97 CAPITOLUL 3 TRANSFORMĂRI LINIARE 3.1. Defini ţia ...

Transformări liniare
3.3. Rangul şi defectul unei transformări liniare
Definiţia 3.3.1. Fie V şi W două spaţii vectoriale peste un corp comutativ
K şi u: V → W o transformare liniară. Mulţimea
Ker u = {x ∈ V: u(x) = 0}
se numeşte nucleul lui u (sau spaţiul nul al lui u).
Mulţimea
Im u = {u(x) : x ∈ V}
se numeşte imaginea transformării liniare u.
Propoziţia 3.3.2. Fie V şi W două spaţii vectoriale peste un corp
comutativ K. Pentru orice transformare liniară u: V →
W, nucleul lui u este un subspaţiu vectorial al lui V, iar
imaginea lui u este un subspaţiu vectorial al lui W.
Demonstraţie. Aplicând Propoziţia 3.1.4 punctul 3, rezultă că nucleul
Ker u = u -1 ({0}} este subspaţiu vectorial al lui V. De asemenea aplicând
Propoziţia 3.1.4 punctul 2, rezultă că Im u = u(V) este subspaţiu vectorial
al lui W.
Definiţia 3.3.3. Fie V şi W două spaţii vectoriale peste un corp comutativ
K şi u: V → W o transformare liniară. Dimensiunea
nucleului lui u (Ker u) se numeşte defectul transformării
liniare u. Dimensiunea imaginii lui u (Im u) se numeşte
rangul transformării liniare u.
Propoziţia 3.3.4. Fie V şi W două spaţii vectoriale peste un corp
comutativ K. Pentru orice transformare liniară u: V → W
avem
110