Heile notatet i pdf-format

13
Flislegging/tessellering av regulære
mangekanter i planet
Flislegging/tessellering av
regulære mangekanter i planet
Tillegg til Aha, kapittel 10
Du har sikkert latt deg forundre over alle ulike typer fliser og belegningsstein som er å finne på ulike baderom,
svømmehaller, oppkjørsler, etc. Det virker som om det er en ubegrenset mengde ulike mønstre.
Dersom man åpner for å bruke "fliser" med forskjellig form alt etter behov (mosaikk), vil man fort få en mengde
ulike mønstre, men dersom man holder seg til bruk av mangekanter med bestemte former, vil det i essens ikke
være særlig mange flismønster å finne.
Bruk av regulære mangekanter til flislegging:
Dersom du tar deg en tur på den lokale flisbutikken vil du sannsynligvis finne fliser som er formet som regulær
trekant (likesidet trekant), regulære firkant (kvadrat, mest vanlig flistype?), regulær sekskant, samt kanskje
regulær åttekant og tolvkant.
Men du vil neppe finne fliser formet som en regulær femkant. Vi skal se på hvorfor.
Når du betrakter et flislagt gulv ser du at fliser møtes i et hjørne, for eksempel:
Rundt hjørnet hvor flisene møtes er det mulig å slå en sirkel. Dvs. at om dette hjørnet er det 360°. (I våre
eksempler ser vi at dette må stemme, da hjørnet i et kvadrat er 90°, og det er fire hjørner som møtes, dvs. at
summen av vinklene som møtes i et hjørne er 4⋅90° = 360°, og at sekskant-vinkelen som bidrar til å lage en sirkel
er 120°, og at 3⋅120° = 360°.)
Vi vet at en regulær mangekant har to spesielle egenskaper:
1) Alle sider er like lange.
2) Alle vinkler er like store.
Videre vet vi at vinkelsummen i en mangekant er gitt ved formelen (n-2 ⋅ 180°), der n er antall kanter/vinkler i
mangekanten.
Vinkelen som dannes på innsiden av to sidekanter i en regulær mangekant er da:
(n-2 ⋅ 180°) , der n er antall kanter/vinkler i mangekanten.
n
For at vi skal kunne danne et flismønster om et hjørne, må summen av vinklene som danner hjørnet være 360°,
ikke mer og ikke mindre.
For å sjekke om det er mulig å flislegge ved hjelp av regulære mangekanter, må vi altså sjekke om vinklene som
møtes i et hjørne til sammen er 360°. Dersom summen ikke blir 360° kan vi altså ikke legge flismønsteret, eller
tessellere flismønsteret som er et annet ord for det samme.
Noen fakta: