97 CAPITOLUL 3 TRANSFORMĂRI LINIARE 3.1. Defini ţia ...

A =
Transformări liniare
( la scrierea matricei s-a ţinut cont de faptul că u(x) =(x1, x2, x3)A, pentru
x =(x1, x2, x3))
Propoziţia 3.4.5. Rangul unei transformări liniare este egal cu rangul
matricei asociate transformării liniare în raport cu orice
pereche de baze.
Demonstraţie. Fie u : V → W o transformare liniară. Fie B1 ={e1, e2,
…, en} o bază în V, B2 ={f1, f2, …, fm} o bază în W, şi fie A =
( )
α matricea asociată lui u în raport cu perechea de baze B1, B2.
ij 1≤i≤n
1≤
j≤m
n
Un vector x = ∑ x iei
(xi ∈K pentru orice 1 ≤ i ≤ n) din V aparţine lui Ker
i=
1
u, dacă şi numai dacă u(x) = 0, ceea ce (ţinând seama de faptul că u(x)
m n ⎛ ⎞
=∑ ⎜∑
x iα
ij ⎟f
j ) este echivalent cu
j=
1⎝
i=
1 ⎠
n
∑
i=
1
αijx
i = 0 pentru orice 1 ≤ j ≤ m.
Relaţiile de mai sus reprezintă un sistem liniar şi omogen de m ecuaţii cu
n necunoscute. Matricea acestui sistem este A. Dacă rangul matricei A
este r, atunci mulţimea vectorilor ale căror coordonate satisfac sistemul
liniar şi omogen de mai sus este un subspaţiu liniar de dimensiune n - r
(vezi Teorema 1.7.3). În consecinţă, dimK(Ker u) = n-r, şi deci rangul
transformării liniare u este dimK(Im u) = n - dimK(Ker u) = n - (n-r) = r
(vezi Teorema 3.3.7).
1 0 -1 0
1 1 0 0
-2 8 0 4
122