97 CAPITOLUL 3 TRANSFORMĂRI LINIARE 3.1. Defini ţia ...

Transformări liniare
Reciproc, fie u : V → V o antiinvoluţie. Dacă x1 este un vector nenul din
V, atunci {x1, u(x1)} este liniar independentă. Într-adevăr, fie scalarii α1,
α2∈K astfel încât
α1x1 + α2u(x1) = 0 (1)
Aplicând, u în relaţia 1 şi ţinând seama că u 2 (x1) = -x1, obţinem
α1u(x1) - α2x1 = 0 (2)
Adunând relaţia 1 înmulţită cu α1 cu relaţia 2 înmulţită cu (-α2) , obţinem
(α1 2 +α2 2 )x1 = 0, de unde α1 2 +α2 2 = 0, sau echivalent α1 = α2 = 0.
Mai general, arătăm că dacă x1, x2, …, xm sunt vectori din V astfel încât
să fie liniar independentă, atunci
{x1, x2, …, xm, u(x1), u(x2),.., u(xm-1)}
{x1, x2, …, xm, u(x1), u(x2),.., u(xm-1) , u(xm)}
este liniar independentă. Fie α1, α2, …, α2m∈K astfel încât
α1x1 +α2x2 + … +αmxm + αm+1u(x1) + αm+2u(x2) + … +
+ α2m-1u(xm-1) + α2mu(xm) = 0 (3).
Aplicând, u în relaţia 3 şi ţinând seama că u 2 (x) = -x pentru orice x∈V,
obţinem
α1u(x1) + α2u(x2) +… + αmu(xm) - αm+1x1 - αm+2x2 - … -
- α2m-1xm-1 - α2mxm = 0 (4).
Prin adunarea relaţiei 3 înmulţită cu αm cu relaţia 4 înmulţită cu (-α2m) ,
obţinem
(α1αm + αm+1α2m) x1 +(α2αm + αm+2α2m)x2 + … +(αm 2 +α2m 2 )xm +
+ (αm+1αm -α1α2m)u(x1) + … + (α2m-1αm -αm-1α2m)u(xm-1) = 0.
Cum {x1, x2, …, xm, u(x1), u(x2),.., u(xm-1)} este liniar independentă,
(α1αm + αm+1α2m) =…= (αm 2 +α2m 2 ) = … =(α2m-1αm -αm-1α2m) = 0,
134