97 CAPITOLUL 3 TRANSFORMĂRI LINIARE 3.1. Defini ţia ...

Algebră liniară 

CAPITOLUL 3 

TRANSFORMĂRI LINIARE 

3.1. Definiţia transformării liniare 

Definiţia 3.1.1. Fie V şi W două spaţii vectoriale peste un corp comutativ 

K. O funcţie u: V → W se numeşte transformare liniară 

(sau operator liniar, sau morfism de spaţii vectoriale) 

dacă îndeplineşte următoarele condiţii: 

1. u(x + y ) = u(x) + u(y) pentru orice x, y ∈ V; 

2. u(α x) = α u(x) pentru orice α∈K şi orice x∈V. 

În cazul în care V = W o transformare liniară u : V → V 

se numeşte endomorfism. 

Se observă uşor că restricţia unei transformări liniare la un 

subspaţiu vectorial al domeniului său de definiţie este tot o transformare 

liniară. 

Propoziţia 3.1.2. Fie V şi W două spaţii vectoriale peste un corp 

comutativ K. O funcţie u: V → W este transformare 

liniară dacă şi numai dacă pentru orice x, y ∈V şi orice 

α, β ∈K este îndeplinită condiţia 

u(α x + β y) = α u(x) + β u(y). 

Demonstraţie. Dacă u: V → W este transformare liniară , atunci, 

conform definiţiei, pentru orice x, y ∈V şi orice α, β ∈ K, avem 

97

Transformări liniare 

u(αx + βy) = u(αx) + u(βy) = αu(x) + βu(y). 

Reciproc, presupunem că pentru orice x, y ∈V şi orice α, β ∈ K este 

îndeplinită condiţia u(αx + βy) = αu(x) + βu(y). Luând α = β = 1, 

obţinem u(x + y) = u(x) + u(y). Luând β = 0, obţinem u(αx) = αu(x). 

Cele două condiţii din definiţia transformării liniare sunt îndeplinite. 

Exemplul 3.1.3. Considerăm spaţiile vectoriale R 3 şi R 2 peste corpul 

numerelor reale R. Aplicaţia u : R 3 → R 2 , definită prin 

u(x) = (x1 + x3, x2 - x3) pentru orice x = (x1, x2, x3) ∈ R 3 

este o transformare liniară. Într-adevăr, fie α, β ∈ R şi x = (x1, x2, x3) , y 

= (y1, y2, y3)∈ R 3 . Din 

rezultă că 

α x + β y = (α x1+ β y1, α x2 + β y2, α x3 + β y3), 

u(α x + β y) = (α x1+ β y1 + α x3 + β y3, α x2 + β y2 - (α x3 + β y3)) 

=(α(x1+ x2) + β(y1 + y3), α(x2 -x3) + β(y2 - βy3)) 

=(α(x1+ x2), α(x2 -x3) ) + (β(y1 + y3), β(y2 - βy3)) 

= α(x1+ x2, x2 -x3 ) + β(y1 + y3, y2 - y3) 

= α u(x) + β u(y). 

Aplicaţia v : R 3 → R 2 , definită prin 

v(x) = (x1 + x3, x2 x3) pentru orice x = (x1, x2, x3) ∈ R 3 

nu este o transformare liniară. Într-adevăr, pentru x = (1, 1, 1) ∈ R 3 şi α 

= 3∈R avem v(α x) = (6, 9) ≠ 3(2,1) = αv(x). 


comutativ K şi u: V → W o transformare liniară. Atunci 

1. u(0) = 0. 

98


2. Dacă V1 este un subspaţiu vectorial al lui V, atunci 

u(V1) = {u(x): x ∈ V1} este un subspaţiu vectorial al lui 

W. 

3. Dacă W1 este un subspaţiu vectorial a lui W, atunci 

preimaginea u -1 (W1) = {x ∈ V: u(x) ∈ W1} este un 

subspaţiu vectorial al lui V. 

Demonstraţie. 1. Fie x∈V un element oarecare. Atunci 

u(0) = u(0x) = 0u(x) = 0. 

2. Fie V1 un subspaţiu vectorial a lui V. Fie α, β ∈K şi y1, y2 ∈ 

u(V1). Deoarece y1, y2 ∈ u(V1) există x1, x2 ∈ V1 astfel încât u(x1) = y1 şi 

u(x2) = y2. Cum V1 este subspaţiu vectorial, αx1 + βx2 ∈V1. Avem 

αy1 + βy2 = αu(x1) + βu(x2) = u(αx1 + βx2) ∈ u(V1), 

pentru că αx1 + βx2 ∈ V1. Deci u(V1) este un subspaţiu vectorial al lui W. 

3. Fie W1 un subspaţiu vectorial a lui W. Fie α, β∈K şi fie x1, x2 ∈ 

u -1 (W1). Din faptul că x1, x2 ∈ u -1 (W1) rezultă că u(x1), u(x2) ∈ W1. Cum 

W1 este subspaţiu vectorial, αu(x1) + βu(x2) ∈W1 şi deci 

u(αx1 + βx2) = αu(x1) + βu(x2) ∈W1, 

de unde rezultă că αx1 + βx2 ∈ u -1 (W1). În consecinţă, u -1 (W1). este un 

subspaţiu vectorial al lui V. 


comutativ K şi u: V → W o transformare liniară. În 

aceste condiţii 

1. Pentru orice vectori x1, x2, …, xn din V şi orice scalari 

α1, α2, …, αn din K avem 

n 

u(∑ α 

i= 

1 

99 

n 

ix i ) = ∑ αi 

( xi 

) 

i= 

1 

u .


2. Dacă {x1, x2, …, xn} este o familie liniar dependentă 

de vectori din V, atunci {u(x1), u(x2), …, u(xn)} este o 

familie liniar dependentă de vectori din W. 

3. Dacă u este injectivă şi { x1, x2, …, xn} este o familie 

liniar independentă de vectori din V, atunci {u(x1), u(x2), 

…, u(xn)} este o familie liniar independentă de vectori din 

W. Mai general, dacă {xi}i∈I este o familie liniar 

independentă de vectori din V, atunci {u(xi)}i∈I este o 

familie liniar independentă de vectori din W. 

4. Dacă u este surjectivă şi {xi}i∈I este un sistem de 

generatori pentru V, atunci {u(xi)}i∈I este un sistem de 

generatori pentru W. 

5. Dacă u este bijectivă, atunci dimensiunea lui V peste 

K este aceeaşi cu dimensiunea lui W peste K. 

Demonstraţie. 1. Demonstraţia se face prin inducţie după n, ţinând cont 

că 

n 

u(∑ αix 

i ) = u( ∑ 

i= 

1 

− n 

i= 

= u( ∑ − n 

1 

αix 

i + αnxn) = u( ∑ 

1 

− n 1 

αix 

i ) + u(αnxn) = 

i= 

1 

1 

αix 

i ) + αnu(xn). 

i= 

1 

2. Dacă {x1, x2, …, xn} este o familie liniar dependentă de vectori 

din V, atunci există scalarii α1, α2, .., αn, nu toţi nuli, astfel încât 

α1x1 + α2x2 + … + αnxn = 0. 

Aplicând u obţinem u(α1x1 + α2x2 + … + αnxn) = 0 sau echivalent 

α1u(x1) + α2u(x2) + … + αnu(xn) = 0, 

100


de unde rezultă că {u(x1), u(x2), …, u(xn)} este o familie liniar 

dependentă de vectori din W. 

3. Presupunem că {x1, x2, …, xn} este o familie liniar independentă 

de vectori din V şi că u este injectivă. Fie scalarii α1, α2, .., αn din K 

astfel încât α1u(x1) + α2u(x2) + … + αnu(xn) = 0. 

Ţinând cont de 1. rezultă că u(α1x1 + α2x2 + … + αnxn) = 0. 

Deoarece u este injectivă şi u(0) = u(α1x1 + α2x2 + … + αnxn), rezultă că 

α1x1 + α2x2 + … + αnxn = 0. Deoarece {x1, x2, …, xn} este o familie liniar 

independentă rezultă că α1 = α2 = … = αn = 0. Deci {u(x1), u(x2), …, 

u(xn)} este o familie liniar independentă. Cazul general, al familiilor liniar 

independente infinite, revine la cazul familiilor finite, dacă se ţine seama 

că o familie de vectori este liniar independentă dacă şi numai dacă orice 

subfamilie finită a sa este liniar independentă. 

4. Presupunem că {xi}i∈I este un sistem de generatori pentru V şi că 

u este surjectivă. Fie y ∈ W. Există x ∈ V astfel încât y = u(x), căci u 

este surjectivă. Deoarece {xi}i∈I este un sistem de generatori pentru V, 

rezultă că există o familie {αi}i∈I de scalari din K de suport finit (adică 

numai un număr finit dintre scalarii αi sunt nenuli) astfel încât x = 

∑ 

i∈I 

αix 

i . Ca urmare, y = u(x) = u(∑ α 

i∈I 

este un sistem de generatori pentru W. 

101 

ix i ) = ∑α i ( xi 

) 

i∈I 

u şi deci {u(xi)}i∈I 

5. Fie {ei}i∈I o bază în V. Transformarea liniară u fiind bijectivă 

este şi injectivă şi surjectivă. Atunci {u(ei)}i∈I este şi liniar independentă 

(din 3) şi sistem de generatori pentru W (din 4). În consecinţă, {u(ei)}i∈I 

este o bază în W. De aici obţinem că dimensiunile lui V şi W coincid, 

fiind egale cu cardinalul lui I.


Teorema 3.1.6. Fie V un spaţiu vectorial peste un corp comutativ K şi B 

= {ei}i∈I o bază în V. Atunci oricare ar fi spaţiul vectorial 

W peste corpul K şi oricare ar fi familia {fi}i∈I de 

elemente din W, există o unică transformare liniară 

102 

u : V → W 

astfel încât u(ei) = fi pentru orice i ∈ I. Mai mult, u este 

injectivă (respectiv surjectivă, bijectivă) dacă şi numai 

dacă {fi}i∈I este un sistem liniar independent (respectiv 

sistem de generatori, bază). 

Demonstraţie. Dacă x∈V, există o unică familie {λi}i∈I de scalari din K 

de suport finit (adică numai un număr finit dintre scalarii λi sunt nenuli) 

astfel încât x = ∑λ ie i . Definim 

i∈I 

u(x) =∑ λif 

i . 

i∈I 

Evident u este bine definită (datorită unicităţii reprezentării lui x în baza 

B) şi rămâne să arătăm că u este transformare liniară. 

Pentru orice x1 şi x2 ∈ V există şi sunt unice familii de scalari din 

K de suport finit {αi}i∈I şi {βi}i∈I astfel încât x1 = ∑ 

i∈I 

∑ 

i∈I 

Atunci x1 + x2 = ( α + β ) 

∑ 

i∈I 

u(x1 + x2) = ( α + β ) 

Dacă α∈K şi x = ∑λ i∈I 

i 

i 

i 

e şi 

i f i = ∑ 

i∈I 

i 

ie i ∈V, atunci αx = ∑( αλ ) i 

i∈I 

α 

ie i şi x2 = ∑ 

i∈I 

αif 

i +∑ βif 

i = u(x1) + u(x2). 

i∈I 

i e şi deci 

βie 

i .

∑ 

i∈I 

u(αx) = ( αλ ) 


i f i = α∑ 

i∈I 

103 

λif 

i =αu(x). 

Să demonstrăm unicitatea lui u. Fie v : V → W o altă transformare liniară 

cu proprietatea că v(ei) = fi pentru orice i ∈ I. Pentru orice x = ∑ 

i∈I 

avem v(x) = v(∑ λ 

i∈I 

ie i ) = ∑λ i ( ei 

) 

i∈I 

λie 

i ∈V 

v =∑ λif 

i = u(x). Deci v coincide cu u. 

i∈I 

Dacă u este injectivă atunci, conform Propoziţiei 3.1.5, {fi}i∈I = 

{u(ei)}i∈I este liniar independentă, deoarece {ei}i∈I fiind bază este în 

particular liniar independentă. Reciproc, să presupunem că {fi}i∈I este 

liniar independentă şi să demonstrăm că u este injectivă. Fie x1, x2 ∈V 

astfel încât u(x1) = u(x2). Atunci u(x1 - x2) = 0. Cum x1 - x2 ∈ V, există o 

unică familie {λi}i∈I de scalari din K de suport finit astfel încât x1 - x2 = 

∑ 

i∈I 

λie 

i . Avem 0 = u(x1 - x2) = u(∑ λ 

i∈I 

ie i ) = ∑λ i ( ei 

) 

i∈I 

u =∑ λif 

i∈I 

Faptul că {fi}i∈I este liniar independentă implică λi = 0 pentru orice i ∈I, 

şi deci x1 - x2 = 0, sau echivalent x1 = x2. De aici rezultă că u este o 

aplicaţie injectivă. 

Dacă u este surjectivă atunci, conform Propoziţiei 3.1.5, {fi}i∈I 

={u(ei)}i∈I este sistem de generatori pentru W fiindcă {ei}i∈I, fiind bază în 

V, este în particular sistem de generatori pentru W. Reciproc, să 

presupunem că {fi}i∈I este un sistem de generatori pentru W şi să 

demonstrăm că u este surjectivă. Fie y ∈W. Din faptul că {fi}i∈I este un 

sistem de generatori pentru W, rezultă că există o familie {λi}i∈I de scalari 

din K, de suport finit, astfel încât y = ∑λ if i . Luăm x = ∑λ iei şi arătăm 

i∈I 

i∈I 

că u(x) = y, de unde rezultă că u este surjectivă. Într-adevăr, 

i

u(x) = u(∑ λ 

i∈I 


ie i ) = ∑λ i ( ei 

) 

i∈I 

104 

u =∑ λif 

i = y. 

i∈I 

Din cele demonstrate mai sus rezultă că u este o aplicaţie bijectivă 

(injectivă + surjectivă) dacă şi numai dacă {fi}i∈I este bază (liniar 

independentă + sistem de generatori). 

Teorema 3.1.7. Fie n un număr natural, V şi W două spaţii vectoriale n- 

dimensionale peste un corp comutativ K. Pentru orice 

transformare liniară u: V → W următoarele afirmaţii 

sunt echivalente 

1. u aplicaţie injectivă. 

2. u aplicaţie surjectivă. 

3. u aplicaţie bijectivă. 

Demonstraţie. Vom arăta 1 => 2 =>3. Cum evident 3 =>1, va rezulta că 

cele trei afirmaţii sunt echivalente. Fie {e1, e2, …, en} o bază în V. 

1 => 2. Dacă u este injectivă, aplicând Propoziţia 3.1.5, rezultă că 

{u(e1), u(e2), …, u(en)} este o familie liniar independentă de vectori din 

W. Cum dimensiunea lui W este n, rezultă că {u(e1), u(e2), …, u(en)} este 

de fapt o bază pentru W şi deci în particular {u(e1), u(e2), …, u(en)} este 

un sistem de generatori pentru W. Aplicând Teorema 3.1.6, rezultă că u 

este surjectivă. 

2 =>3. Presupunem că u este surjectivă. Pentru a arăta ca u este 

bijectivă este suficient să arătăm că este injectivă. Din Propoziţia 3.1.5, 

rezultă că {u(e1), u(e2), …, u(en)} este un sistem de generatori pentru W. 

Din faptul că dimensiunea lui W este n, rezultă că {u(e1), u(e2), …, u(en)} 

este de fapt o bază pentru W şi deci, în particular, {u(e1), u(e2), …, u(en)}


este o familie liniar independentă de vectori din W. Ţinând cont de 

Teorema 3.1.6, rezultă că u este injectivă. 

Corolarul 3.1.8. Fie V un spaţiu vectorial finit dimensional peste un corp 

comutativ K. Pentru orice endomorfism u: V → V 

următoarele afirmaţii sunt echivalente 

1. u este aplicaţie injectivă. 

2. u este aplicaţie surjectivă. 

3. u este aplicaţie bijectivă. 

Demonstraţie. Se aplică Teorema 3.1.7 luând W =V. 

3.2. Operaţii cu transformări liniare 

Fie V şi W două spaţii vectoriale peste un corp comutativ K. 

Notăm cu LK(V, W) (sau L(V, W) când corpul K se subînţelege) 

mulţimea tuturor transformărilor liniare definite pe V cu valori în W. 

Dacă u şi v sunt două transformări liniare din L(V, W), se defineşte 

suma "u + v" lor prin 

(u + v)(x) = u(x) + v(x) pentru orice x ∈V. 

Se verifică uşor că u + v : V→W este o transformare liniară şi că suma 

transformărilor liniare este asociativă şi comutativă. Mai mult, există 

transformarea liniară O : V → W, 

O(x) = 0 pentru orice x ∈v, 

(numită transformarea liniară nulă) care are proprietatea că O + u = u + 

O pentru orice u ∈ L(V, W). 

Pentru orice transformare liniară u ∈ L(V, W) se defineşte 

transformarea liniară opusă "- u" prin 

105


(- u)(x) = - u(x) pentru orice x ∈ V. 

Este uşor de arătat că - u este o transformare liniară şi că 

u + (-u) = (-u) + u = O. 

Pentru orice transformare liniară u ∈ L(V, W) şi orice scalar 

α∈K, se defineşte produsul lui u cu scalarul α "αu" prin 

(αu)(x) = αu(x) pentru orice x ∈V. 

Aplicaţia αu este o transformarea liniară din L(V, W). 

Mulţimea transformărilor liniare LK(V, W) împreună cu suma şi 

produsul cu scalari definite mai sus are o structură de spaţiu vectorial 

peste corpul K (temă - verificarea axiomelor) . 

Fie U, V şi W trei spaţii vectoriale peste acelaşi corp comutativ K. 

Dacă u∈ LK(V, W) şi v ∈LK(U, V), se defineşte produsul "uv" prin 

(uv)(x) = u(v(x)) pentru orice x ∈ U. 

Se verifică faptul că aplicaţia uv: U → W este o transformare liniară. 

Pentru produsul de transformări liniare uv se mai foloseşte şi notaţia uo v 

specifică compunerii funcţiilor (deoarece produsul transformărilor liniare 

u şi v este dat de fapt de compunerea funcţiilor u şi v). 

Să considerăm acum cazul U = V = W. Se introduce transformarea 

liniară identică (sau transformarea liniară unitate) IV : V → V, definită 

prin 

IV(x) = x pentru orice x ∈ V. 

Este evident că IV este o transformare liniară şi că IVu = uIV = u pentru 

orice transformare liniară u ∈ LK(V, V). Când spaţiul vectorial V se 

subînţelege, transformarea liniară identică se notează cu I. 

106


Mulţimea transformărilor liniare LK(V, V) cu suma şi produsul 

definite mai sus formează un inel unitar necomutativ (vezi Definiţia 

4.2.1). 

Pentru orice transformare liniară u : V → V se poate defini puterea 

u n pentru orice număr natural n ≥ 2 prin 

u n = uu n-1 cu convenţia u 1 = u. 

Datorită asociativităţii produsului de transformări liniare sunt valabile 

următoarele reguli 

u n u m = u n+m 

(u n ) m = u nm 

pentru orice numere naturale nenule n şi m. Pentru o transformare liniară 

nenulă u (diferită de transformarea liniară nulă O) se consideră prin 

convenţie că u 0 = I. 

O transformare liniară u : V → W, bijectivă se numeşte izomorfism 

de spaţii vectoriale sau transformare liniară nesingulară. 

Propoziţia 3.2.1. Fie V şi W două spaţii vectoriale peste un corp 

comutativ K şi u: V → W o transformare liniară 

nesingulară. Atunci există o transformare liniară 

107 

v : W →V 

astfel încât uv = IW şi vu = IV. 

Demonstraţie. Faptul că u: V → W este o aplicaţie bijectivă este 

echivalent cu faptul că u este inversabilă ca funcţie. Deci există o 

aplicaţie v : W →V astfel încât uv = IW şi vu = IV. Rămâne să arătăm că v 

este o transformare liniară. Fie y1, y2 ∈ W şi α1 , α2 ∈ K. Deoarece u este 

surjectivă (fiind bijectivă) rezultă că există x1, x2 ∈ V astfel încât y1 =


u(x1) şi y2 = u(x2). Atunci v(y1) = v(u(x1)) = x1 şi v(y2) = v(u(x2)) = x2. 

Avem 

v(α1y1 +α2y2) = v(α1u(x1) + α2u(x2)) = v(u(α1x1 + α2x2)) 

Deci v este o aplicaţie liniară. 

= α1x1 + α2x2 = α1 v(y1) + α2 v(y2). 

Dacă u : V → W este o transformare liniară nesingulară, atunci 

transformarea liniară v : W → V cu proprietatea că uv = IW şi vu = IV ( a 

cărei existenţă este demonstrată de Propoziţia 3.2.1) se numeşte inversa 

transformării liniare u şi se notează cu u -1 . Se mai spune că u : V → W 

este o transformare liniară inversabilă. Din demonstraţia Propoziţiei 3.2.1 

rezultă că inversa transformării liniare u coincide cu inversa lui u ca 

funcţie. 

Propoziţia 3.2.2. Fie V un spaţiu vectorial finit dimensional peste un 

corp comutativ K şi u: V → V o transformare liniară. 

1. Dacă există transformarea liniară v : V → V astfel 

încât uv = IV, atunci u este o transformare liniară 

nesingulară şi u -1 = v. 

2. Dacă există transformarea liniară v : V → V astfel 

încât vu = IV, atunci u este o transformare liniară 

nesingulară şi u -1 = v. 

Demonstraţie. 1. Presupunem că există transformarea liniară v : V → V 

astfel încât vu = IV, Faptul că IV este o aplicaţie bijectivă implică faptul 

că u este injectivă (dacă u(x1) = u(x2), atunci v(u(x1)) = v(u(x2)) şi deci x1 

= x2). Din Corolarul 3.1.8 rezultă că "u injectivă" este echivalent cu "u 

108


bijectivă". Deci u este nesingulară şi în consecinţă există transformarea 

inversă u -1 . Înmulţind la dreapta egalitatea vu = IV cu u -1 obţinem v = u -1 . 

2. Presupunem că există transformarea liniară v : V → V astfel 

încât uv = IV. Deoarece IV este o aplicaţie bijectivă rezultă că u este 

surjectivă. (Într-adevăr, pentru orice y ∈V luăm x = v(y) obţinem u(x) = 

u(v(y)) = y. Deci u este surjectivă). Din Corolarul 3.1.8 rezultă că 

surjectivitatea lui u este echivalentă bijectivitatea lui u. Deci u este 

nesingulară şi în consecinţă, există transformarea inversă u -1 . Înmulţind la 

stânga egalitatea uv = IV cu u -1 obţinem v = u -1 . 

Fie V un spaţiu vectorial peste un corp comutativ K şi u, v ∈L(V, 

V). Mulţimea transformărilor liniare nesingulare din L(V, V) coincide cu 

mulţimea elementelor inversabile ale inelului L(V, V) (vezi Definiţia 

4.2.1), deci este un grup (în raport cu produsul transformărilor liniare). 

Vom încheia această secţiune punând în evidenţă câteva reguli de 

calcul pentru transformările inverse 

nesingulară şi 

1. Dacă u şi v sunt nesingulare, atunci uv este nesingulară şi 

(uv) -1 = v -1 u -1 

2. Dacă u este nesingulară, atunci u -1 este nesingulară şi 

(u -1 ) -1 = u 

3. Dacă u este nesingulară şi α∈K, α ≠ 0, atunci αu este 

(αu) -1 = α -1 u -1 

4. Dacă u este nesingulară, atunci putem defini u -n pentru orice 

număr natural n prin formula u -n = (u -1 ) n . Este uşor de văzut că u -n =(u n ) -1 . 

109


3.3. Rangul şi defectul unei transformări liniare 

Definiţia 3.3.1. Fie V şi W două spaţii vectoriale peste un corp comutativ 

K şi u: V → W o transformare liniară. Mulţimea 

Ker u = {x ∈ V: u(x) = 0} 

se numeşte nucleul lui u (sau spaţiul nul al lui u). 

Mulţimea 

Im u = {u(x) : x ∈ V} 

se numeşte imaginea transformării liniare u. 


comutativ K. Pentru orice transformare liniară u: V → 

W, nucleul lui u este un subspaţiu vectorial al lui V, iar 

imaginea lui u este un subspaţiu vectorial al lui W. 

Demonstraţie. Aplicând Propoziţia 3.1.4 punctul 3, rezultă că nucleul 

Ker u = u -1 ({0}} este subspaţiu vectorial al lui V. De asemenea aplicând 

Propoziţia 3.1.4 punctul 2, rezultă că Im u = u(V) este subspaţiu vectorial 

al lui W. 

Definiţia 3.3.3. Fie V şi W două spaţii vectoriale peste un corp comutativ 

K şi u: V → W o transformare liniară. Dimensiunea 

nucleului lui u (Ker u) se numeşte defectul transformării 

liniare u. Dimensiunea imaginii lui u (Im u) se numeşte 

rangul transformării liniare u. 


comutativ K. Pentru orice transformare liniară u: V → W 

avem 

110


1. u este injectivă dacă şi numai dacă Ker u = {0} 

2. u este surjectivă dacă şi numai dacă Im u = W. 

Demonstraţie. 1. Presupunem că u este injectivă. Dacă x ∈ Ker u, atunci 

u(x) = 0 = u(0), deci x = 0 (u fiind injectivă). De aici rezultă Ker u = {0}. 

Reciproc, presupunem că Ker u = {0}. Fie x1, x2 ∈ V astfel încât u(x1) = 

u(x2). Cum 0 = u(x1) - u(x2) = u(x1 - x2), rezultă că x1 - x2 ∈ Ker u = {0}. 

Deci x1 - x2 = 0, de unde rezultă că u este injectivă. 

2. Presupunem că u este surjectivă. Deoarece incluziunea Im u ⊂ 

W este întotdeauna adevărată, rămâne să arătăm incluziunea opusă. Fie y 

∈ W. Cum u este surjectivă, există x ∈ V astfel încât y = u(x). Deci y ∈ 

Im u. Reciproc, dacă Im u = W, atunci pentru orice y∈W există x ∈ V 

astfel încât y = u(x). Deci u este surjectivă. 

Propoziţia 3.3.5. Fie n un număr natural şi fie V şi W două spaţii 

vectoriale n - dimensionale peste un corp comutativ K. 

Pentru orice transformare liniară u: V → W următoarele 

afirmaţii sunt echivalente 

1. Ker u = {0} 

2. Im u = W 

3. u este nesingulară. 

Demonstraţie. Din Teorema 3.1.7 rezultă că faptul că 

u este nesingulară u este injectivă u este surjectivă. 

Din Propoziţia 3.3.4 rezultă că u este injectivă dacă şi numai dacă Ker u = 

{0}. Tot din propoziţia 3.3.4 rezultă că u este surjectivă dacă şi numai 

dacă Im u = W. 

Propoziţia 3.3.6. Fie V un spaţiu vectorial finit dimensional peste un 

111


corp comutativ K. Pentru orice endomorfism u: V → V 

următoarele afirmaţii sunt echivalente 

1. Ker u = {0} 

2. Im u = V 

3. u este nesingular. 

Demonstraţie. Rezultă din Propoziţia 3.3.5 luând W = V. 

Teorema 3.3.7. Fie V şi W două spaţii vectoriale peste un corp comutativ 

K şi u: V → W o transformare liniară. 

1. Dacă V este finit dimensional, atunci şi Im u este finit 

dimensional. 

2. Dacă r(u) este rangul lui u şi d(u) este defectul lui u, 

atunci 

r(u) + d(u) = dimKV 

(dimensiunea spaţiului V este egală cu suma dintre 

dimensiunea nucleului transformării liniare u şi 

dimensiunea imaginii lui u). 

Demonstraţie. Notăm n = dimKV. Fie B1 ={e1, e2 …, ed(u)} o bază în Ker u 

pe care o completăm până la o bază B2={e1, e2 …, ed(u), ed(u)+1, …, en} în 

V (dacă d(u) = 0, atunci B1 este mulţimea vidă). Arătăm că B3 

={u(ed(u)+1), u(ed(u)+2), …, u(en)} este o bază în Im u. Pentru orice y ∈ Im 

u, există x ∈ V astfel încât y = u(x). Cum B2 este o bază în V, există 

scalarii α1, α2, …, αn ∈ K astfel încât x = ∑ αie 

i = 

i= 

1 

Atunci 

y= u(x) = u( 

( u) 

d 

∑ 

i= 

1 

αie 

i ) + u( 

( u ) 

112 

n 

( ) 

( u) 

d 

∑ 

i= 

1 

αie 

i + 

n 

∑ αie 

i . 

i= 

d + 1 

( u ) 

n 

n 

n 

∑ αie 

i ) = u( ∑ αie 

i ) = ∑ αi 

( ei 

) 

i= 

d + 1 

i= 

d u + 1 i= 

d u + 1 

( ) 

u ,


deci B3 ={u(ed(u)+1), u(ed(u)+2), …, u(en)} este un sistem de generatori 

pentru Im u. Pentru a arăta că B3 este bază rămâne să arătăm că B3 este 

liniar independentă. Fie scalarii α1, α2, …, αn-d(u) astfel încât 

α1u(ed(u)+1) + α2u(ed(u)+2) + … + αn-d(u)u(en) = 0. 

Ţinând cont că u este o transformare liniară rezultă că 

u(α1ed(u)+1 + α2ed(u)+2 + … + αn-d(u)en) = 0. 

sau echivalent α1ed(u)+1 + α2ed(u)+2 + … + αn-d(u)en ∈ Ker u. 

Din faptul că B1 ={e1, e2 …, ed(u)} este o bază în Ker u, rezultă că 

există scalarii β1, β2, …, βd(u) astfel încât 

α1ed(u)+1 + α2ed(u)+2 + … + αn-d(u)en = β1e1 + β2e2 + … + βd(u)ed(u). 

sau echivalent 

α1ed(u)+1 + α2ed(u)+2 + … + αn-d(u)en - β1e1 - β2e2 - … - βd(u)ed(u) = 0. 

Pe de altă parte B2={e1, e2 …, ed(u), ed(u)+1, …, en} fiind bază în V, deci, în 

particular, fiind liniar independentă , rezultă că 

α1 = α2 = … =αn-d(u) = β1 =… = βd(u) = 0. 

De aici rezultă că B3 este liniar independentă. Faptul că B3 

={u(ed(u)+1), u(ed(u)+2), …, u(en)} este o bază în Im u, implică 

sau echivalent r(u) + d(u) = n. 

r(u) = dimK(Im u) = card(B3) = n - d(u), 

Lema 3.3.8. Fie V şi W două spaţii vectoriale peste un corp comutativ K 

şi u: V → W o transformare liniară. Dacă V este finit 

dimensional şi dacă S este un subspaţiu vectorial al lui 

V, atunci dimK u(V) - dimK u(S) ≤ dimK V - dimK S. 

Demonstraţie. Notăm cu u|S restricţia transformării liniare u la S : 

u|S : S → W, u|S(x) = u(x) pentru orice x ∈ S. 

Este clar că Im uS = uS(S) = u(S) şi că Ker uS ⊂ Ker u. 

113


Din teorema precedentă aplicată transformărilor liniare u şi uS rezultă că 

Scăzând cele două relaţii obţinem 

dimKu(V) + dimK(Ker u) = dimKV 

dimKu(S) + dimK(Ker uS) = dimKS 

dimKu(V) - dimKu(S) + (dimK(Ker u) - dimK(Ker uS)) = dimKV - dimKS. 

Pe de altă parte, din Ker uS ⊂ Ker u, rezultă dimK(Ker u) ≥ dimK(Ker uS), 

şi, ţinând seama de relaţia de mai sus, obţinem 

dimKu(V) - dimKu(S) ≤ dimKV - dimKS. 

Teorema 3.3.9. (inegalitatea lui Sylvester) Fie V1, V2 şi V3 trei spaţii 

vectoriale peste un corp comutativ K astfel încât dimKV2 

=n. Pentru orice două transformări liniare u1: V2 → V3 şi 

u2 : V1 → V2, rezultă că 

r(u1u2) ≥ r(u1) + r(u2) - n, 

unde am notat cu r(u1) (respectiv r(u2), r(u1u2)) rangul 

lui u1 (respectiv rangul lui u2, rangul lui u1u2). 

Demonstraţie. Aplicând Lema 3.3.8 pentru transformarea liniară u1 şi 

subspaţiul Im u2 = u2(V1) al lui V2: 

u2(V1) ⊂ V2 ⎯⎯→ 1 u 

V3 

obţinem dimK(u1(V2)) - dimK(u1(u2(V1))) ≤ dimK(V2) - dimK(u2(V1)), 

sau echivalent, dimK(u1(V2)) - dimK(u1u2(V1)) ≤ dimK(V2) - dimK(u2(V1)). 

Ţinând cont de definiţia rangului unei transformări liniare rezultă că 

r(u1) - r(u1u2) ≤ n - r(u2). 

Teorema 3.3.10. (inegalitatea lui Frobenius) Fie V1, V2, V3 şi V4 patru 

spaţii vectoriale peste un corp comutativ K astfel încât V2 

şi V3 să fie finit dimensionale. Pentru orice transformări 

114


liniare u1: V3 → V4, u2 : V2 → V3 şi u3 : V1 → V2 rezultă 

că 

r(u1u2) + r(u2u3) ≤ r(u2) + r(u1u2u3), 

unde am notat cu r(u1u2) (respectiv r(u2), r(u2u3), 

r(u1u2u3)) rangul lui u1u2 (respectiv rangul lui u2, rangul 

lui u2u3, rangul lui u1u2u3). 

Demonstraţie. Aplicând Lema 3.3.8 pentru restricţia transformării 

liniare u1 la u2(V2) şi subspaţiul u2(u3(V1)) al lui u2(V2): 

obţinem inegalitatea 

u2(u3(V1)) ⊂ u2(V2) ⎯⎯→ 1 u 

V4 

dimK(u1(u2(V2)))-dimK(u1(u2(u3(V1)))) ≤ dimK(u2(V2))-dimK(u2(u3(V1))), 

care poate fi scrisă sub forma, r(u1u2) - r(u1u2u3) ≤ r(u2) - r(u2u3). 

Corolarul 3.3.11. Fie V1, V2 şi V3 trei spaţii vectoriale peste un corp 

comutativ K astfel încât V2 să fie finit dimensional. 

Pentru orice transformări liniare u1: V2 → V3, u2 : V1 → 

V2, rezultă că 

r(u1u2) ≤ min (r(u1), r(u2)), 

unde am notat cu r(u1) (respectiv r(u2)), rangul lui u1 

(respectiv rangul lui u2). 

Demonstraţie. Dacă aplicăm inegalitatea Frobenius (demonstrată în 

teorema precedentă) pentru transformările liniare 

⎯ O V1 ⎯⎯→ 2 u 

V2 ⎯⎯→ 1 u 

V3 

V1 ⎯→ 

(O fiind transformarea liniară nulă) şi ţinem seama că 

obţinem 

r(O) =r(u2O) =r(u1u2O) = 0 

r(u1u2) ≤r(u2) (1). 

115


Dacă aplicăm inegalitatea Frobenius pentru transformările liniare 

şi ţinem seama că 

obţinem 

V1 ⎯⎯→ 2 u 

V2 ⎯⎯→ 1 u 

V3 ⎯⎯→ O V3 

r(O) =r(Ou1) =r(Ou1u2) = 0 

r(u1u2) ≤r(u1) (2). 

Din (1) şi (2) rezultă că r(u1u2) ≤ min (r(u1), r(u2)). 

Exemplul 3.3.12. Fie transformarea liniară u : R 2 → R 2 definită prin 

u(x) = (x1 + x2, x1 -x2) pentru orice x = (x1, x2) ∈R 2 . Atunci 

Ker u = {x ∈R 2 : u(x) = 0} = {(x1, x2) ∈R 2 : (x1 + x2, x1 -x2) = (0,0)} 

Cu alte cuvinte (x1, x2) ∈ Ker u dacă şi numai dacă este soluţia sistemului 

omogen x1 + x2 = 0, x1 - x2 = 0. Determinantul acestui sistem fiind 

1 1 

1 -1 

= -2 ≠ 0, 

rezultă că sistemul admite doar soluţia banală x1 =0 , x2 = 0. 

Deci Ker u = {0}. Din faptul că u este endomofism al spaţiului finit 

dimensional R 2 şi are proprietatea că Ker u = {0}, rezultă că u este 

nesingular (vezi Propoziţia 3.3.6). Pentru a determina transformarea 

inversă notăm u(x) = y, unde y = (y1, y2). Obţinem sistemul liniar 

1 1 1 

x1 + x2 = y1, x1 - x2 = y2, care are soluţia x1 = y1 + y2, x2 = y1 - 

2 2 2 

1 

y2. Deci u 

2 

-1 1 1 1 1 

(y) = ( y1 + y2, y1 - y2) pentru orice y = (y1, y2)∈R 

2 2 2 2 

2 . 

Exemplul 3.3.13. Fie transformarea liniară u : R 2 → R 3 definită prin 

u(x) = (x1, x2, x1 -2x2) pentru orice x = (x1, x2) ∈R 2 . Să se determine 

116


nucleul şi imaginea acestei transformări liniare. 

Avem Ker u = {x ∈R 2 : u(x) = 0} = {(x1, x2) ∈R 2 : (x1, x2, x1 -x2) = 

(0,0,0)}. Cu alte cuvinte (x1, x2) ∈ Ker u dacă şi numai dacă este soluţia 

sistemului omogen x1 = 0, x2 = 0, x1 - 2x2 = 0. Deoarece acest sistem 

admite doar soluţia banală (x1 =0 , x2 = 0), rezultă că Ker u = {0}. 

Pentru a calcula imaginea transformării observăm că 

Im u ={u(x) : x ∈R 2 } = {y∈R 3 : există x ∈R 2 astfel încât y = u(x)} 

Cu alte cuvinte (y1, y2, y3) ∈ Im u dacă şi numai dacă sistemul x1 = y1, x2 

= y2, x1 - 2x2 = y3 este compatibil. Putem lua drept minor principal 

1 0 

∆p = = 1 ≠0 

0 1 

Există un singur minor caracteristic: 

1 0 y1 

0 1 y2 

1 -2 y3 

1 0 y1 

= 0 1 y2 = y3 - y1 +2y2 

0 -2 y3 -y1 

Deci condiţia de compatibilitate a sistemului devine y3 -y1 +2y2 = 0. 

În consecinţă, Im u = {(y1, y2, y3) ∈ R 3 : y3 -y1 +2y2 = 0} ={(α, β, α-2β) : 

α, β ∈R}. Se observă uşor că B ={e1, e2}, unde e1 = (1,0,1) şi e2 =(0,1,- 

2) este o bază a lui Im u. Deci rangul lui u este 2. Se verifică egalitatea 

dimR(Im u) + dimR(Ker u) = dimRR 2 (2 + 0 =2) 

demonstrată în Teorema 3.3.7. 

117


3.4. Matricea asociată unei transformări liniare 

În această secţiune vom considera doar spaţii vectoriale finit 

dimensionale. 

Teorema 3.4.1. Fie V şi W două spaţii vectoriale finit dimensionale peste 

un corp comutativ K, şi u : V → W o transformare 

liniară. Dacă {e1, e2, …, en} este o bază a lui V şi {f1, f2, 

…, fm} este o bază a lui W, atunci există şi este unică o 

matrice A = ( ) 

α cu elemente din corpul K astfel 

m 

ij 1 i n 

1≤ 

j≤m 

≤ ≤ 

încât u(ei) = ∑ αijf 

j pentru orice 1 ≤ i ≤ n. În plus, dacă 

j= 

1 

n 

imaginea lui x = ∑ x iei 

(xi ∈K pentru orice 1 ≤ i ≤ n) 

i= 

1 

m 

prin u este u(x) = ∑ y if i (yi ∈K pentru orice 1 ≤ i ≤ m), 

i= 

1 

n 

atunci yi = ∑ 

j= 

1 

α 

ji 

x pentru orice 1 ≤ i ≤ m. 

j 

Notând X =(x1, x2, …, xn), Y =(y1, y2, …, ym), relaţiile yi = 

n 

∑ 

j= 

1 

α 

ji 

x pentru orice 1 ≤ i ≤ m. pot fi scrise sub forma 

j 

matriceală Y = XA. 

Demonstraţie. Conform Teoremei 3.1.6, transformarea liniară u este unic 

determinată de valorile {u(ei)}1≤i≤n. Pe de altă parte, fiecare vector u(ei) 

poate fi reprezentat în mod unic în baza {f1, f2, …, fm}: 

m 

u(ei) = ∑ αijf 

j pentru orice 1 ≤ i ≤ n. 

j= 

1 

118

Prin urmare, matricea A = ( ) 


α , ale cărei linii au drept elemente 

ij 1≤i≤n 

1≤ 

j≤m 

coordonatele (αi1, αi2, …, αim) corespunzătoare vectorilor u(ei) (1 ≤ i ≤n) 

în baza {f1, f2, …, fm}, este unic determinată. Fie x = ∑ xie i ∈ V (xi ∈K 

i= 

1 

m 

pentru orice 1 ≤ i ≤ n) şi fie ∑ y if i (yi ∈K pentru orice 1 ≤ i ≤ m) 

i= 

1 

reprezentarea lui u(x) în baza {f1, f2, …, fm}. Avem u(x) = u(∑ x iei 

) = 

i= 

1 

n 

∑ 

i= 

1 

n ⎛ m ⎞ n m 

m n ⎛ 

x iu( ei 

) =∑ x i⎜ 

∑α 

ijf 

j ⎟ =∑∑ x iα 

ijf 

j =∑ ⎜∑ 

x iα 

i= 

1 ⎝ j= 

1 ⎠ i= 

1 j= 

1 

j= 

1⎝ 

i= 

1 

Unicitatea reprezentării lui u(ej) în baza {f1, f2, …, fm} implică 

n 

yj = ∑ 

i= 

1 

αijx 

i pentru orice 1 ≤ j ≤ m. 

Definiţia 3.4.2. Fie V şi W două spaţii vectoriale finit dimensionale peste 


liniară. Dacă B1 ={e1, e2, …, en} este o bază a lui V şi B2 

={f1, f2, …, fm} este o bază a lui W, atunci matricea A = 

( ) 

α cu elemente din corpul K cu proprietatea că 

ij 1≤i≤n 

1≤ 

j≤m 

m 

u(ei) = ∑ = 

j 1 

α 

119 

ij 

n 

ij 

⎞ 

⎟f 

⎠ 

f pentru orice 1 ≤ i ≤ n. 

j 

se numeşte matricea asociată transformării liniare u în 

raport cu perechea de baze considerate şi se notează cu 

M B 1 , B2 

( u) 

. Dacă u :V → V este un endomorfism şi B 

={e1, e2, …, en} este o bază a lui V, atunci convenim să 

scriem MB(u) în loc de MB,B(u), şi să o numim matricea 

asociată transformării liniare u în raport cu baza B. 

n 

j


Exemplul 3.4.3. Fie Rn[X] spaţiul vectorial al polinoamelor de grad cel 

mult n, cu coeficienţi reali. Structura de spaţiu vectorial este dată de 

adunarea obişnuită a polinoamelor, şi drept operaţie externă, de 

înmulţirea polinoamelor cu elemente din R: 

(α, α0 + α1X +… + αnX n ) → αα0 + αα1X +… + ααnX n . 

Considerăm transformarea liniară D: Rn[X] → Rn[X], definită prin 

D(P) = P' (derivata polinomului P). Mai precis, dacă P = α0 + α1X + … 

+ αnX n atunci D(P) =α1 + 2α2X + … + nαnX n-1 . Se verifică uşor că D 

este o transformare liniară (D(αP+βQ) =αD(P) +βD(Q) pentru orice 

polinoame P şi Q şi orice numere reale α şi β). De asemenea, este clar 

că B ={1, X, X 2 , …, X n } este o bază în Rn[X]. Determinăm matricea 

asociată lui D în raport cu baza B. Avem 

D(1) = 0 = 0⋅1 + 0⋅X +… + 0⋅X n . 

D(X) = 1 =1⋅1 + 0⋅X +… + 0⋅X n . 

D(X k ) = kX k-1 =0⋅1 + 0⋅X +…+ 0⋅X k-2 +k⋅X k-1 +0⋅X k +… + 0⋅X n . 

D(X n ) = nX n-1 =0⋅1 + 0⋅X +…+ 0⋅X n-2 + n⋅X n-1 +0⋅X n . 

Matricea asociată lui D în raport cu baza B este 

MB(D) = 

0 0 0 … 0 0 0 

1 0 0 … 0 0 0 

0 2 0 … 0 0 0 

0 0 0 …(n-1) 0 0 

0 0 0 … 0 n 0 

Matricea asociată lui D în raport cu baza B este se obţine punând pe linii 

coordonatele în baza B ale vectorilor D(1), D(X), …, D(X n ). 

120


Coordonatele unui polinom P = α0 + α1X + … + αnX n în baza 

B ={1, X, X 2 , …, X n } sunt chiar coeficienţii polinomului P: (α0, α1, …, 

αn). Dacă (β0, β1, …, βn) = (α1, 2α2, …, nαn, 0) sunt coordonatele lui 

P'= D(P) în baza B, atunci are loc următoarea egalitate matriceală 

(β0, β1, …, βn) = (α0, α1, …, αn) 

Observaţia 3.4.4. Fie K un corp comutativ şi u : K n → K m o transformare 

liniară. Fie Bn, respectiv Bm, baza canonică din K n , respectiv din K m . 

Coordonatele unui vector (α1, α2, …, αm) din K m în baza canonică sunt de 

fapt componentele vectorului respectiv: (α1, α2, …, αm). Ţinând cont de 

aceasta, liniile matricei A = ( ) 

α asociate transformării liniare u în 

ij 1≤i≤n 

1≤ 

j≤m 

raport cu perechea de baze Bn, Bm sunt date de vectorii u(E1), u(E1), 

u(E2), …, u(En) , unde E1, E2, …, En sunt vectorii bazei canonice Bn. Dacă 

x = (x1, x2, .., xn) este un vector din K n , atunci u(x) = (x1, x2, .., xn)A. 

De exemplu, fie transformarea liniară u : R 3 → R 4 , definită prin 

u(x) =(x1 + x2 - 2x3, x2 + 8x3, -x1, 4x3), pentru x =(x1, x2, x3). 

Considerăm baza canonică din R 3 : 

respectiv din R 4 

{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}, 

{(1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1)}. 

Matricea lui u în raport cu perechea de baze canonice este 

121 

0 0 0 … 0 0 0 

1 0 0 … 0 0 0 

0 2 0 … 0 0 0 

0 0 0 …(n-1) 0 0 

0 0 0 … 0 n 0

A = 


( la scrierea matricei s-a ţinut cont de faptul că u(x) =(x1, x2, x3)A, pentru 

x =(x1, x2, x3)) 

Propoziţia 3.4.5. Rangul unei transformări liniare este egal cu rangul 

matricei asociate transformării liniare în raport cu orice 

pereche de baze. 

Demonstraţie. Fie u : V → W o transformare liniară. Fie B1 ={e1, e2, 

…, en} o bază în V, B2 ={f1, f2, …, fm} o bază în W, şi fie A = 

( ) 

α matricea asociată lui u în raport cu perechea de baze B1, B2. 

ij 1≤i≤n 

1≤ 

j≤m 

n 

Un vector x = ∑ x iei 

(xi ∈K pentru orice 1 ≤ i ≤ n) din V aparţine lui Ker 

i= 

1 

u, dacă şi numai dacă u(x) = 0, ceea ce (ţinând seama de faptul că u(x) 

m n ⎛ ⎞ 

=∑ ⎜∑ 

x iα 

ij ⎟f 

j ) este echivalent cu 

j= 

1⎝ 

i= 

1 ⎠ 

n 

∑ 

i= 

1 

αijx 

i = 0 pentru orice 1 ≤ j ≤ m. 

Relaţiile de mai sus reprezintă un sistem liniar şi omogen de m ecuaţii cu 

n necunoscute. Matricea acestui sistem este A. Dacă rangul matricei A 

este r, atunci mulţimea vectorilor ale căror coordonate satisfac sistemul 

liniar şi omogen de mai sus este un subspaţiu liniar de dimensiune n - r 

(vezi Teorema 1.7.3). În consecinţă, dimK(Ker u) = n-r, şi deci rangul 

transformării liniare u este dimK(Im u) = n - dimK(Ker u) = n - (n-r) = r 

(vezi Teorema 3.3.7). 

1 0 -1 0 

1 1 0 0 

-2 8 0 4 

122


Observaţia 3.4.6. Fie u :V → V un endomorfism şi B ={e1, e2, …, en} 

este o bază a lui V. Fie MB(u) matricea asociată transformării liniare u în 

raport cu baza B. Endomorfismul u este nesingular dacă şi dacă numai 

dacă matricea MB(u) este nesingulară ( rang(MB(u)) = n 

det(MB(u)) ≠ 0). Într-adevăr, conform Propoziţiei 3.3.6, endomorfismul u 

este nesingular dacă şi numai dacă Ker u ={0}, ceea ce este echivalent cu 

dim(Im u) = n (adică rangul lui u este n). Cum rangul lui u este egal cu 

rangul lui MB(u), rezultă că u este endomorfism nesingular dacă şi numai 

dacă MB(u) este nesingulară. 

Proprietăţile unei transformări liniare sunt reflectate în proprietăţile 

matricelor care o reprezintă în diverse baze. Fie V1, V2, V3 trei spaţii 

vectoriale peste un corp comutativ K. Fixăm B1 ={e1, e2, …, en} o bază a 

lui V1, B2 ={f1, f2, …, fm} o bază a lui V2 şi B3 ={g1, g2, …, gp} o bază a 

lui V3. Considerăm trei transformări liniare u1, u2 : V1 → V2, u3 : V2 →V3. 

Fie ( u ) 

M B1 

, B2 

1 (respectiv M B B ( u 2 ) 

1 , 2 

raport cu perechea de baze B1, B2, şi fie ( u ) 

123 

) matricea lui u1 (respectiv u2) în 

M B2 

, B3 

3 matricea lui u3 în 

raport cu perechea de baze B2, B3. Următoarele afirmaţii sunt uşor de 

verificat 

1. Transformării liniare u1 + u2 îi corespunde matricea 

B , B ( u1 

+ u 2 ) = B B ( u1) 

B B u 2 

M 

1 2 

M 

1 , + M ( ) 

2 

1 , 2 

2. Transformării liniare αu1 (α ∈K) îi corespunde matricea 

M B1 

2 

, B ( αu1 

) = α B B ( u1) 

M 

1 , 2 

3. Transformării liniare u3u1 îi corespunde matricea 

B ( u 3u1 

) 

1 , = M B B ( u1) 

2 

M B 3 

1 , M B B ( u 3 ) 

2 , 

3


4. Dacă transformarea liniară u1 este inversabilă, atunci 

transformării liniare u1 -1 îi corespunde matricea 

−1 

( u ) 

-1 

M B2 

, B1 

1 = M B B ( u1) 

1 , . 

2 

Să verificăm ultimele două afirmaţii. Dacă ( u ) 

B ( u 3 ) 

2 , =( ij) 

M B 3 

β , atunci pentru orice 1 ≤ i ≤ n, avem 

1≤i≤m 

1≤ 

j≤p 

⎛ m ⎞ 

u3u1(ei) = u3(u1(ei)) = 3⎜ 

∑ αijf 

j ⎟ 

⎝ j= 

1 ⎠ 

Dacă ( u u ) 

m 

u = α u ( f ) 

124 

∑ 

j= 

1 

ij 

3 

α şi 

M B1 

, B2 

1 =( ij ) 1≤i≤n 

1≤ 

j≤m 

m p 

p 

⎛ ⎞ ⎛ m ⎞ 

=∑ αij⎜ 

∑β 

jkg 

k ⎟ = ∑⎜ ∑α 

ijβ 

jk ⎟g 

k . (1) 

j= 

1 ⎝ k= 

1 ⎠ k= 

1⎝ 

j= 

1 ⎠ 

M B1 

, B3 

3 1 =( γ ij ) 1≤i≤n 

matricea lui u3u1 în raport cu perechea de 

1≤ 

j≤p 

baze B1, B3, atunci pentru orice 1 ≤ i ≤ n, avem 

p 

∑ 

k= 

1 

u3u1(ei) = γ ikg k 

(2) 

Din (1) şi (2) (în baza unicităţii reprezentării unui vector într-o bază) 

m 

rezultă că γik = ∑ = 

echivalent cu 

j 1 

α 

ij 

β 

jk 

pentru orice 1 ≤ i ≤ n şi 1 ≤ k ≤ p, ceea ce este 

B ( u 3u1 

) 

1 , = M B B ( u1) 

2 

M B 3 

1 , M B B ( u 3 ) 

2 , 3 

Presupunem că transformarea liniară u1 este inversabilă (deci m = n), şi că 

−1 

( u ) 

M B2 

, B1 

1 este matricea lui u -1 în raport cu perechea de baze B2, B3. 

Din cele demonstrate mai sus, în baza faptului că transformării liniare 

identice îi corespunde matricea identică, rezultă că 

In = B ( ) 1 V1 

I 

−1 

M = M B ( u1 

u1) 

= M 

1 

B B ( u1) 

2 B 

In = M ( ) = ( u u 

1) 

−1 

u 

B2 V2 

I 

M B2 

1 

1 

−1 

1 , M B ( u1 

) 

2 , 1 

− = ( ) 

M M ( ) 

B2 

, B1 

1 B B u 

1 , 

2 1 

j 

.

Deci ( ) 

M B2 

1 

, B 

−1 

u1 

= B 


-1 

B ( u1) 

. 

M 

1 , 2 

Proprietăţile puse în evidenţă mai înainte arată că : 

1. aplicaţia ϕ : L(V1, V2) → Mn,m(K) definită prin 

ϕ(u) = ( u) 

M B 1 , B pentru orice u ∈ L(V1, V2) 

2 

este un izomorfism de spaţii vectoriale peste corpul K. 

2. aplicaţia ϕ : L(V1, V1) → Mn,n(K) definită prin 

( ) t 

ϕ(u) = ( ) 

B u M 1 

este un izomorfism de inele. 

pentru orice u ∈ L(V1, V1) 

Teorema 3.4.7. Fie V şi W două spaţii vectoriale finit dimensionale peste 


liniară. Fie B1, B2 două baze în V şi fie L matricea de 

trecere de la baza B1 la baza B2. Similar, fie B3, B4 două 

baze în W şi fie M matricea de trecere de la baza B3 la 

baza B4. Atunci 

B , ( u) 

=L ( u) 

M 

2 B4 

Demonstraţie. Folosim următoarele notaţii 

125 

M B 1 , B M 

3 

-1 

B1 ={e1, e2, …, en}, B2 ={f1, f2, …, fn} (baze în V), 

B3 ={g1, g2, …, gm}, B4 ={h1, h2, …, hm} (baze în W), 

B , ( u) 

=( α ij ) 1≤i≤n 

, ( u) 

M 

1 B3 

1≤ 

j≤m 

M B 2 , B =( ) 

4 ij 1≤i≤n 

1≤ 

j≤m 

cu perechea de baze B1, B3, respectiv B2, B4) 

L = ( ) 

M = ( ) 

β (matricele lui u în raport 

λ ij 1≤i≤n 

(matricea de trecere de la baza B1 la baza B2) 

1≤ 

j≤n 

µ ij 1≤i≤m 

(matricea de trecere de la baza B3 la baza B4) 

1≤ 

j≤m 

Pentru orice 1 ≤ i ≤ n, avem

n 

u(fi) = u( ∑ = 

j 1 

λ 

ij 

j 


n 

e ) = λ ( ) u 

∑ 

j= 

1 

ij j e 

n m 

m 

⎛ ⎞ ⎛ n 

= ∑λ ij⎜ ∑α 

jkg 

k ⎟ = ∑⎜ ∑λ 

ijα 

j= 

1 ⎝ k= 

1 ⎠ k= 

1⎝ 

j= 

1 

Pe de altă parte, pentru orice 1 ≤ i ≤ n, avem 

n 

u(fi) = ij j 

j 1 

h 

n m 

m 

⎛ ⎞ ⎛ n 

∑ β = ∑βij 

⎜ ∑µ 

jkg 

k ⎟ = ∑⎜ ∑βijµ 

= 

j= 

1 ⎝ k= 

1 ⎠ k= 

1⎝ 

j= 

1 

126 

jk 

⎞ 

⎟g 

k 

(1) 

⎠ 

jk 

⎞ 

⎟g 

k (2) 

⎠ 

Datorită unicităţii reprezentării unui vector într-o bază, din relaţiile (1) şi 

(2) rezultă că 

n 

∑ 

j= 

1 

λ 

ceea ce revine la 

n 

ij α jk = ij jk 

j 1 

µ β ∑ 

= 

L ( u) 

Înmulţind la stânga cu M -1 , obţinem 

pentru orice 1 ≤i ≤ n şi 1 ≤ k ≤m, 

M B 1 , B = M ( u) 

3 B 2 , B4 

B , ( u) 

=L ( u) 

M 

2 B4 

M. 

M B 1 , B M 

3 

-1 . 

Corolarul 3.4.8. Fie V un spaţiu vectorial finit dimensional peste un corp 

comutativ K, şi u : V → V un endomorfism. Fie B1, B2 

două baze în V şi fie C matricea de trecere de la baza B1 

la baza B2. Atunci 

B ( u) 

=C ( u) 

M 2 

M B C 

1 

-1 

Demonstraţie. În Teorema 3.4.7 considerăm B3 = B1 şi B4 = B1. 

Exemplul 3.4.9. Fie R3[X] spaţiul vectorial al polinoamelor de grad cel 

mult 3, cu coeficienţi reali (vezi şi exemplul 3.4.3). Considerăm 

transformarea liniară D1: R3[X] → R3[X], definită prin D1(P) = XP'. 

Determinăm matricea asociată lui D1 în raport cu baza

Dacă 

atunci 

Matricea lui D1 în raport cu baza 

este 


B = { 1, 1+X, (1 + X) 2 , (1 + X) 3 } 

B ( 1) 

D M 0 

P = α0 + α1X +α2X 2 +α3X 3 

D1(P) = α1X +2α2X 2 +3α3X 3 . 

B0 ={1, X, X 2 , X 3 } 

Matricea de trecere de la baza B0 la baza B este 

Cum M ( ) =C ( ) 

B D1 

B 1 D M 0 

C = 

= 

C -1 rezultă că 

( ) 

M = 

B D1 

0 0 0 0 

0 1 0 0 

0 0 2 0 

0 0 0 3 

1 0 0 0 

1 1 0 0 

1 2 1 0 

1 3 3 1 

127 

0 0 0 0 

-1 1 0 0 

0 -2 2 0 

0 0 -3 3


3.5. Endomorfisme particulare 

Definiţia 3.5.1. Fie V un spaţiu vectorial peste corpul comutativ K. 

Endomorfismul u : V → V se numeşte 

1. automorfism dacă este bijectiv; 

2. proiecţie (sau endomorfism idempotent) dacă u 2 = u; 

3. involuţie dacă u 2 = I (I este transformarea liniară 

identică pe V); 

4. antiinvoluţie dacă u 2 = - I; 

5. endomorfism nilpotent de indice p∈N (p≥2) dacă u p = 

O şi u p-1 ≠ O (O este transformarea liniară nulă pe V). 

Propoziţia 3.5.2. Fie V un spaţiu vectorial peste corpul comutativ K. Fie 

V1 şi V2 două subspaţii vectoriale ale lui V cu 

proprietatea că V = V1 ⊕ V2. Aplicaţiile P1, P2 : V → V, 

definite prin 

128 

P1(x) = x1 

P2(x) = x2, 

(unde x = x1 + x2 este unica reprezentare a lui x cu 

proprietatea că x1 ∈ V1 şi x2 ∈V2) sunt proiecţii. 

Demonstraţie. Fie x = x1 + x2 ∈ V1 ⊕ V2 (x1 ∈ V1, x2 ∈V2) şi y = y1 + y2 

din V1 ⊕ V2 (y1 ∈ V1, y2 ∈V2) şi fie α, β ∈ K. Atunci 

P1(αx + β y) = P1(αx1 + βy1 + αx2 + βy2) = αx1 + βy1 = αP1(x) + βP1(y). 

Deci P1 este aplicaţie liniară. Analog, P2 este aplicaţie liniară. Pentru 

orice x = x1 + x2 ∈ V1 ⊕ V2 (x1 ∈ V1, x2 ∈V2), avem 

P1(P1(x)) = P1(x1) = x1 = P1(x).


Analog P2 este endomorfism idempotent. 

Definiţia 3.5.3. Fie V1, V2 două subspaţii ale unui spaţiu vectorial V 

peste corpul comutativ K astfel încât V = V1 ⊕ V2. 

Aplicaţiile P1, P2 : V → V, definite prin 

129 

P1(x) = x1 

P2(x) = x2, 

unde x = x1 + x2 este unica reprezentare a lui x cu 

proprietatea că x1 ∈ V1 şi x2 ∈V2, se numesc proiecţii 

canonice : P1 se numeşte proiecţia lui V pe V1 (de-a 

lungul lui V2), iar P2 se numeşte proiecţia lui V pe V2 (de- 

a lungul lui V1) . 

Propoziţia 3.5.4. Fie V un spaţiu vectorial peste corpul comutativ K. 

Dacă P : V → V este o proiecţie, atunci există subspaţiile 

vectoriale V1 şi V2 astfel încât V = V1 ⊕ V2 şi P să fie 

proiecţia lui V pe V1 (de-a lungul lui V2). 

Demonstraţie. Considerăm subspaţiile vectoriale: 

V1 = Im P ={P(x) : x ∈ V} ,V2 = Ker P ={x∈V: P(x) = 0} 

Arătăm mai întâi că V1 = {x∈V : P(x) = x}. Dacă y∈V1, atunci 

există x ∈ V astfel încât y = P(x), şi ca urmare P(y) = P(P(x)) = P 2 (x) = 

P(x) =y. Deci y ∈{x∈V : P(x) = x}. 

Reciproc, orice y∈{x∈V : P(x) = x}, are proprietatea că y =P(y) ∈ Im P. 

Arătăm că V = V1 ⊕ V2. Dacă x ∈ V1 ∩ V2, atunci x = P(x) = 0. În 

consecinţă V1 ∩ V2 = {0}. Pentru orice x ∈ V, avem x = P(x) + (I - P)(x) 

(I este transformarea liniară identică pe V).


Notăm x1 =P(x) şi x2 =(I - P)(x). Evident x1 ∈ Im p =V1. Dacă arătăm că 

x2 ∈ V2 demonstraţia este încheiată. Din P(x2) = P((I - P)(x)) =P(x -P(x)) 

= P(x) -P(P(x)) = P(x) -P 2 (x) = P(x) -P 2 (x) = P(x) -P(x) = 0, rezultă că x2 

∈ Ker P = V2. 

Observaţia 3.5.5. Din demonstraţia propoziţiei precedente rezultă 

următoarele afirmaţii: 

1. Dacă V un spaţiu vectorial peste corpul comutativ K şi P : V → V este 

o proiecţie, atunci 

V = Im P ⊕ Ker P 

2. Fie V1 şi V2 două subspaţii ale spaţiului vectorial V peste corpul 

comutativ K, astfel încât V = V1 ⊕ V2. 

2.1. Dacă P este proiecţia lui V pe V1, atunci 

V1 = Im P ={P(x) : x ∈ V} ={x∈V : P(x) = x} 

V2 = Ker P ={x∈V: P(x) = 0} 

2.2. Dacă P este proiecţia lui V pe V1, atunci I - P1 este proiecţia 

lui V pe V2 şi reciproc. 

2.3. Dacă P1 şi P2 sunt proiecţiile V pe V1, respectiv V2, atunci 

P1 + P2 = I 

P1P2 = P2P1 = O. 

Definiţia 3.5.6. Considerăm un spaţiu vectorial V peste corpul comutativ 

K şi u : V → V un endomorfism. Un subspaţiu invariant 

faţă de endomorfismul u este un subspaţiu vectorial V1 al 

lui V, astfel ca u(V1) ⊂ V1 (adică, u(x) ∈ V1 pentru orice x 

din V1). 

130

Aplicaţia 


Fie V1 ⊂ V un subspaţiu invariant la endomorfismul u : V→V. 

u | V : V1 → V1, definită prin u ( x) 

1 

V1 

131 

| = u(x) pentru orice x∈V1, 

este un endomorfism numit endomorfism indus de u pe V1 (sau restricţia 

lui u la V1). 

Observaţie 3.5.7. Un subspaţiu vectorial V1 al lui V este invariant faţă de 

endomorfismul u : V → V dacă şi numai dacă imaginile prin u ale 

vectorilor unei baze din V1 aparţin tot lui V1. Într-adevăr, să presupunem 

că {e1, e2, … ,em} este o bază în V1 şi că u(ei) ∈V1 pentru orice 1 ≤ i ≤m. 

Deoarece orice x ∈ V1 se reprezintă sub forma 

x = α1e1 + α2e2 + …+αmem, α1, α2, …, αm∈K, 

rezultă că u(x) =α1u(e1) + α2u(e2) + …+αmu(em) ∈V1. Implicaţia inversă 

este evidentă. 

Exemple 3.5.8. Considerăm un spaţiu vectorial V peste corpul comutativ 

K şi u : V → V un endomorfism. Se verifică uşor că 

1. V şi {0} sunt subspaţii invariante faţă de u. 

2. Ker u m ={x∈V: u m (x) = 0} este subspaţiu invariant faţă de u, 

pentru orice m∈N * . 

3. Im u m ={ u m (x) : x∈V} este subspaţiu invariant faţă de u, 

pentru orice m∈N * . 

4. Dacă V1 şi V2 sunt două subspaţii vectoriale ale V 

invariante faţă de u, atunci V1∩ V2 şi V1 + V2 sunt subspaţii invariante 

faţă de u. 

Propoziţia 3.5.9. Fie V un spaţiu vectorial finit dimensional peste corpul 

comutativ K şi u : V → V un endomorfism. Un subspaţiu


vectorial V1 ⊂ V este invariant la u dacă şi numai dacă 

PuP = uP, unde P este proiecţia lui V pe V1. 

Demonstraţie. Fie V = V1⊕V2 şi x ∈V. Atunci x se scrie în mod unic sub 

forma x = x1 + x2 cu x1 ∈ V1 şi x2∈V2. Presupunem că V1 este invariant la 

u. Cum uP(x) = u(x1) ∈V1, rezultă că P(uP(x)) = u(x1). Deci 

PuP(x) = uP(x). 

Reciproc, presupunem că PuP = uP. Dacă x∈V1, atunci x1 = x şi x2 =0 

(sau echivalent , P(x) =x) şi deci, u(x) = u(x1) = uP(x) = PuP(x) = 

P(u(P(x)) = P(u(x)). Ca urmare, u(x) ∈ Im P = V1. 

Teorema 3.5.10. Fie V1 şi V2 două subspaţii ale unui spaţiu vectorial V 

peste corpul comutativ K, astfel încât V = V1 ⊕ V2. 

Subspaţiile V1 şi V2 sunt invariante faţă de un 

endomorfism u: V → V dacă şi numai dacă Pu = uP, 

unde P este proiecţia lui V pe V1 de-a lungul lui V2. 

Demonstraţie. Dacă P este proiecţia lui V pe V1 de-a lungul lui V2, 

atunci I-P este proiecţia lui V pe V2 de-a lungul lui V1. Presupunem că V1 

şi V2 sunt invariante la u. Din propoziţia precedentă rezultă că 

PuP= uP şi (I-P)u(I-P) = u(I-P). 

Relaţia (I-P)u(I-P)=u(I-P) este echivalentă cu Pu =PuP. Deci 

uP =PuP =Pu. 

Reciproc, să presupunem că Pu = uP. Aplicând P la dreapta, obţinem 

PuP = uP 2 = uP şi, conform propoziţie precedente, rezultă că V1 =Im P 

este invariant la u. Pe de altă parte, Pu = uP implică (I-P)u = u(I-P). 

Aplicând proiecţia I-P la dreapta, obţinem (I-P)u(I-P) = u(I-P) 2 = u(I-P), 

şi ţinând cont din nou de propoziţia precedentă, rezultă că V2 =Im(I-P) 

este invariant la u. 

132


Propoziţia 3.5.11. Fie V un spaţiu vectorial peste corpul comutativ K. 

Relaţiile 

1 

u = 2P - I, P = (u + I), 

2 

(unde I este transformarea liniară identică pe V) 

stabilesc o corespondenţă biunivocă între proiecţii şi 

involuţii pe V. 

Demonstraţie. Dacă P : V → V o proiecţie, atunci 2P - I este 

transformare liniară. Să verificăm faptul că este involuţie: 

(2P - I ) 2 = 4P 2 - 4P + I = 4P - 4P + I =I. 

1 

Reciproc, dacă u : V → V este o involuţie, atunci (u + I) este o 

2 

1 2 1 2 1 

transformare liniară, şi în plus, ( (u + I)) = (u +2u +I) = (I+2u +I) 

2 

4 

4 

1 1 

= (I +u). Deci (u + I) este proiecţie. 

2 

2 

Propoziţia 3.5.12. Fie V un spaţiu vectorial finit dimensional peste 

corpul comutativ K. V admite o antiinvoluţie dacă şi 

numai dacă dimensiunea lui V peste K este pară. 

Demonstraţie. Presupunem că dimensiunea lui V peste K este pară şi 

construim o antiinvoluţie pe V. Fie {e1, e2, …,e2n} o bază a lui V. Este 

suficient să definim antiinvoluţia pe vectorii bazei. Fie u : V → V, 

definită prin 

u(ei) = ei+n şi u(ei+n) = -ei pentru orice 1 ≤ i ≤ n. 

Se observă că u 2 (ei) = - ei pentru orice 1 ≤ i ≤ 2n, şi deci u 2 = - I. 

133


Reciproc, fie u : V → V o antiinvoluţie. Dacă x1 este un vector nenul din 

V, atunci {x1, u(x1)} este liniar independentă. Într-adevăr, fie scalarii α1, 

α2∈K astfel încât 

α1x1 + α2u(x1) = 0 (1) 

Aplicând, u în relaţia 1 şi ţinând seama că u 2 (x1) = -x1, obţinem 

α1u(x1) - α2x1 = 0 (2) 

Adunând relaţia 1 înmulţită cu α1 cu relaţia 2 înmulţită cu (-α2) , obţinem 

(α1 2 +α2 2 )x1 = 0, de unde α1 2 +α2 2 = 0, sau echivalent α1 = α2 = 0. 

Mai general, arătăm că dacă x1, x2, …, xm sunt vectori din V astfel încât 

să fie liniar independentă, atunci 

{x1, x2, …, xm, u(x1), u(x2),.., u(xm-1)} 

{x1, x2, …, xm, u(x1), u(x2),.., u(xm-1) , u(xm)} 

este liniar independentă. Fie α1, α2, …, α2m∈K astfel încât 

α1x1 +α2x2 + … +αmxm + αm+1u(x1) + αm+2u(x2) + … + 

+ α2m-1u(xm-1) + α2mu(xm) = 0 (3). 

Aplicând, u în relaţia 3 şi ţinând seama că u 2 (x) = -x pentru orice x∈V, 

obţinem 

α1u(x1) + α2u(x2) +… + αmu(xm) - αm+1x1 - αm+2x2 - … - 

- α2m-1xm-1 - α2mxm = 0 (4). 

Prin adunarea relaţiei 3 înmulţită cu αm cu relaţia 4 înmulţită cu (-α2m) , 

obţinem 

(α1αm + αm+1α2m) x1 +(α2αm + αm+2α2m)x2 + … +(αm 2 +α2m 2 )xm + 

+ (αm+1αm -α1α2m)u(x1) + … + (α2m-1αm -αm-1α2m)u(xm-1) = 0. 

Cum {x1, x2, …, xm, u(x1), u(x2),.., u(xm-1)} este liniar independentă, 

(α1αm + αm+1α2m) =…= (αm 2 +α2m 2 ) = … =(α2m-1αm -αm-1α2m) = 0, 

134


de unde rezultă, în particular, că α2m = 0. Înlocuind în relaţia 3 α2m = 0, şi 

ţinând din nou cont că {x1, x2, …, xm, u(x1), u(x2),.., u(xm-1)} este liniar 

independentă, obţinem α1 = α2 = … = α2m = 0. 

Construim o bază a lui V după cum urmează. Alegem x1 o vector nenul 

din V. Am arătat că {x1, u(x1)} este liniar independentă. Dacă 

dimensiunea lui V nu este 2, există x2∈V, astfel încât {x1, x2, u(x1)} să fie 

liniar independentă. Din cele demonstrate mai sus rezultă că {x1, x2, u(x1), 

u(x2)} este liniar independentă. Continuând acest procedeu obţinem o 

bază a lui V cu un număr par de vectori. 

Observaţia 3.5.13. Fie V un spaţiu vectorial finit dimensional peste 

corpul comutativ K şi u: V →V o antiinvoluţie. Atunci există o bază B a 

lui V astfel încât MB(u) (matricea lui u în raport cu baza B) să fie 

Într-adevăr, din demonstraţia propoziţiei precedente, rezultă că putem 

construi o bază a lui V de forma B = {x1, x2, …, xm, u(x1), u(x2),.., u(xm-1) 

, u(xm)}. Evident, matricea lui u în raport cu această bază are forma de 

mai sus. 

Propoziţia 3.5.14. Fie V un spaţiu vectorial peste corpul comutativ K şi 

u: V→V un endomorfism nilpotent de indice p (u p = O şi 

u p-1 ≠ O). Mulţimea 

{x, u(x), …, u p-1 (x)} 

este liniar independentă oricare ar fi vectorul nenul x∈V 

cu u p-1 (x) ≠0. 

O Im 

-Im O 

135


Demonstraţie. Fie x∈V cu x ≠ 0 şi u p-1 (x) ≠0. Presupunem prin absurd că 

{x, u(x), …, u p-1 (x)} nu este liniar independentă. Fie scalarii α0, α1, …,αp- 

1 ∈ K, nu toţi nuli, astfel încât 

α0x + α1u(x) + αp-1 u p-1 (x) = 0. (1) 

Fie k cel mai mic indice cu proprietatea că αk ≠ 0. Din relaţia 1 rezultă că 

u k (x) = - αk -1 (α0x + α1u(x) + αk-1 u k-1 (x) + αk+1 u k+1 (x) + … + αp-1 u p-1 (x)) 

= - αk -1 ( αk+1 u k+1 (x) + … + αp-1 u p-1 (x)) 

= - αk -1 αk+1 u k+1 (x) - αk -1 αk+2 u k+2 (x)- … - αk -1 αp-1 u p-1 (x)) 

= u k+1 ( - αk -1 αk+1 x- αk -1 αk+2 u k (x) … - αk -1 αp-1 u p - k-2 (x)) 

Dacă notăm y = - αk -1 αk+1 x- αk -1 αk+2 u k (x) … - αk -1 αp-1 u p - k-2 (x), rezultă 

că u k (x) = u k+1 (y). Avem u p-1 (x) = u p-k-1 (u k (x)) = u p-k-1 (u k+1 (y)) = u p (y) = 0, 

deoarece u este nilpotent de indice p. Dar u p-1 (x) = 0 contrazice ipoteza. 

Ca urmare {x, u(x), …, u p-1 (x)} este liniar independentă. 

Observaţia 3.5.15. Fie V un spaţiu vectorial peste corpul comutativ K şi 

u: V→V un endomorfism nilpotent de indice p (u p = O şi u p-1 ≠ O). 

Notăm cu L spaţiul vectorial generat de {x, u(x), …, u p-1 (x)}. Evident L 

este un spaţiu invariant la u. Matricea endomorfismului u|L indus de u pe 

L în baza B = {x, u(x), …, u p-1 (x)}, este 

MB(u|L) = 

Teorema 3.5.16. Fie V un spaţiu vectorial finit dimensional peste corpul 

comutativ K. Pentru orice endomorfism u: V→ V există 

două subspaţii vectoriale V1 şi V2 ale lui V invariante la u 

astfel încât: 

0 1 0 0 …0 0 

0 0 1 0 …0 0 

0 0 0 0 …0 1 

0 0 0 0 …0 0 

136

Demonstraţie. Notăm 

1. V = V1 ⊕ V2 

2. endomorfismul 


endomorfism nilpotent, dacă V1 ≠ {0}. 

u | V indus de u pe V1 este 

1 

3. endomorfismul u | V2 

indus de u pe V2 este 

endomorfism nesingular, dacă V2 ≠ {0}. 

Nm = Ker u m ={x∈V: u m (x) = 0} , Rm = Im u m ={ u m (x) : x∈V} 

pentru orice m∈N * . Subspaţiile Nm şi Rm sunt invariante faţă de u, şi în 

plus, se arată uşor că N1 ⊂ N2 ⊂ …⊂ Nm ⊂…, R1 ⊃ R2 ⊃… ⊃ Rm ⊃… 

Deoarece V este finit dimensional nu toate incluziunile Ni ⊂ Ni+1 

pot fi stricte. Deci există i astfel încât Ni = Ni+1. Dacă Ni = Ni+1, atunci 

putem demonstra prin inducţie după j ≥ 1, că Ni = Ni+j pentru orice j ∈ N. 

Presupunem afirmaţia adevărată pentru j-1 şi o demonstrăm pentru j. 

Dacă x ∈ Ni+j, atunci u i+j (x) = 0. Din u i+j (x) = 0, rezultă că u i+j (x) = 

u i+1 (u j-1 (x)) =0, sau echivalent u j-1 (x)∈Ni+1. Dar Ni+1 = Ni, de unde rezultă 

că u j-1 (x)∈Ni, adică u i (u j-1 (x)) = 0. Am arătat că u i+j-1 (x) = 0, adică x∈Ni+j-1 

= Ni (din ipoteza de inducţie). 

Deoarece R1 este finit dimensional nu toate incluziunile Ri ⊃ Ri+1 

pot fi stricte. Deci există k astfel încât Rk = Rk+1. Dacă Rk = Rk+1, atunci 

putem demonstra prin inducţie după j ≥ 1, că Rk = Rk+j pentru orice j ∈ N. 

Presupunem afirmaţia adevărată pentru j-1 şi o demonstrăm pentru j. 

Dacă y ∈ Rk, atunci conform ipotezei de inducţie y ∈Rk+j-1, sau echivalent 

există x ∈ V astfel încât y = u k+j-1 (x). Din u k (x) ∈Rk = Rk+1, rezultă că 

există z ∈ V astfel încât u k (x) = u k+1 (z). În consecinţă, 

y = u k+j-1 (x) = u j-1 (u k (x)) = u j-1 (u k+1 (z)) = u j+k (z)∈Rk+j. 

137


Fie i0 cel mai mic indice cu proprietatea că 

indice cu proprietatea că 

k0 

138 

N = 1 

i0 

N i0+ , k0 cel mai mic 

R = R + 1 şi fie p = max{i0, k0}. Din cele de 

k 0 

mai sus, rezultă că Np = Np+1 şi Rp = Rp+1. Arătăm că V = Np ⊕ Rp. Din 

Teorema 3.3.7, rezultă că 

dimKV = dimK(Ker u p ) + dimK(Im u p ) = dimK(Np) + dimK(Rp). 

Deci pentru a demonstra că V = Np ⊕ Rp, este suficient să arătăm că 

Np ∩ RP ={0}. 

Fie x∈ Np ∩ RP. Pe de o parte, u p (x) = 0. Pe de altă parte există z ∈ V 

astfel încât x = u p (z). Cum u 2p (z) =u p (u p (z)) = u p (x) = 0, rezultă că z∈N2p 

= NP. Dar z∈NP implică u p (z) = 0, şi deci x = 0. 

Luăm V1 = Np şi V2 = Rp. Deoarece u p (V1)= u p (Np) = {0}, rezultă 

endomorfismul 

u | V indus de u pe V1 este endomorfism nilpotent. 

1 

Rămâne să arătăm că endomorfismul u | V2 

indus de u pe V2 este 

endomorfism nesingular. Cum V2 este finit dimensional, este suficient să 

arătăm că u | V2 

este injectiv. Fie x∈Ker u | V2 

. Din x ∈V2 =Im u p , rezultă 

că există z ∈ V astfel încât x = u p (z). Deoarece 0 =u(x) = u p+1 (z), z ∈ Np+1 

= Np. Deci u p (z) = 0, şi ca urmare x = 0. 

Lema 3.5.17. Fie V un spaţiu vectorial finit dimensional peste corpul 

comutativ K, şi u: V→V un endomorfism nilpotent de 

indice p(u p = O şi u p-1 ≠ O). Fie Ni = Ker u i pentru orice i 

∈N. Atunci 

1. {0} = N0 ⊂ N1 ⊂ … ⊂ Np-1 ⊂ Np = V, incluziunile fiind 

stricte; 

2. u(Ni) ⊂ Ni-1 pentru orice 1 ≤ i ≤ p;


3. dacă i≥ 1 şi L este un subspaţiu vectorial al lui V cu 

proprietatea că L ∩ Ni = {0}, atunci Ker u ∩ L ={0} şi 

u(L) ∩ Ni-1 ={0}; 

4. există subspaţiile vectoriale F1, F2, …, Fp ⊂ V astfel 

încât N1 = F1, Ni = Ni-1 ⊕ Fi şi u(Fi) ⊂ Fi-1 pentru orice 

2≤ i≤ p. 

Demonstraţie. 1. Şirul de incluziuni de la 1 este evident. Să verificăm 

faptul că sunt stricte. Fie x ∈ V astfel încât u p-1 (x) ≠ 0. Presupunem prin 

absurd că există i ≥ 2 astfel încât Ni-1 = Ni. Din 0 = u p (x) = u i (u p-i (x)), 

rezultă că u p-i (x) ∈Ker u i = Ker u i-1 , şi deci că u i-1 (u p-i (x)) = 0. Obţinem 

de unde u p-1 (x) = 0, ceea ce contrazice alegerea lui x. 

2. Dacă y ∈ u(Ni), atunci există x ∈Ni astfel încât y = u(x). Astfel 

avem u i-1 (y) = u i-1 (u(x)) = u i (x) = 0, deci y ∈Ni-1. 

3. Dacă x∈ Ker u ∩ L, atunci u(x) = 0 (şi în consecinţă u i (x) =0) şi 

x ∈L. Deci x ∈ L ∩ Ni = {0}. Dacă y ∈ u(L) ∩ Ni-1, atunci u i-1 (y) =0 şi 

există x ∈L astfel încât u(x) = y. Din u i (x) =u i-1 (y) = 0, rezultă că x ∈Ni. 

Deci x ∈ L ∩ Ni = {0}, şi ca urmare y = u(x) =0. 

4. Fie i ≥ 2. Deoarece Ni = Ni-1⊕Fi, Fi ∩ Ni-1 = {0}, şi din punctul 3 

rezultă că u(Fi) ∩ Ni-2 = {0}. Pe de altă parte, 

u(Fi) ⊂ u(Ni) ⊂ Ni-1 = Ni-2⊕Fi-1. 

Cum u(Fi) ∩ Ni-2 = {0} şi u(Fi) ⊂ Ni-2⊕Fi-1, rezultă că u(Fi) ⊂ Fi-1. 

Teorema 3.5.18. Fie V un spaţiu vectorial n-dimensional peste corpul 

comutativ K, şi u: V→V un endomorfism nilpotent. Atunci 

există o bază B lui V astfel încât matricea lui u în raport 

cu baza B să aibă forma 

139

MB(u) = 


unde ξi ∈ {0, 1} pentru orice 1 ≤ i ≤ n-1. 

Demonstraţie. Fie p indicele endomorfismului u (u p = O şi u p-1 ≠ O). 

Notăm Ni = Ker u i pentru orice i ∈N. Fie F1, F2, …, Fp ⊂ V astfel încât N1 

= F1, Ni = Ni-1 ⊕ Fi pentru orice 2≤ i≤ p. Din lema precedentă, rezultă că 

u(Fi) ⊂ Fi-1 pentru orice 2≤ i≤ p. Mai mult, 

V = Np = Np-1 ⊕ Fp = Np-2 ⊕ Fp-1 ⊕Fp = …=F1⊕F2⊕…⊕Fp. 

Deoarece Fi ∩ Ni-1 = {0}, conform lemei precedente (punctul 3), rezultă 

că Fi ∩ Ker u ={0}. Fie B1 = {e11, e12, …, 

140 

e 1n 

} o bază în Fp. Notăm e2i = 

1 

u(e1i)∈Fp-1 pentru orice 1 ≤ i ≤ n1. Mulţimea {u(e11), u(e12), …, u( 

este liniar independentă. Într-adevăr dacă α1, α2, …, 

α1 u(e11)+ α2 u(e12) + … + 

αn1 

e ) =0, ceea ce implică 

1n1 

α u( 

n1 

α1 e11+ α2 e12 + … + 

Deoarece {e11, e12, …, 

că α1 = α2 = … = 

n1 

1n1 

o bază B2 = {e21, e22, …, 

e )} 

1n1 

αn ∈ K astfel încât 

1 

e 1n 

)=0, atunci u(α1 e11+ α2 e12 + … + 

1 

αn1 

e ∈Ker u ∩ Fp-1 = {0} 

1n1 

e } este liniar independentă, fiind bază, rezultă 

α = 0. Completăm {u(e11), u(e12), …, u( e )} până la 

e , e , n + 1, 

…, 

2n1 

2 1 

1n1 

e 2n 

} în Fp-1. Continuăm 

2 

procedeul şi obţinem în fiecare subspaţiu Fi ( i = p-1, p-2, …,1) o bază 

Bp-i+1 ={ep-i+1,1, ep-i+1,2, …, 

0 ξ1 0 0 …0 0 

0 0 ξ2 0 …0 0 

0 0 0 0 …0 ξn-1 

0 0 0 0 …0 0 

e 

p− 

i+ 

1, 

n , i+ 

1, 

n 1 

p−i 

e + 

p− p−i 

, …, e 

p− 

i+ 

1, 

n } 

p−i+ 

1


cu proprietatea că ep-i+1,j = u(ep-i,j) pentru orice 1 ≤ j ≤ np-i. Deoarece V = 

F1⊕F2⊕…⊕Fp, rezultă că B1 ∪ B2 ∪ ..∪ Bp este o bază în V. Ordonăm 

baza B sub forma (e11, e21, …, ep1, e12, e22, …, ep2, …, 

e p , n , e 

1 2, n1+ 

1, 

e 3, n1+ 

1, 

…, e p , n1+ 

1 

, …, 

2 n2 

141 

3 n2 

p n2 

e , , 

1 n1 

e , , e , , …, e , , …, e , ). 

p n 

p 

e , , …, 

2 n1 

Este uşor de observat că eji = u j-k (eki)pentru orice 1 ≤ k ≤ p-1, k+1 ≤ 

j≤ p, np-k-1 ţia ca n0 = 0. 

De aici rezultă că u(epi) = u p-k+1 (eki) = 0 (pentru că eki ∈ Fp-k+1 ⊂ Np- 

k+1), pentru orice np-k-1 

u(e11) = e21 

u(e21) = e31 

u(ep-1,1) = ep1 

u(ep1) = 0 

u( e ) = 

1n1 

u(e12) = e22 

u(e22) = e32 

u( e 

p− 

1, 

n 

p−1 

u(ep1) = 0 

e 2n1 

) = e 

u( e ) = 0. 

pnp 

p , n 

p−1 

rezultă că matricea lui u în raport cu baza ordonată astfel este 

0 1 0 0 …0 0 

0 0 1 0 …0 0 

0 0 0 0 …0 1 

0 0 0 0 …0 0 

0 1 0 0 …0 0 

0 0 1 0 …0 0 

0 0 0 0 …0 1


Exemplul 3.5.19. Fie A matricea corespunzătoare endomorfismul u în 

baza canonică din R 5 (Bc ={[1,0,0,0,0], [0,1,0,0,0], [0,0,1,0,0], 

[0,0,0,1,0], [0,0,0,0,1]}): 

Avem 

A= 

A 2 = A 3 3 -3 0 6 -3 

0 0 0 0 0 

-6 6 0 -12 6 

= 

-3 3 0 -6 3 

-3 3 0 -6 3 

Deci u este un endomorfism nilpotent de indice 3. Vom determina o bază 

în care matricea lui să aibă forma indicată în Teorema 3.5.18. 

Determinăm subspaţiile Ni = Ker u i , 0 ≤ i ≤ 3: 

{0} = N0 ⊂ N1 ⊂ N2 ⊂ N3 = R 5 . 

Un vector [x1, x2, x3, x4, x5]∈Ker u i dacă şi numai dacă (x1, x2, x3, x4, x5) 

este soluţie a sistemului 

1 2 0 2 -1 

1 -1 0 2 -1 

4 -10 6 -4 -4 

2 -5 3 -2 -2 

4 -7 6 -4 -4 

[x1, x2, x3, x4, x5]A i =[0,0,0,0,0]. 

142 

0 0 0 0 0 

0 0 0 0 0 

0 0 0 0 0 

0 0 0 0 0 

0 0 0 0 0


Determinarea subspaţiului N1 : 

[x1, x2, x3, x4, x5]∈N1 (x1, x2, x3, x4, x5) este soluţie a sistemului 

Rangul matricei sistemului este 3. Considerând necunoscute secundare x3 

= α, x5 = β, obţinem soluţia generală a sistemului 

În consecinţă, 

O bază în N1 este 

x1 = -β, x2 = β, x3= α, x4 = -2α -2β, x5 =β. 

N1 ={[ -β, β, α, -2α -2β, β]: α, β∈R}. 

{[ 0,0, 1, -2, 0], [ -1, 1, 0, -2, 1]} 

Determinarea subspaţiului N2: 

[x1, x2, x3, x4, x5]∈N2 (x1, x2, x3, x4, x5) este soluţie a sistemului 

Rangul matricei sistemului este 1. Considerând necunoscute secundare x2 

= α, x3 = β, x4 =λ x5 = µ obţinem soluţia generală a sistemului 

În consecinţă, 

O bază în N2 este 

x1 + x2 + 4x3 + 2x4 + 4x5 = 0 

2 x1 - x2 -10 x3 -5x4 - 7x5 = 0 

6x3 + 3x4 + 6 x5 = 0 

2 x1 +2 x2 -4 x3 - 2x4 - 4 x5 = 0 

- x1 - x2 - 4 x3 - 2 x4 -4 x5 = 0 

3x1 - 6x3 - 3x4 - 3x5 = 0 

-3x1+ 6x3 + 3x4 + 3x5 = 0 

0x1 + 0x3 + 0x4 + 0x5 = 0 

6x1 - 12x3 - 6x4 - 6x5 = 0 

-3x1 + 6x3 + 3x4 +3x5 = 0 

x1 = 2β +λ+µ, x2 = α, x2 = β, x4 =λ x5 = µ 

N2 ={[ 2β +λ+µ, α, β, λ µ]: α, β, λ, µ ∈ R}. 

{[ 0, 1, 0, 0, 0], [ 2, 0, 1, 0, 0], [1, 0, 0, 1, 0], [1, 0, 0, 0, 0]} 

Considerăm subspaţiile F1, F2, F3 cu proprietăţile 

143


R 5 = N3 = N2 ⊕ F3, N2 = N1 ⊕ F2, N1 =F1. 

Deoarece dimRN3 = 5 = dimRN2 + dimRF3 şi dimRN2 =4 rezultă că 

dimRF3 = 1. Pentru a determina o bază în F3 este suficient să considerăm 

un vector care nu aparţine lui N2. Astfel dacă e11 =[1, 0, 0, 0, 0], atunci 

B1 = {e11} este o bază în F3. Fie 

e21 = u(e11) =[1, 0, 0, 0, 0]A =[1, 2, 0, 2, -1]. 

Din demonstraţia teoremei precedente rezultă că e21 ∈ F2. Deoarece 

dimRN2 = 4 = dimRN1 + dimRF2 şi dimRN1 =2 rezultă că dimRF2 = 2. 

Completăm {e21} până la o bază în F2. Pentru aceasta alegem un vector 

e22 din N2 astfel încât 

{[ 0,0, 1, -2, 0], [ -1, 1, 0, -2, 1], [1, 2, 0, 2, -1], e22} 

bază în N1 e21 = u(e11) 

să fie liniar independentă. Dacă alegem e22 = [1, 0, 0, 0, 1] ∈N2 condiţia 

de liniar independenţă este îndeplinită şi B2 = {e21, e22} este bază în F2. 

Determinăm o bază pentru F1 = N1 procedând la fel. Fie 

e31 = u(e21) = [1, 2, 0, 2, -1]A = [3, -3, 0, 6,-3] 

e32 = u(e22) = [1, 0, 0, 0, 1] A = [5, -5, 6, -2-, 5] 

Mulţimea {e31, e32} este liniar independentă şi inclusă în F1. Cum dimRF1 

= dimRN1 = 2, rezultă că B3 = {e31, e32} este de fapt bază în F1. 

Considerăm baza lui R 5 , obţinută prin ordonarea vectorilor din B1∪B2 

∪B3 ca în demonstraţia teoremei precedente: 

Deoarece 

B = (e11, e21, e31, e22, e32) 

u(e11) = e21, u(e21) = e31, u(e31) = 0, u(e22) = e32, u(e32) = 0 

Matricea lui u în raport cu baza B este 

0 1 0 0 0 

0 0 1 0 0 

0 0 0 144 0 0 

0 0 0 0 1 

0 0 0 0 0

MB(u) = 


Matricea de trecere de la baza canonică Bc la baza B este 

C = 

Se verifică faptul că CAC -1 = MB(u). 

3.6. Spaţii normate. Spaţii metrice. Norma unei transformări 

liniare 

Fie X o mulţime. Se numeşte distanţă pe X o funcţie d: X × X → R 

cu următoarele proprietăţi: 

1. d(x, y) ≥ 0 pentru orice x, y ∈X; 

2. d(x, y) = 0 dacă şi numai dacă x = y; 

3. d(x,y) = d(y,x) pentru orice x, y ∈X; 

4. d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y) pentru orice x, y, y ∈X. 

Perechea (X, d) se numeşte spaţiu metric. 

Fie V un spaţiu vectorial peste corpul comutativ K (K=R sau 

K=C). O normă pe V este o funcţie p: V →R care satisface următoarele 

condiţii: 

1. p(x) ≥ 0 pentru orice x ∈V; 

1 0 0 0 0 

1 2 0 2 -1 

3 -3 0 6 -3 

1 0 0 0 1 

5 -5 6 -2- 5 

2. p(x) = 0 dacă şi numai dacă x = 0; 

3. p(x +y) = p(x) + p(y) pentru orice x şi y ∈ V; 

145


4. p(λx) = |λ| p(x) pentru orice λ∈K şi orice x ∈V. 

Perechea (V, p) se numeşte spaţiu normat. În cele ce urmează vom nota 

p(x) = ||x|| pentru orice x∈V şi vom spune că V este un spaţiu normat în 

loc de (V, ||⋅||), atunci când norma ||⋅|| se subînţelege. Pe orice spaţiu 

normat se poate defini o metrică (distanţă) canonică d prin d(x, y) = ||x - 

y|| pentru orice x, y ∈V. Prin urmare oricărui spaţiu normat i se pot asocia 

în mod canonic o structură metrică. Normele p1 şi p2 se numesc 

echivalente dacă şi numai dacă există M, m >0 astfel încât 

m p1(x) ≤ p2(x) ≤ M p1(x) pentru orice x ∈ V. 

Pentru a desemna faptul că p1 şi p2 sunt echivalente vom folosi notaţia p1 

~ p2. 

Exemplul 3.6.1. 1. Considerăm spaţiul vectorial V = K n (K=R sau K=C), 

n∈N*. Se poate arăta că pe acest spaţiu orice două norme sunt 

echivalente. Vom nota cu ||⋅||∞, ||⋅||1, ||⋅||2 următoarele norme uzuale pe K n : 

||x||∞ = max |xj|, ||x||1 = ∑ 

1≤ 

j≤n 

j= 

n 

1 

x j , ||x||2 = ⎜ 

⎝ 

146 

⎛ n 

∑= 

j 1 

2 ⎞ 

x j ⎟ 

⎠ 

pentru orice x = (x1, x2, …, xn) ∈ K n (arătaţi că sunt norme echivalente). 

2. Pe spaţiu vectorial 

1/ 

2 

C([a,b]) = {f : [a, b] → K | f continuă}(K=R sau K=C), 

se poate introduce norma 

||f|| = ( ) 

[ ] x f sup . 

x∈ a, 

b 

(verificaţi că sunt verificate condiţiile din definiţia normei). 

Definiţia 3.6.2. Fie V şi W două spaţii vectoriale normate peste corpul K 

(K=R sau K=C). O aplicaţie liniară u : V → W se


numeşte mărginită dacă există un număr real M astfel 

încât 

|| u(x)|| ≤ M || x|| pentru orice x ∈ V. 

Observaţia 3.6.3. Mulţimea aplicaţiilor liniare mărginite u : V → W 

formează un subspaţiu vectorial a lui LK(V, W) (K=R sau K=C). 

Teorema 3.6.4. Fie V şi W două spaţii vectoriale normate peste corpul K 

(K=R sau K=C). Pe spaţiul aplicaţiilor liniare şi 

mărginite u : V → W se poate introduce norma 

|| u || = u( 

x) 

147 

sup 

x = 1 

Demonstraţie. Fie u : V → W o aplicaţie liniară şi mărginită. Deoarece 

există un număr real M astfel încât|| u(x)|| ≤ M || x|| pentru orice x ∈ V, 

rezultă că mulţimea {|| u(x)|| : || x|| = 1} este mărginită superior de M. 

Deci || u || = u( 

x) 

sup 

x = 1 

∈ R. Să arătăm că 

|| u(x)|| ≤ || u || || x|| pentru orice x ∈ V. 

Într-adevăr, pentru orice x ∈ V nenul, avem 

iar pe de altă parte 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

1 

x 

⎞ 

x ⎟ 

⎠ 

1 

x 

u = u( 

x) 

1 

x 

. 

⎛ 1 ⎞ 

u⎜ ⎟ 

⎜ 

x 

⎟ 

≤ || u ||, 

⎝ x ⎠ 

= u( 

x) 

Condiţiile 1, 2 şi 4 din definiţia normei sunt uşor de verificat. Rămâne de 

arătat proprietatea 3. Fie u1, u2: V → W două aplicaţii liniare mărginite. 

Pentru orice x ∈ V, avem 

|| (u1 + u2)(x)|| = || u1(x) + u2(x)|| ≤ || u1(x)|| + ||u2(x)|| 

≤ || u1|| || x|| + || u2|| || x|| = (|| u1|| + || u2||) || x||, 

.


de unde, obţinem || (u1 + u2)(x)|| ≤|| u1|| + || u2||. 

Observaţia 3.6.5. Fie V şi W două spaţii vectoriale normate peste corpul 

K (K=R sau K=C). 

1. Fie u : V → W o aplicaţie liniară şi mărginită. Din 

demonstraţia teoremei precedente rezultă că 

|| u(x)|| ≤ || u || || x|| pentru orice x ∈ V. 

2. Norma introdusă (în teorema precedentă) pe spaţiul 

aplicaţiilor liniare şi mărginite u : V → W este multiplicativă, adică 

||u1u2|| ≤ ||u1||||u2||. 

Într-adevăr, ||u1u2(x)|| =||u1(u2(x))|| = ||u1|| ||u2(x)|| ≤||u1|| ||u2|| ||x||, 

de unde ||u1u2|| ≤ ||u1||||u2||. 

3. Fie u : V → W o aplicaţie liniară şi mărginită. Se poate arăta că 

|| u|| = sup ||u(x)|| = 

x = 1 

sup 

x ≤1 

||u(x)|| 

= inf {M > 0 : || u(x) || ≤ M||x || pentru orice x∈V }. 

3.7. Exerciţii 

1. Să se cerceteze care dintre aplicaţiile u : V → W 

a) V = W = R 2 , u(x) = (x1 + 2x2, -x1), unde x = (x1, x2) ∈R 2 . 

b) V = W = R 2 , u(x) = (x1 2 + x2, -x1), unde x = (x1, x2) ∈R 2 . 

c) V = R 2 , W = R 3 , u(x) = (x1 + 2x2, -x1 + a, x2), unde x = (x1, x2) 

şi a ∈R. 

d) V = W = { f : [a, b] → R : f continuă }, u(f)(x) = ( t) 

orice x ∈ [a, b]. 

148 

∫ x 

a 

f dt pentru


e) V = Mn,n(K), W = K, unde K este un corp comutativ, u(A) = 

trace A = ∑ 

i= 

sunt transformări liniare. 

n 

a ii pentru orice matrice A =( a ij ) 1≤ 

i, 

j≤n 

1 

R: Se verifică axiomele din definiţia transformării liniare (Definiţia 3.1.1) 

sau condiţia echivalentă din Propoziţia 3.1.2. Răspunsurile sunt: a) da, b) 

nu ( pentru x = (1, 0), u(3x) = (9, -3) ≠ 3(1,-1) = u(x)), c) u este 

transformare liniară dacă şi numai dacă a = 0 (dacă u este transformare 

liniară, atunci u(0, 0) = (0, 0, 0), deci a =0; reciproc, dacă a = 0 se verifică 

cu definiţia că u este transformare liniară) d) da, e) da. 

2. Fie K un corp comutativ şi A∈Mn,n(K) o matrice al cărei determinat 

este nul. Să se arate că există o matrice B ∈Mn,n(K) nenulă astfel încât 

AB = O (matricea nulă). 

R: Considerăm endomorfismul u: Mn,n(K) → Mn,n(K), u(X) =AX pentru 

orice matrice X ∈ Mn,n(K). Presupunem prin absurd că oricare ar fi 

matricea nenulă B ∈Mn,n(K), AB ≠ O. Presupunerea este echivalentă cu 

Ker u = {O}, adică cu u injectiv. Deoarece Mn,n(K) este un spaţiu 

vectorial de dimensiune finită şi u injectiv, rezultă u bijectiv (conform 

Propoziţiei 3.3.6). Endomorfismul u fiind în particular surjectiv, rezultă 

că există o matrice X astfel încât u(X) = In AX = In. Obţinem 0 = 

det(A)det(X) = det(AX) = det(In) = 1, ceea ce contrazice ipoteza. 

3. Să se determine nucleul şi imaginea, precum şi defectul şi rangul 

pentru următoarele transformări liniare: 

a) u : R 3 → R 2 , u(x) = (x1+x2, x2 -x3), unde x = (x1, x2, x3) 

b) u : R 3 → R 3 , u(x) = (x1+x2, x2 -x3, x3), unde x = (x1, x2, x3) 

c) u : R 3 → R 3 , u(x) = (x1+x2, x2 -x3, x3+x1), unde x = (x1, x2, x3) 

d) u : R 2 → R 3 , u(x) = (x1+x2, x2 -x1, x1 - x2), unde x = (x1, x2) 

149 

.


e) u : R 2 → R 3 , u(x) = (x1+x2, - x2 -x1, 2x1+2x2), unde x = (x1, x2) 

R: a) Ker u ={x: u(x) = (0, 0)} ={(x1, x2, x3) : (x1+ x2, x2 - x3) = (0, 0)}. 

Deci x = (x1, x2, x3) ∈Ker u x2 - x3 este soluţie a sistemului 

Sistemul este compatibil simplu nedeterminat: luăm necunoscută 

secundară x3 = α, şi obţinem x1 = -α, x2 = α. Deci Ker u = {(-α, α, α): α 

∈R}. O bază în Ker u este dată de B1 = {(-1, 1,1)}, deci defectul lui u, 

adică dimR(Ker u) este egal cu 1. Pentru determinarea imaginii lui u, Im u 

={u(x): x ∈R 3 } = {y∈R 2 : există x ∈R 3 cu y =u(x)} putem proceda ca în 

exemplul 3.3.13, observând că sistemul 

este compatibil oricare ar fi y1 şi y2. Deci Im u = R 2 , şi rangul lui u este 2. 

b) Ker u = {(0,0,0)}. Deoarece u este endomorfism pe un spaţiu de 

dimensiune finită şi Ker u = { 0 3 }, conform Propoziţiei 3.3.6, u este 

R 

bijectiv şi deci, Im u = R 3 . Defectul lui u este 0, iar rangul este 3. 

c) Ker u = {(-α, α, α): α ∈R}. Pentru determinarea imaginii lui u putem 

proceda ca în exemplul 3.3.13, sau putem să ţinem cont că 

Im u = {u(x): x ∈ R 3 } ={(x1+ x2, x2 - x3, x3 + x1) : x1, x2, x3 ∈R} 

+ = α 

= 

− = β 

2 1 x x 

x2 

x3 

{(α, β, α - β) : α, β ∈ R}. 

O bază în Im u este B = {(1,0,0), (0,1,0)}. Rangul lui u este 2 şi defectul 

este 0. 

d) Ker u ={(0,0)}, Im u = {(α, β, -β}: α, β ∈ R}. Rangul este 2 şi 

defectul 0. 

x1+x2 = 0 

x2 -x3 = 0 

x1+x2 = y1 

x2 -x3 = y2 

150


e) Ker u ={(α,-α), α ∈R}, Im u = {(α, -α, 2α}: α ∈ R}. Defectul este 1 

şi rangul este 1. 

4. Fie u : R n → R n un endomorfism care verifică relaţia: 

anu n + an-1u n-1 + … + a1u + I =O, 

unde an, an-1, …,a1∈R, I este transformarea liniară identică şi O este 

transformarea liniară nulă. Să se arate că u este automorfism. 

R: Este suficient să arătăm că u este injectiv (vezi Propoziţia 3.3.6) sau, 

echivalent, că Ker u ={0}. Dacă x∈Ker u, atunci u(x) = 0, şi ca urmare 

u k (x) = 0 pentru orice k ≥ 1. Ţinând cont de relaţia din ipoteză, se obţine 

I(x) = 0, adică x = 0. 

5. Fie A, B∈Mn,n(C). Să se arate că 

(a) dacă AB = O (matricea nulă), atunci rang(A) + rang(B) ≤ n 

(b) dacă AB = E (matricea ale cărei elemente sunt toate egale cu 1), 

atunci rang(A) + rang(B) ≤ n +1 

R: Considerăm că A, respectiv B sunt matricele asociate unor 

transformări liniare u1, respectiv u2 într-o bază. Ţinând cont de Propoziţia 

3.4.5 şi Teorema 3.3.9 (inegalitatea Sylvester) rezultă că rang(AB) ≥ 

rang(A) + rang(B) - n. La punctul (a) avem rang(AB) = 0, iar la (b) 

rang(AB) = 1. 

6. Se consideră transformarea liniară u : R 3 → R 2 care are proprietatea că 

u(E1) = (1, 8), u(E2) = (0,2), u(E3) = (1,-1), unde B = {E1, E2, E3} este 

baza canonică din R 3 (E1 = (1,0,0), E2 = (0,1,0), E3 = (0,0,1)). Se cere să 

determine matricea lui u în perechea de baze 

B1 = {(-1,0,0) , (1, -1,0), (-1, 1, -1)} 

B2 = {(0,1), (1,2)} 

151


R: Conform Teoremei 3.1.6 există o unică transformare liniară u care 

îndeplineşte condiţiile. Matricea lui u în perechea de baze canonice din 

R 3 şi R 2 este 

A = 

Matricile L, de trecere de la baza canonică din R 3 la baza B1, şi respectiv 

M, de trecere de la baza canonică din R 2 la baza B2, sunt 

⎡−1 

L = 

⎢ 

1 

⎢ 

⎢⎣ 

−1 

0 

−1 

1 

0 ⎤ 

⎥ ⎛0 

1⎞ 

0 , M = ⎜ ⎟ . 

⎥ 

−1⎥ 

⎝1 

2⎠ 

⎦ 

Matricea lui u în perechea de baza B1, B2 este 

LAM -1 = 

7. Să se determine transformările liniare u : R 3 → R 3 care satisfac 

condiţiile u(v1) = (9, -9, 3), u(v2) = (-7, 5, 3), u(v3) = (8, -11, 4), unde v1 = 

(1,1,0), v2 = (1,-1,0), v3 = (1,1,1). Să se calculeze u(v) , unde v = (1, 2, 3). 

R: Deoarece 

1 8 

0 2 

1 -1 

-6 -1 

4 1 

-1 -2 

1 1 0 

1 -1 0 

1 1 1 

152 

= -2 ≠0 

{v1, v2, v3} este o bază în R 3 . Atunci conform Teoremei 3.1.6 există o 

unică transformare liniară u care îndeplineşte condiţiile. Determinăm 

matricea lui u în baza canonică din R 3 : B = {E1, E2, E3}, unde E1 = (1, 0,


0), E2 = (0, 1, 0), E3 = (0, 0, 1). Ţinând cont că dacă x = (x1, x2, x3)∈R 3 , 

atunci x = x1E1 + x2E2 + x3E3 şi u(x) = x1u(E1) + x2u(E2) + x3u(E3), 

obţinem sistemul 

u(E1) + u(E2) = 9E1 - 9E2 + 3E3 

u(E1) - u(E2) = -7E1 + 5E2 + 3E3 

u(E1) + u(E2) +u(E3) = -8E1 - 11E2 + 4E3 

u(E1) = E1 - 2E2 + 3E3 

u(E2) = 8E1 - 7E2 

u(E3) = -E1 - 2E2 + E3 

Deci matricea lui u în baza canonică este 

A = 

Deci dacă x = (x1, x2, x3)∈R 3 , atunci 

u(x) = [x1, x2, x3] A= (x1 + 8x2 - x3, -2x1 - 7x2 -2x3, 3x1 + x3). 

Ca urmare, u(v) = (14, -22, 6) pentru v = (1,2,3). 

8. Se consideră bazele B1 = {(-2, 1, 0), (-1, 1, 0), (1, 1, 1)} şi B2 ={(1, 0, 

1), (1, 1, 0), (2, 1, 0)} în R 3 , şi transformările liniare u1, u2 : R 3 → R 3 . 

Dacă matricea lui u1 în baza B1 este 

A1 = 

iar matricea lui u2 în baza B2 este 

A2 = 

1 -2 3 

8 -7 0 

-1 -2 1 

2 -1 2 

1 0 3 

8 5 4 

1 -2 1 

-8 0 2 

5 1 0 

să se determine u1, u2, u1 + u2, u2u1, u2 -1 . 

153


R: Matricea de trecere de la baza canonică din R 3 la baza B1 este 

C1 = 

iar matricea de trecere de la baza canonică din R 3 la baza B2 este 

C2 = 

Dacă L1, respectiv L2 sunt matricele lui u1, respectiv u2 în baza canonică, 

atunci A1 = C1L1C1 -1 , respectiv A2 = C2L2C2 -1 . În consecinţă, 

L1 = C1 -1 A1C1 = 

iar matricea lui u2 în baza canonică este 

L2 = C2 -1 A2C2 = 

Deci, pentru x = (x1, x2, x3), 

u1(x) = (2x1+3x2-22x3, x1+5x2+11x3, x1+4x2-x3) 

u2(x) = (10x1-14x2-9x3, -x1+3x2, 13x1-21x2-12x3). 

Matricea lui u1 + u2 în baza canonică fiind 

L1 + L2 = 

-2 1 0 

-1 1 0 

1 1 1 

1 0 1 

1 1 0 

2 1 0 

2 1 1 

3 5 4 

-22 11 -1 

10 -1 13 

-14 3 -21 

-9 0 -12 

12 0 14 

-11 8 -17 

-31 11 -13 

rezultă că pentru x = (x1, x2, x3), (u1 + u2)(x) = u1(x) + u2(x) = 

=( 12x1-11x2-31x3, 8x2+11x3, 14x1-17x2-13x3). 

154


Deoarece matricea lui u2u1 în baza canonică este 

L1L2 = 

rezultă că pentru x = (x1, x2, x3), (u2u1)(x) = u2(u1(x)) = 

=( -3x1 - 76x2 - 365x3, x1 + 12x2 + 55x3, - 7x1 - 114x2 - 505x3). 

Matricea lui u2 -1 în baza canonică fiind 

L2 -1 = 

rezultă că pentru x = (x1, x2, x3), 

(u2 -1 6 7 9 2 1 3 3 14 8 

)(x) = ( x1- x2- x3, x1+ x2- x3, x1- x2- x3). 

5 10 10 5 10 10 5 15 15 

9. Să se verifice care dintre endomorfismele următoare u : R 3 → R 3 este 

proiecţie, involuţie sau endomorfism nilpotent: 

(a) u(x) = (-x1-x2-x3, 2x1+2x2+x3, x3) 

(b) u(x) = (-x1, -x2-2x3, x3) 

(c) u(x) = (3x1+2x2+2x3, -4x1-3x2-4x3, x3) 

(d) u(x) = (x1+x2+x3, -x1-x2-x3, 0) 

pentru x = (x1, x2, x3) ∈R 3 . 

R: (a) proiecţie (u 2 = u); (b) involuţie (u 2 = I); (c) involuţie (u 2 = I); (d) 

endomorfism nilpotent (u 2 = O); 

-3 1 -7 

-76 12 -114 

-365 55 -505 

6/5 2/5 3/5 

-7/10 1/10 -14/15 

-9/10 -3/10 -8/15 

10. Să se demonstreze că endomorfismul u : R 3 → R 3 , definit prin u(x) = 

(x1+x2+x3, -3x1-2x-2x3, 2x1+x2+x3) pentru x = (x1, x2, x3) ∈R 3 , este 

155


endomorfism nilpotent de indice 3 şi să se determine o bază în care 

matricea asociată lui u să aibă forma 

⎛0 

⎜ 

⎜0 

⎜ 

⎝0 

R: Matricea asociată lui u în baza canonică este 

Deoarece 

A = 

A 2 = A 3 0 -1 1 

= 

0 -1 1 

0 -1 1 

156 

ε 

1 

0 

0 

0 ⎞ 

⎟ 

ε2 

⎟ cu ε1, ε2 ∈ {0,1}. 

0 ⎟ 

⎠ 

rezultă că u 3 = O şi u 2 ≠ 0. Deci, u este endomorfism nilpotent de indice 

3. Considerăm vectorul x = (1,0,0). Avem u(x) = [1,0,0] A =(1, -3,2) şi 

u 2 (x) = [1,0,0]A 2 =(0,-1,1) ≠ (0,0,0). Conform Propoziţiei 3.5.14 

B = {x, u(x), u 2 (x)} 

este o mulţime liniar independentă în R 3 , deci este o bază. În această 

bază matricea lui u este 

⎛1 

⎜ 

canonică la baza B este⎜ 

1 

⎜ 

⎝0 

1 0 0 

1 -3 2 

0 -1 1 

1 -3 2 

1 -2 1 

1 -2 1 

1 -3 2 

1 -2 1 

1 -2 1 

⎛0 

⎜ 

⎜0 

⎜ 

⎝0 

0 

− 3 

−1 

1 

0 

0 

0⎞ 

⎟ 

1⎟ 

. Matricea de trecere de la baza 

0⎟ 

⎠ 

0⎞ 

⎟ 

2⎟ 

. Se verifică faptul că 

1⎟ 

⎠ 

1 0 0 

1 -3 2 

0 -1 1 

-1 

= 

0 0 0 

0 0 0 

0 0 0 

0 1 0 

0 0 1 

0 0 0

97 CAPITOLUL 3 TRANSFORMĂRI LINIARE 3.1. Defini ţia ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?