Heile notatet i pdf-format

18
Symmetrigrupper og
plane,
periodiske båndmønstre
Vi har allerede sett at Mercedes-stjerna har tre rotasjonssymmetrier og tre speilingsymmetrier.
Vi vet at stjerna består av tre vinkler hver på 120°. Når vi innfører speilingslinjene i Mercedes-stjerna ser vi at
vinklene på 120° blir halvert!
To speilsymmetrier gir altså rotasjonsymmetri en vinkel v = 2⋅vinkelen mellom speilingslinjene.
Resultat 1:
Det betyr at dersom en plan figur har speilsymmetri(er), vil den ha akkurat like mange rotasjonssymmetri(er)!
Det fins altså ikke plane figurer som har speilsymmetri, men ikke rotasjonssymmetri. Det motsatte gjelder
derimot ikke.
Studér figuren under (figur 3):
Vi ser at det ikke er mulig å tegne inn speilingslinjer i figuren. Figuren har altså ingen speilingssymmetrier. Vi
aner likevel at den har symmetrier. En rotasjon en vinkel v = 90° gir oss samme figur som vi startet med. Når
360 ° = 4
90°
har vi da at figuren har fire rotasjonssymmetrier.
Resultat 2:
En plan figur kan ha bare rotasjonssymmetrier.
Klassifisering av symmetrigrupper
Vi har altså to hovedtyper av symmetriske figurer: Figurer med både rotasjons- og speilsymmetri, og figurer med
kun rotasjonssymmetri.
Disse klassifiseres etter sine symmetriegenskaper, og navnsettes etter felles egenskaper (med grupper av tall i
algebra, uten at vi skal gå nærmere inn på disse egenskapene her). Vi nøyer oss med identifisering og
navnsetting:
1) En figur med n rotasjonssymmetrier, og ingen speilingssymmetrier betegnes Z n .
2) En figur med m rotasjonssymmetrier, og m speilingssymmetrier betegnes D m .
Eksempel 3: Rektangel