esetÈn a 9. ·br·n<br />
v·zoltuk.<br />
0<br />
�
Az 0 R<br />
r � zÛnahat·ron � � �k<br />
, � � k , � � 0 , Ès ezek az ÈrtÈkek<br />
r<br />
megegyeznek a (31)-ben adott fesz¸ltsÈgek zÛnahat·ron felvett ÈrtÈkeivel. A<br />
zÛnahat·ron valÛ ·tmenet teh·t a fesz¸ltsÈgek tekintetÈben folytonos.<br />
A � r ismeretÈben most m·r meghat·rozhatÛ a R 0 zÛnahat·r is abbÛl a feltÈtelbıl,<br />
hogy a v·gat peremÈn � ( R)<br />
� � p . Ha ezt kihaszn·ljuk a (35) elsı egyenletÈnÈl,<br />
akkor<br />
r<br />
R0<br />
� 1 p �<br />
(36) � p � �k<br />
� 2k ln � R0<br />
� R � exp�<br />
� � � .<br />
R<br />
� 2 2k<br />
�<br />
Ezzel megkaptuk az eddig ismeretlen zÛnahat·r ÈrtÈkÈt. Ha pÈld·ul<br />
p � 2k,<br />
akkor R � R � 1,<br />
65R<br />
,<br />
0<br />
�<br />
e 50 , 0<br />
e 25 , 0<br />
p � 1, 5k,<br />
akkor R � R � 1,<br />
28R<br />
,<br />
p � k,<br />
akkor R0 � Re<br />
� R .<br />
0<br />
Ez utÛbbi esetben l·thatÛ, hogy a p � k terhelÈs elÈrÈsekor a v·gat pereme kezd<br />
megfolyni. A terhelÈs nˆvelÈsÈvel pedig a zÛnahat·r exponenci·lisan tolÛdik kifelÈ,<br />
mind nagyobb tartom·nyrÈsz v·lik kÈplÈkennyÈ.<br />
Az u elmozdul·s, a kÈplÈkeny tartom·nyban is ÈrvÈnyes<br />
m � 2<br />
� r � ��<br />
� � z � ( � r � ��<br />
� � z )<br />
2G(<br />
m �1)<br />
du<br />
ˆsszef¸ggÈs alapj·n sz·mÌthatÛ, ahol r<br />
dr<br />
�<br />
u<br />
� , � � � , � z � 0 , a � r , � � , � z<br />
r<br />
fesz¸ltsÈgek pedig a (35) rendszerben adottak. Ezeket felhaszn·lva, az<br />
(37)<br />
du<br />
R0<br />
r � u � � r ln ,<br />
dr<br />
r<br />
differenci·legyenletet kapjuk. ¡ltal·nos megold·sa<br />
C � R0<br />
�<br />
(38) u � � r ln � r .<br />
r 2 r 4<br />
0<br />
6k(<br />
m � 2)<br />
� � �<br />
2G(<br />
m �1)<br />
A C ·llandÛt abbÛl a feltÈtelbıl hat·rozzuk meg, hogy az R 0 zÛnahat·ron a (33)-<br />
ban szereplı<br />
2<br />
k R0<br />
u � elmozdul·s ÈrtÈke Ès a (38) ÈrtÈke egyenlı, azaz<br />
2G<br />
r<br />
z<br />
175
176<br />
� 0 � 0<br />
2 R<br />
k<br />
u R � .<br />
G<br />
A (37) differenci·legyenletnek ezt a feltÈtelt kielÈgÌtı megold·sa:<br />
�<br />
2<br />
k<br />
R<br />
�<br />
0<br />
� R0<br />
1 �<br />
u � � 6(<br />
m � 2)<br />
r�<br />
ln � ��<br />
, 0<br />
4G(<br />
m �1)<br />
��<br />
r<br />
� r 2 ���<br />
R r R � � .<br />
(39) �<br />
�5m � 4�<br />
(40)<br />
A kÈt m·sik elmozdul·s-koordin·ta: v � 0 , w � 0 .<br />
A deform·ciÛk a geometriai egyenletek segÌtsÈgÈvel sz·mÌthatÛk:<br />
�<br />
�<br />
�<br />
r<br />
�<br />
z<br />
�<br />
�<br />
�<br />
du<br />
dr<br />
u<br />
r<br />
dw<br />
dz<br />
�<br />
k<br />
� ��<br />
4G(<br />
m �1)<br />
�<br />
��<br />
�<br />
k<br />
� ��<br />
4G(<br />
m �1)<br />
�<br />
��<br />
�<br />
0,<br />
�5m � 4�<br />
�<br />
�<br />
R<br />
� r<br />
�<br />
0<br />
� R<br />
� r<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
2<br />
2<br />
� R<br />
� 6(<br />
m � 2)<br />
�ln<br />
� r<br />
�<br />
� �<br />
1 �<br />
� ,<br />
�<br />
�<br />
�<br />
2 ��<br />
�<br />
��<br />
�<br />
�<br />
�<br />
1 � ��<br />
�<br />
2 ��<br />
� �<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
��<br />
0<br />
0<br />
�5m � 4�<br />
� � � 6(<br />
m � 2)<br />
�ln<br />
� �<br />
�,<br />
R � r � R .<br />
�<br />
�<br />
Kˆnnyen ellenırizhetı, hogy mind az elmozdul·sok, mind a deform·ciÛk a<br />
zÛnahat·ron ·tlÈpve, folytonosan v·ltoznak. PÈld·ul u R ) � kR / 2G<br />
mind a (33),<br />
mind a (39) f¸ggvÈny esetÈn.<br />
�<br />
R<br />
r<br />
0<br />
( 0 0<br />
÷sszehasonlÌtandÛ, sz·mÌtsuk ki mÈg a pal·st eltolÛd·s·t rugalmas esetben is, Ès<br />
kÈplÈkeny esetben is, az al·bbi adatok mellett:<br />
86,9mm<br />
50,0mm<br />
39,1mm<br />
0<br />
2G � 4000 MPa, m � 4 , R � 2000 mm, p � 100 MPa, k � 100 MPa.<br />
u<br />
R<br />
10. ·bra<br />
R0 = Re 0,25<br />
p = 150 MPa<br />
p = 100 MPa<br />
r<br />
A k � p terhelÈs esetÈn mÈg Èppen<br />
rugalmas ·llapotban van az egÈsz<br />
tartom·ny. Ekkor a v·gat pereme kezd<br />
megfolyni. Ebben az esetben R0 � R .<br />
Õgy az elmozdul·s sz·mÌthatÛ ak·r a (33),<br />
ak·r a (39) kÈplet alapj·n:<br />
kR0<br />
pR<br />
u( R)<br />
� u(<br />
R0<br />
) � � � 50 mm<br />
2G<br />
2G<br />
Ha p � 150 MPa-ra nˆvelj¸k a<br />
e 25 , 0<br />
terhelÈst, akkor R � R � 1,<br />
28R<br />
,<br />
teh·t kialakul egy 0,28R szÈlessÈg˚<br />
kÈplÈkeny zÛna, akkor a (39) kÈplet<br />
0<br />
0
alapj·n a ker¸leti pontok sug·rir·ny˙ elmozdul·sa:<br />
u( R)<br />
� 86,<br />
90 mm.<br />
Az elmozdul·sok a v·rakoz·ssal ˆsszhangban pozitÌv elıjel˚ek, ami azt jelenti, hogy a<br />
hengerpal·st befelÈ tolÛdik el. A p = 100 MPa, illetve a p = 150 MPa terhelÈsekhez tartozÛ<br />
elmozdul·sokat a 10. ·br·n v·zoltuk.<br />
÷sszefoglalva, a rugalmas-kÈplÈkeny tartom·ny mechanikai ·llapot·t jellemzı<br />
mennyisÈgek:<br />
(41)<br />
(42)<br />
(43)<br />
A fesz¸ltsÈgek:<br />
A deform·ciÛk:<br />
�<br />
�<br />
�<br />
r<br />
�<br />
z<br />
�<br />
0,<br />
�<br />
�<br />
�<br />
r<br />
�<br />
z<br />
� R<br />
�<br />
��<br />
k � 2k<br />
ln<br />
r<br />
� �<br />
2<br />
�<br />
� R0<br />
�<br />
� k�<br />
� ,<br />
��<br />
� r �<br />
� R<br />
�<br />
��<br />
k � 2k<br />
ln<br />
r<br />
� �<br />
2<br />
�<br />
� R0<br />
�<br />
� k�<br />
� ,<br />
��<br />
� r �<br />
� R0<br />
��<br />
2k<br />
ln ,<br />
� � r<br />
�0,<br />
�<br />
� k � � R0<br />
�<br />
� ��<br />
( 5m<br />
� 4)<br />
� �<br />
� 4G<br />
( m � 1)<br />
�<br />
� � � r �<br />
�<br />
2<br />
� k � R0<br />
�<br />
��<br />
� � ,<br />
� 2G<br />
� r �<br />
� k � � R0<br />
�<br />
� ��<br />
( 5m<br />
� 4)<br />
� �<br />
� 4G<br />
( m � 1)<br />
�<br />
� � � r �<br />
�<br />
2<br />
� k � R0<br />
�<br />
��<br />
� � ,<br />
� 2G<br />
� r �<br />
Az elmozdul·sok:<br />
2<br />
2<br />
0<br />
0<br />
,<br />
,<br />
ha<br />
ha<br />
ha<br />
ha<br />
ha<br />
ha<br />
R � r � R ,<br />
R<br />
0<br />
� r � �,<br />
R � r � R ,<br />
R<br />
0<br />
� r � �,<br />
R � r � R ,<br />
R<br />
� R0<br />
� 6(<br />
m � 2)<br />
� ln �<br />
� r<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
� r � �.<br />
� R0<br />
1 ��<br />
� 6(<br />
m � 2)<br />
� ln � ��,<br />
� r 2 ���<br />
�<br />
2<br />
k � � R0<br />
� � R<br />
� ��<br />
( 5m<br />
� 4)<br />
� � � 6(<br />
m � 2)<br />
�ln<br />
�4G(<br />
m �1)<br />
�<br />
� � � r � � r<br />
u<br />
�<br />
� kR0<br />
� R0<br />
�<br />
� � �,<br />
ha R0<br />
� r � �,<br />
� 2G<br />
� r �<br />
v � 0,<br />
w � 0,<br />
ha R � r � �.<br />
0<br />
1 ��<br />
��,<br />
2 ���<br />
1 ��<br />
� ��r,<br />
2 ���<br />
ha<br />
ha<br />
ha<br />
ha<br />
ha<br />
ha<br />
R � r � R<br />
R<br />
0<br />
0<br />
0<br />
� r � �,<br />
R � r � R<br />
R<br />
0<br />
� r � �,<br />
R � r � �.<br />
R � r � R<br />
0<br />
,<br />
,<br />
,<br />
177
178<br />
A fenti f¸ggvÈnyek mindegyike folytonos az 0 R r � helyen.<br />
A (41) fesz¸ltsÈgek esetÈben mÈg vizsg·ljuk meg azt, hogy mi tˆrtÈnik az<br />
R0 � R hat·r·tmenetnÈl. Tekintettel arra, hogy 0 R r R � � , az R0 � R esetÈn r<br />
is tart R ñhez. Ekkor<br />
� R0<br />
�<br />
lim�<br />
r � lim ��<br />
k � 2k<br />
ln � � �k<br />
� 0 � �k<br />
� � p ,<br />
R �R<br />
R0<br />
�R�<br />
r �<br />
0<br />
mert a hengerpal·st a p � k terhelÈsnÈl kezd megfolyni. Ha viszont k � p , Ès ennek<br />
kˆvetkeztÈben R0 � R , akkor a (31)-ben szereplı fesz¸ltsÈgek:<br />
2<br />
� R � � R �<br />
� r � � p�<br />
� , � � � p�<br />
� , � z � 0,<br />
� r � � r �<br />
amelyek megegyeznek a (14)-ben adott, a rugalmas tartom·nyra ÈrvÈnyes<br />
fesz¸ltsÈgekkel. Ugyanezzel a hat·r·tmenettel juthatunk el a rugalmas-kÈplÈkeny<br />
tartom·nyra ÈrvÈnyes deform·ciÛkbÛl, ill. elmozdul·sokbÛl a rugalmas tartom·nyra<br />
ÈrvÈnyes deform·ciÛkhoz, ill. elmozdul·sokhoz.<br />
5.4. MEGJEGYZ…SEK A K…PL…KENY Z”NABELI MEGOLD¡SHOZ<br />
1. A (35) ˆsszef¸ggÈsekkel megadtuk azokat a fesz¸ltsÈgeket, amelyek az<br />
R � r � R kÈplÈkeny zÛn·ban ÈrvÈnyesek. Ezek:<br />
0<br />
R0<br />
� r � �k<br />
� 2k<br />
ln ,<br />
r<br />
ahol k �� � ��<br />
�<br />
� 2<br />
r<br />
R0<br />
� � � �k<br />
� 2k<br />
ln ,<br />
r<br />
2<br />
R<br />
� �2k<br />
ln<br />
r<br />
0<br />
� z<br />
, 0 R r R �<br />
� ,<br />
1 a legnagyobb cs˙sztatÛfesz¸ltsÈg (·llandÛ). A kÈpletekben<br />
l·tszÛlag nem t¸krˆzıdik az, hogy ezek a fesz¸ltsÈgek f¸ggenek a p terhelÈstıl.<br />
ValÛj·ban azonban f¸ggenek, csak ez a f¸ggÈs az R 0 zÛnahat·rban van Ñelrejtveî. A<br />
(36) ˆsszef¸ggÈs szerint ugyanis<br />
R<br />
0<br />
� 1 p<br />
� R � exp�<br />
� �<br />
� 2 2k<br />
HelyettesÌts¸k ezt be pÈld·ul a � r kÈpletÈbe. Ekkor<br />
� � �k<br />
�<br />
r<br />
1<br />
2<br />
�ln R � ln r�<br />
� �k<br />
� 2k<br />
ln R � � � ln r � � p � 2k<br />
ln .<br />
2k 0<br />
Azt kaptuk teh·t, hogy a r<br />
� fesz¸ltsÈg line·ris (de nem homogÈn) f¸ggvÈnye pnek<br />
(a terhelÈsnek). Ez azÈrt lÈnyeges, mert a fesz¸ltsÈgek a rugalmas tartom·nyban is<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� .<br />
�<br />
p<br />
2k<br />
�<br />
�<br />
�<br />
R<br />
r
line·risan f¸ggenek a p-tıl. Teh·t a kÈplÈkeny, ill. a rugalmas tartom·nybeli � r<br />
fesz¸ltsÈgek nincsenek csillag·szati t·vols·gban egym·stÛl. Annyira nem, hogy a v·gat<br />
peremÈn ( r � R -nÈl) � ( R)<br />
� � p , amely egyezik a rugalmas tartom·nyon ÈrvÈnyes<br />
ÈrtÈkkel.<br />
r<br />
�<br />
2<br />
R<br />
r r�R<br />
� � p<br />
2 r�R<br />
r<br />
� � p<br />
2. R·nÈzve a 9. ·br·ra szembet˚nı, hogy mÌg a � r fesz¸ltsÈg a kÈplÈkeny Ès<br />
rugalmas zÛn·ban ñ jellegÈt tekintve ñ hasonlÛ (mindkÈt tartom·nyban monoton<br />
nˆvekvı Ès alulrÛl konk·v f¸ggvÈnye r-nek), addig a � � -nÈl ez messze nincs Ìgy.<br />
Ugyanis ez a f¸ggvÈny az 0 R r R � � tartom·nyon nˆvekvı Ès konk·v, a 0 R r �<br />
tartom·nyon csˆkkenı Ès konvex. Ennek a m˚szaki szempontbÛl kedvezıtlen<br />
jelensÈgnek az az oka, hogy az alkalmazott kÈplÈkenysÈgi feltÈtel szerint a kÈplÈkeny<br />
zÛn·ban � � � 2k<br />
� const . Teh·t ˙gy t˚nik, hogy matematikailag minden rendben<br />
� �<br />
r<br />
van, de a valÛs·g m·st lehet. Ez a jelensÈg a mÛdszer gyenge pontj·nak t˚nik.<br />
3. A alakv·ltoz·sok sz·mÌt·s·n·l v·ltozatlanul feltÈtelezt¸k, hogy � � 0 a<br />
kÈplÈkeny zÛn·ban is.<br />
6. A T…NYLEGES MEGOLD¡S A RUGALMAS-K…PL…KENY TARTOM¡NYON<br />
Az elızıekben kihangs˙lyoztuk, hogy a kÈplÈkeny hat·ron, vagyis 0 R r � -n·l<br />
mindkÈt oldali fesz¸ltsÈgek megegyeznek. Ez azt jelenti, hogy<br />
teh·t � r Ès �<br />
kÈplÈkeny zÛn·ban is<br />
lim�<br />
� lim�<br />
,<br />
r<br />
r<br />
r�R0<br />
�0<br />
r�<br />
R0<br />
�0<br />
� folytonos az 0<br />
�<br />
lim�<br />
� lim�<br />
,<br />
�<br />
�<br />
r�R0<br />
�0<br />
r�R0<br />
�0<br />
R r � helyen. FeltÈtelezve azt, hogy a fesz¸ltsÈgek a<br />
r<br />
B<br />
B<br />
� A � , � � A � ,<br />
2 � 2<br />
r<br />
r<br />
szerkezet˚ek, az emlÌtett folytonoss·gok miatt a rugalmas tartom·nyra ÈrvÈnyes (14)<br />
kÈpletek ÈrvÈnyesek a kÈplÈkeny tartom·nyra is, azaz<br />
(44)<br />
2<br />
R<br />
� r � � p ,<br />
2<br />
r<br />
2<br />
R<br />
� � � p , � � 0<br />
2 z , r � R .<br />
r<br />
z<br />
179
(45)<br />
180<br />
Ekkor a tartom·ny (csak!) rugalmas rÈszÈn<br />
2<br />
p � R �<br />
� r � � � � ,<br />
2G<br />
� r �<br />
pR � R �<br />
(46) u � � �<br />
2G<br />
� r �<br />
p � R �<br />
� � � � � , z � 0<br />
2G<br />
� r �<br />
, v � 0 , � 0<br />
2<br />
R r � ,<br />
� , 0<br />
R r � .<br />
w , 0<br />
LÈnyeges k¸lˆnbsÈg az elızı szakaszban t·rgyalt mÛdszerrel szemben az is,<br />
hogy a kÈplÈkeny tartom·nybeli deform·ciÛk Ès elmozdul·sok sz·mÌt·s·n·l szintÈn a<br />
HOOKE-tˆrvÈnyt alkalmazzuk, de a kÈplÈkeny tartom·nyra ÈrvÈnyes cs˙sztatÛ<br />
rugalmass·gi modulussal. Jelˆlje ezt G pl . Itt kÈt utat j·rhatunk aszerint, hogy az<br />
anyagtˆrvÈny al·bbi kÈt form·ja kˆz¸l melyiket alkalmazzuk.<br />
�<br />
� f<br />
11. ·bra. H˙zÛ-nyomÛ diagram a rugalmas-kÈplÈkeny tartom·nyhoz<br />
(i) A deform·ciÛt a foly·shat·rhoz tartozÛ Ès a plasztikus deform·ciÛ ˆsszegkÈnt<br />
Ìrjuk fel<br />
f<br />
plast<br />
f<br />
pl<br />
� � � � � : � � � � alakban (11. ·bra-(a)).<br />
(ii) A deform·ciÛt a rugalmas Ès a maradÛ deform·ciÛk ˆsszegekÈnt Ìrjuk fel:<br />
elast<br />
maradÛ<br />
el<br />
� � � � � : � � � � alakban (11. ·bra-(b)).<br />
Az ·br·k alapj·n<br />
f �<br />
� � ,<br />
2G<br />
� r,�� := �<br />
� f<br />
f<br />
� f<br />
arctg 2Gpl<br />
arctg 2G<br />
� plast<br />
�<br />
pl<br />
pl<br />
� -� f<br />
� r,�� :=�<br />
f<br />
(a)<br />
m<br />
� ��<br />
� ,<br />
2G<br />
el �<br />
� � ,<br />
2G<br />
� r,�� := �<br />
� �<br />
m �<br />
1 1<br />
� � ( � ��<br />
� �<br />
f )<br />
.<br />
� �<br />
� 2G<br />
pl 2G<br />
�<br />
A foly·shat·rhoz tartozÛ fesz¸ltsÈgek, deform·ciÛk Ès elmozdul·sok:<br />
�<br />
� f<br />
� elast<br />
arctg 2Gpl<br />
arctg 2G<br />
� maradÛ<br />
� -� f<br />
� r,�� := �<br />
(b)
2<br />
2<br />
0 ��<br />
f � R �<br />
� r � � p�<br />
� ,<br />
� R �<br />
0 ��<br />
f � R �<br />
� � � p�<br />
� ,<br />
� R � 2 �<br />
0<br />
�<br />
f p � R �<br />
� r � �<br />
�<br />
� ,<br />
G � R � 2 �<br />
0<br />
�<br />
f p � R �<br />
� � �<br />
�<br />
� ,<br />
G � R �<br />
(47)<br />
(48)<br />
Ezeket felhaszn·lva, az (i) esetben<br />
�<br />
r<br />
�<br />
� �<br />
u � r�<br />
f<br />
r<br />
� � � � �<br />
f<br />
�<br />
�<br />
� �<br />
Az (ii) esetben<br />
� � �<br />
�<br />
r<br />
�<br />
� �<br />
u � r�<br />
el<br />
r<br />
el<br />
�<br />
�<br />
pl<br />
r<br />
pl<br />
�<br />
�<br />
1<br />
� p�<br />
�2G<br />
�<br />
�<br />
1<br />
� � p�<br />
�2G<br />
�<br />
�<br />
1<br />
� p�<br />
�2G<br />
�<br />
pl<br />
R<br />
r<br />
2<br />
pl<br />
pl<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
R<br />
r<br />
R<br />
r<br />
�<br />
�<br />
�<br />
2<br />
�<br />
�<br />
�<br />
2<br />
� 1 1<br />
� � �<br />
� 2G<br />
2G<br />
��<br />
��<br />
�<br />
��<br />
2<br />
� 1 1<br />
� � �<br />
� 2G<br />
2G<br />
� 1 1<br />
� � �<br />
� 2G<br />
2G<br />
pl<br />
R<br />
R<br />
0<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
pl<br />
2<br />
pl<br />
��<br />
��<br />
�<br />
��<br />
��<br />
��<br />
�<br />
��<br />
�<br />
r�<br />
.<br />
�<br />
�<br />
R<br />
R<br />
R<br />
R<br />
0<br />
0<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
2<br />
2<br />
�<br />
� ,<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� ,<br />
�<br />
�<br />
2<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
u f<br />
p �<br />
�<br />
2 �<br />
�<br />
G �<br />
R<br />
R<br />
0<br />
�<br />
� �<br />
�<br />
2<br />
, 0 R r R � �<br />
2 � ��<br />
2 2 � �<br />
m � p � R � �<br />
1 1<br />
��<br />
� R � � R �<br />
� �<br />
�<br />
r � � � � p � � � � �<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� ,<br />
2G<br />
� r � � �<br />
�<br />
2G<br />
pl 2G<br />
� � r � � �<br />
� � R0<br />
� � �<br />
2 � ��<br />
2 2 � �<br />
m p � R � �<br />
1 1<br />
�<br />
� �<br />
�<br />
� R � R<br />
�<br />
�<br />
� ��<br />
� � � � p � � � � �<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� , R � r � R<br />
� � � �<br />
0 .<br />
2G<br />
r<br />
�<br />
2G<br />
pl 2G<br />
� � r � �<br />
� � R0<br />
� � �<br />
�<br />
2 � ��<br />
2 2<br />
p R<br />
� � �<br />
�<br />
� � �<br />
1 1<br />
� �<br />
R R<br />
p<br />
� � �<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� r .<br />
2G<br />
r � �<br />
�<br />
2G<br />
pl 2G<br />
�<br />
r<br />
�<br />
� � R0<br />
� �<br />
�<br />
�<br />
Ez az eredmÈny ekvivalens az (i) alattival, de van egy nagy elınye, hogy az m � r Ès<br />
m<br />
� � maradÛ deform·ciÛk a kÈplÈkenysÈgi hat·ron ( R0<br />
r � -n·l) zÈrus ÈrtÈk˚ek, Ès csak<br />
e hat·r ·tlÈpÈse ut·n ( r � R0<br />
-n·l) jelennek meg (Ès r csˆkkenÈsÈvel nˆvekednek).<br />
M·sik elınye, hogy a jobboldalak elsı tagja a tartom·ny rugalmas rÈszÈn ÈrvÈnyes<br />
alakv·ltoz·sok, ill. elmozdul·s. Õgy ha alkalmazzuk a<br />
�1,<br />
� � �<br />
�0,<br />
ha<br />
ha<br />
R � r � R ,<br />
R<br />
0<br />
0<br />
� r � �<br />
ugr·sf¸ggvÈnyt, akkor a mechanikai mezıt formailag egysÈgesen Ìrhatjuk fel olyan<br />
formul·kkal, amelyek az egÈsz tartom·nyon ÈrvÈnyesek. Eszerint<br />
181<br />
.
(49)<br />
182<br />
Û<br />
Â<br />
Â<br />
r<br />
r<br />
�<br />
� R �<br />
� � p�<br />
� ,<br />
� r �<br />
p<br />
� �<br />
2G<br />
p<br />
�<br />
2G<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
R<br />
r<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
p R<br />
u �<br />
2G<br />
r<br />
v � 0,<br />
2<br />
R<br />
r<br />
2<br />
2<br />
�<br />
�<br />
1<br />
� p�<br />
�<br />
�<br />
2G<br />
�<br />
�<br />
1<br />
� p�<br />
�<br />
�<br />
2G<br />
2<br />
Û<br />
w � 0.<br />
�<br />
� R �<br />
� p�<br />
� ,<br />
2<br />
� r �<br />
pl<br />
�<br />
�<br />
1<br />
� p�<br />
�<br />
�<br />
2G<br />
pl<br />
2<br />
Û<br />
� 0,<br />
1 ��<br />
��<br />
� R �<br />
�<br />
�<br />
� �<br />
2G<br />
���<br />
r �<br />
�<br />
1 ��<br />
��<br />
� R �<br />
�<br />
�<br />
� �<br />
2G<br />
���<br />
r �<br />
�<br />
pl<br />
z<br />
2<br />
2<br />
1 ��<br />
��<br />
� R �<br />
�<br />
�<br />
� �<br />
2G<br />
���<br />
r �<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
2<br />
R<br />
R<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
R<br />
R<br />
0<br />
0<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
R<br />
R<br />
0<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
2<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
2<br />
�<br />
�,<br />
�<br />
�<br />
2<br />
�<br />
�,<br />
�<br />
�<br />
� �<br />
�r��<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
��<br />
r � R,<br />
Â<br />
z<br />
�<br />
0,<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� r � R,<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
r � R.<br />
A (47), (48) Ès (49) ˆsszef¸ggÈsekben Èszrevehetı, hogy ha Gpl = G, vagyis az<br />
anyag nincs kÈplÈkeny ·llapotban, akkor itt a Gpl = G form·lis helyettesÌtÈs a rugalmas<br />
·llapotnak megfelelı (44)-(46) ÈrtÈkeket adja. Teh·t nagyon egyszer˚, termÈszetes ˙ton<br />
juthatunk a kÈplÈkenysÈgre jellemzı kÈpletekhez. Ez azt jelenti, hogy gyakorlatilag<br />
elegendı lenne pl. a (48) kÈpletek ismerete azzal a kiegÈszÌtÈssel, hogy rugalmas<br />
esetben Gpl = G. Ez egy˙ttal fˆlˆslegessÈ tennÈ a � ugr·sf¸ggvÈny bevezetÈsÈt.<br />
Ugyanakkor megjegyezz¸k, hogy Gpl = 0 esetet, amely az ide·lisan kÈplÈkeny<br />
·llapotnak felel meg, gyakorlatilag elvetj¸k, de minden kicsiny pozitÌv ÈrtÈk˚nek<br />
elfogadjuk.<br />
Ezekben az ˆsszef¸ggÈsekben mÈg nem ismert az R 0 zÛnahat·r ÈrtÈke. Viszont az<br />
eddigiekben nem haszn·ltuk fel a kÈplÈkenysÈgi hat·rfeltÈtelt. Ez azt jelenti, hogy ezek<br />
az ˆsszef¸ggÈsek a kÈplÈkenysÈgi hat·rfeltÈteltıl f¸ggetlen¸l ÈrvÈnyesek. Ezt a feltÈtelt<br />
most az R 0 zÛnahat·r meghat·roz·s·ra haszn·ljuk fel.<br />
Ak·r a TRESCA-fÈle, ak·r a HUBER-MISES-HENCKY-fÈle feltÈtelt tekintj¸k, mindkettı<br />
abbÛl is sz·rmaztathatÛ, hogy az anyag mindaddig rugalmas ·llapotban marad, amÌg a<br />
torzul·si deform·ciÛs munka egy<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
'<br />
W f k¸szˆbÈrtÈket el nem Èr, amelytıl kezdve az<br />
anyag a vele kˆzˆlt munk·t (energi·t) m·r csak szerkezeti rÈszeinek maradÛ<br />
megv·ltoz·s·val kÈpes felvenni. Mivel a mi eset¸nkben � ��<br />
� � � 0 Ès<br />
r<br />
� z<br />
� � � � � � 0 , ezÈrt a torzul·si munka megegyezik az alakv·ltoz·si munk·val. Az<br />
r � z<br />
5.1. szakaszban ezt a munk·t m·r felÌrtuk (27,28). Ennek ÈrtÈke az 0 R r � ÈrtÈknÈl<br />
(50)<br />
W<br />
'<br />
f<br />
�<br />
1<br />
( � r�<br />
r<br />
2<br />
� � � )<br />
�<br />
�<br />
r�<br />
R0<br />
2<br />
p �<br />
�<br />
2G<br />
�<br />
�<br />
�<br />
R<br />
R<br />
0<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
4<br />
1 ( � � ��<br />
r )<br />
�<br />
.<br />
2G<br />
4<br />
2
(51)<br />
Ez felÌrhatÛ<br />
1 '<br />
� ) 2 ( ) 2 , 2<br />
2 � � � r � GW f � � � ��<br />
r � k k �<br />
( GW f<br />
alakban is. Az (50) egyenletet R0 -ra megoldva,<br />
(52)<br />
R �<br />
0<br />
R<br />
Ezzel megkaptuk a zÛnahat·r ÈrtÈkÈt. Ha ezt behelyettesÌtj¸k a (49) kÈpletbe,<br />
megkapjuk a mechanikai mezıt alkotÛ paramÈtereket a terhelÈssel Ès az anyagot<br />
jellemzı ·llandÛkkal kifejezve. A G pl modulus ÈrtÈkÈt termÈszetesen labormÈrÈsekkel<br />
elızetesen meg kell hat·rozni.<br />
A feladat kÈplÈkenysÈggel kapcsolatos rÈszÈnek ilyen megold·sa tal·n szokatlannak<br />
t˚nhet. VÈgeredmÈnyben mind a rugalmas, mind a kÈplÈkeny tartom·nyban a HooketˆrvÈnyt<br />
alkalmaztuk.<br />
Vegy¸k azonban figyelembe, hogy a tartom·ny kÈplÈkeny rÈszÈben egy m·sik<br />
rugalmass·gi modulust ( G pl ) vezett¸nk be. Ez·ltal egyszer˚sÌtett¸k a sz·mÌt·sokat, Ès<br />
ugyanakkor nem sÈrtett¸nk fizikai tˆrvÈnyt.<br />
az<br />
R<br />
HasonlÌtsuk mÈg ˆssze a zÛnahat·r (36)-ban, ill. (52)-ben megadott ÈrtÈkÈt, vagyis<br />
R0<br />
p �� 1 �<br />
R0<br />
� Rexp<br />
�<br />
2<br />
R �<br />
0<br />
2k<br />
R<br />
p<br />
k<br />
p<br />
k<br />
R<br />
.<br />
� 1 p �<br />
� R0<br />
( p)<br />
� R � exp�<br />
� � �<br />
� 2 2k<br />
�<br />
0 Ès<br />
R0 � R0<br />
( p)<br />
� R<br />
p<br />
k<br />
ÈrtÈkeket. Az elsı a p terhelÈssel<br />
exponenci·lisan, a m·sodik nÈgyzetgyˆkˆsen<br />
v·ltozik. De ha k � p (azaz p � k ), akkor<br />
p<br />
mindkÈt esetben R0 � R . Teh·t ennek a kÈt<br />
f¸ggvÈnynek az ÈrtÈke ennÈl a kritikus<br />
0 k 2k terhelÈsnÈl (amikor Èppen folyni kezd a henger<br />
12. ·bra. ZÛnahat·rok a terhelÈs pal·stja) megegyezik. De a kÈt elsı deriv·lt is<br />
f¸ggvÈnyÈben<br />
megegyezik, Ès<br />
R<br />
R0�<br />
( k)<br />
� . Ez azt jelenti,<br />
2k<br />
hogy a p � k kˆrnyezetÈben a kÈt f¸ggvÈny elsırendben kˆzelÌti egym·st. (12. ·bra).<br />
PÈldakÈppen kisz·mÌtottuk mindkÈt f¸ggvÈny ÈrtÈkÈt a p � 1,<br />
5k<br />
terhelÈsnÈl.<br />
'<br />
183
184<br />
� r<br />
4 p<br />
3 2G<br />
p<br />
2G<br />
2 p<br />
3 2G<br />
0<br />
2 p<br />
�<br />
3 2G<br />
p<br />
�<br />
2G<br />
4 p<br />
�<br />
3 2G<br />
�<br />
r<br />
� p<br />
��<br />
� 2G<br />
� �<br />
� p<br />
�<br />
�<br />
2G<br />
�<br />
� � R �<br />
�2�<br />
�<br />
��<br />
� r �<br />
�<br />
�<br />
�<br />
R<br />
r<br />
2<br />
�<br />
�<br />
�<br />
,<br />
2<br />
2�<br />
� �,<br />
3��<br />
ha<br />
ha<br />
r � R ,<br />
0<br />
A kÈt ÈrtÈk:<br />
R Re<br />
1,<br />
28R<br />
25 , 0<br />
� � , ill.<br />
0<br />
R � R 1,<br />
5 � 1,<br />
22R<br />
.<br />
0<br />
Ha p � 2k<br />
, akkor<br />
e 5 , 0<br />
R � R � 1,<br />
65R<br />
, ill.<br />
0<br />
R � R 2 � 1,<br />
41R<br />
.<br />
0<br />
A deform·ciÛkat p = 1,5k<br />
terhelÈs Ès Gpl = 0,5G esetÈn a 13.<br />
·br·n v·zoltuk.<br />
Figyelembe vÈve azt, hogy<br />
ekkor R 1,<br />
5R<br />
alapj·n<br />
R � r � R ,<br />
�<br />
�<br />
0<br />
� ��<br />
,<br />
0 � , a (49) kÈpletek<br />
Mint l·thatÛ, mind az � r , mind az � � f¸ggvÈny, jellegÈt tekintve hasonlÛ a (15)-<br />
ben szereplı f¸ggvÈnyekhez. Ha ugyanilyen terhelÈs mellett rugalmasnak tÈteleznÈnk<br />
fel a tartom·nyt, akkor az 0 R r R � � intervallumon a � = 0 gˆrbÈk lennÈnek<br />
ÈrvÈnyesek.<br />
��<br />
R<br />
Sz·mÌtsuk mÈg ki a hengerpal·st eltolÛd·s·t mind a (43), mind a (49)-ben adott<br />
kÈplettel az al·bbi adatok mellett:<br />
p � 150 MPa, k � 100 MPa, m � 4 , R � 2000 mm, 2G � 4000 MPa, 2G � 2000 MPa.<br />
A (43) kÈplettel:<br />
k �<br />
2<br />
� R0<br />
� � R0<br />
1 ��<br />
u( R)<br />
� �(<br />
5m<br />
� 4)<br />
� � � 6(<br />
m � 2)<br />
�ln<br />
� ��R<br />
� 86,<br />
9mm<br />
4G(<br />
m �1)<br />
��<br />
� R � � R 2 ���<br />
A (49) kÈplettel:<br />
� = 0<br />
� = 0<br />
� = 1<br />
� = 1<br />
R0<br />
��<br />
�r<br />
� = 0<br />
� = 0<br />
13. ·bra<br />
2<br />
pR � 1 1 ��<br />
� R � �<br />
u(<br />
R)<br />
� � p�<br />
� ��1<br />
� �R<br />
� 100mm<br />
2G<br />
2G<br />
pl 2G<br />
�<br />
�<br />
�<br />
R �<br />
�<br />
.<br />
� �<br />
� � 0 � � � �<br />
�<br />
r<br />
r<br />
�<br />
z<br />
�<br />
0.<br />
pl
Sz¸ksÈgesnek tartjuk megemlÌteni, hogy a (49) megold·s kielÈgÌti mind az<br />
egyens˙lyi, mind a geometriai, mind az anyagegyenleteket. ⁄gyszintÈn teljes¸lnek a<br />
peremfeltÈtelek is.<br />
7. RUGALMAS TARTOM¡NY, RUGALMAS BIZTOSÕT¡SSAL<br />
Ebben a szakaszban ugyancsak a v·gatnyit·s kˆvetkeztÈben fellÈpı, ˙n. j·rulÈkos<br />
fesz¸ltsÈgeket, deform·ciÛkat Ès elmozdul·sokat hat·rozzuk meg, feltÈtelezve azt, hogy<br />
14. ·bra. KˆrszelvÈny˚ v·gat, biztosÌt·ssal<br />
a v·gatnyit·ssal egyidıben egy Rb � R falvas-<br />
tags·g˙ biztosÌt·st (csˆvet) ÈpÌt¸nk be (14.<br />
·bra).<br />
A biztosÌt·s szabad fel¸lete nyilv·n<br />
terheletlen kell legyen, mÌg a biztosÌt·s Ès a<br />
kızet kˆzˆs Èrintkezı fel¸letÈn<br />
b<br />
�R � � R )<br />
� r b � r ( b .<br />
Ugyanakkor ennek a beavatkoz·snak a<br />
hat·sa a v·gattÛl elÈggÈ t·vol m·r gyakorlatilag<br />
elenyÈszı, azaz<br />
� ( �) � 0,<br />
� ( �)<br />
� 0,<br />
u(<br />
�)<br />
� 0 .<br />
r �<br />
Tekintettel arra, hogy a j·rulÈkos paramÈtereket hat·rozzuk meg, ezÈrt a 2. feladatot<br />
kell megoldani mind a biztosÌt·s, mind a kızet ·ltal kitˆltˆtt tartom·nyon.<br />
7.1. MEGOLD¡S A BIZTOSÕT¡SBAN ) R r R � �<br />
( b<br />
A beavatkoz·s a � � � � � � � p fesz¸ltsÈgi ·llapotban lÈvı tartom·nyban<br />
r<br />
z<br />
tˆrtÈnik, amelynek teh·t minden pontj·ban � p , b·rmilyen ir·ny˙ is legyen r. E<br />
miatt a biztosÌt·s szabad fel¸lete, az r � R henger akkor lesz terheletlen, ha ezen a<br />
pal·ston p intenzit·s˙ h˙zÛerı m˚kˆdik. Ugyanis a p nyomÛerıt Ìgy lehet<br />
ellens˙lyozni. Ennek a �R� � � p<br />
b<br />
r<br />
r �<br />
� peremfeltÈtel felel meg. A biztosÌt·s Ès a kızet<br />
kˆzˆs hat·r·n, az R b sugar˙ hengeren, legyen a terhelÈs, vagyis a radi·lis fesz¸ltsÈg<br />
� p � pb<br />
, ahol b<br />
b<br />
r<br />
BiztosÌt·s<br />
R<br />
�Rb � � � p � pb<br />
Rb<br />
Kızet<br />
p egyelıre ismeretlen. A m·sik peremfeltÈtel teh·t:<br />
� . A p ÈrtÈket abbÛl a feltÈtelbıl fogjuk meghat·rozni, hogy az<br />
r � Rb<br />
hengeren (ha ˙gy tetszik, kˆrˆn) a biztosÌt·sbeli Ès a kızetbeli elmozdul·s<br />
egyenlı. L·tszÛlag bonyolultnak t˚nik a peremfeltÈtel ilyen felvÈtele, de mint l·tni<br />
fogjuk ez a praktikusabb.<br />
185
Ezek ut·n keress¸k a fesz¸ltsÈgeket<br />
(53)<br />
2 2<br />
,<br />
b B<br />
� r � A �<br />
r<br />
b B<br />
��<br />
� A �<br />
r<br />
alakban. A �R� � � p<br />
186<br />
b<br />
r<br />
b<br />
� , ill. a � r �Rb � � � p � pb<br />
peremfeltÈteleket felhaszn·lva, az<br />
B<br />
B<br />
A � � � p,<br />
A � � � p � p<br />
2<br />
R<br />
R<br />
egyenletrendszert kapjuk, melynek megold·sa:<br />
(54)<br />
Bevezetve a<br />
2<br />
b<br />
2<br />
b<br />
2<br />
b<br />
2<br />
b<br />
2<br />
b<br />
2<br />
b<br />
2<br />
R<br />
R R<br />
A � � p � pb<br />
, B � p<br />
2<br />
b .<br />
R � R R � R<br />
2<br />
Rb<br />
2<br />
b �<br />
Q:<br />
� jelˆlÈst, a fesz¸ltsÈgek:<br />
2<br />
R R<br />
� 2 �<br />
b<br />
� R �<br />
� r � � p � pbQ�1<br />
� � � � ,<br />
��<br />
� r � ��<br />
b<br />
(55) �� p � p Q�<br />
� 2 �<br />
b<br />
� R �<br />
� � � � p � pbQ�1<br />
� � � � ,<br />
��<br />
� r � ��<br />
z �<br />
m<br />
b<br />
2<br />
� , b R r R � � .<br />
Egyszer˚ helyettesÌtÈssel bel·thatÛ, hogy<br />
2<br />
b<br />
b<br />
R �<br />
2<br />
b � R � �<br />
� r ( R)<br />
� � p , � r ( Rb ) � � p � pb<br />
�1<br />
� � � � p � pb<br />
R<br />
R<br />
b R �<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
,<br />
2 2<br />
�<br />
b � � � �<br />
�<br />
teh·t a peremfeltÈtelek teljes¸lnek.<br />
A (4) anyagegyenletek szerint a deform·ciÛk:<br />
b<br />
b<br />
b p m pbQ<br />
�<br />
2<br />
� 2 m � 2 � R � � �<br />
� r � �<br />
� � � � � �,<br />
�<br />
b b<br />
b b<br />
2G<br />
m 2G<br />
��<br />
m � r � ��<br />
�<br />
b<br />
b<br />
2 �<br />
b p m � 2 pbQ<br />
�m<br />
� 2 � R � � �<br />
(56) � � � �<br />
� � � � � �,<br />
R � r � R<br />
b b<br />
b b �<br />
b<br />
2G<br />
m 2G<br />
��<br />
m � r � ��<br />
�<br />
�<br />
b<br />
�<br />
�<br />
z � 0,<br />
�<br />
�<br />
Az elmozdul·s az u � r��<br />
ˆsszef¸ggÈs alapj·n:<br />
b<br />
p m p Q � b<br />
2<br />
b<br />
� 2 b m � 2 � R � �<br />
b<br />
b<br />
(57) u � �<br />
r � � � � � �r<br />
, v � 0 , w � 0 , R � r � R<br />
b b<br />
b b<br />
b .<br />
2G<br />
m 2G<br />
��<br />
m � r � ��<br />
Ezzel a biztosÌt·sban Èbredı fesz¸ltsÈgeket, deform·ciÛkat Ès elmozdul·sokat<br />
meghat·roztuk. Hangs˙lyozzuk, hogy ezek csup·n a beavatkoz·s (a v·gatnyit·s Ès a<br />
biztosÌt·s behelyezÈse) kˆvetkeztÈben kialakulÛ paramÈterek. ValÛj·ban nem is
lÈnyeges a tÈnyleges (fizikailag megvalÛsulÛ) beavatkoz·s, hiszen az szil·rds·gtani<br />
szempontbÛl ekvivalens azzal, hogy ÈrvÈnyesÌtj¸k a kÈt peremfeltÈtelt.<br />
7.2. MEGOLD¡S A K’ZETBEN ( b R<br />
r � )<br />
A megold·st ismÈt az (53) alakban kereshetj¸k, de most a peremfeltÈtelek<br />
form·j˙ak. Ekkor az<br />
� r<br />
b<br />
( R b ) � � p � p , � � ( �)<br />
� 0<br />
B<br />
A � � p � p<br />
�<br />
2<br />
Rb<br />
egyenletrendszert kapjuk, melynek megold·sa:<br />
(58) A � 0 ,<br />
Ez alapj·n a fesz¸ltsÈgek:<br />
2<br />
b<br />
, A � 0<br />
2<br />
b ) R<br />
B � ( p � p b .<br />
� Rb<br />
�<br />
� Rb<br />
�<br />
(59) � r � �(<br />
p � pb<br />
) � � , � � � ( p � pb<br />
) � � , � z � 0,<br />
r � Rb<br />
.<br />
� r �<br />
� r �<br />
(60)<br />
A (4) egyenletek szerint a deform·ciÛk:<br />
R<br />
�<br />
Rb<br />
� r<br />
p � pb<br />
� Rb<br />
�<br />
� � � �<br />
2G<br />
� r �<br />
b<br />
� � (biztosÌt·s)<br />
� � (kızet)<br />
� r (kızet)<br />
b<br />
� r (biztosÌt·s)<br />
15. ·bra. A kızetben Ès a biztosÌt·sban Èbredı<br />
fesz¸ltsÈgek biztosÌt·s beÈpÌtÈse esetÈn<br />
2<br />
2<br />
2<br />
p � pb<br />
� Rb<br />
�<br />
� � � � � � z � 0 , b<br />
2G<br />
� r �<br />
R r � .<br />
r<br />
Az elmozdul·sok:<br />
(61)<br />
u<br />
b<br />
: � u � r��<br />
p � pb<br />
� Rb<br />
�<br />
� � �<br />
2G<br />
� r �<br />
r,<br />
v � 0,<br />
w � 0,<br />
r � R .<br />
Ezzel megkaptuk a kızetben<br />
Èbredı fesz¸ltsÈgeket, deform·ciÛkat<br />
Ès elmozdul·sokat. TermÈszetesen<br />
ezek is a beavatkoz·s<br />
kˆvetkeztÈben keletkezı paramÈ-<br />
terek. A � r Ès � � gˆrbÈi a 15.<br />
·br·n l·thatÛk.<br />
2<br />
b<br />
187
188<br />
7.3. AZ ISMERETLEN p b MEGHAT¡ROZ¡SA<br />
EmlÌtett¸k, hogy a p b paramÈtert abbÛl a feltÈtelbıl hat·rozzuk meg, hogy a<br />
biztosÌt·s Ès a kızet elmozdul·sa az R b hengeren egyenlı, azaz<br />
(62) u ( Rb<br />
) � u(<br />
Rb<br />
) .<br />
(63)<br />
b<br />
RÈszletesen kiÌrva, ez azt jelenti hogy az (57) Ès (61) ˆsszevetÈsÈvel<br />
p<br />
�<br />
b<br />
2G<br />
b<br />
m � 2<br />
R<br />
b b<br />
m<br />
b<br />
pbQ<br />
�<br />
m � 2 �<br />
� � �<br />
b b<br />
2G<br />
� m<br />
�<br />
�<br />
� �<br />
¡talakÌt·sok ut·n innen<br />
p<br />
b<br />
b<br />
R<br />
R<br />
b<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
2<br />
�<br />
�R<br />
�<br />
�<br />
m � 2<br />
� � b<br />
b<br />
2G<br />
� p<br />
m<br />
, � � ,<br />
� b<br />
2<br />
m 2 R � 2G<br />
Q�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� �<br />
b 2<br />
m R �<br />
�<br />
�<br />
b �<br />
b<br />
p � p0<br />
� Rb<br />
�<br />
�<br />
2G<br />
�<br />
�<br />
R �<br />
�<br />
� b �<br />
Q �<br />
R<br />
2<br />
b<br />
R<br />
2<br />
b<br />
� R<br />
Mielıtt ezt az eredmÈnyt ellenıriznÈnk, sz·mÌtsuk ki p b ÈrtÈkÈt a biztosÌt·s nÈlk¸li<br />
esetre. A (14) formula szerint ekkor<br />
(*)<br />
R<br />
� r � � p<br />
2<br />
r<br />
� R �<br />
� � r ( Rb<br />
) � � p�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� Rb<br />
�<br />
.<br />
Ugyanakkor ak·r az (55) ak·r az (59) alapj·n<br />
(**) � r ( Rb ) � � r ( Rb<br />
) � � p � pb<br />
.<br />
A (*) Ès a (**) egyenlısÈgÈbıl<br />
b<br />
2<br />
2 �<br />
2<br />
� R �<br />
� R � �<br />
� p � pb<br />
� � p<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� � pb<br />
� p�1<br />
� �<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� .<br />
� Rb<br />
� � � Rb<br />
� �<br />
�<br />
Ezek ut·n az ellenırzÈsnek azt a mÛdj·t v·lasztjuk, hogy kisz·mÌtjuk a (63) ÈrtÈkÈt<br />
arra az esetre, amikor a biztosÌt·s Ès a kızet anyaga azonos, vagyis nincs biztosÌt·s. A<br />
(64) kÈpletben ezt ˙gy ÈrvÈnyesÌtj¸k, hogy G G<br />
b b<br />
� , vagyis � � 1 , Ès m helyett<br />
form·lisan m-et Ìrunk (b·r az utÛbbinak nincs jelentısÈge). Ezeket kihaszn·lva<br />
2<br />
1<br />
2 2<br />
2<br />
( 2 1)(<br />
)<br />
0 1<br />
1 .<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
( 2 1)<br />
�<br />
1<br />
2<br />
�<br />
m �<br />
�<br />
m � R � �<br />
b � R<br />
�<br />
� �<br />
R<br />
p �<br />
m<br />
� � p<br />
p<br />
p<br />
�<br />
�<br />
� �<br />
�<br />
�<br />
m � R<br />
m Rb<br />
� �<br />
� Rb<br />
Q<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� m Rb<br />
�<br />
A v·rt ÈrtÈket kaptuk, teh·t a (63)-ban felÌrt p b ÈrtÈke helyes.<br />
2<br />
2<br />
2<br />
R<br />
.<br />
b<br />
.
7. A POYNTING-THOMSON-MODELL ALKALMAZ¡SA<br />
Az eddigi megold·sn·l feltÈtelezt¸k a HOOKE-tˆrvÈny ÈrvÈnyessÈgÈt, Ès nem vett¸k<br />
figyelembe a mechanikai mezı v·gatnyit·s ut·ni idıbeli v·ltoz·s·t. Ha ezt is<br />
figyelembe akarjuk venni, akkor a klasszikus POYNTING-THOMSON-fÈle reolÛgiai<br />
modell adta lehetısÈgeket is ki kell haszn·lni, amely az al·bbi kÈt egyenletbıl ·ll:<br />
T ��<br />
T�<br />
� 2GE<br />
� 2�E�<br />
, �<br />
(64)<br />
�<br />
To<br />
��<br />
oT�<br />
o � 3KEo<br />
� 3K<br />
E�<br />
v o.<br />
�<br />
Tekintettel arra, hogy jelen esetben<br />
ezÈrt<br />
1<br />
1<br />
1<br />
� o � ( � )<br />
3 r � � � � � z , � o � ( � r � � � � � z ) � ( � r � ��<br />
) ,<br />
3<br />
3<br />
2�<br />
r � � � 0 0<br />
1<br />
T � 0 2�<br />
� ��<br />
r 0 , E �<br />
3<br />
0 0 0<br />
1<br />
3<br />
2�<br />
� �<br />
Ezt felhaszn·lva a (64) rendszer elsı egyenlete skal·ris alakban<br />
2�<br />
2�<br />
r<br />
0<br />
0<br />
�<br />
0<br />
2�<br />
� �<br />
� � � � � � � �<br />
� � � � � � � � �� �<br />
2 � � r � � ��<br />
� 2G<br />
2�<br />
r � ��<br />
� 2�<br />
r ��<br />
� ��<br />
2��<br />
r ���<br />
� ,<br />
2 � � � � � � 2G<br />
2�<br />
� � � 2�<br />
��<br />
��<br />
2��<br />
���<br />
.<br />
�<br />
r<br />
Egyszer˚ ·talakÌt·sok ut·n az al·bbi egyenletrendszert kapjuk:<br />
2�<br />
� � r � 2G�<br />
r � � r ����<br />
r , �<br />
(65)<br />
�<br />
2�<br />
� ��<br />
� 2G�<br />
� � � � ����<br />
� . �<br />
Ha ebben a rendszerben mindegyik deriv·lt nulla, akkor<br />
(66) � r � 2G�<br />
r , � � � 2G��<br />
,<br />
�<br />
r<br />
vagyis megkaptuk a jÛl ismert Hooke-tˆrvÈnyt. Nevezhetj¸k ezt a lass˙ v·ltoz·s<br />
esetÈnek. Ha viszont a deriv·ltak mindegyike vÈgtelenhez tart, akkor a (65) helyett a<br />
egyenleteket haszn·lhatjuk. Integr·l·s ut·n a<br />
2 � � � � ���<br />
, 2 � � ��<br />
� ���<br />
�<br />
(67) 2 �� r � �� r 2 ��� � �� �<br />
r<br />
r<br />
ˆsszef¸ggÈseket kapjuk. Ezt nevezhetj¸k a gyors v·ltoz·s esetÈnek. Itt kihaszn·ltuk<br />
azt, hogy a v·gatnyit·s ut·ni pillanatban � r , ill. � � a teljes fesz¸ltsÈgek, � r , ill. � �<br />
pedig az ˙n. kezdeti deform·ciÛk.<br />
�<br />
r<br />
�<br />
�<br />
0<br />
r<br />
r<br />
0<br />
0 .<br />
0<br />
189
÷sszehasonlÌtva a (66) Ès a (67) eredmÈnyeket, azok csak formailag k¸lˆnbˆznek<br />
egym·stÛl. MondhatÛ az is, hogy a (66) egy olyan HOOKE-tˆrvÈny, amelynÈl a 2G<br />
modulus helyett 2 � / � szerepel. Ez utÛbbit szok·s dinamikai rugalmass·gi<br />
modulusnak is nevezni.<br />
A tapasztalat azt mutatja, hogy az ¸regnyit·s pillanat·ban a teljes fesz¸ltsÈgek Ès a<br />
kezdeti deform·ciÛk azonnal, teh·t igen gyorsan lej·tszÛdnak. Õgy a (67) eredmÈnyek<br />
re·lisak. Mindezt al·t·masztja az a fizikai tˆrvÈny is, hogy szil·rd anyagokban a<br />
mechanikai impulzus konduktÌv ·raml·s ˙tj·n terjed, ezÈrt a teljes (66) fesz¸ltsÈg igen<br />
gyorsan, a nyit·s pillanat·ban kialakul. Az elmozdul·s, Ès ennek kˆvetkeztÈben a teljes<br />
alakv·ltoz·s ezt nem tudja kˆvetni, mert ezek konvektÌv azaz makroszkopikus ·raml·s<br />
˙tj·n terjednek. A tˆmeg·raml·s nyilv·n lass˙bb, mint a konduktÌv ·ram, ahol a<br />
rÈszecskÈk az impulzust diff˙z ˙ton tov·bbÌtj·k.<br />
190<br />
Ha ekkor a kialakult maxim·lis fesz¸ltsÈg � r , ill. � � , akkor a (67) szerint a<br />
kezdeti deform·ciÛk<br />
(68) � r :<br />
�<br />
� r<br />
2�<br />
0 �<br />
� .<br />
2�<br />
0<br />
� , ill. ��<br />
: � �<br />
Az � r Ès � � deform·ciÛk a kÈsıbbiek sor·n v·ltoznak, Ès sz·mÌt·sukhoz<br />
0<br />
� � kezdıÈrtÈkekkÈnt vehetık figyelembe.<br />
0<br />
� r Ès<br />
Miut·n a v·gatnyit·s megtˆrtÈnt, Ès kialakult a maxim·lis � r Ès � � fesz¸ltsÈg,<br />
ezek idıben m·r nem v·ltoznak, ezÈrt �� � 0 Ès �� � 0 . Ezt kihaszn·lva, a (65)<br />
egyenletek ˙jabb alakja:<br />
(69) 2� � � r � 2G�<br />
r � � r , 2� � ��<br />
� 2G��<br />
� � � ,<br />
r<br />
ahol � r Ès � � adott ·llandÛk (az idıtıl nem f¸ggenek). Az � r Ès � � idıtıl (t ñtıl)<br />
valÛ f¸ggÈsÈnek meghat·roz·s·hoz ezt a kÈt egyenletet kell megoldani.<br />
(70)<br />
÷sszefoglalva, a kÈtfÈle HOOKE-tˆrvÈnynek megfelelı megold·sok:<br />
1. Hooke - modell ( t � � ), a lass˙ v·ltoz·s modellje esetÈn<br />
� � R �<br />
�<br />
r � � p�<br />
� , �<br />
� r �<br />
2<br />
� p � R �<br />
� r � � � � , �<br />
2G<br />
� r �<br />
� pR � R �<br />
u � � �.<br />
2G<br />
� r �<br />
2<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
2<br />
� R � �<br />
� p�<br />
� ; �<br />
� r � �<br />
2<br />
p � R � ��<br />
� � � ; �<br />
2G<br />
� r � �<br />
�<br />
�<br />
��
(71)<br />
2. Hooke ñ modell ( t � 0 ), a gyors v·ltoz·s modellje esetÈn<br />
2<br />
2 �<br />
0 � R � 0 � R �<br />
� r � � p�<br />
� , � � � p�<br />
� ; �<br />
� r � � r � �<br />
2<br />
2<br />
0 p�<br />
� R � 0 p�<br />
� R � ��<br />
� r � � � � , ��<br />
� � � ; �<br />
2�<br />
� r � 2�<br />
� r � �<br />
0 p�<br />
R � R �<br />
�<br />
u � � �.<br />
2�<br />
� r �<br />
�<br />
��<br />
A 16. ·bra az � r Ès � � ÈrtÈkeinek v·ltoz·s·t szemlÈlteti a v·gat tengelyÈtıl mÈrt<br />
t·vols·g f¸ggvÈnyÈben mind a gyors ( v � � ), mind a lass˙ ( v � 0 ) v·ltoz·s esetÈre. A<br />
folytonos gˆrbÈk e kÈt hat·resetnek (nulla sebessÈg˚, ill. vÈgtelen sebessÈg˚<br />
v·ltoz·snak) megfelelı ·llapotot jellemzik. A kˆzb¸lsı ( 0 � t � �)<br />
·llapotnak<br />
megfelelı gˆrbÈk a szaggatott vonallal rajzoltak. Az ·br·n l·thatÛ, hogy a gyors<br />
v·ltoz·shoz ( �� � �)<br />
tartozÛ, ÈrtÈkek kisebbek, mint a lass˙ v·ltoz·shoz ( �� � 0)<br />
tartozÛk. Ez kˆvetkezik abbÛl, hogy<br />
� r<br />
p<br />
2G<br />
p �<br />
2�<br />
0<br />
p�<br />
�<br />
2�<br />
p<br />
�<br />
2G<br />
��<br />
v = 0<br />
R 1,5R 2R 2,5R<br />
v = 0<br />
� � �<br />
16. ·bra. Deform·ciÛk a POYNTING-THOMSONmodell<br />
esetÈn<br />
� � 1<br />
��<br />
� 0 � � .<br />
G 2�<br />
2G<br />
p R<br />
( )<br />
2G r<br />
p�<br />
R<br />
�� � ( )<br />
2� r<br />
2<br />
2<br />
v = �<br />
v = �<br />
p�<br />
R 2<br />
� r � ( )<br />
2� r<br />
p R 2<br />
r ( )<br />
2G r<br />
� �<br />
r<br />
Mint emlÌtett¸k, a gyors<br />
v·ltoz·s (a gyors v·gatnyit·s)<br />
kˆvetkeztÈben fellÈpı, hirtelen<br />
kialakulÛ fesz¸ltsÈg Ès<br />
deform·ciÛk (71)-ben felÌrt<br />
ÈrtÈkeibıl kiindulva, a (69)<br />
egyenleteket kell megoldani.<br />
Felhaszn·lva, hogy<br />
0 � R �<br />
� r � � r � � p�<br />
� ,<br />
� r �<br />
a (69) elsı egyenlete<br />
(72) 2� �<br />
�<br />
� r � 2G�<br />
r � � p �<br />
� r<br />
2<br />
�<br />
�<br />
2<br />
R �<br />
.<br />
191
megold·sa:<br />
192<br />
Ennek a differenci·legyenletnek az<br />
p � R �<br />
� �<br />
2G<br />
� r �<br />
2<br />
p�<br />
R<br />
� r ( 0)<br />
� � kezdeti feltÈtelt kielÈgÌtı<br />
2 2�<br />
r<br />
2 t<br />
0<br />
G<br />
G<br />
� t G�<br />
� �<br />
�<br />
� �<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
r r<br />
(73) � � � ( r,<br />
t)<br />
� � 1�<br />
1 e � � � �� � � � e .<br />
r<br />
r<br />
�<br />
�<br />
�<br />
��<br />
�<br />
�<br />
��<br />
�<br />
Ez az eredmÈny azt igazolja, hogy az idıtıl is f¸ggı � ( r,<br />
t)<br />
alakv·ltoz·s a kÈt<br />
Hooke-tˆrvÈny alapj·n kapott ( � � r Ès<br />
felÌrhatÛ, ahol e kombin·ciÛ<br />
Bevezetve az<br />
G<br />
� t<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
r<br />
0<br />
� r ) alakv·ltoz·s Ñline·risî kombin·ciÛjakÈnt is<br />
e egy¸tthatÛja nyilv·n t ñtıl is f¸gg.<br />
t<br />
G<br />
�<br />
(74)<br />
� G�<br />
�<br />
1� �� 1�<br />
e<br />
�<br />
��<br />
� �<br />
�<br />
� �(<br />
t)<br />
jelˆlÈst,<br />
� p � R �<br />
(75) � r � � r ( r, t)<br />
� � r �(<br />
t)<br />
� � � � �(<br />
t)<br />
2G<br />
� r �<br />
alakban is elı·llÌthatÛ. Ez utÛbbi eredmÈny szerint � ( r,<br />
t)<br />
ÈrtÈke ñ a klasszikus<br />
HOOKE-tˆrvÈnynek megfelelı - � r<br />
HasonlÛkÈppen, a (69) m·sodik egyenletÈt az<br />
2<br />
� kezdıÈrtÈk Ès � (t)<br />
szorzatakÈnt ÌrhatÛ fel.<br />
� �<br />
( r,<br />
t �<br />
0)<br />
2<br />
p�<br />
R<br />
�<br />
2 2�<br />
r<br />
kezdeti feltÈtel mellett megoldva, az � � ( r,<br />
t)<br />
deform·ciÛt kapjuk. Ennek<br />
ismeretÈben az u � r��<br />
ˆsszef¸ggÈs alapj·n az elmozdul·s sz·mÌthatÛ.<br />
(76)<br />
÷sszefoglalva:<br />
�<br />
2<br />
� 0 � R �<br />
��<br />
r � � r ( r,<br />
t)<br />
� � r � � r � � p�<br />
� ,<br />
�<br />
� r �<br />
�<br />
2<br />
�<br />
� 0 � R �<br />
��<br />
�<br />
� ��<br />
( r,<br />
t)<br />
� � � � � � � p�<br />
� , � z<br />
�<br />
� r �<br />
r<br />
�<br />
0;
193<br />
(77)<br />
� �<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
��<br />
�<br />
�<br />
��<br />
�<br />
� �<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
��<br />
�<br />
�<br />
��<br />
�<br />
� �<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
.<br />
0<br />
,<br />
,<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
)<br />
(<br />
2<br />
2<br />
)<br />
0<br />
(<br />
)<br />
,<br />
(<br />
,<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
)<br />
(<br />
2<br />
2<br />
)<br />
0<br />
(<br />
)<br />
,<br />
(<br />
t<br />
r<br />
z<br />
z<br />
t<br />
G<br />
e<br />
G<br />
r<br />
R<br />
G<br />
p<br />
t<br />
r<br />
R<br />
G<br />
p<br />
t<br />
G<br />
e<br />
t<br />
r<br />
t<br />
G<br />
e<br />
G<br />
r<br />
R<br />
G<br />
p<br />
t<br />
r<br />
R<br />
G<br />
p<br />
t<br />
G<br />
e<br />
r<br />
r<br />
r<br />
t<br />
r<br />
r<br />
r<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
(78)<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
��<br />
�<br />
�<br />
��<br />
�<br />
� �<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
.<br />
0<br />
,<br />
0<br />
,<br />
1<br />
1<br />
2<br />
)<br />
(<br />
2<br />
)<br />
(<br />
)<br />
,<br />
(<br />
0<br />
w<br />
v<br />
e<br />
G<br />
r<br />
R<br />
G<br />
pR<br />
t<br />
r<br />
R<br />
G<br />
pR<br />
e<br />
u<br />
u<br />
u<br />
t<br />
r<br />
u<br />
t<br />
G<br />
t<br />
G<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
EllenırzÈskÈppen Èrdemes kisz·mÌtani az al·bbi hat·rÈrtÈkeket:<br />
,<br />
2<br />
)<br />
,<br />
(<br />
lim<br />
2<br />
0<br />
0<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� r<br />
R<br />
p<br />
t<br />
r r<br />
r<br />
t �<br />
�<br />
�<br />
� ,<br />
2<br />
)<br />
,<br />
(<br />
lim<br />
2<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� �<br />
�<br />
� r<br />
R<br />
G<br />
p<br />
t<br />
r r<br />
r<br />
t<br />
�<br />
�<br />
,<br />
2<br />
)<br />
,<br />
(<br />
lim<br />
2<br />
0<br />
0<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� r<br />
R<br />
p<br />
t<br />
r<br />
t �<br />
�<br />
�<br />
� �<br />
� ,<br />
2<br />
)<br />
,<br />
(<br />
lim<br />
2<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� �<br />
�<br />
� r<br />
R<br />
G<br />
p<br />
t<br />
r<br />
t<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
,<br />
2<br />
)<br />
,<br />
(<br />
lim<br />
0<br />
0<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� r<br />
R<br />
R<br />
p<br />
u<br />
t<br />
r<br />
u<br />
t �<br />
�<br />
.<br />
2<br />
)<br />
,<br />
(<br />
lim � �<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� �<br />
�<br />
� r<br />
R<br />
G<br />
pR<br />
u<br />
t<br />
r<br />
u r<br />
t
194<br />
IRODALOM<br />
ASSZONYI, CS. (1998): Modellalkot·s Ès a tudom·nyos megismerÈs. ÑKertÈsz P·l sz¸letÈsÈnek<br />
70. ÈvfordulÛja tiszteletÈreî. Budapesti M˚szaki Egyetem MÈrnˆkgeolÛgiai TanszÈke<br />
Tudom·nyos ‹lÈsszaka , Budapest, 1998. oktÛber 16. pp. 1-12.<br />
ASSZONYI, CS. (1967) : Fesz¸ltsÈgeloszl·s az idıtÈnyezı figyelembe vÈtelÈvel. Orsz·gos<br />
Magyar B·ny·szati Egyes¸let - M˚szaki …let Tatab·ny·n 3 (1967). p: 1-29.<br />
ASSZONYI, CS. (1975): Kızetkontinuumok reolÛgiai elmÈletÈrıl. AkadÈmiai doktori ÈrtekezÈs,<br />
Budapest. pp. 78.<br />
ASSZONYI, CS. (2006): IzotrÛp kontinuumok anyagtˆrvÈnye 3. A POYNTING-THOMSON-fÈle ˙n.<br />
standard modell. Kızetmechanika - MÈrnˆkgeolÛgia 2006. ISRM Konferencia,<br />
M…RN÷KGEOL”GIA-K’ZETMECHANIKA KISK÷NYVT¡R 3, Budapest. Pp. 89-118.<br />
ASSZONYI, CS. ñ KERT…SZ, P. ñ G¡LOS, M. - RICHTER, R. (1980): A b·ny·szat mechanikai<br />
rendszere I. kˆtet: A kızetmechanika anyagszerkezeti Ès reolÛgiai alapjai. <strong>MTA</strong><br />
VeszprÈmi AkadÈmiai Bizotts·ga Monogr·fi·i, VeszprÈm . pp. 1-446.<br />
ASSZONYI, CS. ñ KAPOLYI L. (1981): A b·ny·szat mechanikai rendszere II. kˆtet:<br />
Kızetkontinuumok mechanik·ja. <strong>MTA</strong> VeszprÈmi AkadÈmiai Bizotts·ga Monogr·fi·i,<br />
VeszprÈm (1981). pp. 1-421.<br />
ASSZONYI, CS. ñ RICHTER, R. (1979): The Continuum Theory of Rock Mechanics. Trans Tech<br />
Publications, USA (1979). pp. 1-332.<br />
ASSZONYI, CS. ñ KAPOLYI L. (1976): Kızetek mechanikai jellemzıinek meghat·roz·sa. <strong>MTA</strong><br />
VeszprÈmi AkadÈmiai Bizotts·ga Monogr·fi·i, VeszprÈm. pp. 1-192.<br />
BARTON, N. (1990): Scale effects or sampling bias? In.: Pinto da Cunha (Ed.) Proc. Scale effect<br />
in rock masses, 1. Int. workshop, Loen, 31-55.<br />
BERTRAM, A.(2005): Elasticity and Plasticity of Large Deformations, Springer, Berlin-<br />
Heidelberg, 2005.<br />
BRAY, J.W. (1967): A study of jointed and fractured rock. Part 1. Rock Mech. Engng. Geol. 5-<br />
6(2-3): 117-136.<br />
BAGI, K. (2005): Szemcsehalmazok mikroszerkezetÈnek vizsg·lata, <strong>MTA</strong> doktori ÈrtekezÈs,<br />
(2005), 3. fejezet: A gˆrd¸lÈs.<br />
B…DA, GY. ñ KOZ¡K, I. (1984): Rugalmas testek mechanik·ja. M˚szaki KˆnyvkiadÛ, Budapest.<br />
B…DA, GY. ñ KOZ¡K, I. - VERH¡S, J. (1986): Kontinuummechanika. M˚szaki KˆnyvkiadÛ,<br />
Budapest.
B…DA, GY. ñ KOZ¡K, I. (1984): Rugalmas testek mechanik·ja. M˚szaki KˆnyvkiadÛ, Budapest.<br />
B…DA, GY. (1996): Szil·rds·gtan. M˚egyetemi KiadÛ, Budapest.<br />
BEZUHOV, N. I. (1958): BevezetÈs a rugalmass·gtanba Ès kÈplÈkenysÈgtanba. TankˆnyvkiadÛ,<br />
Budapest, p.228.<br />
BIRD, B. R. - ARMSTRONG, R. C. - HASSAGER, O. (1977): Dynamics of polymeric liquids I.,<br />
John Wiley and Sons, Inc., New York-Santa Barbara-etcÖ<br />
BOJT¡R, I. (1988): Mechanikai anyagmodellek. TankˆnyvkiadÛ, Budapest. P.290.<br />
BRENNER, H.(2006): Fluid mechanics revisited, Physica A, 2006, 370, pp. 190-224.<br />
CRISTESCU, N. D. (1993): Rock rheology, in: Comprehensive Rock Engineering I.<br />
Fundamentals, ed. Brown, E. T., Pergamon Press, Oxford-etc., pp. 523-544, (1993)<br />
DOBR”KA, M. (1983): On a Generalized Poynting-Thomson Model. Acta Geodaetica,<br />
Geophysica et Montanistica Hungaricae. Volume 18 (3). Pp. 281-290.<br />
F…NYES I. (1971): Modern fizikai kisenciklopÈdia. Gondolat KˆnyvkiadÛ, Budapest (1971).<br />
FARKAS, H. ñ NOSZTICZIUS, Z. (1992): A termodinamika II. fıtÈtelÈnek ·ltal·nosÌt·sa.<br />
Termodinamikai elıad·sok. Termodinamikai Iskola. Esztergom (1992). pp. 109-110.<br />
FILCEK, H. (1963): Stan naprezenia i odksztalcenia wokÛl wyrobiska chodnikowego jako<br />
funkcja czasu. Zeszyty Problemowe GÛrnictwa, Komitet GÛrnictwa PAN 1.<br />
GYARMATI I. (1967): Nemegyens˙lyi termodinamika, M˚szaki KˆnyvkiadÛ, Budapest, (1967).<br />
G¡LOS M. - KERT…SZ P. (1981): A mÈrnˆki munk·k kˆrnyezetÈnek modelezÈse ñ a<br />
mÈrnˆkgeolÛgiai kızetmodell. MÈlyÈpÌtÈstudom·nyi Szemle, 31 (12). pp. 540-545.<br />
HAUPT, P. (1993): Thermodynamics of Solids. Non-Equilibrium Thermodynamics with<br />
Application to Solids. Springer-Verlag, Wien-New York. pp.65-138.<br />
HEITFELD, K.-H. ñ D‹LLMANN, H. (1978): Mechanische Eigenschaften Anisotroper Gesteine in<br />
Abh‰ngigkeit vom Korngef¸ge. Grundlagen und Anwendung der Felsmechanik.<br />
Felsmechanik Kolloquium Karlsruhe 1978. Trans Tech Publications, pp. 85-105.<br />
HOEK, E. (1994): Strength of rock and rock masses. ñ ISRM News Journal, Vol. 2(2): 4-16.<br />
HOEK, E. - DIEDERICHS, M. S. (2006): Empirical estimation of rock mass modulus. Int. J. Rock<br />
Mech. Min. Sci, 43: 203-215.<br />
HUSZ¡R, I. (1953): A szil·rds·gtan felÈpÌtÈse Ès mÛdszerei. MÈrnˆki Tov·bbkÈpzı IntÈzet<br />
kiadv·nya 1007, Budapest.<br />
JAEGER, J.C. ñ COOK, N.G.W. ñ ZIMMERMAN, ... (2006) : Fundamentals of Rock Mechanik.<br />
KALISZKY S. (1975): KÈplÈkenysÈgtan. ElmÈlet Ès mÈrnˆki alkalmaz·sok. AkadÈmiai KiadÛ,<br />
Budapest, p.504.<br />
KALISZKY S. ñ KURUTZNE KOV¡CS, M. ñ SZIL¡GYI GY. (2000): Szil·rds·gtan. Nemzeti<br />
TankˆnyvkiadÛ, Budapest.<br />
195
KAUDERER, H. (1958) : Nichtlineare Mechanik. Springer-Verlag, Berlin-Gˆttingen-Heidelberg.<br />
p. 684.<br />
KERT…SZ P. (1970): Aspect gÈnÈral de líÈtude de la rÈsistance des roches aux interpÈries.<br />
MatÈriaux et Construction, Paris. No. 15, Volume 3. pp. 197-208.<br />
KERT…SZ P. - G¡LOS M. - K‹RTI I. (1974): General mentality of engineering geological rock<br />
examinations. Proceedings of the II. International Congress of the International<br />
Association of Engineering Geology. Sao Paulo. Volume I. Themes IV-10. pp. 1-9.<br />
KERT…SZ P. (1968): A static rock model based on petrological fundamentals. 3. Budapest<br />
Conference On Soil Mechanics And Foundation Engineering, Budapest . Proceedings,<br />
Section IV pp.197-208.<br />
KERT…SZ P. (1985): MÈrnˆkgeolÛgia, MÈrnˆki KÈzikˆnyv, 3 pp. 103-132<br />
KERT…SZ, P. ñ V¡S¡RHELYI, B. (2006): IzotrÛp kontinuumok anyagtˆrvÈnye 1. A kontinuum, a<br />
homogenit·s Ès az anyagmodell. Kızetmechanika - MÈrnˆkgeolÛgia 2006. ISRM<br />
Konferencia, M…RN÷KGEOL”GIA-K’ZETMECHANIKA KISK÷NYVT¡R 3, pp. 11-24.<br />
KLECZEK, Z. (1969): Wplyn czasu na wytozymalosc skal. Zeszyty Naukowe Akademii GÛrniczo-<br />
Hutniczej, GÛrnictwo Z-15.<br />
KOZ¡K, I. (1980): Szil·rds·gtan III. TankˆnyvkiadÛ, Budapest. Egyetemi jegyzet, Miskolc.<br />
L¡MER, G. (2007): Az integr·lhatÛs·gi feltÈtelekrıl az izotrÛp, hiperelasztikus testek egyens˙lyi<br />
entrÛpi·j·ra nÈzve. ETTE 37 p·ly·zat (dÌjnyertes p·lyam˚). Budapest. p. 141.<br />
L¡MER, G. (2007): ¡ttekintÈs az integr·lhatÛs·gi feltÈtelekrıl az izotrÛp, hiperelasztikus testek<br />
egyens˙lyi entrÛpi·j·ra nÈzve. Kızetmechanika - MÈrnˆkgeolÛgia 2007. ISRM<br />
Konferencia, M…RN÷KGEOL”GIA-K’ZETMECHANIKA KISK÷NYVT¡R, Budapest. p. 20.<br />
MATOLCSI T.(1993): Spacetime Without Reference Frames, AkadÈmiai KiadÛ, Budapest.<br />
MATOLCSI, T. - V¡N,P.: Can material time derivative be objective?, Physics Letters A, 2006,<br />
353, pp. 109-112. (math-ph/0510037).<br />
MATOLCSI T.(2005): Ordinary Thermodinamics, AkadÈmiai KiadÛ, Budapest.<br />
MATOLCSI, T. - V¡N,P. (2007): Absolute time derivatives, Journal of Mathematical Physics,<br />
2007, 48, pp. 053507-19, (math-ph/0608065).<br />
MATOLCSI, T. - V¡N,P. (2006): Can material time derivative be objective?, Physics Letters A,<br />
2006, 353, pp. 109-112. (math-ph/0510037).<br />
MATOLCSI, T. - V¡N,P.(2007): Absolute time derivatives, Journal of Mathematical Physics,<br />
2007, 48, pp. 053507-19, (math-ph/0608065).<br />
MARTINEC, J.(2003): Continuum mechanics (Lecture Notes), 2003.<br />
MAUGIN, G. A. (1999): The thermomechanics of nonlinear irreversible behaviors. World<br />
Scientific, Singapure-New Jersey-London-Hong Kong, (1999).<br />
37 EGYES‹LET A TUDOM¡NY …S TECHNOL”GIA EGYS…G……RT<br />
196
MAUGIN, G. A. - MUSCHIK, W., Thermodynamics with Internal Variables. Part I. General<br />
Concepts, Journal of Non-Equilibrium Thermodynamics, 19, (1994) pp. 217-249.<br />
M”ZES, GY. ñ V¡MOS, E. (1968): ReolÛgia Ès reometria. M˚szaki KˆnyvkiadÛ, Budapest.<br />
MUSCHIK, W. (1993): Fundamentals of Nonequilibrium Thermodynamics. Non-Equilibrium<br />
Thermodynamics with Application to Solids. Springer-Verlag, Wien-New York. pp.1-63.<br />
PALMSTR÷M, A. (1995): RMi ñ a rock mass characterization system for rock engineering<br />
purposes. Univ. Oslo, Norway, p. 400. (www.rockmass.net)<br />
PETRYK, H (1993): Stability and Constitutive Inequalities in Plasticity. Non-Equilibrium<br />
Thermodynamics with Application to Solids. Springer-Verlag, Wien-New York. pp.259-<br />
329.<br />
PONOMARJOV, SZ. D. (1965): Szil·rds·gi sz·mÌt·sok a gÈpÈszetben. 1. kˆtet: ElmÈleti alapok,<br />
vizsg·lati mÛdszerek. p. 400 - 4. kˆtet: KÈplÈkeny alakv·ltoz·s, tartÛs foly·s. M˚szaki<br />
KˆnyvkiadÛ, Budapest, p.380.<br />
PRAGER, W. (1961): Introduction to the Mechanics of Continua. Ginn Publications, Boston.<br />
PRIGOGINE, I. - STENGERS, I.: Az ˙j szˆvetsÈg (A tudom·ny metamorfÛzisa), AkadÈmiai KiadÛ,<br />
Budapest, 1995.<br />
REUSS, E. (1953): Nagy viszkozit·s˙ folyadÈk anyagegyenlete Ès alkalmaz·sa ultrahangra. <strong>MTA</strong><br />
M˚szaki Tudom·nyok Oszt. KˆzlemÈnyei IX. 1-4. pp. 57-70.<br />
RICE, J, R. (1971): Inelastic Constitutive Relations for Solids: a Internal-variable Theory and its<br />
Application to Metal Plasticity. Journal of Mechanics and Physics of Solids, 19, pp. 433-<br />
455.<br />
SALUSTOWITZ, A. (1968): Zarys mechaniki gÛrotworu. Wydawnictwo ÑSlaskî. Katowice.<br />
SCIPIO, L.A. (1967): Principles of Continua with Applications. John Wiley Sons,New York-<br />
London-Sydney.<br />
äILHAVỳ, M. (1997).: The Mechanics and Thermodynamics of Continuous Media, Springer<br />
Verlag, Berlin-etc.,<br />
SZARKA, Z. (2006): IzotrÛp kontinuumok anyagtˆrvÈnye 5. Anyagjellemzık laboratÛriumi<br />
meghat·roz·sa. Kızetmechanika - MÈrnˆkgeolÛgia 2006. ISRM Konferencia,<br />
M…RN÷KGEOL”GIA-K’ZETMECHANIKA KISK÷NYVT¡R 3, Budapest. Pp. 131-165.<br />
SZOKOLOVSZKIJ, V.V. (1953): A kÈplÈkenysÈgtan elmÈlete. AkadÈmiai KiadÛ, Budapest.<br />
T”TH, J. (2007): AnyagtˆrvÈny egyszer˚sÌtÈse. ETTE p·ly·zat (dÌjnyertes p·lyam˚). Budapest.<br />
p. 9.<br />
TRUESDELL, C. - NOLL. W.: The non-linear field theories of mechanics, (Handbuch der Physik,<br />
III/3.) Springer Verlag, (1965).<br />
VERH¡S J. (1985) : Termodinamika Ès reolÛgia, M˚szaki KˆnyvkiadÛ, Budapest<br />
V¡N P.: Internal Thermodynamic Variables and the Failure of Microcracked materials, Journal<br />
of Non-Equilibrium Thermodynamics, (2001), 26/2}, 167-189 o.<br />
197
V¡N P. (2001): Internal thermodynamic variables and the failure of microcracked<br />
V¡N P.: Weakly Nonlocal Irreversible Thermodynamics, Annalen der Physik Leipzig, (2003),<br />
12/3, 142-169 o., (cond-mat/0112214)<br />
V¡N P. - V¡S¡RHELYI B.: Second Law of thermodynamics and the failure of rock materials, in<br />
Rock Mechanics in the National Interest V1, ed. D. Elsworth, J. P. Tinucci and K. A.<br />
Heasley, Balkema Publishers, Lisse-Abingdon-Exton(PA)-Tokyo, p767-773,<br />
(Proceedings of the 9th North American Rock Mechanics Symposium, Washington, USA,<br />
2001), (2001).<br />
V¡N P. - ASSZONYI, CS. (2006): IzotrÛp kontinuumok anyagtˆrvÈnye. 2. Az ·ltal·nos<br />
tˆrvÈnyszer˚sÈgek levezetÈse. MÈrnˆkgeolÛgia-Kızetmechanika 2006 ISRM Konferencia.<br />
M…RN÷KGEOL”GIA-K’ZETMECHANIKA KISK÷NYVT¡R 3, pp. 25-88.<br />
V¡N P. (2007): ObjektÌv anyagf¸ggvÈnyek felÈ a reolÛgi·ban. MÈrnˆkgeolÛgia-Kızetmechanika<br />
2007 ISRM Konferencia. M…RN÷KGEOL”GIA-K’ZETMECHANIKA KISK÷NYVT¡R 4.<br />
V¡N P. ñ SZARKA, Z. (2006): Rock Rheology ñ Time Dependence of Dilatation and Stress<br />
Around a Tunnel. EUROROCK 2006 ñ Multiphysics Coupling and Long Term Behavior in<br />
Rock Mechanics. Proceedings of the International Symposium of the International Society<br />
for Rock Mechanics. 9-12 May 2006. LiÈge, Belgium. pp. 357-363.<br />
V¡S¡RHELYI, B. ñ DELI, ¡. ñ G¡LOS, M. ñ V¡N, P. (2000): Relationship between the critical<br />
dissipated energy per unit volume and the mechanical properties of different rocks.<br />
Pacific Rocks 2000, Girard, Liebman and Breeds (ed.) Proceedings of the 8th North<br />
American Rock Mechanics Symposium, Seattle, USA, 2000. pp. 1289-1293.<br />
DELI, ¡. ñ G¡LOS, M. ñ V¡S¡RHELYI, B. ñ V¡N, P. (2006): A laboratory method for<br />
determining the dissipated energy. Bulletin of Engineering Geology and the Environment.<br />
WANG, C. C.: A new representation theorem for isotropic functions: An aswer to professor G. F.<br />
Smith's criticism of my papers on representations of isotropic functions, Part 1. Scalar<br />
valued isotropic functions, Archive for Rational Mechanics and Analysis, (1970), 36/3,<br />
pp166-197.<br />
198
SZERZ’K<br />
ASSZONYI CSABA DR. (1941) okl. gÈpÈszmÈrnˆk (NME,<br />
1964), m˚szaki doktor (NME, 1965), a m˚szaki tud.<br />
kandid·tusa (1972), a m˚szaki tud. doktora (1976). Kutat·si<br />
ter¸lete: a kontinuumok mechanik·ja Ès az irreverzibilis<br />
termodinamika. EredmÈnyeit 192 publik·ciÛban Ès 8<br />
kˆnyvben tette kˆzre. Fıbb mÈrnˆki eredmÈnyei Ès<br />
szabadalmai az alag˙t- Ès Èp¸let-rekonstrukciÛk, vÌz- Ès<br />
kˆrnyezetvÈdelem ter¸letÈn tal·lhatÛk. A b·ny·szatban volt<br />
kutatÛmÈrnˆk, oszt·lyvezetı, gazdas·gi igazgatÛ, trˆszti<br />
fıoszt·lyvezetı, kutatÛintÈzeti igazgatÛ. 1988-as<br />
megalakul·s·tÛl kezdve a MONTAVID Csoport vezetıje, s a<br />
MONTAVID INVESTMENT TECHNOLOGIES TRUST elnˆk-<br />
vezÈrigazgatÛja 2006-ig. Jelenleg kutat·ssal, m˚szaki fejlesz-<br />
tÈssel foglalkozik a MONTAVID RESEARCH GROUP keretei kˆzˆtt. 1112 Budapest, T·ncos u.6.<br />
Telefon: (06) 309 215 684, (1) 215 8463, asszonyi@mail.datanet.hu<br />
SZARKA ZOLT¡N DR. (1927) okl. mÈrnˆk (1950). 1950-tıl a<br />
NehÈzipari M˚szaki Egyetem ñ ma Miskolci Egyetem ñ<br />
Matematikai TanszÈkÈnek (jelenleg IntÈzetÈnek) oktatÛja.<br />
1967-tıl egyetemi docens, kˆzben kÈt idıszakban<br />
tanszÈkvezetı, 1991-tıl nyugdÌjas, de oktatÛi munk·j·t 2006-ig<br />
folytatta. Szakter¸lete a kiegyenlÌtısz·mÌt·s, de 56 Èvi<br />
egyetemi munk·ja sor·n a matematika sz·mos ter¸letÈt<br />
(analÌzis, parci·lis differenci·legyenletek, valÛszÌn˚sÈgsz·mit·s,<br />
komplex f¸ggvÈnytan, stb.) m˚velte. Sz·mos hazai Ès<br />
k¸lfˆldi elıad·sa mellett 46 szakcikke Ès 30 kˆnyve Ès mintegy<br />
21 egyetemi jegyzete jelent meg, rÈszben t·rsszerzıkkel.<br />
3529 Miskolc, Csabai kapu 34. Telefon: (46) 362 905, matedit@gold.uni-miskolc.hu<br />
V¡N P…TER DR. (1964). okl. fizikus (ELTE, 1990), egyetemi<br />
doktor (BME, 1994), PhD (BME, 2002). 2005-ig a BME<br />
KÈmiai Fizika TanszÈkÈnek munkat·rsa, jelenleg a <strong>KFKI</strong>,<br />
<strong>RMKI</strong> ElmÈleti Fıoszt·ly·n dolgozik. Az ELFT<br />
Termodinamikai Szak-csoportj·nak elnˆke. Tˆbb Ìzben<br />
dolgozott k¸lfˆldˆn, Olaszorsz·gban, NÈmetorsz·gban Ès<br />
…sztorsz·gban. Kutat·si ter¸lete a nemegyens˙lyi<br />
termodinamika, mint ·ltal·nos fizikai keretelmÈlet, ennek<br />
alapjai, illetve k¸lˆnfÈle alkalmaz·sai. A termodinamika<br />
vari·ciÛs elveirıl Ès a nemegyens˙lyi termo-dinamika gyengÈn<br />
nemlok·lis kiterjesztÈsÈvel kapcsolatban vannak eredmÈnyei.<br />
…rdeklıdÈsi ter¸letÈhez tartozik pl. k·rosod·s-<br />
mechanika, reolÛgia, tÈridı modellek. Eddig mintegy 40 szakcikke jelent meg. 1012 Budapest,<br />
Lovas utca 18. Tel: (70) 332 2831, vpet@eik.bme.hu. E: http://newton.phy.bme.hu/~van/<br />
199
Change language