97 CAPITOLUL 3 TRANSFORMĂRI LINIARE 3.1. Defini ţia ...

n
u(fi) = u( ∑ =
j 1
λ
ij
j
Transformări liniare
n
e ) = λ ( ) u
∑
j=
1
ij j e
n m
m
⎛ ⎞ ⎛ n
= ∑λ ij⎜ ∑α
jkg
k ⎟ = ∑⎜ ∑λ
ijα
j=
1 ⎝ k=
1 ⎠ k=
1⎝
j=
1
Pe de altă parte, pentru orice 1 ≤ i ≤ n, avem
n
u(fi) = ij j
j 1
h
n m
m
⎛ ⎞ ⎛ n
∑ β = ∑βij
⎜ ∑µ
jkg
k ⎟ = ∑⎜ ∑βijµ
=
j=
1 ⎝ k=
1 ⎠ k=
1⎝
j=
1
126
jk
⎞
⎟g
k
(1)
⎠
jk
⎞
⎟g
k (2)
⎠
Datorită unicităţii reprezentării unui vector într-o bază, din relaţiile (1) şi
(2) rezultă că
n
∑
j=
1
λ
ceea ce revine la
n
ij α jk = ij jk
j 1
µ β ∑
=
L ( u)
Înmulţind la stânga cu M -1 , obţinem
pentru orice 1 ≤i ≤ n şi 1 ≤ k ≤m,
M B 1 , B = M ( u)
3 B 2 , B4
B , ( u)
=L ( u)
M
2 B4
M.
M B 1 , B M
3
-1 .
Corolarul 3.4.8. Fie V un spaţiu vectorial finit dimensional peste un corp
comutativ K, şi u : V → V un endomorfism. Fie B1, B2
două baze în V şi fie C matricea de trecere de la baza B1
la baza B2. Atunci
B ( u)
=C ( u)
M 2
M B C
1
-1
Demonstraţie. În Teorema 3.4.7 considerăm B3 = B1 şi B4 = B1.
Exemplul 3.4.9. Fie R3[X] spaţiul vectorial al polinoamelor de grad cel
mult 3, cu coeficienţi reali (vezi şi exemplul 3.4.3). Considerăm
transformarea liniară D1: R3[X] → R3[X], definită prin D1(P) = XP'.
Determinăm matricea asociată lui D1 în raport cu baza