MALBA TAHAN - O CALCULISTA BRASILEIRO - UniABC

Definição: Um terno pitagórico (x, y, z) em que x e y são coprimos é chamado tp primitivo.
Como entre todos os tp semelhantes apenas o menor é primitivo então dois tp primitivos
não são semelhantes.
Segunda questão: Quantos ternos pitagóricos primitivos existem e como determiná-los?
Vamos supor que (x, y, z) seja um terno pitagórico primitivo. Assim, x e y são
coprimos e, portanto não podem ambos ser pares. Talvez não seja também evidente que
ambos não podem ser ímpares. Para demonstrar este fato vamos considerar inicialmente
que o quadrado de um número ímpar deixa resto 1 quando dividido por 8. Isto porque,
sendo um número ímpar da forma 2k + 1 , com k ∈ N , temos (2k +1) 2 = 4k 2 + 4k + 1 =
4k(k + 1) +1 , e como k e k + 1 são sucessivos então um deles é par e o produto 4k(k + 1) é
da forma 8q, de modo que (2k +1) 2 = 8q +1, com q∈ N. Assim, se tivéssemos x = 2k1 +1 e
y = 2k2 +1 , ficaríamos com
x 2 + y 2 = 8q1 + 1 + 8q2 + 1 = 8(q1 + q2) + 2 = z 2
e z 2 seria um quadrado par não divisível por 4, o que é absurdo, pois todo quadrado par é
divisível por 4. (Para termos certeza deste último fato lembramos que o quadrado de um
número ímpar é ímpar e o quadrado do par 2k é 4k 2 ). Portanto podemos concluir que, se
(x, y, z) for um tp primitivo, x ser par implica y ser ímpar e x ser ímpar implica y ser par.
A partir daqui, ao fazermos referência ao tp primitivo (x, y, z) , consideraremos, sem
perda de generalidade, que y é par. Desta assunção decorre que x e z são ímpares. Podemos
afirmar que y par implica z ímpar porque y 2 será par, x 2 será ímpar e como z 2 = x 2 + y 2
então z 2 será ímpar.
De z 2 = x 2 + y 2 escreveremos y 2 = z 2 - x 2 = (z + x)(z – x). Como os números z +x e
z - x são pares, pois são a soma e a diferença de números ímpares, podemos escrever z +x
= 2a e z – x =2b , com a e b números naturais. Destas duas últimas identidades obtemos z
= a + b e x = a - b, e afirmaremos ainda que a e b são coprimos. Isto porque, se a e b
tivessem um divisor comum d >1 então, de z = a + b e x = a - b, concluiríamos que d
também seria divisor comum de z e x e assim d ainda seria divisor comum de z + x e z - x.
E de y 2 = (z + x)(z – x) poderíamos afirmar que d 2 é divisor de y 2 e portanto d é divisor de y,
o que constitui um absurdo, pois contraria a hipótese de que x e y são coprimos.
Ainda, como por hipótese y é par, faremos y = 2c, com c∈ N, e de
y 2 = (z + x)(z – x), z +x = 2a e z – x = 2b, obtemos 4c 2 = 2a.2b, c 2 = a.b.
Vamos considerar as decomposições de a e b em fatores primos:
a= p1 α1 . p2 α2 .(...)pm αm e b = q1 β1 .q2 β2 (...)qn βn .
Como vimos que a e b são coprimos então não existem fatores primos comuns nas
decomposições, ou seja, não existem i e j tais que pi = qj, com 1≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n. Assim,
ao efetuar o produto a.b não haverá nenhuma multiplicação de potências de mesma base, ou
seja, não haverá nenhuma soma de expoentes, ou ainda, na decomposição em fatores
primos de a.b nenhum fator terá expoente da forma αi + βj . De fato teremos exatamente
a.b = p1 α1 . p2 α2 .(...)pm αm .q1 β1 .q2 β2 (...)qn βn .
E de c 2 = a.b, c∈ N, temos que √(a.b) também é um número natural, o que só é possível se
todos os expoentes forem pares na decomposição em fatores primos de a.b, ou seja,
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