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第 3 章 几 何 精 度 刻 度 的 定 量 评 估
3.1 基 于 SVD 的 刻 度 精 度 分 析 方 法
3.1.1 SVD 方 法 介 绍
奇 异 值 分 解 (Singular Value Decomposition, SVD) 是 现 代 数 值 分 析 ( 尤 其 数
值 计 算 ) 的 最 基 本 和 最 重 要 的 工 具 之 一 。 奇 异 值 分 解 , 最 早 由 Beltrami 在 1873
年 对 实 正 方 阵 提 出 ;1874 年 ,Jordan 也 独 立 推 导 出 实 正 方 矩 阵 的 奇 异 值 分 解 ;1902
年 ,Autonne 把 奇 异 值 分 解 推 广 到 复 正 方 矩 阵 ;1939 年 ,Eckart 与 Young 更 将 其
推 广 到 一 般 的 矩 阵 [6]。 因 此 奇 异 值 分 解 定 理 也 称 为 Autonne-Eckart-Young 定 理 ,
其 在 实 矩 阵 范 围 内 定 义 如 下 :
m n
令 A ∈ R × , 则 存 在 正 交 ( 或 酉 ) 矩 阵 U ∈ R ×
m m
n n
和 V ∈ R ×
使 得
A
T
= USV
(3-1)
式 中
⎡S
⎤
S = ⎢
0 0 ⎥
⎣ ⎦
1
0
(3-2)
S = diag( s , s , K , s r
), 其 对 角 元 素 按 照 顺 序
且
1 1 2
s1 ≥ s2 ≥L ≥ s , r = rank( A)
(3-3)
r
排 列 。
假 设 m≥ n, 则 S 主 对 角 线 上 元 素 s1, s2, K , sr
连 同 sr+ 1
= sr+
2
= L = sn
= 0 一 同
称 为 矩 阵 A 的 奇 异 值 。 同 时 ,V 的 列 向 量 v
i
称 为 A 的 右 奇 异 向 量 ,V 称 为 A 的 右
奇 异 矩 阵 ;U 的 列 向 量 u
i
称 为 A 的 左 奇 异 向 量 ,U 称 为 A 的 左 奇 异 矩 阵 。 同 时 U
矩 阵 前 r 列 组 成 A 的 列 空 间 的 标 准 正 交 基 , 后 m-r 列 构 成 A 零 空 间 的 标 准 正 交 基 ,
T
T
而 V 矩 阵 的 前 r 列 组 成 A 的 列 空 间 的 标 准 正 交 基 , 后 m-r 列 构 成 A 零 空 间 的 标
准 正 交 基 。 A 也 可 以 改 写 成 :
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