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清 华 大 学
综 合 论 文 训 练
题 目 : 核 医 学 成 像 系 统 的 高 精 度 几 何
刻 度
系
专
姓
别 : 工 程 物 理 系
业 : 工 程 物 理
名 : 刘 辉
指 导 教 师 : 马 天 予 助 理 研 究 员
2010 年 6 月 10 日

中 文 摘 要
本 实 验 室 正 在 开 发 一 种 基 于 多 针 孔 准 直 器 和 临 床 SPECT 探 测 器 的 小 动 物
SPECT 成 像 系 统 。 其 中 , 系 统 几 何 参 数 刻 度 实 现 高 分 辨 率 小 动 物 SPECT 成 像 的
关 键 技 术 。 首 先 , 通 过 对 SPECT 系 统 进 行 了 几 何 投 影 建 模 , 从 点 源 投 影 图 像 中
求 得 相 应 的 质 心 值 , 利 用 最 小 二 乘 准 则 , 成 功 的 刻 度 了 符 合 重 建 精 度 要 求 的 几 何
参 数 , 使 得 重 建 图 像 有 不 低 于 0.5 mm 的 空 间 分 辨 率 。 其 次 基 于 奇 异 值 分 解 (SVD)
理 论 , 研 究 了 不 同 扫 描 轨 道 的 几 何 刻 度 惟 一 性 , 同 时 定 量 地 给 出 了 不 同 扫 描 轨 道
的 几 何 刻 度 精 度 比 较 , 结 合 实 验 数 据 得 到 了 SPECT 系 统 质 心 方 差 值 , 最 后 利 用
质 心 方 差 值 定 量 的 计 算 不 同 扫 描 轨 道 的 几 何 刻 度 精 度 。
关 键 词 : 小 动 物 SPECT; 几 何 刻 度 ; 扫 描 轨 道 ; 奇 异 值 分 解 ; 刻 度 精 度 评 估
I

ABSTRACT
A specific animal SPECT imaging system with a clinical SPECT detector and a
multi-pinhole collimator insert. High accuracy geometrical calibration is the crucial
technique in terms of enhancing the high resolution of the animal SPECT imaging. The
firstly, the small animal SPECT imaging system is modeling in terms of the
geometrical projection , and then, the centroids of the point source projection is
calculated from the acquired images in experiments; then, the geometrical parameters
is calibrated by the nonlinear least square fitting function. And the result shows the
reconstruction resolution is better than 0.5 mm. Secondly, based on the singular
value decomposition, whether the geometrical parameters of the various scanning
orbits can be uniquely calibrated is investigated, and the accuracy of the calibration on
the various scanning orbits is comprised. And finally, the accuracy of the calibration on
the various scanning orbits can be calculated after the SPECT systems’ variance of
centroids is calculated from the data of experiment.
Keywords:Small Animal SPECT; Geometrical Calibration; Scanning Orbits;
Singular Value Decomposition; The Evaluation Of the Calibration’s Accuracy
III

目 录
第 1 章 引 言 ...........................................................................................1
1.1 SPECT 简 介 ........................................................................................1
1.2 小 动 物 SPECT 简 介 与 现 状 ...............................................................2
1.2.1 小 动 物 SPECT 简 介 ......................................................................2
1.2.2 小 动 物 SPECT 现 状 ......................................................................2
1.3 针 孔 准 直 器 在 小 动 物 SPECT 中 的 应 用 .............................................3
1.4 实 验 小 动 物 SPECT 系 统 ...................................................................4
1.5 MATLAB 数 值 计 算 平 台 ....................................................................7
1.6 课 题 目 的 及 意 义 ................................................................................8
第 2 章 实 际 SPECT 系 统 的 几 何 刻 度 ......................................................9
2.1 几 何 投 影 模 型 的 建 立 .........................................................................9
2.1.1 SPECT 系 统 及 刻 度 实 验 说 明 .........................................................9
2.1.2 几 何 投 影 模 型 及 几 何 参 数 ...........................................................10
2.1.3 理 想 情 况 下 几 何 模 型 投 影 方 程 ...................................................12
2.1.4 考 虑 穿 透 效 应 产 生 的 投 影 偏 移 ...................................................13
2.2 数 据 采 集 及 处 理 ..............................................................................15
2.2.1 扫 描 轨 道 .....................................................................................15
2.2.2 从 点 源 投 影 图 像 计 算 质 心 ...........................................................16
2.3 几 何 参 数 刻 度 ..................................................................................20
2.3.1 基 于 最 小 二 乘 拟 合 的 刻 度 方 法 ...................................................20
2.3.1 几 何 刻 度 结 果 .............................................................................20
2.3.2 不 同 轨 道 的 刻 度 精 度 比 较 ...........................................................21
2.4 基 于 Gate 程 序 的 MonteCarlo 模 拟 验 证 ........................................23
2.5 图 像 重 建 结 果 ..................................................................................24
第 3 章 几 何 精 度 刻 度 的 定 量 评 估 .........................................................27
3.1 基 于 SVD 的 刻 度 精 度 分 析 方 法 ......................................................27
3.1.1 SVD 方 法 介 绍 .............................................................................27
V

3.1.2 基 于 SVD 的 SPECT 几 何 刻 度 精 度 评 估 方 法 .............................28
3.2 不 同 扫 描 轨 道 刻 度 精 度 的 SVD 分 析 ..............................................30
3.2.2 Jacobi 矩 阵 奇 异 值 与 几 何 刻 度 惟 一 性 比 较 ..................................30
3.2.3 基 于 SVD 的 几 何 刻 度 精 度 分 析 .................................................32
3.3 从 实 验 数 据 求 解 质 心 绝 对 方 差 值 ....................................................35
3.4 不 同 扫 描 轨 道 绝 对 刻 度 精 度 估 计 ....................................................40
第 4 章 总 结 .........................................................................................43
4.1 主 要 工 作 总 结 ..................................................................................43
4.2 后 续 工 作 展 望 ..................................................................................43
插 图 索 引 ..................................................................................................45
表 格 索 引 ..................................................................................................47
参 考 文 献 ..................................................................................................49
致 谢 ..................................................................................................51
声 明 ..................................................................................................53
附 录 A 外 文 资 料 的 书 面 翻 译 ....................................................................55
VI

第 1 章 引 言
1.1 SPECT 简 介
医 学 影 像 学 起 源 于 18 世 纪 90 年 代 , 至 今 已 有 100 多 年 的 历 史 , 经 历 了 常 规
影 像 学 、 现 代 影 像 学 和 分 子 影 像 学 的 三 个 发 展 阶 段 。21 世 纪 出 现 的 分 子 影 像 学 ,
是 医 学 影 像 技 术 与 分 子 生 物 学 相 结 合 的 产 物 , 已 经 成 为 现 代 医 学 中 重 要 的 工 具 和
手 段 之 一 。 同 时 , 这 种 成 像 方 法 对 于 生 命 科 学 中 遗 传 学 、 基 因 学 、 脑 科 学 等 多 个
分 支 的 研 究 , 以 及 医 学 上 疾 病 的 早 期 检 测 和 诊 断 , 分 子 级 别 上 对 病 症 治 疗 的 效 果
的 评 估 , 药 物 学 中 药 物 作 用 机 理 的 研 究 和 新 药 研 发 等 , 都 具 有 不 可 或 缺 的 作 用 。
分 子 影 像 是 指 主 要 应 用 包 括 正 电 子 发 射 断 层 成 像 仪 (positron emission
tomography, PET)、 单 光 子 发 射 断 层 成 像 仪 ( single photon emission computed
tomography, SPECT) 、 PET/ 计 算 机 断 层 成 像 仪 ( computed tomography, CT)
( PET/CT) 、PET/ 磁 共 振 成 像 (magnetic resonance imaging, MRI) (PET/MRI) 、 超
声 仪 ( ultrasound) 和 光 学 成 像 仪 ( optical imaging) 等 成 像 系 统 , 直 接 或 间 接 的 非 侵 袭
性 的 对 活 体 组 织 细 胞 的 生 化 、 生 理 、 诊 断 和 治 疗 等 分 子 事 件 的 一 种 成 像 技 术 。
而 其 中 所 包 括 的 核 医 学 成 像 , 是 把 某 种 放 射 性 同 位 素 标 记 在 药 物 上 , 然 后 引
入 到 病 人 体 内 , 随 着 放 射 性 同 位 素 的 衰 变 , 则 由 体 内 会 向 体 外 发 射 γ 射 线 。 人 们
可 以 利 用 相 应 的 探 测 器 在 体 外 定 量 地 观 测 这 些 放 射 性 同 位 素 在 体 内 的 分 布 情 况 。
在 所 得 到 的 放 射 性 同 位 素 图 像 中 , 不 仅 可 以 看 到 器 官 的 形 态 , 更 重 要 的 , 也 可 以
了 解 人 体 脏 器 新 陈 代 谢 的 情 况 。
前 面 提 到 的 单 光 子 发 射 断 层 成 像 技 术 (single photon emission computed
tomography,SPECT) 就 是 核 医 学 成 像 的 一 种 。 它 的 成 像 , 是 对 病 人 体 内 发 射 的
γ 射 线 成 像 。 而 在 扫 描 过 程 中 , 用 γ 照 相 机 围 绕 着 被 探 查 者 作 旋 转 运 动 , 在 不 同
的 角 度 上 检 测 人 体 发 射 出 的 γ 光 子 , 得 到 其 计 数 , 在 取 得 不 同 的 角 度 上 的 投 影 数
据 后 , 用 与 X-CT 类 似 的 重 建 算 法 就 可 以 计 算 出 放 射 性 同 位 素 分 布 的 断 层 图 像 。
目 前 ,SPECT 在 临 床 上 已 得 到 了 广 泛 的 应 用 。 它 的 优 点 主 要 包 括 ,SPECT 得
到 的 是 三 维 信 息 , 可 以 测 定 单 位 体 积 的 相 对 放 射 性 活 度 , 同 时 可 以 确 定 病 变 的 大
小 、 部 位 及 空 间 的 位 置 ; 另 一 方 面 ,SPECT 提 高 了 病 变 与 本 底 的 对 比 , 从 而 改 善
了 空 间 分 辨 率 , 可 以 探 测 到 一 些 位 于 脏 器 深 层 的 病 变 。 然 而 , 为 了 保 证 能 够 准 确
1

地 获 得 沿 某 一 投 影 线 进 来 的 γ 光 子 ,SPECT 系 统 必 须 采 用 准 直 器 。 这 将 导 致 大 部 分
光 子 被 屏 蔽 而 无 法 进 入 探 测 器 , 只 有 少 量 光 子 能 被 探 测 到 ,SPECT 的 探 测 效 率 也
就 降 低 了 。
1.2 小 动 物 SPECT 简 介 与 现 状
1.2.1 小 动 物 SPECT 简 介
目 前 , 人 类 的 很 多 疾 病 和 损 伤 都 可 以 在 动 物 上 建 立 模 型 , 从 而 在 分 子 医 学 研
究 中 可 以 进 行 动 物 实 验 。 利 用 小 动 物 研 究 中 获 取 的 信 息 , 可 以 帮 助 认 识 人 体 的 解
剖 学 、 生 理 学 功 能 , 研 究 各 种 病 理 机 制 和 药 效 过 程 等 。 同 时 在 小 动 物 体 内 可 控 地
研 究 人 类 常 见 疾 病 , 可 以 大 大 降 低 医 学 研 究 和 临 床 治 疗 的 风 险 , 而 了 解 药 物 作 用
机 理 , 也 可 以 减 少 新 药 物 的 研 发 时 间 和 成 本 。
在 小 动 物 专 用 的 一 些 医 学 成 像 技 术 中 , 小 动 物 SPECT 由 于 具 有 高 空 间 分 辨
率 、 分 子 探 针 的 高 灵 敏 性 和 特 异 性 等 优 点 而 成 为 小 动 物 成 像 的 热 点 研 究 方 向 。 小
动 物 SPECT 可 以 对 多 种 核 素 示 踪 药 物 成 像 , 如
125 I, 201 TI, 99m Tc, 123 I 等 , 能 量
范 围 从 几 十 到 几 百 keV 不 等 。 小 动 物 SPECT 对 活 体 动 物 的 实 验 具 有 广 泛 的 用 途 ,
对 分 子 生 物 学 、 分 子 化 学 、 医 药 学 、 以 及 神 经 系 统 、 心 血 管 系 统 、 肿 瘤 等 疾 病 的
诊 断 、 治 疗 、 研 究 都 具 有 重 要 意 义 。
1.2.2 小 动 物 SPECT 现 状
目 前 国 际 上 有 多 家 机 构 不 少 人 员 从 事 小 动 物 SPECT 的 研 究 。UNC 与 UCLA
合 作 研 制 的 A-SPECT 采 用 单 针 孔 准 直 器 , 分 辨 率 较 高 , 可 达 1 mm, 但 灵 敏 度 偏
低 ;Molecular Imaging Laboratories(MILABs) 研 制 的 U-SPECT-Ⅱ 是 用 三 个 平 行
板 探 测 器 构 成 了 全 绕 的 探 测 系 统 , 同 时 设 计 了 75 个 针 孔 模 块 的 圆 柱 形 准 直 器 ,
用 金 制 成 , 空 间 分 辨 率 达 到 了 0.35~0.5mm, 但 视 野 较 小 , 价 格 也 较 昂 贵 ;G.E
公 司 研 发 的 多 空 间 分 辨 率 的 动 态 小 动 物 SPECT 成 像 系 统 , 则 是 用 10 块 CZT 阵 列
构 成 环 形 探 测 器 , 准 直 器 可 选 用 针 孔 式 的 和 缝 - 槽 式 的 , 数 目 不 等 , 以 适 应 大 、 小
鼠 成 像 的 不 同 需 要 等 等 。
而 在 我 国 , 目 前 应 用 于 小 动 物 的 SPECT 的 装 机 数 目 远 小 于 临 床 SPECT 数 目 ,
国 外 成 熟 商 业 化 的 小 动 物 SPECT 系 统 价 格 昂 贵 , 因 此 研 发 适 宜 我 国 国 情 的 小 动
物 SPECT 系 统 是 本 项 目 的 重 点 。
2

1.3 针 孔 准 直 器 在 小 动 物 SPECT 中 的 应 用
小 动 物 SPECT 成 像 对 系 统 的 要 求 首 先 就 是 空 间 分 辨 率 。 而 人 体 SPECT 系 统
空 间 分 辨 率 存 在 极 限 , 约 为 10 mm。 为 了 突 破 固 有 分 辨 率 的 限 制 , 目 前 小 动 物
SPECT 广 泛 采 用 针 孔 准 直 器 成 像 。
针 孔 准 直 器 是 利 用 小 孔 成 像 的 原 理 , 将 放 射 性 药 物 的 分 布 投 影 到 探 测 器 上 。
如 果 针 孔 到 探 测 器 的 距 离 即 像 距 大 于 针 孔 到 被 成 像 物 体 的 距 离 即 物 距 , 那 么 将 得
到 放 大 的 图 像 , 同 时 从 理 论 上 将 得 出 , 系 统 的 空 间 分 辨 率 好 于 探 测 器 的 固 有 分 辨
率 。 图 1.1 为 针 孔 准 直 器 成 像 原 理 示 意 图 。
图 1.1 针 孔 准 直 器 成 像 示 意 图
对 于 针 孔 准 直 器 来 说 , 空 间 分 辨 率 可 通 过 经 验 的 解 析 公 式 估 算 ,
(1-1)
其 中 ,R s 为 系 统 总 的 空 间 分 辨 率 ;a 为 像 距 ,b 为 物 距 ,M=a/b 即 为 针 孔 准 直
器 成 像 的 放 大 倍 数 ;R i 为 探 测 器 单 元 的 固 有 分 辨 率 ;D e 为 考 虑 针 孔 穿 透 效 应 时 的
等 效 的 有 效 针 孔 孔 径 , 它 与 针 孔 直 径 、 针 孔 材 料 的 阻 止 本 领 、 针 孔 的 张 角 等 参 数
有 关 系 , 其 表 达 式 为 :
(1-2)
3

其 中 ,D 为 针 孔 直 径 ,α 为 针 孔 张 角 ,μ 为 准 直 器 材 料 对 γ 光 子 的 线 性 衰 减 系 数 。
根 据 式 (1-1)、(1-2) 可 看 出 , 如 果 想 得 到 更 好 的 分 辨 率 , 可 以 减 小 有 效 孔
径 D e , 减 小 探 测 器 固 有 分 辨 率 R i , 增 大 放 大 倍 数 M 等 。 但 减 小 针 孔 的 实 际 孔 径
和 使 用 高 分 辨 率 的 位 置 灵 敏 探 测 器 , 最 终 都 将 增 加 系 统 的 成 本 。 因 而 在 不 增 加 成
本 的 情 况 下 , 通 过 增 加 放 大 倍 数 可 以 有 效 的 提 升 系 统 分 辨 率 。
然 而 放 大 倍 数 的 增 加 将 导 致 探 测 效 率 随 着 被 探 测 物 体 到 准 直 器 的 距 离 增 大 而
明 显 下 降 。 而 低 的 探 测 效 率 则 使 得 获 得 的 γ 光 子 计 数 率 降 低 , 图 像 信 噪 比 (SNR)
差 ; 而 为 获 得 足 够 多 的 γ 计 数 , 必 须 增 加 采 集 时 间 , 最 后 将 影 响 成 像 速 度 。
为 了 解 决 这 一 问 题 , 提 出 了 多 针 孔 准 直 器 的 设 计 方 案 。 但 是 多 针 孔 成 像 模 式
会 带 来 在 探 测 器 上 投 影 的 混 叠 现 象 。 而 让 不 同 针 孔 的 投 影 重 叠 虽 然 可 以 节 省 并 充
分 利 用 探 测 器 面 积 ; 但 是 混 叠 也 会 给 图 像 重 建 带 来 一 定 困 难 , 过 多 的 重 叠 或 者 对
重 叠 投 影 的 不 恰 当 处 理 都 会 降 低 图 像 质 量 , 甚 至 引 起 伪 影 。 所 以 , 在 多 针 孔 设 计
时 , 一 定 要 限 制 其 投 影 混 叠 的 比 例 。
1.4 实 验 小 动 物 SPECT 系 统
本 课 题 使 用 的 是 基 于 临 床 SPECT 探 测 器 和 针 孔 准 直 器 的 小 动 物 成 像 SPECT
系 统 , 采 用 可 拆 卸 准 直 孔 插 件 的 准 直 器 结 构 , 通 过 更 换 准 直 孔 的 设 计 参 数 和 插 件
的 形 式 , 分 别 达 到 高 分 辨 率 成 像 、 高 灵 敏 度 成 像 、 大 视 野 模 式 ( 大 鼠 模 式 ) 成 像
的 灵 活 系 统 设 计 。
图 1.2 为 整 个 系 统 实 物 图 。 在 临 床 SPECT 探 头 下 , 安 装 七 针 孔 的 准 直 器 , 准
直 器 视 野 (FOV) 内 的 小 动 物 床 由 机 械 运 动 控 制 平 台 控 制 , 通 过 控 制 小 动 物 床 的 平
移 和 旋 转 进 行 采 样 。
4

图 1.2
实 验 SPECT 系 统 框 架 图
该 SPECT 系 统 采 用 的 是 一 整 块 连 续 NaI(Tl) 晶 体 探 测 器 , 有 效 探 测 面 积 为
510 x 390 mm 2 , 厚 度 为 9.5 mm, 固 有 空 间 分 辨 率 为 R i =3.55 mm (FWHM), 对
140KeV 的 T-99m 的 能 量 分 辨 率 为 9.9% 。 在 小 动 物 成 像 中 , 原 配 的 平 行 孔 准 直
器 被 卸 载 , 而 在 源 和 探 头 间 装 入 已 经 设 计 好 的 针 孔 准 直 器 。
图 1.3 则 为 针 孔 准 直 器 的 设 计 示 意 图 。 在 准 直 板 上 根 据 多 针 孔 设 计 的 位 置 和
倾 斜 方 向 打 好 了 台 阶 孔 , 用 以 装 嵌 “ 针 孔 模 块 ”。 独 立 的 针 孔 模 块 可 以 根 据 不 同
设 计 的 孔 径 、 张 角 和 屏 蔽 要 求 进 行 拆 换 , 使 系 统 有 很 高 的 灵 活 性 , 即 可 以 通 过 更
换 针 孔 插 件 、 数 目 以 及 排 列 , 以 获 得 不 同 的 成 像 性 能 要 求 。
图 1.3 准 直 器 的 设 计 示 意 图
5

现 有 的 针 孔 基 本 几 何 参 数 为 直 径 为 D= 0.4 mm, 张 角 为 α= 40°。 而 若 固 定
FOV 中 心 到 探 测 器 的 距 离 为 260 mm, 则 此 时 每 个 针 孔 视 野 范 围 为 DFOV = 40 mm,
在 视 野 中 心 处 , 物 距 b= 28 mm, 针 孔 的 放 大 倍 数 为 M= 8.3。
本 课 题 中 使 用 的 是 七 针 孔 准 直 器 。 七 针 孔 设 计 中 , 通 过 控 制 针 孔 孔 轴 的 倾 斜
角 度 使 每 一 个 针 孔 能 够 对 应 FOV 的 一 部 分 区 域 , 而 所 有 针 孔 所 对 应 的 投 影 区 域 则
将 覆 盖 整 个 视 野 , 构 成 整 个 视 野 。 位 于 中 心 的 孔 1 轴 线 垂 直 于 准 直 器 平 面 , 孔 2、
3 的 孔 轴 相 对 于 探 测 器 法 线 的 倾 斜 角 为 34°, 孔 4、5、6、7 的 孔 轴 相 对 于 探 测
器 法 线 的 倾 斜 角 则 为 29.7°, 七 个 针 孔 的 相 对 位 置 与 空 间 排 列 方 式 如 图 1.4 所 示 :
图 1.4 七 针 孔 的 相 对 位 置 与 空 间 排 列 方 式
用 于 扫 描 控 制 的 组 合 电 机 和 七 针 孔 准 直 器 是 固 定 在 固 定 的 光 学 平 板 上 的 , 如
图 1.5 所 示 , 用 以 保 证 组 合 电 机 与 准 直 器 之 间 的 相 对 位 置 精 度 。 扫 描 控 制 台 , 通
过 PCI 卡 连 接 到 计 算 机 , 通 过 扫 描 控 制 软 件 控 制 组 合 电 机 的 旋 转 和 平 移 , 带 动 小
动 物 扫 描 床 实 现 (X,Y,Z,T) 四 个 自 由 度 的 运 动 , 其 中 X、Y、Z 轴 的 运 动 为
平 移 运 动 ,T 轴 的 运 动 为 旋 转 运 动 , 它 的 旋 转 轴 与 Z 轴 平 行 。 电 机 的 位 置 精 度 是
非 常 高 的 , 达 到 了 μm 量 级 。 通 过 X、Y、Z、T 轴 的 运 动 控 制 , 可 以 使 小 老 鼠 进
行 任 意 次 数 的 平 移 和 旋 转 , 并 且 能 够 在 任 意 位 置 停 留 任 意 长 时 间 。[5]
6

图 1.5 准 直 器 与 组 合 电 机
1.5 MATLAB 数 值 计 算 平 台
MATLAB 是 矩 阵 实 验 室 (Matrix Laboratory) 的 简 称 , 是 美 国 MathWorks 公
司 出 品 的 商 业 数 学 软 件 , 用 于 算 法 开 发 、 数 据 可 视 化 、 数 据 分 析 以 及 数 值 计 算 的
高 级 技 术 计 算 语 言 和 交 互 式 环 境 , 主 要 包 括 MATLAB 和 Simulink 两 大 部 分 。 它
将 数 值 计 算 、 可 视 化 和 编 程 功 能 集 成 在 非 常 便 于 使 用 的 环 境 中 , 并 具 有 方 便 的 绘
图 功 能 和 为 解 决 特 殊 的 科 学 和 工 程 计 算 问 题 提 供 的 许 多 工 具 箱 (toolbox), 具 有
计 算 功 能 强 、 编 程 效 率 高 、 使 用 简 便 、 易 于 扩 充 等 特 点 , 目 前 已 经 发 展 成 为 国 际
上 最 优 秀 的 高 性 能 科 学 和 工 程 计 算 软 件 之 一 。
考 虑 到 课 题 中 数 值 计 算 的 内 容 较 多 , 而 MATLAB 作 为 一 款 高 性 能 的 科 学 计
算 软 件 , 可 以 看 到 其 在 数 值 计 算 和 编 程 上 的 强 大 优 势 :MATLAB 按 照 IEEE 的 数
值 计 算 标 准 进 行 计 算 ; 而 在 编 程 上 , 它 以 矩 阵 作 为 数 据 操 作 的 基 本 单 元 , 但 无 需
预 先 定 义 矩 阵 维 数 , 也 就 是 说 可 以 动 态 定 维 ; 同 时 它 提 供 十 分 丰 富 的 数 值 计 算 函
数 , 方 便 计 算 , 提 高 效 率 ; 并 且 它 的 命 令 与 数 学 中 的 符 号 、 公 式 非 常 接 近 , 可 读
性 强 , 容 易 掌 握 ; 同 时 也 与 著 名 的 符 号 计 算 语 言 Maple 相 结 合 。 综 合 考 虑 下 , 最
终 选 定 MATLAB 作 为 本 次 课 题 工 作 的 编 程 平 台 。
7

1.6 课 题 目 的 及 意 义
本 课 题 的 名 称 为 核 医 学 成 像 系 统 的 高 精 度 几 何 刻 度 , 是 清 华 大 学 工 程 物 理 系
医 学 物 理 所 小 动 物 SPECT 成 像 项 目 中 的 一 个 课 题 中 的 一 个 小 课 题 。 整 个 系 统 设
计 及 实 验 流 程 如 图 1.6。 其 中 物 理 设 计 及 模 拟 验 证 已 经 由 相 关 人 员 完 成 , 机 械 设
计 、 数 据 采 集 、 数 据 处 理 主 要 由 同 组 的 崔 均 健 完 成 , 而 我 的 主 要 任 务 则 是 系 统 刻
度 , 图 像 重 建 由 马 天 予 老 师 和 戴 甜 甜 师 姐 完 成 。
图 1.6
实 验 SPECT 系 统 流 程 图
由 于 SPECT 图 像 重 建 过 程 中 , 系 统 传 输 矩 阵 的 精 度 将 极 大 的 影 响 重 建 图 像 的
精 度 , 而 系 统 传 输 矩 阵 的 精 度 则 取 决 于 系 统 几 何 参 数 的 精 度 。 因 此 , 可 以 说 对 于
整 个 系 统 的 精 确 几 何 刻 度 是 整 个 项 目 中 较 为 关 键 的 一 步 , 刻 度 的 精 度 将 直 接 影 响
到 图 像 质 量 以 及 分 辨 率 。 因 此 ,SPECT 系 统 每 次 使 用 前 都 必 须 重 新 进 行 几 何 刻 度
工 作 , 利 用 多 个 点 源 位 置 与 投 影 的 关 系 , 通 过 最 小 二 乘 法 来 得 到 符 合 精 度 要 求 的
系 统 几 何 参 数 。 同 时 , 合 理 的 设 计 几 何 刻 度 方 案 , 即 点 源 的 位 置 组 合 , 对 于 提 高
SPECT 系 统 的 空 间 分 辨 率 极 为 重 要 。 本 课 题 的 另 一 个 重 要 内 容 , 即 通 过 数 学 方 法
即 对 系 统 的 SVD 分 析 以 及 实 验 数 据 来 获 得 较 优 化 的 几 何 刻 度 方 案 , 同 时 给 出 该
几 何 刻 度 方 案 的 刻 度 精 度 。 则 主 要 是 希 望 能 够 通 过 SVD 分 析 能 够 给 出 对 该 实 验
SPECT 系 统 的 不 同 扫 描 轨 道 的 几 何 刻 度 精 度 评 估 。
8

第 2 章 实 际 SPECT 系 统 的 几 何 刻 度
2.1 几 何 投 影 模 型 的 建 立
2.1.1 SPECT 系 统 及 刻 度 实 验 说 明
图 2.1 为 系 统 结 构 实 物 图 。 在 临 床 SPECT 探 头 (detector) 下 , 安 装 七 针 孔 的
准 直 器 (collimator), 通 过 机 械 位 移 控 制 平 台 (motion control stage) 连 接 小 动 物
床 , 控 制 小 动 物 的 平 移 和 旋 转 运 动 。 探 测 器 为 NaI(Tl) 晶 体 探 测 器 , 临 界 空 间
分 辨 率 为 3.55 mm, 尺 寸 为 510x390 mm 2 , 厚 度 为 9.5 mm。
图 2.1 针 孔 SPECT 系 统 结 构 实 物 图
刻 度 采 用 点 源 的 投 影 数 据 进 行 , 故 而 在 实 验 中 与 刻 度 相 关 的 实 验 主 要 是 用 点
源 作 为 模 型 进 行 采 集 。 实 验 中 , 探 测 器 与 针 孔 准 直 器 通 过 光 学 平 板 的 固 定 , 保 持
相 对 静 止 , 针 孔 准 直 器 约 在 探 测 器 下 方 232 mm。 而 点 源 的 运 动 则 通 过 连 接 件 由
位 移 控 制 平 台 控 制 , 点 源 的 旋 转 中 心 约 位 于 准 直 器 下 方 28 mm 处 。 在 扫 描 过 程 中 ,
通 过 控 制 点 源 的 旋 转 角 度 θ 来 获 得 不 同 位 置 的 点 源 的 投 影 数 据 。 同 时 , 认 为 由 位
移 控 制 平 台 所 控 制 的 点 源 移 动 距 离 及 旋 转 角 度 是 足 够 精 确 的 , 对 于 刻 度 精 度 是 足
够 的 , 即 在 刻 度 过 程 中 可 以 认 为 点 源 的 相 对 距 离 及 旋 转 角 度 是 已 知 的 。
9

2.1.2 几 何 投 影 模 型 及 几 何 参 数
由 Bequé 在 几 何 刻 度 方 面 提 出 的 解 析 的 方 法 [1], 根 据 图 2.1 的 系 统 图 , 利 用
图 2.1 中 的 坐 标 系 , 抽 象 出 如 图 2.2 的 几 何 光 学 投 影 模 型 。
ψ
( e , h, e )
u v
φ
y
z
θ
x
r
( x , y , z )
pi , pi , pi ,
( x
0, y0, z0)
图 2.2 针 孔 SPECT 系 统 几 何 投 影 模 型
由 图 2.2 可 以 大 致 看 出 针 孔 SPECT 系 统 的 所 有 几 何 参 数 , 具 体 如 表 2.1 所 示 。
表 2.1 针 孔 SPECT 系 统 的 几 何 参 数
物 体
参 数
单 位
说 明
Object
Parameters
Units
Descriptions
探 测 器 (e u ,h,e v ) mm 探 测 器 几 何 中 心 坐 标
(Φ,Ψ) rad 探 测 器 的 扭 角
准 直 器 (x p,i , y p,i , z p,i ) mm 七 个 针 孔 的 坐 标 ,i=1,…,7
点 源
(x 0 , y 0 , z 0 ) mm 点 源 的 旋 转 中 心 的 坐 标
r mm 点 源 的 旋 转 半 径
θ 0 rad 点 源 的 初 始 角 度
10

下 面 详 细 描 述 各 参 数 的 含 义 。
• 探 测 器
探 测 器 具 有 5 个 待 刻 度 的 几 何 参 数 。 如 图 2.3 所 示 ,(e u ,h,e v ) 为 探 测 器 几 何
对 称 中 心 的 坐 标 , 而 Φ 为 探 测 器 法 向 量 与 y 轴 正 方 向 的 夹 角 , 而 Ψ 为 法 向 量 在
O-xz 平 面 的 投 影 与 z 轴 正 反 向 的 夹 角 。 经 过 坐 标 变 换 等 一 系 列 的 推 导 , 可 以 得 出
探 测 器 下 表 面 的 平 面 方 程 为 ( 其 中 T 为 探 测 器 厚 度 , 此 系 统 中 T=9.5 mm):
sinψ sin φ( x− e ) + cos φ( y−h) −cosψ sin φ( z− e ) = − T / 2 (2-1)
u
v
( e , h, e )
u v
φ
y
z
ψ
x
图 2.3 针 孔 SPECT 系 统 探 测 器 模 型
• 针 孔 准 直 器
由 于 有 七 个 针 孔 , 针 孔 之 间 的 相 对 位 置 无 法 精 确 确 定 , 故 而 , 认 为 七 个 针 孔
相 互 独 立 , 但 相 对 位 置 在 一 个 区 间 范 围 内 。 因 而 对 于 针 孔 准 直 器 共 有 21 个 参 数
需 要 刻 度 。
• 点 源
11

对 任 一 扫 描 角 度 θ, 点 源 的 坐 标 (x,y,z) 可 以 由 公 式 (2-2) 得 出 。 考 虑
到 整 个 系 统 具 有 平 移 一 致 性 , 故 而 在 实 际 系 统 中 , 常 令 点 源 的 旋 转 中 心 为 坐 标 原
点 , 即 (x 0 , y 0 , z 0 )=(0,0,0)。 同 时 若 是 多 个 点 源 的 情 况 下 , 则 令 其 中 一 个 点 源 的 旋
转 中 心 为 坐 标 原 点 , 而 点 源 间 的 相 对 位 置 由 运 动 控 制 平 台 精 确 控 制 。 因 而 点 源 需
要 刻 度 的 参 数 只 有 r,θ 0 。
⎧ x= x0 + rsin( θ + θ0)
⎪
⎨y = y0 + rcos( θ + θ0)
⎪
⎩ z = z0
(2-2)
综 上 所 述 , 总 共 有 28 个 几 何 参 数 需 要 刻 度 , 如 表 2.2 所 示 。 则 记 Γ 为 所 有 的
参 数 集 , 即 公 式 (2-3):
Γ
= Γ{ eu, h, ev, φ , ψ , xp,1 , yp,1 , zp,1,..., xp,7 , yp,7 , zp,7
, r, θ0}
(2-3)
表 2.2 针 孔 SPECT 系 统 需 要 刻 度 的 几 何 参 数 集 Γ
物 体
参 数
单 位
说 明
Object
Parameters
Units
Descriptions
探 测 器 (e u ,h,e v ) mm 探 测 器 几 何 中 心 坐 标
(Φ,Ψ) rad 探 测 器 的 扭 角
准 直 器 (x p,i ,y p,i ,z p,i ) mm 七 个 针 孔 的 坐 标 ,i=1,…,7
点 源
r mm 点 源 的 旋 转 半 径
θ 0 rad 点 源 的 初 始 角 度
2.1.3 理 想 情 况 下 几 何 模 型 投 影 方 程
经 过 推 导 , 可 以 得 出 理 想 情 况 下 对 任 一 扫 描 角 度 θ, 点 源 经 过 i 号 针 孔 在 探 测
器 下 表 面 所 成 的 像 经 过 探 测 器 接 收 后 , 在 图 像 中 的 坐 标 为 (x est , z est )。 则 (x est , z est )
满 足 公 式 (2-4)。
⎛xest ⎞ ⎛⎛xp, i
−e ⎞ ⎛
u
rsinθ
−x
⎞⎞
p,
i
⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟
y = R2R1 ⎜⎜ ypi
, − h⎟ − t⎜rcosθ
− ypi
, ⎟⎟
⎜z ⎟ ⎜⎜ est
zp. i
e ⎟ ⎜
v
z ⎟⎟
⎝ ⎠ ⎝⎝ − ⎠ ⎝ −
p,
i ⎠⎠
(2-4)
12

其 中 ,
t =
T
− − − sinφ
+
2
rcosθ y cos φ ( z z )sinφ
( ypi ,
h) cosφ
( zpi ,
ev)
( −
pi)
− −
. 0 pi .
(2-5)
R
2
⎡−
cosψ
0 sinψ
⎤
=
⎢
0 1 0
⎥
⎢ ⎥
⎢⎣
sinψ
0 cosψ
⎥⎦
(2-6)
⎡1 0 0 ⎤
R1
=
⎢
0 cosφ sinφ
⎥
⎢
−
⎥
⎢⎣0 sinφ
cosφ
⎥⎦
(2-7)
2.1.4 考 虑 穿 透 效 应 产 生 的 投 影 偏 移
由 S. D. Metzler 提 出 , 考 虑 到 探 测 器 的 厚 度 、 粒 子 的 入 射 角 以 及 入 射 粒 子 的
穿 透 性 , 则 相 对 于 理 想 情 况 下 的 投 影 位 置 , 点 源 的 投 影 位 置 将 产 生 一 个 偏 移 , 如
图 2.4 所 示 。
n r
α
parallax _ shift
point_1
point_ 2
z
x
y
图 2.4 针 孔 SPECT 系 统 探 测 器 穿 透 效 应 计 算 模 型
13

记 该 偏 移 量 为 parallax_shift, 则 依 据 文 献 [2], 得 出 :
− μT
csc( α )
1 − (1+
μT
csc( α))
e
parallax _ shift =
cos( α )
− μT
csc( α )
(1 − e ) μ
(2-8)
其 中 ,α 为 入 射 角 ,T 为 探 测 器 厚 度 , μ 为 质 量 衰 减 系 数 。 实 验 中 ,
−1
μ = 0.2658mm , T = 9.5mm。
而 入 射 角 α 的 计 算 , 则 由 探 测 器 的 法 向 量 n r
与 入 射 向 量 ν r 求 得 ,
π
α = − arccos
2
r r
n • ν
r r
(2-9)
n ν
其 中 ,
r (2-10)
n = (sinψ sin φ,cos φ, − cosψ sin φ)
r
ν = ( x − ( x + rsin θ), y − ( y + rcos θ), z − z )
pi , 0 pi , 0 pi , 0
(2-11)
下 面 计 算 parallax_shift 在 x,z 上 的 分 量 。 取 入 射 线 在 探 测 器 上 的 投 影 上 两 点
以 定 出 偏 移 的 方 向 , 为 方 便 计 算 , 令 point_1 为 (x 1 ,z 1 )=(x est , z est ),point_2 为 针 孔
在 探 测 器 上 的 投 影 , 其 坐 标 为 (x 2 ,z 2 ), 由 公 式 (2-12)-(2-14) 给 出 。
⎛x2⎞ ⎡ cosψ
0 sinψ
⎤⎛x2′′−
eu⎞ ⎛eu⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
y =
⎢
sinψ sinφ cosφ −cosψ sinφ
⎥
y′′
− h + h
2 ⎢
⎥
2
⎜z ⎟
2
sinψ cosφ sinφ cosψ cosφ
⎜z2
e ⎟ ⎜
v
e ⎟
⎝ ⎠ ⎣⎢−
⎦⎝ ⎥ ′′ − ⎠ ⎝ v⎠
(2-12)
其 中 ,
⎧ x′′
= x + sinψ
sinφt
⎪
⎨ y′′ 2
= ypi
,
+ cosφt2
⎪
⎩ z ′′ = z − cosψ
sinφt
2 pi , 2
2 pi , 2
(2-13)
T
t2 =−sinψ sin φ( xpi ,
−eu) −cos φ( ypi ,
− h) + cosψ sin φ( zpi ,
−ev)
− (2-14)
2
14

则 :
x − x
parallax shift x parallax shift
1 2
_ _ =
_
2 2
( x1− x2) + ( z1−z2)
(2-15)
z − z
parallax shift z parallax shift
1 2
_ _ =
_
2 2
( x1− x2) + ( z1−z2)
(2-16)
最 终 , 考 虑 穿 透 效 应 下 的 , 投 影 方 程 为 :
⎧x′ est
= xest
+ parallax _ shift _ x
⎨
⎩zest
′ = zest
+ parallax _ shift _ z
(2-17)
本 课 题 中 , 在 实 际 SPECT 系 统 刻 度 中 所 采 用 的 投 影 方 程 为 考 虑 穿 透 效 应 下 的
投 影 方 程 , 即 采 用 式 (2-17) 计 算 。
2.2 数 据 采 集 及 处 理
2.2.1 扫 描 轨 道
实 验 中 共 采 集 了 4 个 轨 道 的 数 据 , 分 别 命 名 为 C1、C2、C3 和 H 扫 描 轨 道 。
• C1 轨 道
圆 周 轨 道 , 点 源 作 圆 周 旋 转 , 每 旋 转 2 0 采 集 一 次 数 据 , 共 采 集 180 次 数 据 。
旋 转 中 心 定 义 为 坐 标 原 点 。
• C2 轨 道
圆 周 轨 道 , 点 源 作 圆 周 旋 转 , 每 旋 转 2 0 采 集 一 次 数 据 , 共 采 集 180 次 数 据 。
旋 转 中 心 为 (0,0,-4.5 mm)。
• C3 轨 道
圆 周 轨 道 , 点 源 作 圆 周 旋 转 , 每 旋 转 2 0 采 集 一 次 数 据 , 共 采 集 180 次 数 据 。
旋 转 中 心 为 (0,0,4.5 mm)。
• H 轨 道
螺 旋 轨 道 , 点 源 作 旋 转 运 动 时 同 时 沿 z 方 向 运 动 , 每 旋 转 1 0 的 同 时 , 沿 z 方
向 前 进 0.025 mm, 同 时 采 集 一 次 数 据 , 共 采 集 360 次 数 据 。 点 源 旋 转 中 心 从
(0,0,-4.5 mm) 平 移 到 (0,0,4.5 mm)。
15

图 2.5 展 示 了 C1 轨 道 和 H 轨 道 上 某 位 置 上 点 源 所 成 的 SPECT 像 , 可 以 看 出
经 过 七 针 孔 准 直 器 后 , 点 源 有 七 个 投 影 位 置 , 其 中 (a) 位 于 C1 轨 道 ,(b) 位 于 H 轨
道 上 ,(c) 位 于 C2 轨 道 ,(d) 位 于 C3 轨 道 。 但 由 于 每 个 针 孔 的 FOV 有 限 , 故 在 实
验 中 存 在 图 像 中 点 源 的 投 影 数 少 于 七 个 的 情 形 , 如 图 2.5 (c) (d) 所 示 。
(a)
(b)
(c)
(d)
图 2.5 点 源 经 七 针 孔 准 直 器 在 探 测 器 上 的 投 影
2.2.2 从 点 源 投 影 图 像 计 算 质 心
由 投 影 方 程 可 以 得 出 投 影 位 置 的 坐 标 , 而 在 实 验 中 得 出 是 点 源 的 像 , 为 一 个
区 域 , 因 此 在 刻 度 前 需 要 对 点 源 的 像 进 行 处 理 , 求 取 它 的 质 心 坐 标 , 以 便 进 行 拟
16

合 。 由 于 每 张 图 像 上 将 得 出 7 组 质 心 坐 标 , 同 时 需 要 对 该 7 组 坐 标 进 行 标 号 , 以
确 定 经 过 同 一 针 孔 所 得 到 的 质 心 坐 标 标 号 一 致 。 实 验 中 通 过 三 种 方 法 求 得 质 心 。
• 方 法 一
事 实 上 , 图 像 是 一 个 512x512 的 矩 阵 , 通 过 将 图 像 的 所 有 行 相 加 , 对 于 列 向
数 据 可 以 得 出 如 图 2.6 所 示 的 规 律 。 因 而 通 过 简 单 的 搜 索 即 可 得 出 列 向 上 质 心 坐
标 的 分 布 及 范 围 。 同 理 , 将 图 像 所 有 列 相 加 , 可 以 得 出 行 向 上 质 心 坐 标 的 分 布 及
范 围 。 最 后 通 过 行 向 与 列 向 的 定 位 , 可 以 得 出 每 组 质 心 坐 标 的 分 布 区 域 D。 通 过
截 取 图 像 的 该 区 域 部 分 , 进 而 求 得 质 心 坐 标 (x exp , z exp ), 质 心 坐 标 的 求 解 公 式 见
(2-18)。
⎧
⎪
⎪
xexp,
θ
=
⎪
⎨
⎪
⎪ zexp,
θ
=
⎪
⎪⎩
∑ ∑
x y
∑∑
x•
f( x, y)
f( x, y)
y
,( x, y)
∈ D
y•
f( x, y)
x
∑ ∑
y x
∑∑
x
y
f( x, y)
(2-18)
14
12
10
像 素 值
8
6
4
2
0
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
列 向 坐 标
图 2.6 图 像 矩 阵 列 向 像 素 值
• 方 法 二
17

由 于 采 样 数 目 足 够 多 , 可 以 认 为 相 邻 的 两 张 图 像 的 7 组 质 心 相 差 不 多 。 故 而
可 以 利 用 已 经 求 得 的 上 张 图 像 的 质 心 , 通 过 上 张 图 像 获 得 区 域 D, 进 而 利 用 公 式
(2-17) 求 得 质 心 坐 标 。
• 方 法 三
为 了 使 求 得 的 质 心 坐 标 有 一 定 精 度 , 可 以 将 方 法 一 与 方 法 二 结 合 起 来 对 同 一
张 图 像 使 用 。 通 过 方 法 一 求 得 一 套 质 心 坐 标 , 进 而 迭 代 利 用 方 法 二 , 使 得 相 邻 两
次 的 质 心 坐 标 差 小 于 预 先 设 定 的 阈 值 。 这 样 可 以 认 为 所 求 得 的 质 心 坐 标 有 一 个 不
错 的 精 度 , 对 于 拟 合 影 响 不 大 。
利 用 上 述 方 法 , 对 于 任 一 张 图 像 可 以 求 出 七 个 质 心 坐 标 。 而 从 图 2.5 (c) (d)
可 以 看 出 , 这 七 个 质 心 坐 标 并 不 完 全 是 正 确 。 对 (c) 而 言 , 不 存 在 投 影 的 位 置 处 也
计 算 出 了 一 个 质 心 , 而 对 (d) 而 言 , 在 图 形 边 缘 处 , 由 于 投 影 不 完 全 , 所 以 计 算 得
出 的 质 心 也 是 不 够 准 确 的 。 为 此 , 在 计 算 出 全 部 质 心 坐 标 后 , 需 要 手 动 选 择 其 中
有 效 的 质 心 坐 标 。 利 用 Amide 软 件 , 查 看 所 有 的 图 像 , 可 以 选 出 其 中 无 效 质 心 坐
标 存 在 的 范 围 , 加 以 标 记 。 假 设 有 效 的 质 心 坐 标 集 合 为 Centroid_valid。 通 过 方 法
三 , 最 终 得 出 各 质 心 坐 标 (x exp , z exp ), 如 图 2.7 所 示 。 为 了 方 便 显 示 , 将 轨 道 各 自
所 有 的 图 像 质 心 画 在 一 张 图 上 , 其 中 (a) 为 C1 轨 道 的 图 像 ,(b) 为 C1 轨 道 图 像 计
算 出 的 质 心 图 ( 其 中 黑 色 且 加 粗 标 记 部 分 为 无 效 质 心 数 据 );(c)、(d) 为 C2 轨 道 同
样 的 对 比 ;(e)、(f) 为 C3 轨 道 同 样 的 对 比 ;(g)、(h) 为 H 轨 道 同 样 的 对 比 。
18

200
C1 轨 道
100
z/mm
0
-100
-200
(a)
-200 -100 0 100 200
x/mm
(b)
200
C2 轨 道
100
z/mm
0
-100
-200
(c)
-200 -100 0 100 200
x/mm
(d)
200
C3 轨 道
100
z/mm
0
-100
-200
(e)
(g)
z/mm
250
200
150
100
50
0
-50
-100
-150
-200
-250
-200 -100 0 100 200
x/mm
(f)
H 轨 道
-200 -100 0 100 200
x/mm
(h)
图 2.7 各 轨 道 原 始 图 像 与 计 算 质 心 对 比 图
19

2.3 几 何 参 数 刻 度
2.3.1 基 于 最 小 二 乘 拟 合 的 刻 度 方 法
本 实 验 中 采 用 的 是 最 小 二 乘 法 拟 合 的 原 理 , 即 使 得 通 过 实 验 计 算 得 到 的 质 心
与 光 学 投 影 模 型 得 出 的 质 心 差 值 的 平 方 和 最 小 , 如 公 式 (2-19)。
∑
2
xiest ,
xi,exp ziest ,
zi,exp
2
i Centroid valid (2-19)
i
+
Γ = arg min ( − ) + ( − ) , ∈ _
Γ
Γ=Γ { e , h, e , x , y , z ,..., r, θ } (2-20)
u v p,1 p,1 p,1 0
2.3.1 几 何 刻 度 结 果
本 小 节 中 , 拟 合 所 使 用 的 质 心 数 据 为 所 有 轨 道 上 采 集 的 有 效 的 质 心 数 据 , 即
轨 道 C1+C2+C3+H, 记 为 全 轨 道 。 拟 合 结 果 如 图 2.8。
C1 轨 道
C2 轨 道
350
350
300
300
θ
250
200
150
实 验 数 据
拟 合 曲 线
θ
250
200
150
实 验 数 据
拟 合 曲 线
100
100
50
50
0
0
200
200
100
0
z/mm
-100
-200
-200
-100
0
x/mm
100
200
100
0
z/mm
-100
-200
-200
-100
0
x/mm
100
200
C3 轨 道
H 轨 道
350
350
300
300
θ
250
200
150
实 验 数 据
拟 合 曲 线
θ
250
200
150
实 验 数 据
拟 合 曲 线
100
100
50
50
0
0
200
200
100
0
z/mm
-100
-200
-200
-100
0
x/mm
100
200
100
0
z/mm
-100
-200
-200
-100
0
x/mm
100
200
图 2.8 各 轨 道 拟 合 曲 线 与 实 验 数 据 对 比
20

表 2.3 给 出 了 拟 合 出 的 的 参 数 集 与 实 验 时 给 出 的 设 计 值 。 对 于 实 验 用 的
SPECT 系 统 , 由 于 每 次 实 验 时 , 准 直 器 及 位 移 控 制 平 台 都 需 要 重 新 安 装 , 而 人 工
的 安 装 比 较 粗 略 , 这 使 得 几 何 参 数 的 实 际 值 也 与 设 计 值 有 一 定 的 偏 差 。 故 而 设 计
值 只 能 提 供 一 个 参 考 范 围 , 仅 供 对 比 。 具 体 对 刻 度 结 果 的 验 证 将 在 本 章 四 五 节 中
讲 到 。
表 2.3 刻 度 出 的 几 何 参 数 值 与 测 量 值
物 体
参 数
单 位
刻 度 值
参 考 值
Object
Parameters
Units
探 测 器
准 直 器
点 源
(e u ,h,e v ) mm (2.165,262.790,0.201) ~(0,260,0)
(Φ,Ψ) rad (-0.0118,-0.0028) ~(0,0)
(x p,1 ,y p,1 ,z p,1 ) mm (1.321,29.308,0.132) ~(0,28,0)
(x p,2 ,y p,2 ,z p,2 ) mm (15.329,29.052,0.190) ~(13.85,28,0)
(x p,3 ,y p,3 ,z p,3 ) mm (-12.920,30.014,0.193) ~(-13.85,28,0)
(x p,4 ,y p,4 ,z p,4 ) mm (15.129,29.294,-13.379) ~(13.61,28,-13.46)
(x p,5 ,y p,5 ,z p,5 ) mm (15.121,29.112,13.698) ~(13.61,28,13.46)
(x p,6 ,y p,6 ,z p,6 ) mm (-12.460,29.594,13.699) ~(-13.61,28,13.46)
(x p,7 ,y p,7 ,z p,7 ) mm (-12.273,29.384,-13.325) ~(-13.61,28,-13.46)
r mm 6.004

表 2.4 不 同 轨 道 刻 度 出 的 几 何 参 数 值
参 数 单 位 C1+C2+ C1+C2 H+C1 H C2+C3 C1
Units C3+H +C3
e u mm 2.165 2.234 1.538 1.742 2.151 1.353
h mm 262.790 262.243 263.263 263.234 262.260 264.124
e v mm 0.201 0.048 0.326 0.328 -0.135 0.515
Φ rad -0.0118 -0.012 -0.013 -0.012 -0.014 -0.209
Ψ rad -0.0028 -0.002 -0.004 -0.007 -0.001 -0.002
x p,1 mm 1.321 1.327 1.246 1.271 1.299 1.948
y p,1 mm 29.308 29.281 29.258 29.167 29.193 47.158
z p,1 mm 0.132 0.134 0.128 0.113 0.099 0.209
x p,2 mm 15.329 15.345 15.210 15.193 15.331 24.363
y p,2 mm 29.052 29.021 29.010 28.908 29.026 46.756
z p,2 mm 0.190 0.200 0.181 0.127 0.202 0.337
x p,3 mm -12.920 -12.923 -12.972 -12.896 -12.948 -20.864
y p,3 mm 30.014 29.959 30.026 29.924 29.973 48.317
z p,3 mm 0.193 0.176 0.206 0.235 0.133 0.265
x p,4 mm 15.129 15.132 15.023 14.969 15.137 24.032
y p,4 mm 29.294 29.217 29.309 29.182 29.243 51.282
z p,4 mm 13.379 -13.358 -13.364 -13.379 -13.357 -20.877
x p,5 mm 15.121 15.127 15.027 15.030 15.097 24.077
y p,5 mm 29.112 29.098 29.071 28.953 29.089 42.764
z p,5 mm 13.698 13.728 13.653 13.541 13.744 21.540
x p,6 mm -12.460 -12.478 -12.508 -12.383 -12.565 -20.225
y p,6 mm 29.594 29.547 29.614 29.497 29.628 43.614
z p,6 mm 13.699 13.684 13.718 13.680 13.715 21.555
x p,7 mm -12.273 -12.248 -12.353 -12.315 -12.234 -19.810
y p,7 mm 29.384 29.306 29.443 29.308 29.310 51.575
z p,7 mm -13.325 -13.323 -13.309 -13.247 -13.353 -20.909
r mm 6.004 5.997 6.004 5.971 5.999 10.435
θ 0 rad -0.0905 -0.090 -0.092 -0.092 -0.090 -0.092
22

表 2.5 不 同 轨 道 与 全 轨 道 (C1+C2+C3+H) 相 对 偏 差 值
单 位 C1+C2+C3+H C1+C2+C3 H+C1 H C2+C3 C1
E mm — 0.15 0.25 0.45 0.22 54.63
从 表 2.4 和 表 2.5 中 数 据 可 以 看 出 , 单 凭 一 个 圆 周 轨 道 C1 的 数 据 是 无 法 得 到
收 敛 解 的 , 这 与 Bequé 在 文 献 [8] 中 所 提 出 的 “ 在 使 用 一 个 点 源 并 旋 转 探 测 器 的 条
件 下 , 几 何 刻 度 的 结 果 不 具 备 唯 一 性 ” 具 有 类 似 的 结 果 。 而 从 C1+C2+C3 的 结 果
与 H+C1 的 结 果 看 来 , 可 以 得 出 在 相 同 的 采 样 数 目 下 , 不 同 的 扫 描 轨 道 得 出 的 刻
度 精 度 是 不 同 的 , 为 了 达 到 更 高 的 刻 度 精 度 , 也 可 以 考 虑 进 行 优 化 扫 描 轨 道 。
2.4 基 于 Gate 程 序 的 MonteCarlo 模 拟 验 证
(a)
(b)
图 2.9 Gate MonteCarlo 模 拟 的 投 影 数 据 与 实 验 数 据 对 比
在 SPECT 图 像 重 建 前 , 先 要 利 用 刻 度 出 的 几 何 参 数 值 进 行 计 算 系 统 传 输 矩
阵 。 而 系 统 传 输 矩 阵 的 计 算 以 及 SPECT 图 像 重 建 都 需 要 耗 费 大 量 时 间 ( 一 般 为
数 天 至 数 星 期 ), 而 如 果 最 后 结 果 不 理 想 , 则 参 数 需 要 重 新 刻 度 , 重 建 需 要 重 新
运 行 , 为 了 节 约 时 间 , 可 以 考 虑 在 将 刻 度 的 几 何 参 数 用 于 计 算 传 输 矩 阵 前 先 进 行
小 规 模 的 模 拟 , 以 验 证 几 何 参 数 值 是 否 足 够 精 度 进 行 图 像 的 重 建 。
模 拟 的 软 件 平 台 为 Gate6.0, 在 清 华 大 学 工 程 物 理 系 医 学 物 理 所 计 算 集 群 上 运
行 。Gate 程 序 是 在 GEANT4 程 序 内 核 的 基 础 上 开 发 的 专 用 于 核 医 学 领 域 的 组 件
23

化 、 通 用 的 脚 本 模 拟 工 具 包 , 它 继 承 了 GEANT4 在 物 理 模 型 、 几 何 模 型 描 述 及 可
视 化 方 面 的 优 点 , 同 时 也 采 用 脚 本 化 的 用 户 交 互 方 式 简 化 了 用 户 编 程 工 作 量 , 和
其 它 程 序 相 比 可 以 较 为 方 便 、 准 确 地 描 述 MicroSPECT 针 孔 准 直 器 和 切 割 晶 体 中
的 光 子 输 运 过 程 。
在 Gate 上 模 拟 时 , 主 要 通 过 刻 度 出 的 几 何 参 数 值 在 Gate 中 建 立 系 统 模 型 ,
然 后 进 行 粒 子 的 模 拟 。 模 拟 时 , 考 虑 到 时 间 问 题 , 只 将 点 源 均 匀 分 布 于 C1 轨 道
的 十 个 位 置 。 最 后 模 拟 结 果 如 图 2.9, 其 中 绿 色 数 据 为 实 验 采 集 数 据 , 在 处 理 中
取 得 相 应 位 置 的 投 影 ; 红 色 数 据 为 Gate 模 拟 得 到 的 数 据 , 最 后 将 十 个 位 置 的 投 影
累 加 到 一 张 图 上 以 方 便 查 看 对 比 ,(a) 为 采 样 数 目 180 时 的 C1 轨 道 投 影 ,(b) 为 采
样 数 目 600 时 的 C1 轨 道 投 影 。 从 图 2.9 可 以 看 出 , 在 C1 轨 道 上 , 采 样 数 目 增 多
时 , 刻 度 精 度 也 将 提 高 。
2.5 图 像 重 建 结 果
几 何 参 数 值 经 过 Gate 软 件 模 拟 验 证 后 , 用 来 进 行 计 算 系 统 传 输 矩 阵 , 而 后 进
行 SPECT 图 像 的 重 建 , 采 用 OSEM 算 法 进 行 重 建 。 这 个 工 作 主 要 由 马 天 予 老 师
完 成 。 最 后 单 个 点 源 重 建 的 结 果 如 图 2.10, 相 隔 一 定 距 离 的 两 个 点 源 重 建 结 果 如
图 2.11, 热 源 柱 模 型 重 建 结 果 如 图 2.12。 从 重 建 图 像 来 看 , 图 像 质 量 是 得 到 保 证
的 , 热 源 柱 模 型 的 重 建 上 能 达 到 不 低 于 0.75 mm 的 分 辨 率 , 而 两 个 点 源 的 重 建 图
像 则 说 明 该 SPECT 系 统 的 分 辨 率 好 于 0.5 mm。
24

图 2.10 单 个 点 源 SPECT 图 像 重 建 结 果
图 2.11 两 个 点 源 SPECT 图 像 重 建 结 果
25

图 2.12 热 源 柱 模 型 SPECT 图 像 重 建 结 果
26

第 3 章 几 何 精 度 刻 度 的 定 量 评 估
3.1 基 于 SVD 的 刻 度 精 度 分 析 方 法
3.1.1 SVD 方 法 介 绍
奇 异 值 分 解 (Singular Value Decomposition, SVD) 是 现 代 数 值 分 析 ( 尤 其 数
值 计 算 ) 的 最 基 本 和 最 重 要 的 工 具 之 一 。 奇 异 值 分 解 , 最 早 由 Beltrami 在 1873
年 对 实 正 方 阵 提 出 ;1874 年 ,Jordan 也 独 立 推 导 出 实 正 方 矩 阵 的 奇 异 值 分 解 ;1902
年 ,Autonne 把 奇 异 值 分 解 推 广 到 复 正 方 矩 阵 ;1939 年 ,Eckart 与 Young 更 将 其
推 广 到 一 般 的 矩 阵 [6]。 因 此 奇 异 值 分 解 定 理 也 称 为 Autonne-Eckart-Young 定 理 ,
其 在 实 矩 阵 范 围 内 定 义 如 下 :
m n
令 A ∈ R × , 则 存 在 正 交 ( 或 酉 ) 矩 阵 U ∈ R ×
m m
n n
和 V ∈ R ×
使 得
A
T
= USV
(3-1)
式 中
⎡S
⎤
S = ⎢
0 0 ⎥
⎣ ⎦
1
0
(3-2)
S = diag( s , s , K , s r
), 其 对 角 元 素 按 照 顺 序
且
1 1 2
s1 ≥ s2 ≥L ≥ s , r = rank( A)
(3-3)
r
排 列 。
假 设 m≥ n, 则 S 主 对 角 线 上 元 素 s1, s2, K , sr
连 同 sr+ 1
= sr+
2
= L = sn
= 0 一 同
称 为 矩 阵 A 的 奇 异 值 。 同 时 ,V 的 列 向 量 v
i
称 为 A 的 右 奇 异 向 量 ,V 称 为 A 的 右
奇 异 矩 阵 ;U 的 列 向 量 u
i
称 为 A 的 左 奇 异 向 量 ,U 称 为 A 的 左 奇 异 矩 阵 。 同 时 U
矩 阵 前 r 列 组 成 A 的 列 空 间 的 标 准 正 交 基 , 后 m-r 列 构 成 A 零 空 间 的 标 准 正 交 基 ,
T
T
而 V 矩 阵 的 前 r 列 组 成 A 的 列 空 间 的 标 准 正 交 基 , 后 m-r 列 构 成 A 零 空 间 的 标
准 正 交 基 。 A 也 可 以 改 写 成 :
27

A = ∑ suv
(3-4)
i=
1
T
i i i
奇 异 值 分 解 的 几 何 意 义 是 , 对 于 n 维 空 间 到 m 维 空 间 的 线 性 映 射 A , 总 有 m
维 、n 维 空 间 的 正 交 变 换 U 、V , 使 得 此 映 射 的 变 换 为 对 角 阵 。
3.1.2 基 于 SVD 的 SPECT 几 何 刻 度 精 度 评 估 方 法
马 天 予 等 [4] 的 研 究 指 出 , 应 用 SVD 方 法 , 可 以 预 测 并 评 估 SPECT 几 何 刻 度
的 精 度 。 对 于 一 个 给 定 SPECT 系 统 , 其 几 何 刻 度 工 作 就 是 选 定 一 组 视 野 (FOV)
内 的 位 置 , 将 放 射 性 点 源 依 次 置 于 这 些 位 置 上 , 分 别 通 过 理 论 SPECT 系 统 投 影
模 型 和 实 验 实 测 得 到 的 点 源 在 探 测 器 上 的 投 影 坐 标 , 之 后 利 用 最 小 二 乘 法 得 到 待
测 的 几 何 参 数 。 其 中 每 一 组 放 置 点 源 的 位 置 组 合 , 称 为 一 种 几 何 刻 度 方 案 。
其 一 般 性 的 数 学 描 述 为 , 若 待 测 的 几 何 参 数 集 为 Γ , 则 几 何 刻 度 就 是 求 解 下
式 :
+
Γ = arg min F( Γ )
(3-5)
Γ
其 中 F( Γ ) 是 对 理 论 预 言 和 实 验 测 得 点 源 投 影 中 心 位 置 坐 标 差 别 的 度 量 , 通 常 定 义
为 最 小 二 乘 距 离 :
1 1
F( Γ ) = ( p ( Γ) − c ) = f ( Γ)
2 2
m
m
2 2
i i i
i= 1 i=
1
∑ ∑ (3-6)
其 中 ,i 是 投 影 标 号 ,m 为 总 投 影 数 ,p i 为 理 论 预 测 的 理 想 点 源 投 影 坐 标 ,c i 为 实
验 测 得 投 影 位 置 的 质 心 坐 标 。
若 (3-6) 中 c i 存 在 扰 动 e i , 通 过 (3-5) 就 会 导 致 Γ 估 计 值 的 误 差 :
+ *
Δ=Γ −Γ (3-7)
+
其 中 Γ 是 c i 存 在 扰 动 时 几 何 刻 度 的 解 , Γ * 为 真 值 。 则 相 应 的 正 规 方 程 为 ;
T
T
J JΔ= J e
(3-8)
其 中 J 为 雅 可 比 矩 阵 , 即 :
28

J
ij
∂fi
( Γ)
= (3-9)
∂Γ
j
+
Γ=Γ
对 雅 可 比 矩 阵 进 行 SVD 分 析 , 就 可 以 评 估 不 同 几 何 刻 度 方 案 的 优 劣 。
⎡s1
⎤
⎢
s
⎥
⎢
⎥
J = USV = u u u O v v v = s u v (3-10)
2
n
T T T
[
1, 2, L, m] ⎢
⎥[ 1, 2, L
n]
∑ j j j
⎢
⎥
j=
1
sn
⎢
⎥
⎢
⎣0 0 0 0⎥
⎦
1
Δ= +
r
n
T
uev
i i
cv
i i
i= 1 si
i= 1r+
1
∑ ∑ (3-11)
其 中 ,s r 是 最 小 的 非 零 奇 异 值 ,c i 可 以 是 任 意 值 。 由 此 , 可 以 推 出 SPECT 系 统 的
几 何 刻 度 的 惟 一 性 条 件 和 刻 度 精 度 的 量 化 表 达 式 。
惟 一 性 条 件 : 当 r=n, 也 就 是 J 是 非 奇 异 时 , 几 何 刻 度 的 结 果 是 惟 一 性 的 ; 当
r

3.2 不 同 扫 描 轨 道 刻 度 精 度 的 SVD 分 析
在 比 较 个 方 案 的 相 对 精 度 时 , 几 何 投 影 模 型 使 用 理 想 的 投 影 模 型 , 即 公 式
(2-4)。 同 时 , 考 虑 到 2~7 号 针 孔 的 实 验 数 据 并 不 完 全 , 即 在 C1 或 者 C3 轨 道 中
有 些 位 置 不 在 FOV 内 , 导 致 点 源 位 置 的 非 均 匀 性 , 非 均 匀 性 对 SVD 分 析 会 造 成
一 定 的 干 扰 , 而 1 号 针 孔 的 实 验 数 据 均 匀 分 布 于 轨 道 中 , 所 以 在 本 章 的 SVD 分
析 中 , 为 了 与 实 验 数 据 相 对 应 , 主 要 利 用 1 号 针 孔 的 实 验 数 据 进 行 刻 度 , 将 待 刻
度 的 几 何 参 数 个 数 减 少 到 10 个 , 少 去 了 2~7 号 针 孔 的 刻 度 及 SVD 分 析 , 几 何 参
数 集 见 表 3.1。
表 3.1 针 孔 SPECT 系 统 需 要 刻 度 的 几 何 参 数 集 Γ
物 体
参 数
单 位
说 明
Object
Parameters
Units
Descriptions
探 测 器 (e u ,h,e v ) mm 探 测 器 几 何 中 心 坐 标
(Φ,Ψ) rad 探 测 器 的 扭 角
准 直 器 (x p,1 ,y p,1 ,z p,1 ) mm 1 号 针 孔 的 坐 标
点 源
r mm 点 源 的 旋 转 半 径
θ 0 rad 点 源 的 初 始 角 度
3.2.2 Jacobi 矩 阵 奇 异 值 与 几 何 刻 度 惟 一 性 比 较
在 本 SPECT 系 统 的 几 何 刻 度 优 化 中 , 考 虑 四 种 方 案 。
方 案 一 :
点 源 的 位 置 均 匀 分 布 于 轨 道 C1 上 。 用 SVD 方 法 可 以 得 出 表 3.2 所 列 的 奇
异 值 。 其 中 点 源 位 置 数 目 为 1200。
表 3.2 方 案 一 的 奇 异 值
s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s 7 s 8 s 9 s 10
1966.6 1855.8 361.2 316.4 228.7 31.0 2.0 1.2 0 0
显 然 , 方 案 一 下 的 雅 可 比 矩 阵 有 两 个 零 奇 异 值 , 故 几 何 刻 度 中 必 然 有 参 数 不
能 惟 一 确 定 , 这 与 Bequé 的 结 论 一 致 [1]。 同 时 , 从 表 3.3 中 可 以 观 察 到 SVD 右 奇
异 向 量 对 于 零 奇 异 值 的 元 素 ,
30

表 3.3 方 案 一 零 奇 异 值 对 应 的 右 奇 异 向 量
Γ V r9 V r10
e u -0.0056 0.0061
h -0.1362 -0.7462
e v 0.8608 0.2054
Φ -0.1809 -0.0461
Ψ 0.0000 0.0000
r 0.1696 -0.1846
θ 0 0.0000 0.0000
x p,1 -0.0056 0.0061
y p,1 0.4228 -0.6037
z p,1 0.0090 -0.0117
只 有 θ 0 和 Ψ 两 个 几 何 参 数 对 应 的 右 奇 异 向 量 在 零 奇 异 值 上 的 分 量 是 零 , 所 以
仅 这 两 个 参 数 可 以 在 一 个 点 源 的 条 件 下 被 惟 一 的 估 计 。
方 案 二 :
点 源 的 位 置 均 匀 分 布 于 轨 道 C2+C3 中 。 用 SVD 方 法 可 以 得 出 表 3.4 所 列
的 奇 异 值 。 其 中 点 源 总 位 置 数 目 为 1200。
表 3.4 方 案 二 的 奇 异 值
s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s 7 s 8 s 9 s 10
2279.6 1970.9 358.4 316.7 292.3 233.5 44.7 6.8 1.6 1.6
可 以 看 出 方 案 二 可 以 惟 一 刻 度 所 有 的 几 何 参 数 。
方 案 三 :
点 源 的 位 置 均 匀 分 布 于 轨 道 C1+C2+C3 中 。 用 SVD 方 法 可 以 得 出 表 3.5
所 列 的 奇 异 值 。 其 中 点 源 总 位 置 数 目 为 1200。
表 3.5 方 案 三 的 奇 异 值
s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s 7 s 8 s 9 s 10
2154.6 1959.9 323.9 316.6 286.4 230.7 36.7 6.8 1.5 1.5
可 以 看 出 方 案 三 同 样 可 以 惟 一 刻 度 所 有 的 几 何 参 数 。
31

方 案 四 :
点 源 的 位 置 均 匀 分 布 于 轨 道 H 中 。 用 SVD 方 法 可 以 得 出 表 3.5 所 列 的 奇
异 值 。 其 中 点 源 总 位 置 数 目 为 1200。
表 3.6 方 案 四 的 奇 异 值
s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s 7 s 8 s 9 s 10
2.080.7 1954.6 365.3 322.9 227.7 133.6 18.7 4.5 1.1 0.8
从 表 3.6 可 以 看 出 在 H 轨 道 中 参 数 可 以 惟 一 刻 度 。
3.2.3 基 于 SVD 的 几 何 刻 度 精 度 分 析
利 用 式 (3-13), 计 算 各 个 方 案 各 个 估 计 参 数 的 标 准 差 与 质 心 方 差 值 的 相 对 大 小
与 采 样 数 目 的 关 系 。
采 样
数 目
σ
σ
e u
c
表 3.7 方 案 一 估 计 参 数 的 标 准 差 与 采 样 数 目 关 系
σ
h
σ
e v
σ φ
σ ψ σ
r
σ θ
σ
0
σ
c σ σ σ σ
c σ σ
c
c
c
c
x p,1
c
σ
σ
y p,1
c
σ
σ
z p,1
c
100 2.938 1.143 0.737 0.168 0.002 0.401 0.011 0.323 1.029 0.054
200 2.078 0.808 0.521 0.119 0.001 0.284 0.008 0.229 0.727 0.038
300 1.696 0.660 0.425 0.097 0.001 0.232 0.006 0.187 0.594 0.031
450 1.385 0.539 0.347 0.079 0.001 0.189 0.005 0.152 0.485 0.025
600 1.200 0.467 0.301 0.069 0.001 0.164 0.004 0.132 0.420 0.022
1200 0.848 0.330 0.213 0.049 0.0006 0.116 0.003 0.093 0.297 0.015
采 样
数 目
σ
σ
e u
c
σ
σ
表 3.8 方 案 二 估 计 参 数 的 标 准 差 与 采 样 数 目 关 系
h
c
σ
σ
e v
c
σ φ
σ ψ
σ
c
σ
c
σ
r
σ
c
σ θ
σ
0
c
σ
σ
x p,1
c
σ
σ
y p,1
c
σ
σ
z p,1
c
200 1.505 1.506 0.359 0.008 0.001 0.023 0.006 0.166 0.161 0.039
400 1.064 1.065 0.254 0.006 0.0007 0.016 0.004 0.117 0.113 0.027
600 0.869 0.869 0.207 0.005 0.0006 0.013 0.003 0.096 0.093 0.023
900 0.709 0.709 0.169 0.004 0.0005 0.011 0.003 0.078 0.076 0.018
1200 0.614 0.614 0.146 0.003 0.0004 0.009 0.002 0.067 0.066 0.015
2400 0.434 0.434 0.103 0.002 0.0003 0.007 0.002 0.047 0.046 0.011
32

采 样
数 目
σ
σ
e u
c
表 3.9 方 案 三 估 计 参 数 的 标 准 差 与 采 样 数 目 关 系
σ
h
σ
e v
σ φ
σ ψ σ
r
σ θ
σ
0
σ
c σ σ σ σ
c σ σ
c
c
c
c
x p,1
c
σ
σ
y p,1
c
σ
σ
z p,1
c
300 1.3373 1.3353 0.2909 0.0073 0.0009 0.0212 0.0049 0.1471 0.1449 0.0313
600 0.9456 0.9442 0.2057 0.0051 0.0007 0.0150 0.0035 0.1040 0.1024 0.0221
900 0.7721 0.7709 0.1680 0.0042 0.0005 0.0122 0.0029 0.0849 0.0836 0.0180
1200 0.6687 0.6676 0.1455 0.0036 0.0005 0.0106 0.0025 0.0735 0.0724 0.0156
1500 0.5981 0.5972 0.1301 0.0032 0.0004 0.0095 0.0022 0.0658 0.0648 0.0140
1800 0.5460 0.5451 0.1188 0.0030 0.0004 0.0087 0.0020 0.0601 0.0591 0.0128
2400 0.4728 0.4721 0.1029 0.0026 0.0003 0.0075 0.0017 0.0520 0.0512 0.0110
采 样
数 目
σ
σ
e u
c
σ
σ
表 3.10 方 案 四 估 计 参 数 的 标 准 差 与 采 样 数 目 关 系
h
c
σ
σ
e v
c
σ φ
σ ψ
σ
c
σ
c
σ
r
σ
c
σ θ
σ
0
c
σ
σ
x p,1
c
σ
σ
y p,1
c
σ
σ
z p,1
c
100 4.0672 3.0945 0.9376 0.0514 0.0033 0.0911 0.0143 0.4662 0.2629 0.0899
200 2.8725 2.1857 0.6614 0.0362 0.0023 0.0643 0.0101 0.3293 0.1849 0.0634
300 2.3442 1.7839 0.5394 0.0295 0.0019 0.0525 0.0083 0.2687 0.1507 0.0517
450 1.9134 1.4562 0.4400 0.0240 0.0015 0.0428 0.0067 0.2193 0.1230 0.0422
600 1.6567 1.2609 0.3809 0.0208 0.0013 0.0371 0.0058 0.1899 0.1064 0.0365
1200 1.1712 0.8914 0.2692 0.0147 0.0009 0.0262 0.0041 0.1342 0.0752 0.0258
通 过 对 方 案 三 的 数 据 进 行 拟 合 , 可 以 得 出 图 3.1。
33

10 0
10 1 e u h
参 数 标 准 差 / 质 心 方 差 值
10 -1
10 -2
10 -3
e v
x y p1 p1
z p1
r
phi
thet0
psi
10 -4
10 3
采 样 数 目
图 3.1 方 案 三 估 计 参 数 的 标 准 差 与 采 样 数 目 关 系
从 图 3.1 可 以 看 出 估 计 参 数 的 标 准 差 与 采 样 数 目 的 0.5 次 方 成 反 比 , 这 与
Gallant 提 出 的 理 论 [7]、[4] 的 数 值 实 验 结 果 及 [3] 中 的 数 值 和 物 理 测 量 结 果 均 相 符
合 , 即 参 数 的 标 准 差 与 采 样 数 目 之 间 满 足 关 系 :
A
i
σ
i
= (3-14)
N
其 中 , σ i
为 估 计 参 数 的 标 准 差 , A i
为 比 例 系 数 ,N 为 采 样 数 目 。 考 虑 到 对 于
同 一 个 系 统 而 言 , 质 心 方 差 值 σ 是 一 个 固 定 值 , 则
c
σ
i
Ai / σ
c
σ = N
(3-15)
c
则 利 用 最 小 二 乘 拟 合 , 可 以 得 到 每 种 方 案 标 准 差 与 采 样 数 目 的 关 系 , 结 果 列
于 表 3.11。
在 最 小 二 乘 拟 合 中 , 拟 合 度 r 的 值 全 部 大 于 0.9999, 可 见 式 (3-15) 描 述 的 估 计
参 数 标 准 差 与 采 样 数 目 的 关 系 是 正 确 的 。 由 此 关 系 , 可 以 建 立 一 种 评 估 几 何 刻 度
方 案 优 劣 的 标 准 , 即 达 到 给 定 的 估 计 参 数 标 准 差 时 , 每 种 方 案 需 要 的 最 小 采 样 数
目 , 显 然 该 采 样 数 目 最 小 时 , 就 代 表 这 种 几 何 刻 度 方 案 最 优 。
34

方 案
号
A
σ
e u
c
A
σ
h
c
表 3.11 各 方 案 最 小 二 乘 拟 合 系 数
A
σ
e v
c
A φ
A ψ
σ
c
σ
c
A
σ
r
c
A θ
σ
0
c
A
σ
x p,1
c
A
σ
y p,1
c
A
σ
z p,1
c
一 29.383 11.428 7.365 1.684 0.019 4.012 0.110 3.234 10.285 0.535
二 21.284 21.299 5.071 0.112 0.015 0.318 0.078 2.341 2.276 0.552
三 23.163 23.128 5.039 0.126 0.016 0.367 0.086 2.548 2.509 0.541
四 40.846 31.052 9.468 0.522 0.033 0.914 0.143 4.684 2.667 0.908
从 表 3.11 中 , 很 容 易 发 现 在 用 单 针 孔 数 据 刻 度 单 针 孔 时 , 可 以 看 出 在 大 部 分
的 参 数 中 , 方 案 二 的 A / σ 都 是 最 小 的 , 部 分 参 数 略 大 于 方 案 三 , 总 体 来 说 方 案
i
c
二 是 较 优 的 , 其 次 为 方 案 三 , 但 方 案 三 在 z 方 向 上 的 刻 度 精 度 优 于 方 案 二 。
需 要 说 明 的 是 , 本 研 究 得 出 的 结 论 适 用 与 单 针 孔 准 直 器 系 统 。 当 准 直 器 系 统
发 生 变 化 ( 例 如 针 孔 数 码 变 化 时 ), 不 同 的 扫 描 轨 道 方 案 的 相 对 刻 度 精 度 可 能 有
所 不 同 , 但 是 , 仍 可 采 用 本 节 中 所 给 出 的 方 法 进 行 相 应 的 刻 度 精 度 评 估 。
3.3 从 实 验 数 据 求 解 质 心 绝 对 方 差 值
实 验 时 由 于 测 量 仪 器 出 现 故 障 , 但 从 实 验 后 的 结 果 推 算 , 当 时 的 点 源 放 射 性
活 度 大 致 在 0.6~0.8μCi。
此 次 实 验 共 采 集 了 3 个 轨 道 的 数 据 , 分 别 命 名 为 C1、C2、C3 扫 描 轨 道 。
• C1 轨 道
圆 周 轨 道 , 点 源 作 圆 周 旋 转 , 每 旋 转 0.6 0 采 集 一 次 数 据 , 每 次 采 样 时 间 为 5s,
共 采 集 600 次 数 据 。 旋 转 中 心 定 义 为 坐 标 原 点 。
• C2 轨 道
圆 周 轨 道 , 点 源 作 圆 周 旋 转 , 每 旋 转 0.6 0 采 集 一 次 数 据 , 每 次 采 样 时 间 为 5s,
共 采 集 600 次 数 据 。 旋 转 中 心 为 (0,0,-4.5 mm)。
• C3 轨 道
圆 周 轨 道 , 点 源 作 圆 周 旋 转 , 每 旋 转 0.6 0 采 集 一 次 数 据 , 每 次 采 样 时 间 为 5s,
共 采 集 600 次 数 据 。 旋 转 中 心 为 (0,0,4.5 mm)。
实 验 中 得 到 的 是 七 个 针 孔 的 投 影 数 据 , 选 取 1 号 针 孔 的 投 影 数 据 作 为 刻 度 的
实 验 数 据 。 即 轨 道 C1+C2+C3 以 0.6 度 的 步 进 获 得 1800 个 投 影 数 据 , 通 过 选 择 其
中 部 分 数 据 分 别 得 到 不 同 采 样 数 目 N=150, 300, 360, 450, 600, 750, 900,1050, 1200,
35

1350, 1500, 1575, 1650, 1680, 1725, 1740, 1770,1800 下 的 投 影 数 据 。 对 于 每 个 采 样
数 目 , 将 其 数 据 分 为 20 份 分 别 进 行 几 何 刻 度 , 即 每 份 数 据 即 为 采 集 0.25s 时 的 数
据 , 总 共 重 复 380 次 刻 度 工 作 。 利 用 其 结 果 , 计 算 每 种 采 样 数 目 下 的 参 数 估 计 标
准 差 std Γ
, 从 而 利 用
Ai Ai σ
c
σi
= = σc
• (3-16)
N N
进 行 拟 合 , 计 算 质 心 方 差 值 σ , 考 虑 到 r 、θ 0 两 个 参 数 与 重 建 无 关 , 即
Γ=Γ { e , h, e , x , y , z , φ , ψ }
u v p,1 p,1 p,1
c
, 故 在 下 面 的 讨 论 中 不 带 r、θ 0 这 两 个 参
数 。
在 (3-16) 下 , 利 用 所 有 采 样 数 目 的 数 据 , 即 利 用 N=150, 300, 360, 450, 600, 750,
900,1050, 1200, 1350, 1500, 1575, 1650, 1680, 1725, 1740, 1770,1800 下 的 投 影 数
据 , 拟 合 函 数 为 式 (3-17), 可 以 得 出 系 统 的 质 心 方 差 值 σ , 结 果 列 于 表 3.12, 同
时 得 出 图 3.2, 其 中 曲 线 代 表 拟 合 曲 线 , 圆 圈 代 表 实 验 值 。 但 从 图 3.2 可 以 看 出
拟 合 得 并 不 是 很 好 , 有 些 点 偏 离 曲 线 较 大 。
c
σ
+
Γ j i c
c
= arg min
σc • −stdΓ
j , i
σ c
⎜
i
2
⎛ A , σ ⎞
∑ (3-17)
N ⎟
⎝
⎠
Γ
j
表 3.12 方 案 三 各 参 数 拟 合 质 心 方 差 值
e h
u
e φ
v
ψ
p,1
x y
p,1
z p ,1
σ
c, Γ
/ mm
i 0.673 0.579 0.431 0.510 0.507 0.671 0.604 0.431
36

10 1
10 0
e u h
参 数 标 准 差
10 -1
10 -2
e v
x p1
y p1
z p1
10 -3
phi
10 -4
10 2 采 样 数 目 10 3
图 3.2 方 案 三 参 数 的 标 准 差 与 采 样 数 目 的 拟 合 曲 线
psi
根 据 表 3.12 中 的 结 果 , 计 算 所 有 参 数 的 质 心 方 差 值 的 平 均 值 为 该 系 统 的 质 心
方 差 值 :
σ = 0.55 ± 0.10mm
(3-18)
c
从 图 3.2 可 以 看 出 , 拟 合 得 并 不 是 很 好 , 为 此 对 (3-16) 进 行 修 改 得 到 (3-19) 式 ,
可 以 看 出 当 采 样 数 目 较 小 时 ,(3-19) 式 约 等 于 (3-16) 式 。
A σ
σ = ⎛
⎜σ
• ⎞
⎟ +
⎝ N ⎠
2
( p )
i c
i c i
2
(3-18)
其 中 p
i
对 于 每 个 参 数 而 言 是 一 个 常 数 , 但 对 于 不 同 的 参 数 并 不 相 同 , 可 以 定
义 为 标 准 差 因 子 。 这 一 项 的 来 源 目 前 而 言 , 暂 时 不 能 确 定 , 只 能 猜 想 是 由 于 刻 度
实 验 中 所 使 用 的 点 源 具 有 一 定 的 半 径 , 并 不 是 理 想 的 点 源 , 可 能 将 导 致 几 何 投 影
模 型 中 点 源 的 投 影 的 位 置 将 引 起 一 定 的 涨 落 值 。 则 相 应 的 拟 合 公 式 为 (3-20):
σ
⎛
⎞
⎟
∑ (3-20)
⎜ N
⎝
⎠
⎟
⎝
⎠
2
⎛ AΓ
,
2
j i
σ
c ⎞
+
c
= arg min
⎜ σc • + ( pΓ
) −std
j
Γj,
i
σ c
⎜
⎜
⎟
i
2
37

拟 合 曲 线 见 图 3.4, 其 中 曲 线 代 表 拟 合 曲 线 , 圆 圈 代 表 实 验 值 。 各 参 数 拟 合 结 果
列 于 表 3.13。
Γ
j
σ
c, Γ
/
j
p
Γ j
mm
/ mm
表 3.13 方 案 三 各 参 数 拟 合 结 果
φ
e h
u
ev
ψ
p,1
x y
p,1
z p ,1
0.296 0.407 0.422 0.427 0.473 0.296 0.430 0.410
0.573 0.380 0.018 0.001 0.0001 0.063 0.043 0.003
10 0 e u
h
10 -1
e v
x p1
参 数 标 准 差
10 -2
10 -3
y p1
z p1
phi
psi
10 -4
10 2 10 3
采 样 数 目
图 3.3 方 案 三 参 数 的 标 准 差 与 采 样 数 目 的 拟 合 曲 线
从 图 3.3 中 可 以 看 出 拟 合 曲 线 与 实 验 数 据 点 符 合 得 较 好 。 则 从 表 3.13 结 果 可
以 得 出 平 均 质 心 方 差 值 为 :
σ = 0.40 ± 0.06mm
(3-21)
c
考 虑 到 采 样 时 间 仅 为 0.25s, 质 心 方 差 值 受 到 计 数 的 影 响 , 采 用 bootstrap 的
统 计 方 法 [8], 计 算 采 样 时 间 为 5s 时 的 标 准 差 因 子 与 质 心 方 差 值 , 结 果 列 于 表
3.14。
Bootstrap 的 统 计 方 法 , 可 以 用 于 在 当 样 本 容 量 较 少 时 , 为 了 减 小 样 本 容 量 少
所 带 来 的 统 计 影 响 , 通 过 采 用 随 机 的 方 法 构 建 一 个 大 容 量 的 样 本 , 从 而 减 小 所
求 变 量 的 方 差 值 。 在 本 实 验 中 , 实 验 数 据 可 以 认 为 是 由 0.25s 下 20 份 的 三 个 轨
道 的 中 心 针 孔 的 600 组 点 源 投 影 质 心 值 。 为 了 构 造 5s 下 的 同 样 20 份 的 三 个 轨 道
的 中 心 针 孔 的 600 组 点 源 投 影 质 心 值 , 先 将 0.25s 下 的 投 影 质 心 值 的 数 据 扩 展 成
38

20x20 份 的 三 个 轨 道 的 中 心 针 孔 的 600 组 ( 即 位 置 ) 点 源 投 影 质 心 值 , 对 于 每 一
个 轨 道 , 该 20x20 份 的 每 组 ( 即 每 个 位 置 ) 投 影 质 心 值 随 机 的 从 原 始 20 份 的 相
应 位 置 中 随 机 的 选 取 。 而 得 到 了 20x20 份 的 投 影 质 心 值 后 , 将 连 续 的 20 份 相 加
得 到 点 源 平 均 投 影 质 心 值 , 则 该 组 数 据 可 以 认 为 是 采 样 时 间 5s 下 的 投 影 质 心 值 ,
则 经 过 这 样 处 理 后 , 即 得 出 了 5s 下 的 20 份 的 三 个 轨 道 的 中 心 针 孔 的 600 组 点 源
投 影 质 心 值 , 则 可 以 利 用 这 些 投 影 质 心 值 进 行 刻 度 , 得 出 各 个 参 数 的 标 准 差 。
从 结 果 可 以 看 出 , 质 心 方 差 值 显 著 下 降 , 而 标 准 差 因 子 也 在 下 降 , 平 均 质 心
方 差 值 为 式 (3-22)。 拟 合 曲 线 见 图 3.4。
Γ
j
σ
c, Γ
/
j
p
Γ j
mm
/ mm
表 3.14 采 样 时 间 5s 时 方 案 三 各 参 数 拟 合 结 果
e h
u
e φ ψ
v
p,1
x y
p,1
z
p,1
0.098 0.093 0.083 0.133 0.077 0.097 0.078 0.090
0.052 0.045 0.010 4e-6 0.00006 0.006 0.006 0.0007
σ = 0.094 ± 0.018mm
(3-22)
c
10 0
10 -1
e u
h
e v
参 数 标 准 差
10 -2
10 -3
10 -4
x p1
y p1
z p1
psi
phi
10 -5
10 2 10 3
采 样 数 目
图 3.4 方 案 三 采 样 时 间 为 5s 时 参 数 的 标 准 差 与 采 样 数 目 的 拟 合 曲 线
39

3.4 不 同 扫 描 轨 道 绝 对 刻 度 精 度 估 计
利 用 (3-18) 式 可 以 计 算 不 同 扫 描 轨 道 下 的 估 计 参 数 集
Γ=Γ { eu, h, ev, xp,1 , yp,1 , zp,1
, φψ , } 的 刻 度 精 度 的 绝 对 值 。 其 中 Ai σ
c
可 以 通
过 对 系 统 进 行 SVD 分 析 得 出 。
实 验 中 , 通 过 对 中 心 针 孔 准 直 器 的 二 圆 周 轨 道 的 实 验 数 据 进 行 分 析 , 得 出 上
述 8 个 刻 度 参 数 的 的 实 验 标 准 差 与 其 理 论 值 的 比 较 , 如 图 3.5。 其 中 曲 线 代 表 理
论 值 , 圆 圈 代 表 实 验 值 。 理 论 值 由 式 (3-18)、(3-21) 及 表 3.13 中 标 准 差 因 子 的 数 值
给 出 。 实 验 值 为 采 样 时 间 0.25s 下 的 实 验 值 。
10 1
10 0
e u
h
参 数 标 准 差
10 -1
10 -2
x p1
e v
y p1
z p1
phi
10 -3
10 -4
psi
10 2 10 3
采 样 数 目
图 3.5 方 案 三 t=0.25s 时 参 数 的 实 验 标 准 差 与 理 论 曲 线
从 图 3.5, 可 以 看 出 , 基 本 上 八 个 参 数 符 合 的 程 度 较 好 。 基 本 可 以 认 为 对 于 这
样 的 一 个 多 针 孔 的 中 心 针 孔 的 参 数 及 探 测 器 的 参 数 , 可 以 使 用 式 (3-18) 与 表 3.12
中 的 参 数 值 。 由 此 关 系 , 可 以 建 立 一 种 评 估 几 何 刻 度 方 案 优 劣 的 标 准 , 即 达 到 给
定 的 估 计 参 数 标 准 差 时 , 每 种 方 案 需 要 的 最 小 采 样 数 目 。
显 然 , 这 个 最 小 采 样 数 目 越 小 , 就 代 表 这 种 几 何 刻 度 方 案 最 优 。 那 么 , 根 据
本 次 实 验 条 件 限 制 , 实 验 SPECT 的 精 度 要 求 , 经 验 的 给 出 各 个 几 何 参 量 的 标 准
差 上 限 , 在 采 样 时 间 在 5s 的 情 况 下 , 求 出 最 小 采 样 数 目 , 结 果 列 于 表 3.15。 其 中
参 数 标 准 差 上 限 为 对 于 长 度 量 σ Γ
≤ 0.1 mm, Γ = e , h,
e ,
σ Γ
≤0.01 mm, Γ = x , y , z 弧 度 量 σ ≤ 0.01 rad, Γ = Γ i
φψ , 。
i i p1 p1 p1
i
i i u v
40

方 案
号
表 3.15 各 方 案 最 小 采 样 数 目
e h
u
e φ ψ
v
x
p,1
y
p,1
z
p,1
一 1046 145 48 251

第 4 章 总 结
4.1 主 要 工 作 总 结
1. 对 实 验 七 针 孔 准 直 器 小 动 物 SPECT 系 统 进 行 了 几 何 投 影 建 模 。
2. 对 实 验 七 针 孔 准 直 器 小 动 物 SPECT 系 统 进 行 了 必 要 的 几 何 参 数 的 确 定 , 并 成
功 的 刻 度 出 了 重 建 需 要 的 精 度 的 参 数 值 。
3. 利 用 基 于 SVD 的 几 何 刻 度 精 度 评 价 方 法 , 对 多 个 扫 描 轨 道 进 行 了 评 价 , 得 到
了 与 Bequé 类 似 的 结 果 。
4. 利 用 基 于 SVD 的 几 何 刻 度 精 度 评 价 方 法 , 初 步 完 成 了 对 实 验 七 针 孔 准 直 器 小
动 物 SPECT 系 统 的 几 何 刻 度 方 案 比 较 , 得 到 三 圆 周 轨 道 方 案 是 较 佳 的 一 个 刻
度 方 案 。
5. 利 用 基 于 SVD 的 几 何 刻 度 精 度 评 价 方 法 , 采 用 bootstrap 统 计 方 法 , 在 实 验
样 本 少 的 情 况 下 , 对 实 验 数 据 进 行 了 参 数 标 准 差 的 估 计 , 同 时 利 用 中 心 针 孔
的 实 验 数 据 得 出 了 系 统 质 心 方 差 值 。
6. 对 实 验 SPECT 系 统 进 行 了 扫 描 轨 道 方 案 刻 度 精 度 的 预 测 。
4.2 后 续 工 作 展 望
1. 目 前 而 言 , 几 何 参 数 刻 度 一 次 所 需 时 间 较 长 , 其 中 大 部 分 时 间 主 要 在 读 取 数
据 中 , 可 以 考 虑 优 化 代 码 , 提 高 几 何 参 数 刻 度 速 度 。
2. 基 于 SVD 对 几 何 刻 度 精 度 的 分 析 中 , 标 准 差 因 子 的 引 入 暂 时 无 法 从 理 论 上 解
释 , 这 一 点 还 可 以 进 行 进 一 步 的 分 析 。
3. 在 对 几 何 精 度 分 析 中 , 可 以 考 虑 投 入 更 多 的 采 样 时 间 , 或 者 运 用 bootstrap 更
大 幅 度 的 增 加 统 计 数 , 提 高 精 度 分 析 中 的 精 度 。
43

插 图 索 引
图 1.1 针 孔 准 直 器 成 像 示 意 图 ........................................................................ 3
图 1.2 实 验 SPECT 系 统 框 架 图 ...................................................................... 5
图 1.3 准 直 器 的 设 计 示 意 图 ............................................................................ 5
图 1.4 七 针 孔 的 相 对 位 置 与 空 间 排 列 方 式 .................................................... 6
图 1.5 准 直 器 与 组 合 电 机 ................................................................................ 7
图 1.6 实 验 SPECT 系 统 流 程 图 ...................................................................... 8
图 2.1 针 孔 SPECT 系 统 结 构 实 物 图 .............................................................. 9
图 2.2 针 孔 SPECT 系 统 几 何 投 影 模 型 ........................................................ 10
图 2.3 针 孔 SPECT 系 统 探 测 器 模 型 .............................................................11
图 2.4 针 孔 SPECT 系 统 探 测 器 穿 透 效 应 计 算 模 型 .................................... 13
图 2.5 点 源 经 七 针 孔 准 直 器 在 探 测 器 上 的 投 影 .......................................... 16
图 2.6 图 像 矩 阵 列 向 像 素 值 .......................................................................... 17
图 2.7 各 轨 道 原 始 图 像 与 计 算 质 心 对 比 图 .................................................. 19
图 2.8 各 轨 道 拟 合 曲 线 与 实 验 数 据 对 比 ...................................................... 20
图 2.9 Gate MonteCarlo 模 拟 的 投 影 数 据 与 实 验 数 据 对 比 ........................ 23
图 2.10 单 个 点 源 SPECT 图 像 重 建 结 果 ........................................................ 25
图 2.11 两 个 点 源 SPECT 图 像 重 建 结 果 ........................................................ 25
图 2.12 热 源 柱 模 型 SPECT 图 像 重 建 结 果 .................................................... 26
图 3.1 方 案 三 估 计 参 数 的 标 准 差 与 采 样 数 目 关 系 ...................................... 34
图 3.2 方 案 三 参 数 的 标 准 差 与 采 样 数 目 的 拟 合 曲 线 .................................. 37
图 3.3 方 案 三 参 数 的 标 准 差 与 采 样 数 目 的 拟 合 曲 线 .................................. 38
图 3.4 方 案 三 采 样 时 间 为 5s 时 参 数 的 标 准 差 与 采 样 数 目 的 拟 合 曲 线 .... 39
图 3.5 方 案 三 t=0.25s 时 参 数 的 实 验 标 准 差 与 理 论 曲 线 ............................ 40
45

表 格 索 引
表 2.1 针 孔 SPECT 系 统 的 几 何 参 数 ............................ 10
表 2.2 针 孔 SPECT 系 统 需 要 刻 度 的 几 何 参 数 集 Γ ................ 12
表 2.3 刻 度 出 的 几 何 参 数 值 与 测 量 值 .......................... 21
表 2.4 不 同 轨 道 刻 度 出 的 几 何 参 数 值 .......................... 22
表 2.5 不 同 轨 道 与 全 轨 道 (C1+C2+C3+H) 相 对 偏 差 值 ............ 23
表 3.1 针 孔 SPECT 系 统 需 要 刻 度 的 几 何 参 数 集 Γ ................ 30
表 3.2 方 案 一 的 奇 异 值 ...................................... 30
表 3.3 方 案 一 零 奇 异 值 对 应 的 右 奇 异 向 量 ...................... 31
表 3.4 方 案 二 的 奇 异 值 ...................................... 31
表 3.5 方 案 三 的 奇 异 值 ...................................... 31
表 3.6 方 案 四 的 奇 异 值 ...................................... 32
表 3.7 方 案 一 估 计 参 数 的 标 准 差 与 采 样 数 目 关 系 ................ 32
表 3.8 方 案 二 估 计 参 数 的 标 准 差 与 采 样 数 目 关 系 ................ 32
表 3.9 方 案 三 估 计 参 数 的 标 准 差 与 采 样 数 目 关 系 ................ 33
表 3.10 方 案 四 估 计 参 数 的 标 准 差 与 采 样 数 目 关 系 ................ 33
表 3.11 各 方 案 最 小 二 乘 拟 合 系 数 .............................. 35
表 3.12 方 案 三 各 参 数 拟 合 质 心 方 差 值 .......................... 36
表 3.13 方 案 三 各 参 数 拟 合 结 果 ................................ 38
表 3.14 采 样 时 间 5s 时 方 案 三 各 参 数 拟 合 结 果 ................... 39
表 3.15 各 方 案 最 小 采 样 数 目 .................................. 41
47

参 考 文 献
[1] D.Bequé, J.Nuyts, G.Bormans, P.Suetens, and P. Dupont,“Characterization of pinhole SPECT
acquisition geometry,” IEEE Trans. Med. Imag.,vol. 22, no. 5, pp. 599–612, May 2003.
[2] S. D. Metzler, K. L. Greer, and R. J. Jaszczak, “Determination of mechanical and electronic
shifts for pinhole spect using a single point source,” IEEE Trans. Med. Imag., vol. 24, no. 3, pp.
361–370, Mar 2005.
[3] Tianyu Ma, Yinbin Miao, Rutao Yao, Tiantian Dai, and Xiao Deng,“Quantitative Accuracy
Assessment and Optimization of SPECT Geometrical Calibration, TSINGHUA SCIENCE AND
TECHNOLOGY ISSN 1007-0214 06/18,Volume 15, Number 2, Feb 2010.
[4] Tianyu Ma, Rutao Yao*, Yiping Shao, and Rong Zhou,“A SVD-Based Method to Assess the
Uniqueness and Accuracy of SPECT Geometrical Calibration,” IEEE Trans. Med. Imag., vol. 28,
no. 12, Dec 2009.
[5] 戴 甜 甜 , 刘 亚 强 , 夏 彦 , 王 石 , 魏 清 阳 , 金 永 杰 , 马 天 予 ,“ 高 分 辨 率 小 动 物 SPECT 成
像 系 统 的 设 计 与 性 能 评 估 ,” 原 子 能 科 学 技 术 , 已 接 收 。
[6] 张 贤 达 , 矩 阵 分 析 与 应 用 [M]。 北 京 : 清 华 大 学 出 版 社 ,2004:344-347.
[7] R. A. Gallant, “Testing a subset of the parameters of a nonlinear regression model,” J. Am.
Stat. Assoc., vol. 70, no. 352, pp. 927–932, 1975.
[8] Irène Buvat,“A non-parametric bootstrap approach for analysing the statistical properties of
SPECT and PET images,” PHYSICS IN MEDICINE AND BIOLOGY.47 (2002) 1761–1775.
删 除 的 内 容 : -
49

致
谢
作 者 的 毕 业 设 计 在 清 华 大 学 工 程 物 理 系 医 学 物 理 所 和 工 程 研 究 所 核 医 学 组 完
成 。 期 间 得 到 了 指 导 老 师 马 天 予 老 师 的 悉 心 指 导 和 帮 助 , 他 严 谨 的 治 学 态 度 和 渊
博 的 学 术 知 识 令 我 受 益 匪 浅 。 刘 亚 强 老 师 对 我 的 工 作 也 十 分 关 心 。 同 组 的 戴 甜 甜
师 姐 、 崔 均 健 同 学 给 予 我 很 多 工 作 上 的 启 示 , 同 时 也 为 我 提 供 了 不 少 的 实 验 数 据 。
实 验 室 的 其 他 高 年 级 学 生 也 给 我 提 出 了 很 多 好 的 建 议 和 帮 组 , 在 此 一 并 感 谢 。
51

声
明
本 人 郑 重 声 明 : 所 呈 交 的 学 位 论 文 , 是 本 人 在 导 师 指 导 下 , 独 立 进 行 研 究 工 作
所 取 得 的 成 果 。 尽 我 所 知 , 除 文 中 已 经 注 明 引 用 的 内 容 外 , 本 学 位 论 文 的 研 究
成 果 不 包 含 任 何 他 人 享 有 著 作 权 的 内 容 。 对 本 论 文 所 涉 及 的 研 究 工 作 做 出 贡 献
的 其 他 个 人 和 集 体 , 均 已 在 文 中 以 明 确 方 式 标 明 。
签 名 :_____________
日 期 :_____________
53

附 录 A 外 文 资 料 的 书 面 翻 译
针 孔 SPECT 系 统 几 何 学 上 的 采 集 特 征
摘 要 : 本 文 介 绍 了 一 种 对 具 有 圆 形 探 测 器 轨 道 的 针 孔 SPECT 成 像 系 统 的 光
学 采 集 的 评 价 方 法 。 这 些 信 息 是 重 建 断 层 图 像 所 必 需 的 。 成 像 采 用 三 个 点 源 ,
点 源 间 的 相 互 距 离 已 知 ; 而 刻 度 则 使 用 这 些 点 源 的 投 影 位 置 。 结 果 表 明 , 这 种
简 单 的 想 法 给 提 供 的 刻 度 方 法 提 供 了 必 需 且 足 够 的 信 息 。 点 源 之 间 的 相 互 距 离
证 明 是 不 可 缺 少 的 。 使 用 最 小 二 乘 法 拟 合 计 算 出 的 像 与 实 际 被 测 量 的 物 体 , 评
估 系 统 的 几 何 关 系 。 拟 合 的 最 优 解 , 是 被 一 些 已 知 的 先 验 信 息 所 约 束 。 然 而 有
些 几 何 参 数 是 高 度 相 关 的 。 仿 真 实 验 表 明 这 些 相 关 度 将 影 响 到 重 建 图 像 的 评 估
精 度 。 高 度 相 关 的 探 测 器 倾 角 与 电 子 位 移 是 精 确 图 像 重 建 的 关 键 参 数 。 实 际 测
量 也 证 明 了 算 法 的 可 行 性 。 实 际 选 用 刻 度 的 物 体 较 为 简 单 , 在 收 集 了 SPECT 数
据 后 立 刻 再 执 行 一 次 单 独 的 SPECT 扫 描 。 这 个 方 法 同 样 适 用 于 锥 形 束 SPECT 与
X 射 线 CT。
关 键 词 : 几 何 采 集 , 几 何 刻 度 , 针 孔 ,SPECT
1. 引 言
考 虑 到 针 孔 的 会 聚 几 何 关 系 , 针 孔 成 像 对 焦 点 附 近 的 物 体 能 提 供 高 分 辨 率
图 像 。 针 孔 成 像 的 放 大 率 使 得 投 影 与 重 建 图 像 的 空 间 分 辨 率 能 够 低 于 γ 成 像 的 固
有 分 辨 率 。 与 并 行 孔 成 像 相 比 , 这 种 优 越 的 分 辨 率 是 以 严 重 的 降 低 视 野 为 代 价
的 。 这 种 对 视 野 的 限 制 限 制 了 针 孔 SPECT 的 临 床 使 用 , 主 要 是 对 人 体 的 小 部 位
成 像 。 尽 管 如 此 , 一 些 潜 在 的 临 床 应 用 , 比 如 甲 状 腺 扫 描 , 已 经 在 文 献 [1]-[5]
中 报 导 了 。 进 一 步 来 讲 , 小 视 野 对 小 的 实 验 动 物 成 像 如 小 鼠 和 大 鼠 并 没 有 影 响 。
而 这 些 小 动 物 成 像 需 要 一 个 高 的 分 辨 率 。 因 此 , 对 于 小 动 物 的 研 究 , 针 孔 SPECT
成 像 提 供 了 相 似 的 成 像 技 术 。 这 些 研 究 有 利 于 研 究 人 体 疾 病 或 是 新 的 放 射 性 药
物 在 动 物 体 内 的 作 用 。 最 近 几 年 , 已 有 文 献 报 导 使 用 针 孔 SPECT 成 像 达 到 了 亚
毫 米 的 空 间 分 辨 率 。
为 了 避 免 伪 影 及 信 息 丢 失 , 利 用 针 孔 相 机 得 到 数 据 后 的 重 建 要 求 对 于 相 机
几 何 关 系 的 具 体 描 述 。 针 对 绕 着 旋 转 轴 作 圆 轨 道 旋 转 的 探 测 器 成 像 ,7 个 参 数 是
必 须 且 足 够 的 , 为 了 描 绘 这 种 相 机 的 几 何 关 系 。 焦 距 f、 电 子 偏 移 e u 、e v 构 成 了
固 有 的 针 孔 参 数 。 这 两 个 参 数 与 探 测 器 的 位 置 无 关 。 焦 距 是 指 焦 点 与 探 测 器 的
距 离 , 而 电 子 偏 移 是 指 由 于 探 测 器 硬 件 的 漂 移 引 起 的 投 影 图 像 收 集 时 的 平 移 。
没 有 考 虑 投 影 图 像 的 变 形 。 外 部 参 数 d,m,Φ,Ψ 与 探 测 器 相 对 旋 转 轴 的 位 置
55

有 关 。 它 们 使 用 中 心 光 线 束 描 述 很 方 便 : 正 交 于 探 测 器 的 针 孔 投 影 光 线 。 机 械
偏 移 d 是 中 心 光 线 偏 离 旋 转 轴 的 距 离 。 距 离 m 是 指 不 考 虑 机 械 偏 移 焦 点 与 旋 转 轴
沿 着 中 心 光 线 的 距 离 。 它 决 定 了 探 测 器 圆 轨 道 的 半 径 。 倾 角 Φ 是 指 探 测 器 与 旋
转 轴 的 夹 角 , 也 等 价 于 中 心 光 线 与 旋 转 轴 的 夹 角 。 最 后 , 扭 角 Ψ 是 指 探 测 器 像
素 网 格 的 方 向 , 绕 着 平 行 于 中 心 光 线 的 轴 旋 转 的 方 向 。 而 这 些 所 有 的 参 数 都 假
设 为 常 数 在 这 个 针 孔 采 集 过 程 中 。 图 A-1 详 细 说 明 了 上 述 这 些 参 数 。
图 A-1 相 机 成 像 几 何 及 参 数 描 述
外 部 参 数 与 探 测 器 的 位 置 相 关 , 并 且 电 子 偏 移 最 终 可 能 会 发 生 变 化 。 同 样 ,
再 次 安 装 准 直 器 也 将 引 起 机 械 偏 移 的 改 变 。 考 虑 到 这 些 几 何 上 的 改 变 将 要 求 对
针 孔 照 相 机 经 常 进 行 刻 度 , 所 以 我 们 旨 在 获 得 一 种 简 单 的 刻 度 方 法 可 以 确 定 单
次 刻 度 过 程 中 的 所 有 七 个 几 何 参 数 。 基 本 想 法 是 在 每 次 ( 系 列 ) 的 采 集 后 , 立
刻 使 用 采 集 后 的 成 像 系 统 进 行 一 次 刻 度 。 仅 仅 在 将 视 野 内 的 物 体 换 成 刻 度 使 用
物 体 后 进 行 第 二 次 ( 可 能 更 短 ) 采 集 。 模 型 必 须 是 简 单 且 容 易 在 成 像 系 统 中 定
位 的 。 此 外 , 这 种 模 型 设 计 的 简 单 性 应 该 能 够 使 得 其 同 意 适 用 于 锥 形 束 SPECT、
X-ray CT, 它 们 将 碰 到 同 样 的 问 题 。
56

已 经 有 些 方 法 可 以 用 来 计 算 或 者 估 计 针 孔 成 像 、 锥 形 束 成 像 、X- 射 线 CT 的
几 何 关 系 。 首 先 ,Gullberg 提 出 一 种 非 常 简 单 的 方 法 , 利 用 最 小 二 乘 法 对 计 算 出
的 点 源 的 成 像 与 测 量 的 位 置 进 行 拟 合 。 这 种 方 法 是 基 于 一 种 理 想 的 几 何 关 系 ,
没 有 考 虑 电 子 偏 移 。 这 个 方 法 后 来 被 扩 展 到 包 括 机 械 偏 移 , 用 来 散 光 准 直 器 的
校 准 。 这 个 方 法 有 一 个 优 势 , 就 是 使 用 非 常 简 单 的 模 型 , 适 用 于 SPECT、CT。
然 而 , 一 些 刻 度 参 数 证 明 是 高 度 相 关 , 最 优 化 过 程 的 局 部 最 优 解 预 计 是 存 在 的 。
这 降 低 了 参 数 估 计 的 精 度 , 同 时 使 得 最 优 解 与 拟 合 程 序 的 初 始 值 相 关 。 为 了 避
免 这 种 情 况 ,Li 和 Wang 利 用 先 验 知 识 将 最 优 解 限 制 在 最 优 化 问 题 的 全 局 最 优 附
近 的 区 域 里 。
Rizo 采 用 了 一 种 不 同 的 方 法 , 通 过 进 行 一 序 列 的 测 量 避 免 参 数 在 同 步 估 计 中
的 相 关 性 。 几 何 参 数 分 成 了 内 在 参 数 与 外 部 参 数 两 类 。 这 内 在 参 数 通 过 精 确 布
置 相 对 于 探 测 器 的 网 格 点 源 进 行 测 量 。 为 了 适 合 锥 形 束 准 直 器 , 刻 度 用 物 体 需
要 特 别 设 计 。 而 外 在 参 数 是 通 过 使 用 单 点 源 断 层 成 像 投 影 数 据 进 行 非 线 性 拟 合
估 计 的 。 这 种 方 法 估 计 了 所 有 7 个 集 合 参 数 同 时 可 以 测 量 探 测 器 像 素 点 的 尺 寸 。
Kyriakopoulos 采 用 了 对 内 在 参 数 与 外 在 参 数 分 别 测 量 的 方 法 。 内 在 参 数 测 量 方
法 与 Rizo 相 似 。 外 部 参 数 是 通 过 使 用 有 规 律 的 网 格 点 源 的 投 影 进 行 非 线 性 拟 合
估 计 得 出 。 每 个 投 影 角 度 都 进 行 一 次 刻 度 , 所 以 探 测 器 旋 转 不 必 局 限 于 一 个 圆
轨 道 上 。 然 而 这 些 投 影 角 度 是 有 限 制 的 。
后 来 ,Bronnikov 和 Noo 等 , 使 用 代 数 方 法 避 免 了 上 述 方 法 的 复 杂 非 线 性 估
计 问 题 。Broonikov 对 相 机 几 何 作 了 较 强 的 假 设 , 计 算 它 仅 需 要 2 个 180 度 的 相 对
投 影 。Noo 等 则 在 不 考 虑 探 测 器 扭 角 的 情 况 下 , 使 用 两 相 互 距 离 已 知 的 点 源 的
断 层 成 像 投 影 数 据 计 算 了 整 个 相 机 几 何 。 在 数 据 采 集 过 程 中 , 点 源 的 投 影 在 图
像 中 呈 现 出 椭 圆 形 形 状 , 参 数 就 是 根 据 这 些 椭 圆 的 数 学 描 述 计 算 得 出 。
考 虑 到 参 数 的 相 关 性 , 为 了 整 个 针 孔 几 何 的 刻 度 精 度 , 复 和 的 独 立 于 系 统
的 刻 度 模 型 或 者 多 次 刻 度 测 量 看 起 来 是 必 需 的 。 对 于 参 数 估 计 , 即 使 很 小 的 误
差 也 能 在 重 建 图 像 上 引 起 可 以 看 得 出 的 严 重 影 响 。 然 而 , 问 题 是 是 否 这 个 仍 适
用 于 有 关 联 的 误 差 。 我 们 提 出 了 一 种 新 的 刻 度 方 法 评 估 所 有 的 7 个 参 数 , 该 方 法
需 要 一 次 刻 度 测 量 使 用 非 线 性 拟 合 。 该 方 法 使 用 三 个 点 源 , 点 源 间 的 相 互 距 离
已 知 , 以 它 们 的 断 层 投 影 数 据 为 基 础 。 同 时 这 种 方 法 也 结 合 了 一 些 先 验 知 识 ,
主 要 是 为 了 避 免 最 优 化 函 数 的 局 部 最 小 。 这 种 方 法 的 性 能 不 是 以 参 数 估 计 的 精
度 作 为 评 价 , 而 是 为 了 图 像 重 建 精 度 。 这 种 方 法 可 以 忽 略 相 关 性 误 差 , 因 为 这
种 误 差 并 不 会 明 显 的 影 响 重 建 图 像 。
第 二 章 给 出 了 我 们 所 提 出 刻 度 方 法 的 理 论 结 构 。 第 二 章 A 和 B 部 分 描 绘 了 针
孔 相 机 的 几 何 关 系 和 单 点 源 下 的 投 影 方 程 。C 部 分 给 出 了 针 孔 几 何 根 据 点 源 投
57

影 的 评 估 。 它 决 定 了 所 需 点 源 的 数 目 和 点 源 在 视 野 内 的 位 置 关 系 。D 部 分 最 后
说 明 了 拟 合 程 序 怎 么 用 于 刻 度 相 机 和 怎 样 结 合 先 验 知 识 。 第 三 章 展 示 了 一 些 已
经 做 过 的 仿 真 和 实 验 用 了 评 估 这 种 方 法 的 性 能 。 开 始 , 在 第 三 章 A 部 分 中 研 究
了 必 需 点 源 的 数 目 。 进 一 步 , 在 B 部 分 中 , 确 定 了 用 来 评 估 的 相 机 几 何 的 精 度 。
在 C 部 分 中 , 评 估 了 估 计 误 差 对 于 重 建 精 度 的 影 响 。 最 后 ,D 部 分 评 估 了 这 种 方
法 在 实 际 刻 度 测 量 中 的 性 能 。 上 述 实 验 的 结 果 在 第 四 章 给 出 , 在 第 五 章 中 给 予
了 讨 论 。
Ⅱ 理 论
A. 相 机 - 成 像 几 何
考 虑 一 种 针 孔 系 统 , 由 扁 平 的 探 测 器 和 带 有 一 个 无 限 小 孔 的 针 孔 准 直 器 。 在
采 集 过 程 中 , 探 测 器 在 圆 轨 道 上 旋 转 。 三 维 空 间 坐 标 A(x,y,z) 通 过 针 孔 聚 焦 投
影 到 探 测 器 上 。 坐 标 是 定 义 在 右 手 直 角 坐 标 系 -xyz 中 , 其 中 z 轴 沿 旋 转 轴 方 向 。
对 于 探 测 器 在 圆 轨 道 θ 处 的 投 影 位 置 P θ(u,v), 是 定 义 在 uv- 直 角 坐 标 系 中 。 坐
标 轴 是 固 定 在 探 测 器 上 , 沿 着 已 知 探 测 器 单 元 网 格 的 方 向 。uv 坐 标 系 的 原 点 是
xyz 系 统 中 原 点 在 探 测 器 上 的 投 影 , 如 图 1 说 明 。 旋 转 角 θ 是 探 测 器 平 面 与 x 轴 的
夹 角 , 在 xy 平 面 上 测 量 .
在 每 个 探 测 器 θ 位 置 处 , 事 件 分 布 的 相 对 方 向 与 探 测 器 不 同 。 通 过 对 角 度 θ
的 校 准 , 在 一 个 新 的 x′′′ yz 坐 标 系 中 能 表 示 成 相 同 的 分 布 , 这 个 坐 标 系 保 持 x′ 轴
平 行 探 测 器 表 面 , 随 着 uv- 直 角 坐 标 系 绕 z′ 轴 旋 转 。 注 意 到 角 度 θ 是 指 探 测 器 和
图 像 A(x,y,z) 的 关 于 自 身 的 相 对 方 向 。 它 们 的 绝 对 位 置 对 于 重 建 并 不 重 要 , 所
有 没 有 确 定 它 们 的 绝 对 位 置 。
⎡x′
⎤ ⎡ cosθ
sinθ
0⎤⎡x⎤
⎢
y′ ⎥ ⎢
sinθ
cosθ
0
⎥⎢
y
⎥
⎢ ⎥
=
⎢
−
⎥⎢ ⎥
⎢⎣z′
⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 1⎥⎢ ⎦⎣z⎥⎦
(A-1)
Uv 系 统 ( 探 测 器 ) 的 方 位 能 够 用 两 个 额 外 的 角 度 定 义 , 即 倾 角 φ 和 扭 角 ψ 。
倾 角 φ 代 表 探 测 器 与 旋 转 轴 的 角 度 。 相 机 可 能 被 故 意 倾 斜 使 得 焦 点 靠 近 靶 器 官 ,
有 时 也 可 能 允 许 相 机 接 近 身 体 的 其 它 部 位 。 倾 角 能 够 被 考 虑 通 过 旋 转 x′ yz ′′ 坐 标
系 φ 角 活 得 x′′ yz ′′ ′′ 坐 标 。 这 个 旋 转 是 关 于 x′ 轴 的 , x′′ 轴 和 z′′ 轴 平 行 于 探 测 器 表
面 。
⎡x′′ ⎤ ⎡1 0 0 ⎤⎡x′
⎤
⎢
y′′ ⎥ ⎢
0 cosφ
sinφ
⎥⎢
y′
⎥
⎢ ⎥
=
⎢
−
⎥⎢ ⎥
⎢⎣z′′ ⎥⎦ ⎢⎣0 sinφ
cosφ
⎥⎢ ⎦⎣z′
⎥⎦
(A-2)
58

扭 角 ψ 指 u 轴 与 垂 直 于 旋 转 轴 的 探 测 器 表 面 方 向 的 夹 角 。 它 是 探 测 器 表 面 像
素 的 方 向 角 。 由 于 x′′ 轴 始 终 平 行 于 探 测 器 表 面 且 垂 直 于 旋 转 轴 , 扭 角 ψ 也 是 u
轴 与 x′′ 轴 的 夹 角 。 旋 转 x′′ yz ′′ ′′ 坐 标 一 个 扭 角 ψ 得 到 x′′′ y′′′ z′′′ 坐 标 系 统 , 而 x′′′ 轴 、
z′′′ 轴 平 行 于 u 轴 、v 轴 。
⎡x′′′ ⎤ ⎡cosψ
0 −sinψ⎤⎡x′′
⎤
⎢
y′′′ ⎥ ⎢
0 1 0
⎥⎢
y′′
⎥
⎢ ⎥
=
⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢⎣ z′′′ ⎥⎦ ⎢⎣sinψ
0 cosψ
⎥⎢ ⎦⎣z′′
⎥⎦
(A-3)
图 2 总 结 了 xyz 坐 标 系 统 旋 转 到 uv 系 统 , 几 何 表 明 ψ = 0 。
做 完 上 述 旋 转 后 , 相 机 - 成 像 几 何 进 一 步 能 被 f、d、m 描 绘 , 正 如 在 图 1 中 给 出
的 。 距 离 f、d 沿 着 中 心 束 测 量 , 分 布 是 焦 距 和 焦 点 与 平 行 于 探 测 器 的 平 面 的 通
过 xyz 原 点 的 距 离 。 机 械 偏 移 m 是 中 心 束 与 旋 转 轴 的 距 离 。 根 据 定 义 , 这 个 距
离 是 在 垂 直 于 旋 转 轴 平 行 于 探 测 器 表 面 像 x′ 轴 ( x′′ 轴 ) 的 方 向 上 测 量 得 出 。 因
此 , 它 与 u 轴 有 角 度 ψ 并 且 长 度 可 以 分 解 成 uv 两 部 分 ( m , m ),
u
v
m
m
u
v
= mcosψ
= msinψ
(A-4)
xyz 系 统 的 原 点 被 选 定 以 至 于 沿 着 z 轴 中 心 速 与 x′ 轴 ( x′′ 轴 ) 相 交 。 从 而 , 机 械
偏 移 m 能 够 作 为 xyz 原 点 与 中 心 束 距 离 测 量 。 由 于 uv 系 统 的 原 点 是 定 义 为 xyz 原 点
的 正 交 投 影 , 所 以 偏 移 m 能 够 等 价 作 为 uv 系 统 原 点 与 中 心 束 的 距 离 测 量 得 出 。 这
里 ,xyz 原 点 是 相 对 于 焦 点 和 探 测 器 位 置 而 定 义 的 , 而 不 是 定 义 它 们 的 空 间 绝 对
位 置 。 再 次 声 明 , 这 个 绝 对 值 对 图 像 重 建 病 不 重 要 。
B. 点 源 投 影 方 程
使 用 上 述 的 参 数 和 坐 标 系 统 , 点 源 (x,y,z) 的 针 孔 投 影 位 置 能 够 被 计 算 得 出 。
投 影 位 置 定 义 为 ( uθ , vθ ) 在 uv 坐 标 系 统 内 。 由 三 角 形 全 等 , 如 图 3 的 说 明 , 能 够
得 出 下 列 方 程 :
x′′′ −mu
mu
−u
=
d + y′′′
f
θ
(A-5)
z′′′ −mv
mv
−v
=
d + y′′′
f
θ
(A-6)
重 写 这 些 式 子 , 同 时 将 (A-4) 式 代 入 得 出 :
59

mcosψ
− x′′′
uθ
= f + mcosψ
d + y′′′
msinψ
− z′′′
vθ
= f + msinψ
d + y′′′
(A-7)
(A-8)
投 影 ( uθ , vθ ) 是 定 义 在 uv 坐 标 系 统 , 但 是 uv 原 点 的 投 影 位 置 在 投 影 图 像 中 是
未 知 的 , 并 且 将 被 电 子 偏 移 影 响 。 电 子 偏 移 将 引 起 一 个 收 集 时 的 平 移 , 将 所 有
img img
的 探 测 器 位 置 ( uθ , vθ ) 平 移 到 投 影 图 像 位 置 ( u , v ), 在 图 A-1 中 给 出 了 说 明 。
但 是 ,uv 原 点 的 投 影 位 置 能 够 使 用 坐 标 ( e , e ) 表 示 , 相 对 于 在 投 影 图 像 中 一 些
已 知 的 点 , 比 如 图 像 中 心 。 使 用 这 些 坐 标 , 修 正 后 的 点 源 坐 标 为 :
u
θ
v
θ
img mcos ψ − x′′′
( θφψ , , )
u = f + mcosψ
+ e
θ
d + y′′′
( θφψ , , )
img msin ψ − z′′′
( θφψ , , )
v = f + msinψ
+ e
θ
d + y′′′
( θφψ , , )
u
v
(A-9)
(A-10)
C. 投 影 信 息
方 程 (A-9) (A-10) 用 旋 转 角 度 θ 、 点 源 坐 标 (x,y,z) 、 几 何 参 数
img img
f, d, m, e , e , φ,
ψ 的 函 数 表 示 了 点 源 投 影 ( u , v )。 而 研 究 中 的 刻 度 过 程 则 是
u
v
从 一 系 列 点 源 的 测 量 反 向 求 解 确 定 参 数 f, d, m, e , e , φ,
ψ 值 。 同 样 点 源 的 位 置 也
是 未 知 的 。 除 此 之 外 , 刻 度 模 型 将 不 得 不 小 心 仔 细 的 放 置 在 相 机 或 额 外 的 测 量
仪 器 中 以 确 定 这 些 位 置 是 必 需 的 。 然 而 , 设 想 一 个 刚 性 的 刻 度 模 型 , 则 不 同 点
源 之 间 的 距 离 是 固 定 且 已 知 的 。
这 部 分 调 查 了 点 源 的 投 影 提 供 了 相 机 几 何 的 多 少 信 息 。 那 决 定 了 刻 度 问 题 拥
有 唯 一 解 的 点 源 的 最 少 数 目 以 及 视 野 内 点 源 位 置 的 限 制 。 对 于 增 加 的 电 源 数 目 I
通 过 预 先 将 方 程 (A-8) 分 为 表 达 成 两 个 不 同 的 参 数 和 坐 标 集 可 以 实 现 。
θ
θ
u
f , dme , , , e, φ, ψ , x, y, z i= 1,2, ⋅⋅⋅ , I
(A-11)
u v i i i
&& f , dme && , &&,&& , e&& ,&& φψ , &&,&& x, && y, && z i= 1,2, ⋅⋅⋅,
I
(A-12)
u v i i i
v
产 生 的 设 置 解 集 是 求 解 第 一 套 的 参 数 与 坐 标 用 第 二 套 参 数 的 函 数 。 如 果 这
两 套 参 数 与 坐 标 完 全 相 同 , 刻 度 问 题 认 为 只 有 唯 一 解 。 这 意 味 着 没 有 错 误 的 参
img img
数 、 点 源 设 置 导 致 与 正 确 的 参 数 集 有 相 同 的 投 影 位 置 ( u , v )。
开 始 之 前 , 将 直 角 坐 标 系 xiyz i i转 换 成 柱 坐 标 系 是 方 便 的 。
θ
θ
60

= x + y
2 2
i i i
yi
αi
= arctan( )
x
z
i
= z
i
i
(A-10)
使 用 这 样 的 坐 标 , 方 程 (A-9)(A-10) 用 不 同 的 参 数 坐 标 表 示 的 右 边 是 认 为 等
价 的 。 结 果 关 系 必 须 对 每 一 个 投 影 角 度 θ 都 满 足 要 求 。 设 想 , 一 个 足 够 大 数 目
的 投 影 角 度 , 可 以 认 为 满 足 这 些 关 系 对 于 任 意 投 影 角 度 θ 。 对 于 旋 转 轴 下 的 点
源 , 附 录 证 明 会 有 下 面 的 一 系 列 方 程 :
&& ψ = ψ
(A-16)
&& cos && φ
f = f
cosφ
(A-17)
&& αi = αi i = 1, 2, ⋅⋅⋅,
I
(A-18)
&& zi
zi
d
= a + b i = 1, 2, ⋅⋅⋅,
I
&& r r r
i i i
d&&
i
zi
d
= b + a i = 1, 2, ⋅⋅⋅,
I
&& r r r
i i i
m&&
m
= i = 1, 2, ⋅⋅⋅,
I
&& r r
i
i
(A-19)
(A-20)
(A-21)
sinψ
m&& − m cos ψ + ( e&& u
− eu) = f (sinφ − sin && φ)
(A-22)
cosφ
( )
cosψ
m&& − m sin ψ + ( e&& v
− ev) = f (sinφ − sin && φ)
(A-23)
cosφ
( )
1−
sinφ
sin && φ
a =
cosφ
cos && φ
sin && φ − sinφ
b =
cosφ
cos && φ
(A-24)
(A-25)
首 先 , 考 虑 式 (A-20), 由 于 d&& > 0, && r i
> 0 , 同 样 它 的 右 边 也 必 须 是 严 格 的 正 。
由 于 φ ∈− [ π /2, π /2], 很 容 易 证 明 这 是 对 的 , 对 于 zi
61
< d, 正 常 情 况 下 将 被 满

足 因 为 针 孔 相 机 的 视 野 的 限 制 。 进 一 步 , 对 于
zi
> d , 能 够 证 明 && φ 有 一 个 范 围
能 够 使 得 上 述 说 法 满 足 。 这 个 范 围 极 大 的 缩 小 了 zi
, φ , 但 是 是 几 乎 等 于
[ − π /2, π /2] 对 于 任 何 实 际 的 zi
, φ 值 。 因 此 , 我 们 在 下 面 的 计 算 中 忽 略 这 种 限
制 。
如 果 I=1,(A-16)-(A-23) 式 表 明 不 同 的 参 数 集 能 够 描 绘 相 同 的 单 点 源 断 层
投 影 。 由 (16) 和 (18) 得 出 参 数 ψ , α 必 须 是 相 同 的 。 但 是 ,(A-17) 和 (A-19)
-(A-21), 能 够 让 我 们 计 算 && f , dm && , && , z&& 的 值 , 作 为 任 意 值 && φ r&& 和 真 正 的 几 何 参 数
的 函 数 。 方 程 (A-22)(A-23) 最 终 分 布 决 定 了 e&& u,
&& ev的 值 。
现 在 考 虑 两 个 位 置 分 布 为 r1α 1z1和 r2α 2z2的 点 通 过 一 个 针 孔 相 机 源 的 投 影 ,
z1 ≠ z2。 方 程 (A-16)-(A-23) 依 然 成 立 , 但 是 现 在 I=2。 如 果 m≠
0, m&&
≠ 0 , 容 易
证 明 这 些 关 系 成 立 的 条 件 仅 为 :
&& φ = φ = = = = =
&& z && z && r && r d&&
m&&
1 2 1 2
, z z r r d m
1 2 1 2
(A-26)
上 面 的 关 系 仅 仅 容 许 点 源 柱 坐 标 系 中 坐 标 一 个 比 例 的 变 化 。 两 个 点 源 的 距
离 同 样 只 有 比 例 变 化 。 然 而 , 两 个 点 源 间 距 离 的 已 知 可 以 用 来 约 束 正 确 距 离 的
解 , 而 放 弃 毫 无 意 义 的 解 。 因 此 , 如 果 机 械 偏 移 m 不 为 0, 两 个 点 源 提 供 了 足 够
的 信 息 量 对 于 整 个 针 孔 相 机 的 刻 度 。 然 而 , 对 于 一 个 正 常 的 针 孔 相 机 , 机 械 偏
移 可 以 认 为 很 小 并 且 这 么 一 个 正 常 想 相 机 有 可 能 存 在 这 个 特 殊 情 况 m=0。 在 那 种
情 况 ,(A-16)-(A-23) 能 够 成 立 对 于 任 意 && φ 和 任 意 数 目 I 的 点 源 。
正 如 之 前 提 到 的 , 不 同 点 源 间 的 距 离 增 加 了 额 外 的 关 系 , 能 够 用 来 约 束 解 。
对 于 两 个 不 同 的 点 源 i 和 k, 距 离 的 确 定 导 致 了 下 面 的 关 系 :
( )
(&&
&& )
2 2 2
i
−
k
+
i
+
k
−
i k
αi −αk
z z r r 2rr
cos( )
2 2 2
&& && &&&& &&
i k i k i k
α &&
i
αk
= z − z + r + r −2rr
cos( − )
(A-27)
参 数 && zi, && zk, && ri ,&&
rk
能 够 用 (A-19)(A-20) 写 成 d && 的 函 数 。 用 (A-27) 代 入 它 们 , 求
解 d && 得 出 页 底 展 示 的 (A-28)(A-29),a,b 是 定 义 在 (A-24)(A-25) 中 。 容 易 证 明 d &&
有 一 个 实 数 解 对 于 任 意 && φ 值 。 因 此 , 如 果 m=0, 可 能 将 刻 度 处 一 个 错 误 的 参 数 集
描 绘 两 个 点 源 的 断 层 投 影 数 据 , 即 使 点 源 之 间 的 距 离 修 正 到 了 正 确 值 。
( )
( )
2 2 2
zi − zk + ri + rk −2rr
i k
cos( αi −αk)
2 2 2 2 2 2
i
−
k
+
i k
+
k i
−
i k i
αi −αk
d && = gigk
z z d r g r g 2rr g g cos( )
(A-28)
g = bz + ad
(A-29)
i
i
62

最 后 , 考 虑 三 点 源 的 情 况 。 点 源 之 间 的 距 离 将 导 致 三 个 不 同 的 方 程 ( 如
(A-28)) 计 算 d && 值 。 当 然 , 仅 仅 这 些 通 过 三 个 方 程 产 生 了 相 同 d && 的 解 是 可 以 接
受 的 。 方 程 (A-28) 表 明 这 依 据 d 以 及 点 源 位 置 rα z , i = 1,2,3, 容 易 证 明 如 果
i i i
z1 = z2 = z3
(A-30)
那 么 可 以 找 到 一 个 d && 值 。
图 A-2 不 好 的 点 源 配 置 下 的 参 数 与 角 度 的 关 系
图 A-3 好 的 点 源 配 置 下 的 参 数 与 角 度 的 关 系
所 以 三 个 位 于 相 同 z 坐 标 上 的 点 源 形 成 了 一 个 不 恰 当 的 模 型 刻 度 针 孔 相 机 。
设 想 三 个 不 同 的 z 位 置 , 并 不 清 楚 是 否 存 在 点 源 配 置 使 得 对 任 意 && φ 有 一 个 一 般 值
d && 。 然 后 , 有 确 定 的 点 源 配 置 将 产 生 几 乎 一 样 的 d && 值 对 于 一 定 范 围 内 的 && φ 。 从
刻 度 的 角 度 上 看 , 这 样 的 几 何 关 系 并 不 是 我 们 想 要 的 。 这 能 够 被 检 查 在 刻 度 前 ,
通 过 画 方 程 (A-28) 右 边 在 && φ 的 函 数 里 , 对 于 不 同 的 点 源 组 合 ik。 当 && φ = φ , 不 同
的 曲 线 交 叉 或 接 触 点 在 相 同 的 点 。 要 使 得 一 种 点 源 配 置 方 案 满 足 刻 度 , 至 少 有
两 条 曲 线 相 交 在 一 个 足 够 大 的 角 度 上 。 图 A-2 图 A-3 给 出 了 两 个 这 样 的 曲 线 例 子 。
图 A-2 的 点 源 配 置 导 致 了 参 数 φ e 的 大 的 误 差 , 而 图 5 则 结 果 较 好 。
v
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D. 参 数 仿 真
为 了 估 计 针 孔 相 机 的 几 何 , 我 们 选 了 一 种 可 行 的 点 源 配 置 方 案 , 上 面 层 给 出 。
理 论 上 , 这 需 要 点 源 位 置 , 距 离 d 和 倾 角 φ 的 已 知 。 但 是 , 我 们 假 设 , 这 些 参 数
值 有 限 精 度 的 估 计 提 供 了 足 够 的 信 息 量 对 于 这 个 目 标 。 产 生 的 配 置 方 案 作 为 刻
度 模 型 , 从 中 获 得 了 一 个 断 层 投 影 数 据 关 于 J 个 投 影 角 θ
j
( j = 1,2, ⋅⋅⋅ , J )。 由 于
(A-9)(A-10) 提 供 了 非 常 好 的 近 似 对 于 物 理 点 源 的 质 心 与 它 的 针 孔 投 影 的 关 系 ,
img img
点 i 的 投 影 质 心 在 角 度 j 处 的 一 套 投 影 数 据 ( uij
, v
ij
) 获 得 了 。 这 些 数 据 拟 合 到 理
est est
想 的 基 于 点 源 位 置 几 何 参 数 的 估 计 的 计 算 数 据 ( uij
, v
ij
)。 用 最 小 二 乘 法 罚 函 数
法 进 行 拟 合 。 罚 函 数 是 估 计 的 与 测 量 的 点 源 投 影 位 置 的 差 的 平 方 和 。 越 好 的 估
计 , 距 离 越 小 , 甚 至 对 于 完 美 的 拟 合 F=0。
img est img est
( ij ij ) ( ij ij )
⎡
2 2
⎤
∑∑ ⎢
⎥
(A-31)
i j
⎣
⎦
F = u − u + v −v
F 的 最 小 化 是 用 Powell 方 法 解 决 。 这 是 一 个 多 元 最 优 化 问 题 的 解 决 方 向 。N
变 量 函 数 的 最 小 化 是 通 过 重 复 N 次 成 功 的 一 维 线 性 沿 变 化 方 向 的 最 小 化 得 出 的 。
刻 度 模 型 的 选 择 使 得 我 们 确 信 只 有 正 确 的 针 孔 点 源 几 何 能 够 被 找 到 作 为 一
个 合 适 的 解 使 得 F 最 小 。 因 此 点 源 间 的 正 确 的 距 离 是 必 须 在 解 上 有 所 体 现 的 。 这
可 以 实 现 通 过 将 电 源 坐 标 xyz
i i i, i= 1,2,3表 示 成 点 源 间 距 离 12, 23, 31 的 函 数 。 为
了 实 现 着 , 考 虑 刻 度 模 型 作 为 一 个 三 角 形 , 顶 点 处 为 三 个 点 源 。 已 知 的 距 离
12, 23, 31 觉 得 了 三 角 形 的 形 状 。 三 角 形 能 够 放 在 xyz 空 间 任 意 位 置 通 过 三 个 方
向 平 移 和 旋 转 。 但 是 只 可 以 作 平 移 和 旋 转 。 进 一 步 , 参 数 f , d , φ,
ψ 能 够 测 量
出 来 , 带 有 一 定 的 精 度 。 通 过 定 义 这 个 间 隔 , 它 们 能 够 用 来 约 束 这 个 结 果 , 使
得 结 果 可 以 接 受 。 对 于 不 在 这 个 内 部 的 参 数 估 计 , 罚 函 数 是 在 参 数 的 最 近 的 可
接 受 的 值 处 被 评 估 了 , 同 时 一 个 比 例 是 被 加 到 估 计 的 与 接 受 的 值 的 差 平 方 中 。
这 使 得 算 法 返 回 到 参 数 可 以 接 受 的 范 围 。
书 面 翻 译 对 应 的 原 文 索 引
[1] D.Bequé, J.Nuyts, G.Bormans, P.Suetens, and P. Dupont,“Character-ization of pinhole
SPECT acquisition geometry,” IEEE Trans. Med. Imag.,vol. 22, no. 5, pp. 599–612, May
2003.
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