97 CAPITOLUL 3 TRANSFORMĂRI LINIARE 3.1. Defini ţia ...

Transformări liniare
vectorial V1 ⊂ V este invariant la u dacă şi numai dacă
PuP = uP, unde P este proiecţia lui V pe V1.
Demonstraţie. Fie V = V1⊕V2 şi x ∈V. Atunci x se scrie în mod unic sub
forma x = x1 + x2 cu x1 ∈ V1 şi x2∈V2. Presupunem că V1 este invariant la
u. Cum uP(x) = u(x1) ∈V1, rezultă că P(uP(x)) = u(x1). Deci
PuP(x) = uP(x).
Reciproc, presupunem că PuP = uP. Dacă x∈V1, atunci x1 = x şi x2 =0
(sau echivalent , P(x) =x) şi deci, u(x) = u(x1) = uP(x) = PuP(x) =
P(u(P(x)) = P(u(x)). Ca urmare, u(x) ∈ Im P = V1.
Teorema 3.5.10. Fie V1 şi V2 două subspaţii ale unui spaţiu vectorial V
peste corpul comutativ K, astfel încât V = V1 ⊕ V2.
Subspaţiile V1 şi V2 sunt invariante faţă de un
endomorfism u: V → V dacă şi numai dacă Pu = uP,
unde P este proiecţia lui V pe V1 de-a lungul lui V2.
Demonstraţie. Dacă P este proiecţia lui V pe V1 de-a lungul lui V2,
atunci I-P este proiecţia lui V pe V2 de-a lungul lui V1. Presupunem că V1
şi V2 sunt invariante la u. Din propoziţia precedentă rezultă că
PuP= uP şi (I-P)u(I-P) = u(I-P).
Relaţia (I-P)u(I-P)=u(I-P) este echivalentă cu Pu =PuP. Deci
uP =PuP =Pu.
Reciproc, să presupunem că Pu = uP. Aplicând P la dreapta, obţinem
PuP = uP 2 = uP şi, conform propoziţie precedente, rezultă că V1 =Im P
este invariant la u. Pe de altă parte, Pu = uP implică (I-P)u = u(I-P).
Aplicând proiecţia I-P la dreapta, obţinem (I-P)u(I-P) = u(I-P) 2 = u(I-P),
şi ţinând cont din nou de propoziţia precedentă, rezultă că V2 =Im(I-P)
este invariant la u.
132