la teoria di Rankine

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI FIRENZE 

DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE 

Sezione geotecnica 

“SPINTA DELLE TERRE ” 

CorsodiFondamentidiGeotecnica 

Scienze dell’Ingegneria Edile, A.A. 2005\2006 

Dott. Ing. Johann Facciorusso




Introduzione 

METODO DI COULOMB E DI RANKINE 

La determinazione della spinta esercitata dal terreno contro un’opera di 

sostegno è un problema classico di ingegneria geotecnica che viene 

affrontato utilizzando due teorie “storiche”: 

‣ la teoria di Rankine (1857) 

‣ la teoria di Coulomb (1776). 

Entrambi i metodi assumono superfici di scorrimento piane, ma per effetto 

dell’attrito fra la parete e il terreno: 

• le reali superfici di scorrimento sono in parte curvilinee 

• i risultati che si ottengono applicando i metodi classici sono spesso non 

cautelativi. 

È pertanto opportuno riferirsi al metodo di Caquot e Kérisel (1948) che è il 

più noto e applicato metodo fra quelli che assumono superfici di 

scorrimento curvilinee 

Diffusione delle tensioni – Fondamenti di Geotecnica 

Corso di Laurea in Scienze dell’Ingegneria Edile A.A. 2005/2006 2/31

τ 




TEORIA DI RANKINE 

Teoria di Rankine 

IPOTESI: 

terreno omogeneo (γ costante con la profondità) 

superficie piana, orizzontale ed infinitamente estesa 

terreno incoerente (c’ = 0) 

terreno asciutto (u = 0, σ v 

= σ’ v 

) 

validità del criterio di rottura di Mohr- Coulomb (τ = σ’ n 

tg φ’) 

Stato tensionale assial-simmetrico 

σ’ v0 

= σ’ 1 

σ’ h0 

= σ’ 2 

= σ’ 3 

* 

* per K 0 < 1 (terreni NC o debolmente OC) 

φ’ 

Cerchio O 

σ’ = K σ’ 

σ’ 

h0 

σ’ 

σ’ 

Κ 0 γ 1 

h0 

v0 


γ 

Corso di Laurea in Scienze dell’Ingegneria Edile A.A. 2005/2006 3/31 

0 

v0 

σ’ = γ Z 

A 

v0 

Z 

1




IPOTESI: 

SPINTA A RIPOSO 


vengono inserite due pareti verticali ideali, cioè tali da non 

modificare lo stato tensionale nel terreno (assenza di attrito) 

Stato tensionale a riposo 

La spinta orizzontale S 0 

che si 

esercita sui due lati di ciascuna 

parete dalla superficie ad una 

generica profondità H, vale: 

S 

H 

' 1 2 

0 = 

∫ σ h0 ⋅ dZ = ⋅ γ ⋅ H ⋅ K 0 

0 

La profondità Z 0 

della retta di 

applicazione di S 0 

, vale: 

2 

A 

σ’ 

h0 

σ’ 

h0 

S 

0 

Z = 2/3 H 

0 

H 

H 

' 

∫ σh0 

⋅ Z ⋅ dZ 

0 

2 

Z0 = 

= ⋅ H 

S0 

3 

K 0γ 

H K 0γ H 






SPINTA ATTIVA 


Stato tensionale limite attivo 

Supponiamo ora di allontanare 

gradualmente le due pareti: 

‣ nel punto A permangono 

condizioni di simmetria (le 

tensioni verticale ed 

orizzontali sono ancora 

principali); 

‣ la tensione verticale 

σ’ v0 

= γZ non varia 

‣ la tensione orizzontale 

efficace si riduce 

progressivamente. 

σ’ 

ha 

σ’ 

A 

v0 






SPINTA ATTIVA 

τ 

τ 

f 

O 


Il valore minimo della tensione orizzontale , σ’ ha 

, compatibile con 

l’equilibrio è detto tensione limite attiva, e corrisponde alla tensione 

principale minore del cerchio di Mohr tangente alla retta di inviluppo a 

rottura. 

Essendo: 

R = ½ (σ’ v0 

-σ’ ha 

) 

OC = ½ (σ’ v0 

+σ’ ha 

) 

Si ha: 

R 

1 

2 

σ 

σ 

= FC = OC ⋅senφ' 

⋅ 

' 

ha 

' 

ha 

' ' 1 ' ' 

( σ − σ ) = ⋅ ( σ + σ ) 

v0 

ha 

⋅ (1 + senφ') 

1− 

senφ' 

= 

1+ 

senφ' 

2 

= σ 

⋅ σ 

' 

v0 

' 

v0 

= 

v0 

tan 

2 

ha 

⋅ (1 − senφ') 

⎛ π 

⎜ 

⎝ 4 

⋅senφ' 

φ' 

⎞ 

− ⎟ ⋅ σ 

2 ⎠ 

' 

v0 

Cerchio A 

Cerchio O 



σ’ 

ha 

σ 

K 

F 

R 

' 

' 

ha 

= K 

A 

⋅ σvo 

A 

1− 

senφ' 

= 

1+ 

senφ' 

C 

= 

tan 

2 

⎛ π 

⎜ 

⎝ 4 

π/4+ ϕ’/2 

σ’ v0 

φ' 

⎞ 

− ⎟ 

2 ⎠ 

φ’ 

σ’ 

Coefficiente di 

spinta attiva




SPINTA ATTIVA 


La tensione tangenziale critica, il cui valore τ f 

è l’ordinata del punto F di 

tangenza del cerchio di Mohr con la retta di inviluppo a rottura, agisce su 

un piano che forma un angolo di ⎛ π φ' 

⎞ 

⎜ + ⎟ con la direzione orizzontale. 

⎝ 4 2 ⎠ 

π/4+ φ’/2 

σ’ 

v0 

π/4+ φ’/2 

Z 

A 

τ 

f 

A 

σ’ σ’ 

ha 

f 






SPINTA ATTIVA 


La spinta orizzontale S A 

che si esercita sui due lati di ciascuna parete dalla 

superficie ad una generica profondità H, vale: 

S 

A 

H 

= ∫ σ 

0 

' 

hA 

1 

2 

⋅ γ ⋅ H 




, vale: 

2 

Z = ⋅ H = 

3 

⋅ dZ = 

A Z 0 

2 

⋅ K 

A 

σ’ 

ha 

Z = 2/3 H 

A 

A 

S 

A 

H 

K Aγ H 






SPINTA PASSIVA 


Stato tensionale limite passivo 

Supponiamo ora di avvicinare 

gradualmente le due pareti: 

‣ nel punto A permangono 

condizioni di simmetria (le 

tensioni verticale ed 

orizzontali sono ancora 

principali); 

‣ la tensione verticale 

σ’ v0 

= γZ non varia 

‣ la tensione orizzontale 

efficace cresce 

progressivamente. 

σ’ 

hp 

σ’ 

A 

v0 






SPINTA ATTIVA 


Il valore massimo della tensione orizzontale compatibile, σ’ pa 

, compatibile 

con l’equilibrio è detto tensione limite passiva, e corrisponde alla tensione 

principale maggiore del cerchio di Mohr tangente alla retta di inviluppo a 

rottura. 

Essendo: 

R = ½ (σ’ hp 

-σ’ v0 

) 

OC = ½ (σ’ v0 

+σ’ hP 

) 

Si ha: 

R = FC = OC⋅senφ' 

1 

⋅ 

2 

σ 

σ 

' 

hp 

' 

hp 

' ' 1 ' ' 

( σ −σ 

) = ⋅( σ + σ ) 

hP 

v0 

2 

⋅(1 

− senφ') 

= σ 

1+ 

senφ' 

= ⋅σ 

1− 

senφ' 

' 

v0 

' 

v0 

v0 

hp 

⋅(1 

+ senφ') 

⋅senφ' 

τ 

2⎛ 

π φ' 

⎞ 

= tan ⎜ + ⎟⋅σ 

⎝ 4 2 ⎠ 

τ 

f 

O 

' 

v0 

Cerchio O 

π/4- φ’/2 

' 

' 

hp 

= K 

P 

⋅σ 

vo 

1+ 

senφ' 

⎛ π φ' 

⎞ 

K = = tan + = 

2 

P 

⎜ ⎟ 

1− 

senφ' 

⎝ 4 2 ⎠ A 



σ 

σ’ v0 

C 

F 

R 

C 

φ’ 

σ’ hp 

Coefficiente di 

spinta passiva 

1 

K 

Cerchio P 

σ’




SPINTA ATTIVA 


La tensione tangenziale critica, il cui valore τ f 

è l’ordinata del punto F di 

tangenza del cerchio di Mohr con la retta di inviluppo a rottura, agisce su 

un piano che forma un angolo di ⎛ π φ' 

⎞ con la direzione orizzontale. 

⎜ − 

⎝ 4 

⎟ 

2 ⎠ 

σ’ 

v0 

π/4 - φ’/2 

π/4 - φ’/2 

Z 

σ’ 

hp 

A 

τ 

f 

A 

σ’ 

f 






SPINTA ATTIVA 


La spinta orizzontale S P 

che si esercita sui due lati di ciascuna parete 

dalla superficie ad una generica profondità H, vale: 

S 

P 

H 

= 

∫ σ 

0 

' 

hP 

⋅ dZ = 

1 

2 

⋅ γ ⋅ H 




, vale: 

2 

Z = ⋅ H = 

3 

P Z 0 

2 

⋅ K 

P 

S 

P 

σ’ 

hp 

A 

Z = 2/3 H 

P 

H 

I coefficienti di spinta attiva, K A 

, 

e passiva, K P 

, rappresentano i 

valori limite, rispettivamente 

inferiore e superiore, del 

rapporto tra le tensioni efficaci 

orizzontale e verticale: 

K 

A 

' 

h 

≤ 

σ ' 

v0 



σ 

≤ 

K P γ H 

K 

P





Le deformazioni di espansione 

necessarie per far decadere la 

pressione orizzontale dal valore σ’ al h0 

valore limite inferiore σ’ ha 

, sono 

piccole, e comunque molto inferiori 

alle deformazioni di compressione 

necessarie per far elevare la pressione 

orizzontale dal valore σ’ h0 

, al valore 

limite superiore σ’ hp 

. 

In genere si considera l’angolo di 

resistenza al taglio di picco per il 

calcolo della spinta attiva, e l’angolo 

di resistenza al taglio a volume 

costante per il calcolo della spinta 

passiva. 

Sabbia densa 

Rotazione del muro, Y/H 

Sabbia densa 

Stato passivo 



Rapporto tra pressione orizzontale e verticale, K 

K 

Stato attivo 

a 

Sabbia sciolta 

Sabbia compatta 

Terreno 

Rotazione Y / H 

Decompressione 

(Stato attivo) 

Incoerente denso 0,001 0,020 

Incoerente sciolto 0,004 0,060 

Coesivo consistente 0,010 0,020 

Coesivo molle 0,020 0,040 

K 

0 

K 

Compressione 

(Stato passivo) 

Sabbia sciolta 

p





Effetto dell’inclinazione della superficie del deposito 

La tensione limite attiva nel caso di pendio inclinato di un angolo β 

rispetto all’orizzontale vale: 

⎛ 

' ⎜ OC⋅cos 

β − OC⋅ 

σ 

a 

= 

⎜ 

⎝ OC⋅cos 

β + OC⋅ 

⎛ 

⎜ cos β − 

= γ ⋅ Z⋅cos 

β ⋅ 

⎜ 

⎝ cos β + 

σ 

σ 

' 

a 

' 

p 

= γ ⋅ Z⋅cosβ 

⋅K 

= γ ⋅ Z⋅cosβ 

⋅K 

A 

senφ' 

senφ' 

2 

2 

2 

−senβ 

2 

−senβ 

2 

2 

cos β − cosφ' 

⎞ 

⎟ 

2 

2 

cos β − cosφ' 

⎟ 

⎠ 

⎛ 

con ⎜ cos β − 

K 

A 

= 

⎜ 

⎝ cos β + 

P 

con 

K 

P 

⎞ 

⎛ 

⎟ 

⎜ cos β − 

⋅γ 

⋅ Z⋅cos 

β = 

⎟ 

⎜ 

⎠ 

⎝ cos β + 

⎛ 

⎜ cos β + 

= 

⎜ 

⎝ cos β − 

2 

cos β 

2 

cos β 

2 

cos β 

2 

cos β 

− cosφ' 

− cosφ' 

1− 

cosφ' 

1− 

cosφ' 

2 

2 

− cosφ' 

− cosφ' 

2 

2 

⎞ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

e 

e 

2 

2 

2 

−1+ 

cos β 

2 

−1+ 

cos β 

S 

A 

S 

P 

= γ ⋅cos 

β ⋅ 

= γ ⋅cos 

β ⋅ 

⎞ 

⎟⋅γ 

⋅ Z⋅cos 

β = 

⎟ 

⎠ 

Per la condizione di spinta a riposo, staticamente indeterminata, si assume in genere: 

K 

0 

0,i 

= K ⋅ (1 + senβ) 

= (1 − senφ' 

) ⋅ (1 + senβ) 

Z 

2 

2 

Z 

2 

2 

⋅ K 

A 

⋅ K 

P 







Effetto della coesione 

Si suppone che il deposito sia dotato anche di coesione oltre che di 

attrito, ovvero ha resistenza al taglio definita dal criterio di rottura di 

Mohr-Coulomb: 

τ 

O 

c 

tan ’ ϕ 

c’ 

F 

τ = c' 

+σ' 

⋅ tan φ' 

R 

σ’ C σ’ 

3 1 

σ’ + σ’ 

1 3 

2 

σ 

σ 

' 

h,a 

' 

h,p 

φ’ 

= γ ⋅ Z ⋅ tan 

= γ ⋅ Z ⋅ tan 

2 

2 

⎛ π 

⎜ 

⎝ 4 

⎛ π 

⎜ 

⎝ 4 

' ⎛ π φ' 

⎞ ⎛ π φ' 

⎞ 

σ = 

' ⋅ tan 2 

1 

σ 

3 ⎜ + ⎟ + 2 ⋅ c' 

⋅ tan⎜ 

+ ⎟ 

⎝ 4 2 ⎠ ⎝ 4 2 ⎠ 



σ 

' 

3 

σ’ 

⎛ π φ' 

⎞ ⎛ π φ' 

⎞ 

= σ 

' ⋅ tan 2 

1 ⎜ − ⎟ − 2 ⋅ c' 

⋅ tan⎜ 

− ⎟ 

⎝ 4 2 ⎠ ⎝ 4 2 ⎠ 

φ' 

⎞ ⎛ π 

− ⎟ − 2 ⋅ c' ⋅tan⎜ 

2 ⎠ ⎝ 4 

φ' 

⎞ ⎛ π 

+ ⎟ + 2 ⋅ c' ⋅tan⎜ 

2 ⎠ ⎝ 4 

φ' 

⎞ 

− ⎟ = 

2 ⎠ 

φ' 

⎞ 

+ ⎟ = 

2 ⎠ 

γ ⋅ Z ⋅ K 

γ ⋅ Z ⋅ K 

P 

A 

− 2 ⋅ c' ⋅ 

+ 2 ⋅ c' ⋅ 

K 

K 

P 

A






σ 

' 

h,a 

= γ ⋅ Z ⋅ tan 

2 

⎛ π 

⎜ 

⎝ 4 

φ' 

⎞ ⎛ π 

− ⎟ − 2 ⋅ c' ⋅tan⎜ 

2 ⎠ ⎝ 4 

φ' 

⎞ 

− ⎟ = 

2 ⎠ 

γ ⋅ Z ⋅ K 

A 

− 2 ⋅ c' ⋅ 

valida per Z > Z c 

, essendo Z c 

la profondità critica per la quale risulta 

σ’ ha 

= 0 (il terreno non ha resistenza a trazione): 

Z 

c 

= 

γ ⋅ 

2 ⋅ c' 

K 

A 

mentre per Z < Z c 

si assume σ’ ha 

= 0 

2 c’ K 

a 

K 

A 

2c’ 

Z = 

C γ K 

a 

S 

W 

OSS. Nella fascia di spessore Z c 

il terreno 

sarà interessato da fessure verticali di 

trazione che possono riempirsi di acqua. Si 

tiene conto di tale possibilità 

considerando, per il calcolo della spinta, 

anche un triangolo di pressione idrostatica 

di altezza Z c 

e base γ w 

Z c 

Z 

2/3 (Z - Z ) 

C 

S’ 

A 

γ w 

Ζ c 



σ’ (Z)






σ 

S 

2 ⎛ π φ' 

⎞ ⎛ π φ' 

⎞ 

= γ ⋅ Z ⋅ tan ⎜ + ⎟ + 2 ⋅ c' ⋅tan⎜ 

+ ⎟ = 

⎝ 4 2 ⎠ ⎝ 4 2 ⎠ 

1 2 

( Z) 

= S 

P,1 

+ S 

P,2 

= 2 ⋅ c' 

⋅ K 

P 

⋅ Z + ⋅γ 

⋅ Z ⋅ K 

2 

' 

h,p 

P 

Z( 

S 

P 

) 

= 

S 

P,1 

⋅ 

Z 

+ SP,2 

2 

S ( Z) 

P 

⋅ 

2 

3 

⋅ Z 

⋅ 

γ ⋅ Z ⋅ K 

P 

Z/2 

P 

+ 

2 ⋅ c' ⋅ 

2 c’ K 

p 

K 

P 

2/3 Z 

Z 

S’ (1) 

P 

S’ (2) 

P 

σ’ (Z) 

hp 








Con riferimento a condizioni non drenate (a breve termine), come ad 

esempio nel caso di uno scavo a parte verticale, il criterio di rottura di 

Mohr-Coulomb viene applicato in termini di tensioni totali (c = c u 

; ϕ = 0). 

La tensione limite attiva e passiva diventano rispettivamente: 

σ 

h,a 

= γ ⋅ 

Z − 2⋅c 

u 

τ 

σ 

h,p 

= γ ⋅ 

Z + 2⋅c 

u 

ϕ = 0 

c 

u 

π/4 π/4 

O σ’ σ’ 

σ’ 

ha ha 

v0 

σ’ hp 

σ’ 

Le superfici di rottura sono inclinate di 45° rispetto all’orizzontale. 







Effetto della eterogeneità 

Si suppone che il deposito sia costituito da strati orizzontali omogenei 

La spinta totale esercitata sulla parete verticale è la somma dei 

contribuiti di ciascuno strato. 

Il diagramma delle pressioni orizzontali competenti a ciascuno strato in 

condizioni di spinta attiva è un trapezio: 

H 1 1 

σ’ 

ha 

σ 

' 

ha 

' 

' 

( Zi− 

1) 

= σ 

v0 

(Zi− 

1) 

⋅ K 

A,i 

− 2 ⋅ ci 

⋅ K 

A, i 

≥ 

0 

H 2 

2 

i-1 

H i i 

σ’ (Z ) 

ha i-1 

S’ A,i 

σ 

σ 

σ 

' 

ha 

' 

' 

( Zi 

) = σ 

v0 

(Zi 

) ⋅ K 

A,i 

− 2 ⋅ ci 

⋅ K 

A, i 

' 

v0 ( Zi− 

1) 

' 

v0 

i 

= 

i 

∑ − 1 

1 

γ ⋅ H 

i 

( Z ) = σ (Z ) + γ ⋅ H 

' 

v0 

j 

i−1 

i 

i 

≥ 

0 

i+1 

σ’ (Z ) 

ha i 

Z 

Z 







Effetto della eterogeneità 

Il diagramma delle pressioni orizzontali competenti a ciascuno strato in 

condizioni di spinta passiva è un trapezio: 

σ’ 

hp 

H 1 1 

H 2 

2 

i-1 

H i i 

σ’ (Z ) 

hp i-1 

σ 

σ 

σ 

' 

hp 

σ 

' 

hp 

' 

' 

( Zi− 

1) 

= σ 

v0(Zi−1) 

⋅ K 

P,i 

+ 2⋅ci 

⋅ K 

P, i 

' 

' 

( Zi 

) = σ 

v0(Zi 

) ⋅ K 

P,i 

+ 2⋅ci 

⋅ K 

P, i 

' 

v0 ( Zi− 

1) 

' 

v0 

S’ P,,i 

i 

= 

i 

∑ − 1 

1 

γ ⋅ H 

i 

( Z ) = σ (Z ) + γ ⋅ H 

' 

v0 

j 

i−1 

i 

i 

≥ 

≥ 

0 

0 

i+1 

σ’ (Z ) 

hp i 

Z 






TEORIA DI COULOMB 

Teoria di Coulomb 

Il problema della determinazione della spinta esercitata dal terreno su 

un’opera di sostegno è stato anche affrontato con un metodo basato 

sull’equilibrio delle forze in gioco (METODO DELL’EQUILIBRIO LIMITE). 

IPOTESI: 

terreno omogeneo (γ costante con la profondità) 

superficie piana, orizzontale ed infinitamente estesa 

terreno incoerente (c’ = 0) 

terreno asciutto (u = 0, σ v 

= σ’ v 

) 

validità del criterio di rottura di Mohr- Coulomb 

resistenza al taglio (τ = σ’ v 

tg φ’) costante 

parete verticale 

assenza di attrito tra parete e terreno 

superficie di scorrimento piana 






SPINTA ATTIVA 


In condizioni di equilibrio limite attivo le forze che agiscono sul cuneo, 

sono: 

1 2 

‣ il peso proprio , che agisce in direzione verticale W = ⋅ γ ⋅ H ⋅ cot η 

2 

‣ la risultante R delle tensioni normali e tangenziali sulla superficie di 

scorrimento, che è inclinata di un angolo φ’ rispetto alla normale alla 

superficie AC, con componente tangente diretta verso l’alto, ovvero tale 

da opporsi al movimento incipiente del cuneo 

‣ la spinta attiva P A 

, che agisce in direzione orizzontale per l’ipotesi di 

assenza di attrito tra parete e terreno. 

H 

tan η 

B 

C 

P A 

B’ 

C’ 

R 

η−φ’ 

W 

H 

P A 

W 


Corso di Laurea in Scienze dell’Ingegneria Edile A.A. 2005/2006 A 

22/31 

η 

R 

φ’





Per l’equilibrio è: 

P 

A 

= W ⋅ tan( η − φ') 

= 

1 

2 

⋅ γ ⋅ H 

2 

SPINTA ATTIVA 

⋅ cot η⋅ tan 

( η − φ' 

) = f ( η) 

La spinta attiva si ottiene in corrispondenza del massimo della funzione: 

∂P A 

= 0 

∂η 

η 

P 

crit 

A 

= 

= 

π 

4 

1 

2 

φ' 

+ 

2 

⋅ γ ⋅ H 

2 

⋅ tan 

2 

⎛ π 

⎜ 

⎝ 4 

− 

φ' 

⎞ 

⎟ = 

2 ⎠ 

SOLUZIONE DI RANKINE 

1 

2 

⋅ γ ⋅ H 

2 

⋅ K 

A 








In condizioni di equilibrio limite passivo (superiore) le forze che agiscono 

sul cuneo, sono: 

1 2 

‣ il peso proprio , che agisce in direzione verticale W = ⋅ γ ⋅ H ⋅ cot η 

2 

‣ la risultante R delle tensioni normali e tangenziali sulla superficie di 

scorrimento, che è inclinata di un angolo φ’ rispetto alla normale alla 

superficie AC, con componente tangente diretta verso il basso, ovvero tale 

da opporsi al movimento incipiente del cuneo 

‣ la spinta passiva P P 

, che agisce in direzione orizzontale per l’ipotesi di 

assenza di attrito tra parete e terreno. 

W 

η+φ’ 

P P 

R 

H 

H 

tan η 



P P 

B 

A 

B’ 

A’ 

W 

η 

φ’ 

C 

R 

C’






Per l’equilibrio è: 

P 

P 

= W ⋅ tan( η + φ') 

= 

1 

2 

⋅ γ ⋅ H 

2 

⋅ cot η⋅ tan 

( η + φ' 

) = f ( η) 

La spinta passiva si ottiene in corrispondenza del minimo della funzione: 

∂P P 

= 0 

∂η 

η 

crit 

P 

P 

π 

= 

4 

= 

φ' 

− 

2 

1 

⋅ γ ⋅ H 

2 

2 

⋅ tan 

2 

⎛ π 

⎜ 

⎝ 4 

+ 

φ' 

⎞ 

⎟ 

2 ⎠ 

= 

SOLUZIONE DI RANKINE 

1 

⋅ γ ⋅H 

2 

2 

⋅K 

P 



IPOTESI: 






Si rimuovono alcune delle ipotesi ma non quella di superficie di 

scorrimento piana: 

terrapieno delimitato da una superficie inclinata di un angolo β 

sull’orizzontale 

parete inclinata di un angolo λ sulla verticale 

presenza di attrito tra parete e terreno, con coefficiente d’attrito tanδ 

K 

A 

Per la condizione di spinta attiva: 

P 

= 

A 

cos 

1 

= ⋅γ 

⋅ H 

2 

2 

λ ⋅ cos 

2 

( λ + δ ) 

⋅ K 

A 

cos 

⎡ 

⋅ ⎢1 

+ 

⎣ 

2 

( φ' 

−λ) 

sen( δ + φ' 

) ⋅ sen( φ' 

−β 

) 

cos( λ + δ ) ⋅ cos( λ − β ) 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

2 

H 

λ 

W 

δ φ’ 



P A 

η 

R 

β






Per la condizione di spinta passiva: 

P 

P 

= 

1 

⋅ γ ⋅H 

2 

2 

⋅K 

P 

K 

P 

= 

cos 

2 

λ ⋅ cos 

( λ + δ ) 

cos 

⎡ 

⋅ ⎢1 

− 

⎣ 

2 

( φ' 

+ λ) 

sen( δ + φ' 

) ⋅ sen( φ' 

+ β ) 

cos( λ + δ ) ⋅ cos( λ − β ) 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

2 

β 

H 

P P 

δ 

λ 

W 

φ’ 

R 

η 







La teoria di Coulomb è più versatile della teoria di Rankine, ed è alla base 

del più diffuso metodo pseudo-statico di calcolo della spinta in condizioni 

sismiche. 

Il metodo, basato sulle equazioni di equilibrio alla traslazione, non 

consente tuttavia di determinare la quota di applicazione delle forze in 

gioco, ma solo modulo, direzione e verso. 

Sia la teoria di Rankine che quella di Coulomb ipotizzano superfici di 

scorrimento piane. Tale ipotesi non è verificata a causa dell’interazione 

fra la parete dell’opera di sostegno ed il terreno. 

b) 

A 

A’ C π/4 - φ’/2 

A’ 

A 

C 

π/4 + φ’/2 

H 

H/3 

B 

δ 

P P 

π/2+ φ’ 

D 

δ > 0 

H 

P A 

δ 

D 

π/2 - φ’ 

δ < 0 



H/3 

B




TEORIA DI CAQUOT E KERISEL 


La soluzione fu ottenuta per via numerica da Caquot e Kérisel (1948) ed è 

riportata in grafici e tabelle in termini di coefficienti di spinta attiva, K A 

, e 

passiva, K P 

, al variare dell’ angolo : 

‣di resistenza al taglio ϕ’, 

‣di attrito parete-terreno δ, 

‣di inclinazione della parete rispetto alla verticale λ, 

‣di inclinazione del piano che delimita il terrapieno rispetto all’orizzontale β 

+β 

Esempio: terrapieno orizzontale (β = 0°) e parete verticale (λ = 0°) 

+λ +δ 

φ’ 5° 10° 15° 20° 25° 30° 35° 40° 45° 50° 

δ 0,81 0,65 0,53 0,44 0,37 0,31 0,26 0,22 0,19 0,16 

= 1 1,26 1,66 2,20 3,04 4,26 6,56 10,7 18,2 35,0 75,0 

φ' 

δ 2 0,81 0,66 0,54 0,44 0,36 0,30 0,25 0,20 0,16 0,13 

= 1,24 1,59 2,06 2,72 3,61 5,25 8,00 12,8 21,0 41,0 

φ' 

3 

δ 1 0,82 0,67 0,56 0,45 0,37 0,30 0,25 0,20 0,16 0,13 

= 1,22 1,52 1,89 2,38 3,03 4,02 5,55 8,10 12,0 19,0 

φ' 

3 

δ 0,84 0,70 0,59 0,49 0,41 0,33 0,27 0,22 0,17 0,13 

= 0 1,19 1,42 1,70 2,04 2,46 3,00 3,70 4,60 5,80 7,50 

φ' 






CONFRONTI TRA LE TEORIE 

DI COULOMB E CAQUOT E KERISEL 


Il metodo di Coulomb impone la forma della superficie di scorrimento 

piana, ma i valori di P A 

e di P P 

, rispettivamente ottenuti dalle condizioni di 

massimo e di minimo della funzione P(η), con η angolo di inclinazione 

della superficie di rottura rispetto all’orizzontale, non sono il massimo ed 

il minimo assoluti, ovvero per qualunque ipotetica forma della superficie 

di scorrimento. 

In particolare, ipotizzando una superficie di scorrimento curvilinea 

(Caquot e Kérisel): 

P A 

(Coulomb) 

(Caquot e Kérisel) 

P P 

(Coulomb) > P P 

(Caquot e Kérisel) 

P A (Coulomb) non è massimo assoluto 

P P (Coulomb) non è minimo assoluto 






CONFRONTI TRA LE TEORIE 

DI COULOMB E CAQUOT E KERISEL 


OSS. 

1. Le differenze con il metodo di Coulomb, in termini quantitativi, sono 

tanto più rilevanti quanto più la superficie ipotizzata si discosta da 

quella piana 

2. Nel caso di spinta attiva, nella maggior parte dei casi pratici, ovvero 

per β, λ e δ positivi, le differenze sono modeste 

3. Nel caso di spinta passiva, invece, le differenze possono essere molto 

sensibili 

4. In entrambi i casi, essendo la spinta attiva in genere un’azione 

destabilizzante e la spinta passiva un’azione resistente, il metodo di 

Coulomb non è mai conservativo

la teoria di Rankine

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