Heile notatet i pdf-format

plane,
16
Symmetrigrupper og
periodiske båndmønstre
I Rammeplanen for allmennlærerutdanning blir matematikk definert som vitenskapen om struktur, orden og
sammenhenger. Under tittelen Matematikk i kultur og samfunn blir det gjort spesielt oppmerksom på at en
allmennlærer skal kunne gi eksempler på bruk av geometri i ulike kulturer, og kunne identifisere og gjøre rede
for hvordan matematikk…forekommer blant annet i musikk, drama, kunst, arkitektur og håndverk, og
sammenhengen med utforminger i natur, kunst og håndverk er en av mange tilknytninger som blir gjort til faget.
Videre legges det vekt på at matematikk skal inngå som del i tverrfaglige opplegg i grunnskolen, og at
grunnskoleelevene skal kunne få tilbud om variert, fleksibel og tilpasset undervisning.
Symmetri er et emne som innbyr til slik kontakt, og slik undervisning.
Symmetri
I likhet med begrepet sannsynlighet er symmetri et begrep som appellerer til det intuitive i oss. Vi har alle en
følelse knyttet til det symmetriske, eller ikke-symmetriske, i noe vi betrakter.
Hva betyr det så at noe er symmetrisk?
I Aha (s.555) finner vi følgende definisjon:
En plan figur er symmetrisk dersom det fins en ekte isometri som avbilder figuren på seg selv.
Det fins fire isometrier: Speiling, rotasjon, translasjon og glidespeiling.
Alle plane (flate) figurer kan roteres 360°, og se ut slik de var før rotasjonen. Derfor har alle plane figurer en
isometri som avbilder figuren på seg selv (Rotasjon 360°). Plane figurer som kun har en slik isometri omtales
ikke som symmetriske, da den eneste isometrien de har er identitetsavbildningen (De er da u-symmetriske/asymmetriske).
Denne isometrien kalles derfor en uekte isometri, mens alle andre isometrier da er ekte isometrier.
Det fins bare to isometrier som har mulighet til å avbilde en plan figur på seg selv. Det er speiling og rotasjon.
Når en figur er symmetrisk, er det om et punkt eller en linje, og punktet/linjen kan ikke forflytte seg. Da får vi
nemlig en annen figur! En slik forflytning finner sted ved en translasjon eller en glidespeiling, og disse to
isometriene er derfor unødvendige å sjekke når vi skal avgjøre om en plan figur er symmetrisk.
Rotasjonssymmetri
Vi foretar en rotasjon, når vi dreier den plane figuren en vinkel v ∈