Heile notatet i pdf-format

More documents

Recommendations

Info

9 Similariteter Similariteter Notat til Aha, kapittel 10 Sim1 Similaritet eller formlikhet Aha legger opp til en moderne behandling av kongruens og formlikhet. En sier her at to figurer er kongruente dersom det finnes en såkalt isometri (også kalt kongruensavbildning) som avbilder den ene figuren på den andre. På liknende måte sier en at to figurer er formlike dersom det finnes en såkalt similaritet som avbilder den ene figuren på den andre. Den moderne behandlingen av disse temaene er nok elegant, og rykker det svært viktige begrepet avbildning i forgrunnen. Men det er ikke sikkert at denne behandlingen er lett tilgjengelig på det nivået som ellers preger Matematikk 1. Når det gjelder formlikhet, også kalt similaritet, skal vi i stedet starte med en mer tradisjonell fremstilling. Der sier en at to figurer er formlike dersom de oppfyller visse egenskaper som ofte er lette å sjekke. __________________________________________________________________________________________ Sim2 Formlike trekanter I dette avsnittet gir vi en tradisjonell fremstilling av formlikhet for trekanter. I avsnitt Sim3 omtaler vi formlikhet på en måte som kan være lettere tilgjengelig for elever i grunnskolen. Endelig viser vi i avsnitt Sim4 til mer "moderne" synsmåter på formlikhet. Definisjon 1. To trekanter er formlike dersom de har to par like store vinkler. Dersom trekantene er slik at det er to par like store vinkler, da er også vinklene i det tredje paret like store (siden summen av vinklene i enhver trekant er 180 °). Når to trekanter er formlike, finnes det et samsvar eller en korrespondanse mellom dem. Dersom ABC er den ene av de to trekantene, da kan vi sette navn A’, B’ og C’ på hjørnene i den andre trekanten slik at ∠A = ∠A’, ∠B = ∠B’ og ∠C = ∠C.’ Da kan vi også snakke om samsvarende sider AB – A’B’ osv. Nå skal vi vise at i formlike trekanter er forholdet mellom (lengdene av) samsvarende sider det samme: A' B' B' C' A' C' = = = k . AB BC AC Det felles forholdstallet mellom samsvarende sider har vi altså kalt k. For å kunne vise (bevise) at forholdet mellom samsvarende sider er det samme for alle tre parene, skal vi ta som utgangspunkt disse setningene: - Når to parallelle linjer skjæres av en tredje linje, er de samsvarende vinklene like store, og omvendt: når to linjer skjæres av en tredje linje og samsvarende vinkler er like store, da er de to overskårne linjene parallelle. (Se figur på neste side.)
10 Similariteter v u Vinklene u og v er samsvarende vinkler. (Det er også tre andre par av samsvarende vinkler på figuren.) - Hvis to trekanter har samme høyde, da er forholdet mellom arealene deres lik forholdet mellom lengdene av grunnlinjene. h g 1 g 2 1 1 = g h , A2 = g 2h 2 2 A1 1 A A 1 2 1 g1h 2 g1 = = . 1 g g 2 2h 2 Teorem. Gitt to trekanter ABC og A’B’C’ slik at ∠A = ∠A’, ∠B = ∠B’ A ' B' B' C' A' C' og ∠C = ∠C.’ Da gjelder = = . AB BC AC C, C' C' B' A' B' A A' B Bevis. Vi tenker oss trekanten A’B’C’ flyttet bort på trekanten ABC slik at C’ faller sammen med C, C’A’ faller langs CA og C’B’ faller langs CB. Vi finner:
Page 1 and 2: NOTAT Postboks 133, 6851 SOGNDAL te
Page 3 and 4: Innhold 1 Litt trigonometri 1 2 Sim
Page 5 and 6: 2 Litt trigonometri A 45° 2 Figur
Page 7 and 8: 4 Litt trigonometri Trig3 Mer om ta
Page 9 and 10: 6 Litt trigonometri b) Vinkel A er
Page 11: 8 Litt trigonometri den. (Vi kan se
Page 15 and 16: 12 Similariteter Hva er en avbildni
Page 17 and 18: 14 Flislegging/tessellering av regu
Page 19 and 20: plane, 16 Symmetrigrupper og period
Page 21 and 22: 18 Symmetrigrupper og plane, period
Page 23 and 24: og Plane, periodiske båndmønstre
Page 25 and 26: og Type p1a1 (Translasjon og glides
Page 27 and 28: og plane, 24 Symmetrigrupper period
Page 29: og plane, 26 Symmetrigrupper period

Heile notatet i pdf-format

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?