MALBA TAHAN - O CALCULISTA BRASILEIRO - UniABC

Esta observação é muito importante, pois, como acabamos de ver, ao fim de um ano,
o devedor não teria de pagar apenas R$ 2,00, mas sim R$ 2,25.
Pensando um pouco mais profundamente neste problema de juros, poder-se-ia dividir
o ano em um número n, arbitrário, de partes iguais. Destarte, passado o primeiro período de
1
n ano, o capital emprestado valeria (1 + 1/n) real. No fim do segundo período, valeria
2
⎛ 1 ⎞
⎜1+
⎟
⎝ n ⎠ real, e assim sucessivamente; e, no fim do ano, valeria n ⎟ ⎛ 1 ⎞
⎜1+
⎝ ⎠ . Mas pode-se
fazer isso para todo n; por isso, o valor exato que o credor deveria receber pelo capital de
lim
R$ 1, 00 emprestado por um ano à taxa de juros de 100% ao ano seria de n→∞
n ⎟ ⎛ 1 ⎞
⎜1+
⎝ ⎠ real.
Este é o número que hoje nós conhecemos como e. O seu valor é de, aproximadamente,
a
n
O binômio de Newton nos dá:
n
= ( 1+
1/
n)
=
n
0
n
1
0
( 1/
n)
+
+
n
3
n
1
+
n!
3!
( n
3)!
1 n
... +
n!
1
= 1+
1+
2!
3
( n
1
1
n
n
n
1
+
3!
1
2, 71828182845904523...
Estimando o valor do número e
3
( 1/
n)
+ ... +
n
n
n
1
n
n!
n
( 1/
n)
= +
0!
( n 0)!
1
3
n
n!
+ ... +
n!
( n n)!
1
n
n
1
= 1+
1+
2!
n ( n
2
n
1)
1)
( n 2)
L 2 1
=
1
n
1
n
1
2
n
1
n
1
( 1/
1
+ ... +
n!
n)
1
1
+
1
n
n
2
1
! ( n
1
+
3!
1
n!
1
n
1)!
n
2
2
n
( 1/
n)
( n
1
n
L
+
1
n
2!
( n
( n
1)
n
3
2
+
n!
n 1
n
=
de modo que →∞
n
n
lim a lim(
1+
1/
n) =
n
n→∞
= lim ⎡ 1 ⎛ 1 ⎞ 1 ⎛ 1 ⎞⎛
2 ⎞ 1 ⎛ 1 ⎞⎛
2 ⎞ ⎛ n −1⎞⎤
n→∞ ⎢1
+ 1+
⎜1−
⎟ + ⎜1−
⎟⎜1−
⎟ + ... + ⎜1−
⎟⎜1−
⎟L
⎜1−
⎟⎥
=
⎣ 2!
⎝ n ⎠ 3!
⎝ n ⎠⎝
n ⎠ n!
⎝ n ⎠⎝
n ⎠ ⎝ n ⎠⎦
1 1 1 1 1 1
= 1 + 1 + 2!
+ 3!
+ 4!
+ 5!
+ 6!
+...+ n ! = ∑∞
1
n=0
n !
n
lim ( 1+
1/
n)
Ao valor n→∞
foi dado o nome de e.
25
2)!
2)
n
1
2
n
+ ...
+