97 CAPITOLUL 3 TRANSFORMĂRI LINIARE 3.1. Defini ţia ...

Transformări liniare
3.5. Endomorfisme particulare
Definiţia 3.5.1. Fie V un spaţiu vectorial peste corpul comutativ K.
Endomorfismul u : V → V se numeşte
1. automorfism dacă este bijectiv;
2. proiecţie (sau endomorfism idempotent) dacă u 2 = u;
3. involuţie dacă u 2 = I (I este transformarea liniară
identică pe V);
4. antiinvoluţie dacă u 2 = - I;
5. endomorfism nilpotent de indice p∈N (p≥2) dacă u p =
O şi u p-1 ≠ O (O este transformarea liniară nulă pe V).
Propoziţia 3.5.2. Fie V un spaţiu vectorial peste corpul comutativ K. Fie
V1 şi V2 două subspaţii vectoriale ale lui V cu
proprietatea că V = V1 ⊕ V2. Aplicaţiile P1, P2 : V → V,
definite prin
128
P1(x) = x1
P2(x) = x2,
(unde x = x1 + x2 este unica reprezentare a lui x cu
proprietatea că x1 ∈ V1 şi x2 ∈V2) sunt proiecţii.
Demonstraţie. Fie x = x1 + x2 ∈ V1 ⊕ V2 (x1 ∈ V1, x2 ∈V2) şi y = y1 + y2
din V1 ⊕ V2 (y1 ∈ V1, y2 ∈V2) şi fie α, β ∈ K. Atunci
P1(αx + β y) = P1(αx1 + βy1 + αx2 + βy2) = αx1 + βy1 = αP1(x) + βP1(y).
Deci P1 este aplicaţie liniară. Analog, P2 este aplicaţie liniară. Pentru
orice x = x1 + x2 ∈ V1 ⊕ V2 (x1 ∈ V1, x2 ∈V2), avem
P1(P1(x)) = P1(x1) = x1 = P1(x).