algebra matriciale - Dipartimento di Economia e Sistemi Arborei ...

Algebra matriciale – a.a. 2007/2008 – Nicolò MacciottaUniversità degli studi di Sassari - Facoltà di AgrariaCorso di Laurea Specialistica inPRODUZIONI ANIMALIIN AMBIENTE MEDITERRANEOScuola di Dottorato di Ricerca in SCIENZE DEI SISTEMI AGRARI E FORESTALI EDELLE PRODUZIONI ALIMENTARI,indirizzo in SCIENZE E TECNOLOGIE ZOOTECNICHEDISPENSE DEL CORSO DIALGEBRA MATRICIALEDOCENTENICOLO’ MACCIOTTADIPARTIMENTO DI SCIENZE ZOOTECNICHEANNO ACCADEMICO 2007/20081

Algebra matriciale – a.a. 2007/2008 – Nicolò Macciotta1. ALGEBRA DELLE MATRICI ED INTRODUZIONE ALLA REGRESSIONE LINEARESEMPLICEAlgebra delle matriciConcetto di matrice e tipi di matricePer matrice si intende un insieme di numeri disposti secondo i righe j e colonne, solitamenteracchiusi da parentesi quadre.A⎡a=⎢⎢a⎢⎣a112131aaa122232aaa132333⎤⎥⎥⎥⎦⎡ 1=⎢⎢3⎢⎣1101529⎤7⎥⎥4⎥⎦Il numero di righe (i) ed il numero delle colonne (j) definiscono le dimensioni della matrice. Nelcaso di A, la dimensione è 3 righe e tre colonne e sarà indicata con A (3x3) .. In generale:⎡a11⎢a21A = ⎢⎢ ...⎢⎣ai1aa1222...ai2............a1j⎤a⎥2 j⎥... ⎥⎥aij⎦( ixj)Per convenzione, le matrici vengono solitamente indicate con lettere maiuscole in grassetto (Anell’esempio sopra riportato. I numeri contenuti all’interno della matrice sono detti elementi dellamatrice..Matrici costituite da una sola riga (cioè i=1) o da una sola colonna (j=1) sono dette vettori. Perconvenzione sono rappresentate con lettere minuscole, sempre in grassetto.[ 3 12 1 ] (1 x3)a ' =Vettore riga.2

Algebra matriciale – a.a. 2007/2008 – Nicolò Macciotta⎡11⎤q =⎢ ⎥⎢43⎥Vettore colonna⎢⎣7 ⎥⎦Solitamente un vettore riga è indicato con l’apostrofo.Una matrice è detta quadrata quando il numero delle righe è uguale al numero delle colonne (i = j).A sopra descritta è una matrice quadrata (3 x 3). Se il numero delle righe è diverso dal numero dellecolonne si avrà una matrice rettangolare.⎡11⎢7M = ⎢⎢ 9⎢⎣ 187510⎤2⎥⎥6⎥⎥3⎦( 4X3)In una matrice quadrata si distinguono una diagonale principale ed una diagonale secondaria.⎡ 1A =⎢3⎢⎢⎣1101529⎤7⎥⎥4⎥⎦Nel caso di A gli elementi della diagonale principale sono 1, 15 e 4 mentre quelli della diagonalesecondaria sono 9, 15 e 11.Una matrice è detta diagonale quando presenta tutti gli elementi fuori della diagonale uguali a zero⎡3D =⎢0⎢⎢⎣001100⎤0⎥⎥6⎥⎦La matrice identità I è una matrice diagonale con tutti gli elementi sulla diagonale uguali ad 1.3

Algebra matriciale – a.a. 2007/2008 – Nicolò MacciottaI =⎡1⎢⎢0⎢⎣00100⎤0⎥⎥1⎥⎦Nell’algebra delle matrici, la matrice identità equivale al numero 1 dell’algebra degli scalari. Lamatrice in cui tutti gli elementi sono pari a zero è detta matrice nulla, mentre la matrici in cui glielementi sono tutti pari ad uno è detta unità ed è normalmente indicata con la lettera J..⎡0N =⎢⎢0⎢⎣00000⎤0⎥⎥0⎥⎦⎡1J =⎢⎢1⎢⎣11111⎤1⎥⎥1⎥⎦Per matrice simmetrica si intende una matrice in cui gli elementi sopra alla diagonale e sotto ladiagonale sono tra loro simmetrici.⎡1⎢⎢11S =⎢ 3⎢⎣9111572374109 ⎤⎥2⎥10⎥⎥7 ⎦⎡ 1⎢⎢11S =⎢⎢⎣simm11153749 ⎤⎥2⎥10⎥⎥7 ⎦Come si vede sopra, una matrice simmetrica può essere rappresentata in due modi.Una matrice è detta triangolare quando ha gli elementi sopra, oppure sotto, la diagonale uguali azero.⎡1⎢⎢0S =⎢0⎢⎣011150037409 ⎤⎥2⎥10⎥⎥7 ⎦M =⎡3⎢5⎢⎢⎣401180⎤0⎥⎥6⎥⎦Una matrice tridiagonale ha gli elementi sulla la diagonale e sulle sub-diagonali inferiore esuperiore diversi da zero, mentre tutti gli altri elementi sono uguali a zero.4

Algebra matriciale – a.a. 2007/2008 – Nicolò Macciotta⎡1⎢⎢8S = ⎢0⎢⎢0⎢⎣0214900043900052100 ⎤⎥0⎥0 ⎥⎥3⎥11⎥⎦Si definisce trasposta di una matrice A, e si indica con A’, una matrice che si ottiene da Ascambiando le righe e le colonne.⎡1A =⎢8⎢⎢⎣92 ⎤14⎥⎥3 ⎥⎦⎡1A ' = ⎢⎣28149⎤⎥3⎦Come si può notare, la prima colonna di A è diventata la prima riga di A’, e così via.La traccia di una matrice quadrata A, indicata con tr(A), è data dalla somma degli elementi che sitrovano sulla sua diagonale.⎡37 4⎤A =⎢5 11 2⎥⎢ ⎥tr(A) = 3 + 11 + 6 = 20⎢⎣4 8 6⎥⎦La due righe di programma R seguenti creano e stampano la Matrice A > A A[,1] [,2] [,3][1,] 3 7 4[2,] 5 11 2[3,] 4 8 6Trasposizione della matrice> A1

Algebra matriciale – a.a. 2007/2008 – Nicolò Macciotta> A1[,1] [,2] [,3][1,] 3 5 4[2,] 7 11 8[3,] 4 2 6Creazione di una matrice Identità di dimensioni 4x4> I I[,1] [,2] [,3] [,4][1,] 1 0 0 0[2,] 0 1 0 0[3,] 0 0 1 0[4,] 0 0 0 1Creazione di una matrice diagonale di dimensione 3x3 avente sulla diagonale il valore 2> p p[,1] [,2] [,3][1,] 2 0 0[2,] 0 2 0[3,] 0 0 2Creazione di una matrice diagonale 3x3 avente in diagonale la sequenza da 1 a 3> p p[,1] [,2] [,3][1,] 1 0 0[2,] 0 2 0[3,] 0 0 3creazione di un vettore colonna 3x1> b

Algebra matriciale – a.a. 2007/2008 – Nicolò Macciotta> b[,1][1,] 4[2,] 6[3,] 1creazione di un vettore riga 1x4> a a[,1] [,2] [,3] [,4][1,] 1 2 3 4Operazioni con le matriciA differenza dell’algebra degli scalari in cui l’esecuzione delle operazioni elementari (addizione,sottrazione, moltiplicazione e divisione) non richiede requisiti particolari per gli addendi o per ifattori, le matrici invece possono essere o meno conformabili per una determinata operazione. Taleconformabilità è legata alle loro dimensioni (m x n) e anche ed eventuali relazioni esistenti fra lerighe o le colonne della matrice stessa.Le operazioni con le matrici possono essere realizzate sia su softwares di carattere generale, qualifogli di calcolo tipo Excel (che presente una serie di funzioni dedicate al calcolo matriciale), o distatistica avanzata, quali il SAS (che ha un modulo, denominato IML, che è dedicato al calcolomatriciale) o infine da software che sono stati sviluppati appositamente per il calcolo con le matrici,come il MATLAB. Recentemente è disponibile un nuovo software open access, R, con il quale èpossibile svolgere operazioni con matrici.SommaDue matrici sono conformabili per la somma, o per la sottrazione, quando hanno la stessadimensione, cioè presentano lo stesso numero di righe e colonne.La somma di due matrici A e B, di dimensione m x n, sarà una matrice m x n i cui elementi sono ilrisultato della somma degli elementi corrispondenti di A e B.In generale:7

Algebra matriciale – a.a. 2007/2008 – Nicolò Macciotta⎡aA =⎢a⎢⎢⎣a112131aaa122232⎤⎥⎥⎥⎦⎡bB =⎢b⎢⎢⎣b112131bba122232⎤⎥⎥⎥⎦la formula generale per la somma (o la sottrazione) sarà:⎡aA + B =⎢a⎢⎢⎣a112131+ b+ b+ b112131aaa1222321+ b+ b12+ b2232⎤⎥⎥⎥⎦Ora passiamo ad un esempio pratico⎡11A =⎢6⎢⎢⎣8− 4⎤0⎥⎥13 ⎥⎦B =⎡ 3⎢1⎢⎢⎣− 62 ⎤15⎥⎥5 ⎥⎦A e B sono conformabili per la somma, perché hanno la stessa dimensione (3 x 3).⎡11− 4⎤⎡ 3 2 ⎤ ⎡11+ 3 − 4 + 2⎤⎡14− 2⎤A + B =⎢6 0⎥+⎢1 15⎥=⎢6 + 1 0 + 15⎥=⎢7 15⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥⎢⎣8 13 ⎥⎦⎢⎣− 6 5 ⎥⎦⎢⎣8 − 6 13 + 5 ⎥⎦⎢⎣2 18 ⎥⎦Il risultato di A + B è lo stesso di B + A. Analogo discorso è valido per la sottrazione.Si riporta la sintassi di R per lo svolgimento dell’esempio precedenteA

Algebra matriciale – a.a. 2007/2008 – Nicolò MacciottaDue matrici sono conformabili per il prodotto quando il numero di colonne della prima è uguale alnumero di righe della seconda. Il risultato della moltiplicazione è un matrice con un numero di righepari a quello della prima matrice ed un numero di colonne pari a quello della seconda matriceIl prodotto di una matrice A (m x n) per una matrice B (n x q) è dato da una matrice (m x q) i cuielementi sono la somma dei prodotti dei rispettivi elementi di A e B. In generale:⎡aA =⎢a⎢⎢⎣a112131aaa122232⎤⎥⎥⎥⎦mxn⎡bB = ⎢⎣b1121bb1222bb1323⎤⎥⎦nxq⎡aAB =⎢a⎢⎢⎣a112131xbxbxb11 +11 +11 +aaa122232xbxbxb212121aaa112131xbxbxb12 +12 +12 +aaa122232xbxbxb222222aaa112131xbxbxb13 +13 +13 +aaa122232xbxbxb232323⎤⎥⎥⎥⎦mxqPassiamo ad un esempio pratico.⎡11− 4⎤A =⎢6 0⎥⎡32 ⎤⎢ ⎥B = ⎢ ⎥⎢⎣8 13 ⎥⎣115 ⎦⎦Le due matrici sono conformabili per la moltiplicazione in quanto il numero di colonne di A (2) èuguale al numero di righe di B (2). Il risultato sarà una matrice con un numero di righe pari a quellodella prima (3) e numero di colonne pari a quello della seconda (2).⎡(11x3)+ ( −4x1)AB =⎢(6x3)+ (0x1)⎢⎢⎣(8x3)+ (13x1)(11x2)+ ( −4x15)⎤ ⎡29(6x2)+ (0x15)⎥=⎢18⎥ ⎢(8x2)+ (13x15)⎥⎦⎢⎣37− 38⎤12⎥⎥211⎥⎦Il seguente programma di R consente di svolgere l’esempio precedenteA

Algebra matriciale – a.a. 2007/2008 – Nicolò MacciottaA%*%BA differenza di quanto avviene nell’algebra degli scalari, il prodotto delle matrici non gode dellaproprietà commutativa. Infatti, anche quando la dimensione delle matrici lo consente, il prodottoAB è diverso da BA. Consideriamo Prediamo due matrici quadrate 2x2.⎡32 ⎤⎡45⎤A = ⎢ ⎥B =⎣115⎢ ⎥⎦⎣21 ⎦⎡ (3x4)+ (2x2)AB = ⎢⎣(1x4) + (15x2)mentre⎡(4x3)+ (5x1)BA = ⎢⎣(2x3)+ (1x1)(3x5)+ (2x1)⎤ ⎡16⎥ =(1x5)+ (15x1)⎢⎦ ⎣34(4x2)+ (5x15)⎤ ⎡17⎥ =(2x2)+ (1x15)⎢⎦ ⎣ 717⎤20⎥⎦83⎤19⎥⎦Poiché è importante l’ordine in cui la matrici sono moltiplicate fra loro, quando si parla di prodottofra matrici di solito si indicano le posizioni delle stesse nell’operazione. Per esempio, nel caso A xB, si dirà che la matrice B è moltiplicata a sinistra per A (oppure che A è moltiplicata a destra perB)Nella regola generale del prodotto fra matrici rientrano anche i prodotti fra vettori e matrici. Adesempioa ' =[ 3 12 1 ] (1 x3)⎡11A =⎢6⎢⎢⎣8− 4⎤0⎥⎥13 ⎥⎦Il prodotto a’A è realizzabile perché il numero di colonne di a (3) è uguale al numero di righe di A.Il risultato sarà un vettore riga (1x2).a ' A =[ 113 1]In questo caso non è realizzabile il prodotto A a’ poichè le due matrici non sono conformabili pertale operazione (A ha un numero di colonne, 2, che è diverso dal numero di righe di a’, 1). Lamatrice A può essere moltiplicata invece per il seguente vettore colonna10

Algebra matriciale – a.a. 2007/2008 – Nicolò Macciotta⎡11⎤q = ⎢ ⎥ ed il risultato sarà un vettore colonna (1x 3)⎣ 43 ⎦⎡− 51⎤Aq =⎢ ⎥⎢66⎥⎢⎣647⎥⎦Prodotti di matrici particolariIl prodotto di un vettore riga v’ con un vettore colonna m dà come risultato uno scalare che ècostituito dalla somma dei prodotti degli elementi dei due vettoriv '=[ 3 4 1]⎡6⎤m =⎢ ⎥⎢2⎥v’m = (3 x 6) + (4 x 2) + (1 x 3) =29⎢⎣3⎥⎦Il prodotto di un vettore y moltiplicato a sinistra per la sua trasposta y’ dà come risultato unoscalare costituito dalla somma dei quadrati degli elementi di y.⎡2⎤⎢3⎥= ⎢ ⎥⎢1⎥⎢ ⎥⎣4⎦y '= [ 2 3 1 4]y y’y = 30Il prodotto di un vettore per moltiplicato a sinistra per la sua trasposta è detto forma quadraticaQuindi una operazione di questo tipo consente di calcolare tramite un semplice prodotto di vettori lasomma dei quadrati di grandi quantità di dati. In generale, la formula delle forme quadratiche è lseguente.y’GyDove G è una matrice qualsiasi. Nel caso dell’esempio sopra riportato, G è pari ad una matriceidentità 4x4. Cioè11

Algebra matriciale – a.a. 2007/2008 – Nicolò Macciotta⎡10 0 0⎤⎡2⎤⎢0 1 0 0⎥⎢3⎥y' Gy ==⎢00 1 0⎥⎢1⎥⎢ ⎥⎢⎥⎣00 0 1⎦⎣4⎦[ 2 3 1 4] ⎢ ⎥⎢⎥ 30Un vettore riga con gli elementi tutti uguali ad uno è detto vettore somma. Moltiplicato a destra perun vettore colonna, fornisce come risultato uno scalare costituito dalla somma di tutti gli elementidel vettore colonna.m '=[ 1 1 1 1]⎡2⎤⎢3⎥y = ⎢ ⎥⎢1⎥⎢ ⎥⎣4⎦m’y = 10Un vettore riga q’ può essere utilizzato per costruire una qualsiasi funzione degli elementi di unvettore colonna y. Consideriamo il vettore y dell’esempio precedente. Il vettore qq ' =[ 1 0 0 −1]moltiplicato a destra per il vettore y fornisce come risultato uno scalare che è la differenza tra ilprimo e l’ultimo elemento di y.q’y = -2Il prodotto di una matrice per la sua trasposta dà come risultato una matrice simmetrica.⎡1523⎤A =⎢11 9⎥ ⎡1511 31⎤⎢ ⎥ A ' = ⎢ ⎥⎢⎣31 12⎥⎣239 12 ⎦⎦AA '=⎡754⎢372⎢⎢⎣741372202449741 ⎤449⎥⎥1105⎥⎦Il prodotto di uno scalare k per una matrice A è la matrice A con ogni elemento moltiplicato per k.In generale12

Algebra matriciale – a.a. 2007/2008 – Nicolò Macciotta⎡akA = k⎢a⎢⎢⎣a112131aaa122232⎤⎥=⎥⎥⎦⎡ka⎢ka⎢⎢⎣ka112131kakaka122232⎤⎥⎥⎥⎦Venendo ad un esempio pratico:k A⎡15= 3⎢11⎢⎢⎣3123⎤9⎥⎥12⎥⎦⎡45=⎢33⎢⎢⎣9369⎤27⎥⎥36⎥⎦A

Algebra matriciale – a.a. 2007/2008 – Nicolò Macciotta⎡68B ' A' = ⎢⎣764240105⎤86⎥⎦Una matrice A è detta idempotente se AA’=AUna matrice B è detta nullipotente se BB’= 0Una matrice U è detta ortogonale se UU’= IRiassumendo alcune differenze fra l’algebra degli scalari e quella delle matrici:1. Proprietà associativaA + (B + C) = (A + B) + C2. Proprietà distributivaA (B + C) = AB) + AC3. Proprietà commutativa (valida solo per l’addizione o la sottrazione)A + B = B + AAB ≠ BAProdotto di Kroenecker.Il prodotto di Kroenecker, o prodotto diretto, fra due matrici consiste nel moltiplicare ogni elementodella prima matrice per tutta la seconda matrice. Si indica con il simbolo ⊗.⎡a11Ba12B⎤A ( 2x2) ⊗ B( mxn)= ⎢a21a⎥⎣ B 22B⎦( 2mx2n)Di sotto si riporta un esempio di applicazione del prodotto di Kroenecker14

Algebra matriciale – a.a. 2007/2008 – Nicolò Macciotta⎡2⎢⎣1⎡53⎤⎢⎥ ⊗ ⎢12⎦⎢⎣33⎤9⎥⎥2⎥⎦=⎡2x5⎢⎢2x1⎢2x3⎢⎢1x5⎢1x1⎢⎣1x32x32x92x21x31x91x23x53x13x32x52x12x33x3⎤⎡103x9⎥ ⎢⎥ ⎢23x2⎥⎢ 6⎥ = ⎢2x3⎥⎢ 52x9⎥⎢ 1⎥ ⎢2x2⎦⎣ 36184392153910269 ⎤27⎥⎥6 ⎥⎥6 ⎥18⎥⎥4⎦Il prodotto di Kroenecker viene spesso per agevolare i calcoli nelle equazioni di soluzione deimodelli geneticiOperatori elementariEsistono delle matrici particolari, ottenute attraverso delle modifiche della matrice di identità I, checonsentono di manipolare un’altra matrice A per la quale vengono moltiplicate.La matrice P per esempio, ottenuta dalla matrice I attraverso la sostituzione del primo elementodella diagonale con 0.25, consente di dividere per 4 la prima riga di una matrice per la quale vienemoltiplicata a destra.⎡0.250 0⎤P =⎢0 1 0⎥⎢ ⎥ ;⎢⎣0 0 1⎥⎦⎡84 32⎤A =⎢4 3 3⎥⎢ ⎥ ;⎢⎣6 1 1 ⎥⎦PA =⎡2⎢4⎢⎢⎣61318⎤3⎥⎥1⎥⎦Se invece viene moltiplicata a sinistra per A, consente di divedere per quattro la prima colonna diA. Cioè⎡ 2AP =⎢1⎢⎢⎣1.543132⎤3⎥⎥1 ⎥⎦Un secondo tipo di operatori elementari consente di scambiare fra loro le righe e le colonne dellematrici. In questo altro esempio, l’uso della matrice Q consente di scambiare fra loro la seconda e laterza riga di una matrice per la quale viene moltiplicata a destra (Q x A) oppure la seconda e la terzacolonna di una matrice per la quale viene moltiplicata a sinistra (A x Q).15

Algebra matriciale – a.a. 2007/2008 – Nicolò Macciotta⎡10 0⎤Q =⎢0 0 1⎥⎢ ⎥ ;⎢⎣0 1 0⎥⎦⎡84 32⎤A =⎢4 5 3⎥⎢ ⎥ ;⎢⎣6 2 1 ⎥⎦⎡84 32⎤QA =⎢6 2 1⎥⎢ ⎥ ;⎢⎣4 5 3 ⎥⎦⎡8AQ =⎢4⎢⎢⎣632314⎤5⎥⎥2⎥⎦Infine un terzo tipo di operatore elementare consente di combinare in vario modo le righe o lecolonne delle matrici per cui viene moltiplicata. La matrice T per esempio, moltiplicata a destra peruna matrice A (T x A), produce una matrice M in cui la prima riga è data dalla somma deglielementi della prima e terza riga di A, mentre gli elementi della seconda e terza riga rimangonouguali a quelli di A. Se invece viene moltiplicata a sinistra per A (A x T), produce una matrice F incui la terza colonna è data dalla somma degli elementi della prima e seconda colonna di A, mentregli elementi della prima e seconda colonna rimangono uguali rispetto ad A.⎡10 1⎤T =⎢0 1 0⎥⎢ ⎥ ;⎢⎣0 0 1⎥⎦⎡84 32⎤A =⎢4 5 3⎥⎢ ⎥ ;⎢⎣6 2 1 ⎥⎦⎡14TA =⎢4⎢⎢⎣665233⎤3⎥⎥1 ⎥⎦⎡8AT =⎢4⎢⎢⎣645240⎤7⎥⎥7 ⎥⎦In generale, quindi, l’uso degli operatori elementari consente di modificare le righe di una matriceA se l’operatore elementare viene moltiplicato a destra per A (ad esempio T x A) mentre consentedi modificare le colonne di A se l’operatore elementare viene moltiplicato a sinistra per A (adesempio A x T).Determinante di una matrice quadrata16

Algebra matriciale – a.a. 2007/2008 – Nicolò MacciottaIl determinante di una matrice quadrata è un numero associato alla matrice stessa. Esso può essereminore, maggiore o uguale a zero. Il determinante di una matrice 1 x 1 (cioè un numero) è ilnumero stesso. Il determinante di una matrice A viene indicato con |A|. La conoscenza deldeterminante di una matrice quadrata è importante ai fini dell’ottenimento dell’inversa della matrice(vedi in seguito) che nell’algebra delle matrici equivale al reciproco dell’algebra degli scalari.Il determinante di una matrice 2 x 2 è uguale alla differenza tra il prodotto degli elementi sulladiagonale e quello degli elementi fuori della diagonale.⎡a= ⎢⎣a1121aa1222⎤⎥⎦A |A| = (a 11 * a 22 ) - (a 12 * a 21 )Esempio:⎡3= ⎢⎣12 ⎤15⎥⎦A |A| = (3*15)-(2*1) = 45 -2 = 43Il calcolo del determinante di una matrice quadrata di dimensioni superiori a 2x2 si presenta piùcomplesso. Nel caso di una matrice quadrata 3x3, si usa il cosiddetto metodo di espansione deiminori. Si consideri la matrice⎡5A =⎢9⎢⎢⎣52543⎤2⎥⎥1⎥⎦Se si considerano gli elementi della prima riga, è possibile ricavare da A tre submatrici 2x2 che siottengono eliminando la riga e la colonna di appartenenza di ciascun elemento della riga 1. Cioè⎡51=⎢⎣42⎤1⎥⎦A ottenuta eliminando riga e la colonna cui appartiene 517

Algebra matriciale – a.a. 2007/2008 – Nicolò Macciotta⎡92 = ⎢⎣52⎤1⎥⎦A ottenuta eliminando riga e la colonna cui appartiene 2⎡93=⎢⎣55⎤4⎥⎦A ottenuta eliminando riga e la colonna cui appartiene 3I determinanti delle submatrici ottenute da A prendono il nome di minori. Il determinante di A saràdato dalla somma dei prodotti dei determinanti delle tre submatrici (cioè dei minori) per ilcoefficiente (-1) i+j , dove i e j sono la riga e la colonna di appartenenza dell’elemento di A cui siriferisce il minore. Continuando nell’esempio:1 + 1 5 21+2 9 21+3 9 5A = 5( −1) + 2( −1) + 3( −1);4 1 5 1 5 4|A| = 5(5-8) -2(9-10) + 3(36-25) = 20I determinanti delle submatrici ottenute da A moltiplicati per il coefficiente (-1) i+j sono detticofattori della matrice A. Nell’esempio sopra riportato, il calcolo del determinante di A è statosviluppato attraverso il metodo dell’espansione dei minori relativi agli elementi della prima riga. Adanalogo risultato si può pervenire attraverso l’espansione dei minori relativi alla seconda riga2 + 1 2 32+2 5 32+3 5 2A = 9( −1) + 5( −1) + 2( −1);4 1 5 1 5 4|A| = - 9 (2-12) + 5(5-15) -2(20-10) = 20oppure della terza riga3 + 1 2 33+2 5 33+3 5 2A = 5( −1) + 4( −1) + 1( −1);5 2 9 2 9 518

Algebra matriciale – a.a. 2007/2008 – Nicolò Macciotta|A| = 5(4-15) -4(10-27) + 1(25-18) = 20A

Algebra matriciale – a.a. 2007/2008 – Nicolò MacciottaCofattori degli elementi della terza riga25( 1 ) ;( −1) ;( + 1) ; −11,+ 17, + 753293+ ;25925Se si sostituiscono gli elementi di A con i rispettivi cofattori, si ottiene la matrice dei cofattori (C).⎡ −3C =⎢10⎢⎢⎣−111−101711 ⎤−10⎥⎥7 ⎥⎦L’inversa della matrice A si calcola come prodotto dell’inverso del suo determinate per la traspostadella matrice dei cofattori, cioè−A 1=1 C'A=120⎡−3⎢1⎢⎢⎣1110−101011⎤⎡−0.1517⎥=⎢0.05⎥ ⎢7 ⎥⎦⎢⎣0.550.5− 0.5− 0.5− 0.55⎤0.85⎥⎥0.35 ⎥⎦Si può verificare cheAA -1 = I⎡5⎢9⎢⎢⎣52543⎤⎡−0.152⎥⎢0.05⎥⎢1⎥⎦⎢⎣0.550.5−0.5−0.5−0.55⎤⎡10.85⎥=⎢0⎥ ⎢0.35 ⎥⎦⎢⎣00100⎤0⎥⎥1⎥⎦La funzione solve di R consente di calcolare la matrice inversa di una matrice quadrata condeterminante diverso da zerosolve(A)Rango di una matrice quadrata20

Algebra matriciale – a.a. 2007/2008 – Nicolò MacciottaCome detto in precedenza, una matrice quadrata può essere invertita solo se il suo determinante èdiverso da zero. Se invece il determinante della matrice è uguale a zero, essa si dirà singolare e nonpotrà essere calcolata la sua inversa.Se A è un matrice quadrata, si ha |A|=0 quando una o più righe (o colonne) sono una combinazionelineare di altre righe (o colonne). Ad esempio, la seguente matrice ha il determinante uguale a zero⎡ 2A =⎢6⎢⎢⎣10−4286⎤4⎥⎥2⎥⎦Si può notare come la terza colonna sia uguale alla differenza della prima colonna meno la secondacolonna. Quindi la terza colonna è una combinazione lineare delle altre due e pertanto la matrice èsingolare, cioè |A|=0.Il rango di una matrice quadrata i x i è dato dal numero di righe (o colonne) che sono tra loroindipendenti. Se il rango della matrice è uguale al numero delle righe (o colonne), allora la matricesi dirà a pieno rango. Se invece il rango della matrice è inferiore al numero di righe (o colone)allora la matrice si dirà non a pieno rango. La matrice A sopra riportata ha rango pari a due, quindiè non a pieno rango.Dato un insieme di vettori a 1 , a 2 ,…, a n , questi si diranno linearmente dipendenti se esiste un vettoreq≠0 tale che a 1 q 11 + a 2 q 21 +…+ a n q n1 = 0.⎡ 2 ⎤a =⎢6⎥; a⎢ ⎥⎢⎣10⎥⎦⎡− 4⎤=⎢2⎥; a⎢ ⎥⎢⎣8 ⎥⎦⎡6⎤=⎢4⎥;⎢ ⎥⎢⎣2⎥⎦1 23 q⎡ 1 ⎤=⎢−1⎥⎢ ⎥⎢⎣−1⎥⎦Si verifica facilmente chea1q11+ a2q21+a3q31⎡ 2 ⎤ ⎡− 4⎤⎡6⎤⎡ 2 ⎤ ⎡ 4 ⎤ ⎡−6⎤⎡0⎤= 1⎢6⎥−1⎢2⎥−1⎢4⎥=⎢6⎥+⎢− 2⎥+⎢− 4⎥=⎢0⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢⎣10⎥⎦⎢⎣8 ⎥⎦⎢⎣2⎥⎦⎢⎣10⎥⎦⎢⎣−8⎥⎦⎢⎣− 2⎥⎦⎢⎣0⎥⎦Se chiamiamo A la matrice costituita dai tre vettori, se Aq = 0 per un vettore q non nullo, allora lecolonne di A sono vettori linearmente dipendenti.21

Algebra matriciale – a.a. 2007/2008 – Nicolò Macciotta⎡ 2A =⎢6⎢⎢⎣10− 4286⎤4⎥⎥2⎥⎦⎡ 1 ⎤q =⎢−1⎥⎢ ⎥⎢⎣−1⎥⎦⎡0⎤Aq =⎢0⎥⎢ ⎥⎢⎣0⎥⎦Se le colonne di A sono linearmente dipendenti, allora |A| = 0, la matrice è singolare e non esiste lasua inversa A -1 .Dato un insieme di vettori a 1 , a 2 ,…, a n , se solo il vettore q=0 che verifica la condizione a 1 q 11 +a 2 q 21 +…+ a n q n1 = 0 i vettori si diranno tra loro linearmente indipendenti. I seguenti vettori sono traloro linearmente indipendenti.⎡1⎤⎡− 2⎤⎡ 3 ⎤a 1 =⎢3⎥; a2=⎢3⎥; a⎢3 = 5⎥;⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢⎣5⎥⎦⎢⎣3 ⎥⎦⎢⎣11⎥⎦Se chiamiamo M la matrice costituita dai tre vettori, se Mq = 0 solo per q = 0, allora le colonne diM sono vettori linearmente indipendenti⎡1M =⎢3⎢⎢⎣5− 2333⎤5⎥⎥11⎥⎦Se le colonne di M sono linearmente indipendenti, allora |M|=0, la matrice è non singolare ed esistela sua inversa M -1 .Caso particolare di inversa di una matrice quadrataL’inversa di una matrice diagonale D è una matrice diagonale in cui gli elementi della diagonalesono uguali al reciproco degli elementi corrispondenti di D. Cioè22

Algebra matriciale – a.a. 2007/2008 – Nicolò Macciotta⎡2D =⎢0⎢⎢⎣00400⎤0⎥⎥3⎥⎦D−1⎡1⎢2⎢= ⎢0⎢⎢0⎢⎣0140⎤0⎥⎥0⎥⎥1⎥3⎥⎦Inversa generalizzataNel caso della matrici quadrate singolari, quelle cioè per le quali non esiste l’inversa, comunquepossibile calcolare l’inversa generalizzata. L’inversa generalizzata di una matrice quadratasingolare S, solitamente indicata con S - , è una matrice quadrata che soddisfa la seguente condizioneS S - S=SEsercizi….23

Algebra matriciale – a.a. 2007/2008 – Nicolò MacciottaIntroduzione alla regressione lineare sempliceUso delle matrici per la risoluzione dei sistemi di equazioni lineariIl calcolo matriciale trova applicazione in numerosi settori scientifici. Una delle utilizzazioni piùfrequenti consiste nell’uso delle matrici per risolvere i sistemi di equazioni lineari.Si consideri il seguente sistema di tre equazioni lineari.4x + 3y +2z = -5x – y – z = 82x + 5y + 5z = -26Il sistema ammette delle soluzioni per le incognite (x = 2, y = -1, z = -5).Questo sistema di equazioni può essere scritto in forma matriciale:⎡4⎢1⎢⎢⎣23−152 ⎤⎡x⎤⎡ −5⎤−1⎥⎢y⎥=⎢8⎥⎥⎢⎥ ⎢ ⎥5 ⎥⎦⎢⎣z⎥⎦⎢⎣− 26⎥⎦cioèXb = ydove X è la matrice dei coefficienti (che contiene cioè i coefficienti delle incognite), b è il vettoredelle incognite (o vetore delle soluzioni) e y è il vettore dei termini noti. Ai fini della risoluzione delsistema di equazioni bisogna ricavare il vettore delle incognite, cioèb = X -1 yquindi condizione fondamentale per la risoluzione di un sistema di equazione con il calcolomatriciale è che la matrice dei coefficienti abbia i determinante diverso da zero ed esista la suainversa X -1 . Nel caso del sistema di equazioni considerato, l’inversa della matrice dei coefficientisaràX−1⎡ 0=⎢1⎢⎢⎣−10.714286 0.142867 ⎤− 2.28571 −0.85714⎥⎥2 1 ⎥⎦Continuando quindi a sviluppare l’esempio24

Algebra matriciale – a.a. 2007/2008 – Nicolò Macciotta25⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡51226851210.857142.2857110.1428670.7142860zyxX

Algebra matriciale – a.a. 2007/2008 – Nicolò MacciottaUso delle matrici per lo studio delle relazioni fra due variabili.La disponibilità di più variabili misurate sulle stesse unità sperimentali può costituire un notevolevantaggio ai fini della comprensione del fenomeno oggetto di studio. Ciò dipende dal grado direlazione che esiste tra le variabili considerate. Due variabili si dicono statisticamente correlatequando la variazione dell’una non è indipendente dalla variazione dell’altra, cioè quando esse inqualche misura covariano. Il termine correlazione, ampiamente utilizzato anche nel linguaggiocomune per indicare l’esistenza di una relazione fra più aspetti degli stessi oggetti, assume quindinel campo statistico un significato ben preciso ed introduce al concetto della variazione comune adue variabili, cioè della loro covariazione.Nel miglioramento genetico degli animali in produzione zootecnica capita spesso di studiarerelazioni fra due variabili, una delle quali è di tipo temporale. Ad esempio, nella tabella 1 sonoriportati i valori di peso corporeo (espresso in chilogrammi) rilevato a diverse età (espresse in mesi)di una agnella di razza Sarda.Tabella 1. Evoluzione del peso corporeodi una agnella di razza sarda in funzione dell’età.Età (mesi) Peso (kg)2 15.23 174 18.55 24.16 27.27 30.88 32.89 33.410 33Le due variabili quindi sono il peso (un carattere produttivo di interesse zootecnico) e l’etàdell’animale (variabile temporale). Una prima valutazione, qualitativa ma efficace, del legameesistente tra due le variabili viene fornita dalla rappresentazione grafica. In figura 1 vengonoriportati i dati della tabella 1, ponendo in ascisse l’età dell’animale ed in ordinate il peso corporeo26

Algebra matriciale – a.a. 2007/2008 – Nicolò Macciotta3530Peso (kg)252015100 5 10Età (mesi)Figura 1. Evoluzione del peso corporeo di una agnelladi razza Sarda in funzione dell’etàDall’osservazione del grafico si nota come il peso dell’agnella aumenti all’aumentare dell’età conun andamento di tipo sigmoidale, noto come curva di crescita o di accrescimento. Il fenomenodell’accrescimento, ben noto ed ampiamente studiato nelle specie di mammiferi, è il risultato deiprocessi metabolici che hanno luogo durante la fase di crescita di un animale: fenomeni dimoltiplicazione cellulare, che caratterizzano le fasi di rapido accrescimento iniziale; fenomeni dimaturazione e differenziazione dei tessuti e degli organi, che caratterizzano la seconda fase lentache tende ad un plateau rappresentato dal peso dell’animale maturo.Passiamo ora a considerare il tutto da un punto di vista statistico: le due variabili che definiscono ilproblema sono il peso (cioè la variabile dipendente) e l’età (la variabile indipendente). La statisticache esprime il grado di relazione tra due x e y variabili è la covarianza (S xy ):Sxy=∑( x − x) ⋅( y − y)n −1Essa esprime la quota di variabilità comune che presentano due variabili. Maggiore è la covarianzatra le due variabili, più stretta sarà la relazione tra esse. La covarianza relativa alle due variabiliriportate in tabella 1 è 1.73. Essendo un prodotto di differenze, la covarianza ha però lacaratteristica di non essere immediatamente interpretabile. Una misura di più facile lettura cheesprime l’intensità con la quale due variabili x e y sono legate è il coefficiente di correlazione (r),che in effetti esprime la covarianza in termini standardizzati:27

Algebra matriciale – a.a. 2007/2008 – Nicolò Macciottarxy=SSxy2xS2ydove S xy = covarianza di x e y, S 2 x = varianza di x, S 2 y = varianza di y. Nel nostro caso, lacorrelazione fra peso ed età (r peso,età ) è pari a 0.967. Tale valore del coefficiente di correlazioneindica un legame stretto e positivo tra le due variabili (cioè variano nello stesso senso, all’aumentaredell’una aumenta l’altra e viceversa), peraltro ampiamente deducibile dell’andamento grafico(questa è una ottima ragione per iniziare qualsiasi processo di elaborazione dati con unarappresentazione grafica!).Per scopi pratici, però accade che una delle due variabili sia di difficile o costosa misurazione:ritornando all’esempio di figura 1, la rilevazione del peso delle agnelle (soprattutto nel caso digreggi numerosi) potrebbe rilevarsi piuttosto costosa o comunque non applicabile con la dovutafrequenza e complicata per poter essere applicata di routine, mentre la rilevazione dell’età nonrichiede particolari sforzi (tranne la corretta identificazione dell’animale e la registrazione della suadata di nascita). Lo sviluppo di un modello in grado di stimare il peso di una agnella in base alla suaetà potrebbe avere pertanto una certa rilevanza pratica. Osservando i dati riportati nella figura 1, sinota come la relazione tra le due variabili possa essere considerata con buona approssimazione ditipo lineare e quindi rappresentabile con una retta. In realtà la curva di crescita viene studiata confunzioni più complesse della retta, come la logistica o l’equazione di Gompertz. Nel nostro caso,però, considerato l’andamento dei dati e lo scopo didattico dell’esempio, si può utilizzare una rettaper modellizzare la curva. Dalla geometria analitica, l’equazione della rettay = b 0 + bxdove b 0 è l’intercetta, cioè il valore di y in corrispondenza del quale la retta interseca l’asse delleordinate; b è la pendenza (o coefficiente angolare) della retta, fornisce cioè la variazione di y alvariare di una unità di x. I termini b e b 0 sono anche detti parametri della funzione (nel nostro caso,della retta).Nel caso in esame, la retta che rappresenta l’accrescimento in funzione dell’età si dirà retta diregressione dell’età sul peso, la cui formula èy = b 0 + bx + edove e rappresenta il residuo, cioè la differenza tra il dato previsto dalla retta di regressione ed ildato reale osservato.La retta di regressione non è una retta qualsiasi, ma è quella retta che soddisfa la condizionematematica di minimizzare la somma dei quadrati delle distanze dei punti reali da essa. In altreparole, è la retta che passa più vicina a tutti i punti dell’insieme di dati. Il metodo matematico che28

Algebra matriciale – a.a. 2007/2008 – Nicolò Macciottaconsente di stimare, sulla base dei dati reali, i valori di b 0 e b della retta che soddisfa tale condizioneè detto metodo dei minimi quadrati (Least Squares). Lo sviluppo di tale metodo fornisce le seguentiformule, che consentono di calcolare la pendenza e l’intercetta della retta di regressione:Syb = [1]rxyS Xdove r xy è il coefficiente di correlazione fra le due variabili, S x e S y sono le rispettive deviazionistandardb= y − bx0 [2]dove x e y sono le medie delle variabili x e y rispettivamenteApplichiamo ora le formule [1] e [2] per il calcolo dei parametri della retta di regressioneall’esempio del peso corporeo sull’età dell’animale:7.34b = 0 .967 × = 2.5952.74b 0 = 25.78 –(2.595*6) = 10.208Quindi l’equazione della retta di regressione sarà:y = 10.208 + 2.595x + e [3]o, in altri terminipeso = 10.208 + 2.595 · età + eIn precedenza si è detto che il coefficiente di regressione rappresenta la variazione della variabiledipendente al variare di una unità della variabile indipendente. Nel caso specifico della retta che cisiamo calcolati, quindi, il valore del coefficiente di regressione indica che il peso aumenta di 2.5929

Algebra matriciale – a.a. 2007/2008 – Nicolò Macciottakg per un aumento di un mese di età (ovviamente nell’agnella che abbiamo consideratonell’esempio).L’equazione [3] può essere adesso utilizzata per la stima dei valori del peso a partire dall’età. Ivalori della variabile dipendente stimati con la retta di regressione si indicano convenzionalmenteŷ . Ad esempio, il valore stimato del peso per un’età di 10 mesi sarà:ŷ = 10.208 + 2.595*10= 36.158Poiché però il vero valore di peso misurato a 10 mesi era pari a kg 33, la differenzay - ŷ = 33-36.158 = -3.158rappresenta il residuo dalla retta di regressione (e) e, graficamente, costituisce la distanza dal puntosperimentale dalla retta di regressione. Allo stesso modo, utilizziamo l’equazione [3] per calcolare ilpeso stimato per tutte le età:Età (mesi) Peso reale Peso stimato Residuo2 15.2 15.397 -0.1973 17 17.992 -0.9924 18.5 20.588 -2.0885 24.1 23.183 0.9176 27.2 25.778 1.4227 30.8 28.373 2.4278 32.8 30.968 1.839 33.4 33.563 -0.16310 33 36.158 -3.158Si possono ora aggiungere i dati del peso stimato al grafico riportato in figura 130

Algebra matriciale – a.a. 2007/2008 – Nicolò Macciotta40Peso (kg)3530252015100 5 10Età (mesi)Figura 2. Valori del peso osservato (♦) e stimato con la retta di regressioneSi può notare come i valori del peso stimato si trovino sulla retta di regressione. Le distanze fra irombi (che rappresentano il valore realmente osservato del peso) ed il corrispondente valore sullaretta, rappresentano i residui.Una regressione può essere rappresentata da un sistema di equazioniy 1 = b 0 + b 1 x 1 + e 1y 2 = b 0 + b 1 x 2 + e 2……………….y n = b 0 + b 1 x n + e nCome detto nel paragrafo precedente, un sistema di equazioni può essere scritto in forma matriciale.Nel caso della retta di regressione, quindi:⎡ y1⎤⎡1⎢y⎥ ⎢2 1⎢ ⎥ = ⎢⎢...⎥ ⎢...⎢ ⎥ ⎢⎣ yn⎦⎣1x1⎤x⎥2⎥⎡b... ⎥⎢⎣b⎥xn⎦00ì⎡e1⎤⎢ ⎥⎤ e2⎢ ⎥⎥ +⎦ ⎢...⎥⎢ ⎥⎣en⎦[4]Si può notare come la matrice dei coefficienti contenga la prima colonna con gli elementi tutti pariad uno. Questa colonna è necessaria perché nel modello è prevista l’intercetta (in terminigeometrici, cioè, la retta non passa per l’origine ma interseca l’asse delle y in un punto b 0 ).L’equazione della retta di regressione, detta anche regressione lineare semplice, può essere scrittain forma sintetica come31

Algebra matriciale – a.a. 2007/2008 – Nicolò Macciottay = Xb + edovey = vettore della variabile indipendenteX = matrice dei valori della variabile indipendenteb = vettore dei parametri del modello di regressionee = vettore dei residuiAnalogamenteŷ = Xbŷ = vettore dei valori stimati della variabile indipendenteX = matrice dei valori della variabile indipendenteb = vettore dei parametri del modello di regressioneAnche per il sistema di equazioni scritto in forma matriciale, il metodo dei minimi quadraticonsente di ricavare delle soluzioni che permettono di stimare i parametri della retta di regressione.La seguenti equazioni( X ' X) bˆ= X'ysono dette equazioni normali della regressione lineare semplice, la cui soluzione−( X'X) X'yˆ 1b = [5]consente di stimare il vettore delle soluzioni b della regressione lineare semplice che soddisfano lacondizione dei minimi quadrati.Ritorniamo all’esempio della regressione lineare semplice applicata alla curva di crescitadell’agnella di razza Sarda. Il sistema di equazioni scritto in forma matriciale, secondo la formula[4], è32

Algebra matriciale – a.a. 2007/2008 – Nicolò Macciotta⎡15.2⎤⎡12 ⎤ ⎡ e1⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢17⎥ ⎢1 3⎥ ⎢17⎥⎢18.5⎥⎢14 ⎥ ⎢18.5⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢24.1⎥⎢15 ⎥⎡ ⎤⎢24.1b ⎥0⎢27.2⎥= ⎢16 ⎥⎢ ⎥ + ⎢27.2⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣b ⎦ ⎢ ⎥⎢30.8⎥⎢17 ⎥ ⎢30.8⎥⎢32.8⎥⎢18 ⎥ ⎢32.8⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢33.4⎥⎢19 ⎥ ⎢33.4⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ 33 ⎦ ⎣110⎦⎣ 33 ⎦y = X b + eapplichiamo ora la relazione [5] per trovare le stime del vettore dei parametri della regressione b.X 'X⎡1= ⎢⎣213141516171819⎡1⎢⎢1⎢1⎢⎢11 ⎤⎥⎢110⎦⎢⎢1⎢1⎢⎢1⎢⎣12 ⎤3⎥⎥4 ⎥⎥5 ⎥⎥⎡ 96 = ⎢⎥ ⎣457 ⎥8 ⎥⎥9 ⎥10⎥⎦45 ⎤285⎥⎦Dall’osservazione della struttura della matrice X’X si può notare come il primo elemento delladiagonale si uguale al numero dei dati considerati nella regressione (9), il secondo sia pari allasomma dei quadrati delle x, mentre gli elementi fuori diagonale sono pari alla somma delle x. Cioèla struttura generale della matrice X’X è⎡X ' X = ⎢⎢⎣n∑x∑∑x ⎤2⎥x ⎥⎦Ora calcoliamo l’inversa0.711111⎢⎣ − 0.1− 0.1−1⎡⎤( X ' X) =⎥ ⎦0.01666733

Algebra matriciale – a.a. 2007/2008 – Nicolò MacciottaSi calcola quindi il prodotto X’yX 'y⎡1= ⎢⎣213141516171819⎡15.2⎤⎢ ⎥⎢17⎥⎢18.5⎥⎢ ⎥⎢24.11 ⎤⎥⎥⎡ 232 ⎤⎥⎢27.2=10⎢ ⎥⎦⎢⎥ ⎣1547.7⎦⎢30.8⎥⎢32.8⎥⎢ ⎥⎢33.4⎥⎢ ⎥⎣ 33 ⎦Infine si moltiplica (X’X) -1 per X’yb =0.711111⎢⎣ − 0.1− 0.1 2320.016667⎥⎢⎥⎦⎣1547.7⎦10.20778⎢⎣ 2.595−1⎡⎤⎡⎤ ⎡ ⎤( X'X) X'y == ⎥ ⎦Come si può notare, il vettore delle soluzione dei parametri della regressione lineare semplicecontiene gli stessi valori che erano stati precedentemente ottenuti con le formule [1] e [2].Abbiamo quindi visto come la stima dei parametri di una retta di regressione semplice possa essereottenuta attraverso l’impiego del calcolo matriciale. Per semplicità didattica, l’esempio consideratosi riferiva ad un insieme di dati di numerosità estremamente ridotto, per cui, dal punto di vistacalcolistico è indifferente l’uso delle formule [1] e [2] o quello delle soluzioni matriciali [5]. Nelcaso però in cui debbano essere utilizzate grandi quantità di dati, come spesso capita nellevalutazioni genetiche, allora l’impiego del metodo matriciale è praticamente obbligato in quanto èl’unico che consente di gestire una grande mole di dati.Sviluppo dell’esempio soprariportato con RY

Algebra matriciale – a.a. 2007/2008 – Nicolò MacciottaX1XinvX1X

Algebra matriciale – a.a. 2007/2008 – Nicolò Macciotta36