algebra matriciale - Dipartimento di Economia e Sistemi Arborei ...

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Algebra matriciale – a.a. 2007/2008 – Nicolò Macciottakg per un aumento di un mese di età (ovviamente nell’agnella che abbiamo consideratonell’esempio).L’equazione [3] può essere adesso utilizzata per la stima dei valori del peso a partire dall’età. Ivalori della variabile dipendente stimati con la retta di regressione si indicano convenzionalmenteŷ . Ad esempio, il valore stimato del peso per un’età di 10 mesi sarà:ŷ = 10.208 + 2.595*10= 36.158Poiché però il vero valore di peso misurato a 10 mesi era pari a kg 33, la differenzay - ŷ = 33-36.158 = -3.158rappresenta il residuo dalla retta di regressione (e) e, graficamente, costituisce la distanza dal puntosperimentale dalla retta di regressione. Allo stesso modo, utilizziamo l’equazione [3] per calcolare ilpeso stimato per tutte le età:Età (mesi) Peso reale Peso stimato Residuo2 15.2 15.397 -0.1973 17 17.992 -0.9924 18.5 20.588 -2.0885 24.1 23.183 0.9176 27.2 25.778 1.4227 30.8 28.373 2.4278 32.8 30.968 1.839 33.4 33.563 -0.16310 33 36.158 -3.158Si possono ora aggiungere i dati del peso stimato al grafico riportato in figura 130
Algebra matriciale – a.a. 2007/2008 – Nicolò Macciotta40Peso (kg)3530252015100 5 10Età (mesi)Figura 2. Valori del peso osservato (♦) e stimato con la retta di regressioneSi può notare come i valori del peso stimato si trovino sulla retta di regressione. Le distanze fra irombi (che rappresentano il valore realmente osservato del peso) ed il corrispondente valore sullaretta, rappresentano i residui.Una regressione può essere rappresentata da un sistema di equazioniy 1 = b 0 + b 1 x 1 + e 1y 2 = b 0 + b 1 x 2 + e 2……………….y n = b 0 + b 1 x n + e nCome detto nel paragrafo precedente, un sistema di equazioni può essere scritto in forma matriciale.Nel caso della retta di regressione, quindi:⎡ y1⎤⎡1⎢y⎥ ⎢2 1⎢ ⎥ = ⎢⎢...⎥ ⎢...⎢ ⎥ ⎢⎣ yn⎦⎣1x1⎤x⎥2⎥⎡b... ⎥⎢⎣b⎥xn⎦00ì⎡e1⎤⎢ ⎥⎤ e2⎢ ⎥⎥ +⎦ ⎢...⎥⎢ ⎥⎣en⎦[4]Si può notare come la matrice dei coefficienti contenga la prima colonna con gli elementi tutti pariad uno. Questa colonna è necessaria perché nel modello è prevista l’intercetta (in terminigeometrici, cioè, la retta non passa per l’origine ma interseca l’asse delle y in un punto b 0 ).L’equazione della retta di regressione, detta anche regressione lineare semplice, può essere scrittain forma sintetica come31
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