MALBA TAHAN - O CALCULISTA BRASILEIRO - UniABC

COSTURANDO TERNOS PITAGÓRICOS 2
Prof. Tietri dos Santos Clemente Filho
(Curso de Matemática – UniABC)
Palestra – Semana da Matemática 2007 – UniABC – 02/05/07 e 03/05/07
Terno: conjunto de três entidades, seres, objetos etc. de igual natureza; trilogia, trio,
trindade. (Houaiss)
Ternos pitagóricos
- Nesta exposição consideraremos o conjunto dos números naturais como sendo
N = {1, 2, 3,... }
- Definição: chamaremos de terno pitagórico (tp) o conjunto de 3 números naturais
x, y, z tais que o quadrado de um deles (evidentemente o maior) é a soma dos quadrados
dos outros dois. Denotaremos um terno pitagórico por (x, y, z) assumindo que z é o maior
dos três números.
- Primeira questão: existem ternos pitagóricos? Em outras palavras, existe solução
para a equação x 2 + y 2 = z 2 com x, y, z ∈ N ?
A resposta é trivial, (3,4,5) e (5,12,13) são tp. Na verdade há infinitos ternos pitagóricos,
pois se (x, y, z) verifica x 2 + y 2 = z 2 , então (kx, ky, kz) , k ∈ N, também verifica, pois se x 2 +
y 2 = z 2 então k 2 x 2 +k 2 y 2 = k 2 z 2 e (kx) 2 +(ky) 2 = (kz) 2 .
- Definição: chamaremos os ternos pitagóricos (kx, ky, kz) onde k = 1,2,3,... , de ternos
pitagóricos semelhantes.
- Definição: diremos que o terno pitagórico (x, y, z) é menor que o tp (u, v, w) quando x < u
e y 1
tal que x = d. x1 e y =d. y1 , com x1, y1 ∈ N. Ainda, como z 2 = x 2 + y 2 então
z 2 = (dx1) 2 + (dy1) 2 = d 2 (x1 2 + y1 2 ), assim d 2 é um divisor de z 2 , ou ainda, d é um divisor de
z. Isto porque temos z 2 = k d 2 para algum k natural, e disto z = √ k.d, e como z é natural
então k deve ser um quadrado de um número natural, voltamos então a z 2 = q 2 .d 2 e z= q d .
De modo que z = d.z1 com z1 ∈ N , daí que d 2 z1 2 = d 2 (x1 2 + y1 2 ) e z1 2 = x1 2 + y1 2 . O que
prova que (x1, y1, z1) é um tp menor que (x, y, z) e semelhante a este segundo a razão d.
Também, se num tp (x, y, z) os números x e y são coprimos então não existe um tp
semelhante menor, pois se (u, v, w) fosse tal terno pitagórico então (x/y) = (u/v), mas como
x/y é irredutível, uma vez que mdc(x, y) = 1, então u. ≥ x e v ≥ y, o que contraria a
suposição de que (u, v, w) seria menor que (x, y, z) .
2 adaptada de SIERPINSKI, Waclaw. Pythagorean triangles. Mineola: Dover Publications, 2003.)
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