MALBA TAHAN - O CALCULISTA BRASILEIRO - UniABC

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Como vimos, num tp primitivo x e y são coprimos e vejamos agora que y e z também são, pois se existisse d > 1 divisor comum de y e z então teríamos y = k1.d e z = k2.d, de modo que x 2 + (k1.d) 2 = (k2.d) 2 e x 2 = d 2 .(k2 2 – k1 2 ), e como k1, k2 ∈ N então d seria divisor de x, o que é absurdo, pois x e y são coprimos. Agora podemos supor que u e v tenham um divisor comum d > 1, daí teríamos u = k1.d e v = k2.d , e ficaríamos com k1.d = z + y e k2.d = z – y. Somando e subtraindo estas identidades obteríamos (k1 + k2).d = 2.z e (k1 – k2).d = 2y, e como k1 e k2 ∈ N então d teria que dividir 2z e 2y, mas d não é igual a 2, pois neste caso u e v seriam ambos pares. Resta então que d seria divisor comum de z e y, o que vimos ser absurdo. Voltemos agora a x 2 = (z + y).(z – y) e u = z+ y, v = z- y. Decorre que x 2 = u.v, e como u e v são coprimos já vimos que podemos concluir que existem os números naturais k e l tais que u = k 2 e v = l 2 . Finalmente chegamos a x = k.l , e de u = z + y, v = z- y temos z = ½. (u + v) = ½. (k 2 + l 2 ) e y = ½.(u – v) = ½. (k 2 – l 2 ). Reciprocamente, é imediato que (k.l) 2 + [½. (k 2 – l 2 )] 2 = [½. (k 2 + l 2 )] 2 . Lembramos ainda que como u e v são ímpares e coprimos, u = k 2 e v = l 2 então k e l também são ambos coprimos e ímpares. Resta verificar se com x = k.l , e y = ½. (k 2 – l 2 ) e z = ½. (k 2 + l 2 ), temos x e y coprimos. Se existisse um d > 1, divisor comum de x e y então d também seria um divisor comum de y e z, pois x 2 + y 2 = z 2 , e teríamos que ½.(k 2 – l 2 ) = q1.d e ½. (k 2 + l 2 ) = q2.d, q1, q2 ∈ N. Somando e subtraindo estas identidades obteríamos k 2 = (q1 = q2).d e l 2 = (q2 – q1).d, assim d deveria ser um divisor comum de k 2 e l 2 , o que é absurdo, pois k e l são coprimos. Como última observação, temos k 2 = z + y e l 2 = z - y, ou seja, k e l ficam completamente determinados por y e z. Com estes argumentos podemos estabelecer o seguinte: Teorema Todo terno pitagórico primitivo (x, y, z), no qual y é par, é determinado pelas fórmulas x = k.l , e y = ½. (k 2 – l 2 ) e z = ½. (k 2 + l 2 ), com k > l, k e l sendo todos os pares de números ímpares coprimos. A correspondência entre os pares k e l e os ternos pitagóricos (x, y, z) é biunívoca. Este teorema permite a implementação de um algoritmo eficiente para determinar todos os ternos pitagóricos primitivos, basta fazer com que k e l percorram todos os números ímpares coprimos, sendo k > l, nas fórmulas x = k.l , e y = ½. (k 2 – l 2 ) e z = ½. (k 2 + l 2 ). Por exemplo: for l from 1 by 2 to 197 do for k from l + 2 by 2 to 199 do if gcd(l, k)=1 then x:=l * k; y:=(k^2 - l^2)/2; z:=(k^2 + l^2)/2; tp:=[x, y, z]; print(l, k, tp); end if; end do; end do; 16
NOVAS MEDIDAS E NOMENCLATURAS NO SISTEMA SOLAR Prof. Ms. Ednilson Oliveira (Curso de Matemática – <strong>UniABC</strong>) Palestra – Semana da Matemática 2007 – <strong>UniABC</strong> – 03/05/07 RESUMO As novas descobertas do Sistema Solar suscitaram uma revisão de suas nomenclaturas. A reclassificação de Plutão como Planeta-Anão pela União Astronômica Internacional em 2006 fez com que o termo planeta ganhasse um novo significado. Na Semana da Matemática de 2007 discutimos os atuais termos usados no Sistema Solar, quais critérios são usados para o termo Planeta, Planeta-Anão e os demais corpos do Sistema Solar. Atualmente temos oito Planetas que são: Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano e Netuno. Três Planetas-Anões que são: Ceres, Plutão e Éris e diversos pequenos corpos do Sistema Solar (asteróides, satélites, etc.). Pela nova definição de Planeta ele tem que cumprir as seguintes condições: 1. Esteja em órbita em torno do Sol; 2. Tenha massa suficiente para que sua auto-gravidade se sobreponha às forças de um corpo rígido de modo que o corpo esteja em equilíbrio hidrostático, isto é, seja arredondado; 3. Que este corpo tenha ”limpado” a vizinhança de sua órbita. Pela nova definição de Planeta-Anão ele tem que cumprir as duas primeiras condições de Planeta, e ainda: 1. Não ter limpado a vizinhança de sua órbita; 2. Não ser satélite de nenhum planeta. Todos os demais corpos, excetos os satélites, serão chamados de “Pequenos Corpos do Sistema Solar”. 17
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