97 CAPITOLUL 3 TRANSFORMĂRI LINIARE 3.1. Defini ţia ...

Transformări liniare
Din teorema precedentă aplicată transformărilor liniare u şi uS rezultă că
Scăzând cele două relaţii obţinem
dimKu(V) + dimK(Ker u) = dimKV
dimKu(S) + dimK(Ker uS) = dimKS
dimKu(V) - dimKu(S) + (dimK(Ker u) - dimK(Ker uS)) = dimKV - dimKS.
Pe de altă parte, din Ker uS ⊂ Ker u, rezultă dimK(Ker u) ≥ dimK(Ker uS),
şi, ţinând seama de relaţia de mai sus, obţinem
dimKu(V) - dimKu(S) ≤ dimKV - dimKS.
Teorema 3.3.9. (inegalitatea lui Sylvester) Fie V1, V2 şi V3 trei spaţii
vectoriale peste un corp comutativ K astfel încât dimKV2
=n. Pentru orice două transformări liniare u1: V2 → V3 şi
u2 : V1 → V2, rezultă că
r(u1u2) ≥ r(u1) + r(u2) - n,
unde am notat cu r(u1) (respectiv r(u2), r(u1u2)) rangul
lui u1 (respectiv rangul lui u2, rangul lui u1u2).
Demonstraţie. Aplicând Lema 3.3.8 pentru transformarea liniară u1 şi
subspaţiul Im u2 = u2(V1) al lui V2:
u2(V1) ⊂ V2 ⎯⎯→ 1 u
V3
obţinem dimK(u1(V2)) - dimK(u1(u2(V1))) ≤ dimK(V2) - dimK(u2(V1)),
sau echivalent, dimK(u1(V2)) - dimK(u1u2(V1)) ≤ dimK(V2) - dimK(u2(V1)).
Ţinând cont de definiţia rangului unei transformări liniare rezultă că
r(u1) - r(u1u2) ≤ n - r(u2).
Teorema 3.3.10. (inegalitatea lui Frobenius) Fie V1, V2, V3 şi V4 patru
spaţii vectoriale peste un corp comutativ K astfel încât V2
şi V3 să fie finit dimensionale. Pentru orice transformări
114