97 CAPITOLUL 3 TRANSFORMĂRI LINIARE 3.1. Defini ţia ...

Algebră liniară
e) Ker u ={(α,-α), α ∈R}, Im u = {(α, -α, 2α}: α ∈ R}. Defectul este 1
şi rangul este 1.
4. Fie u : R n → R n un endomorfism care verifică relaţia:
anu n + an-1u n-1 + … + a1u + I =O,
unde an, an-1, …,a1∈R, I este transformarea liniară identică şi O este
transformarea liniară nulă. Să se arate că u este automorfism.
R: Este suficient să arătăm că u este injectiv (vezi Propoziţia 3.3.6) sau,
echivalent, că Ker u ={0}. Dacă x∈Ker u, atunci u(x) = 0, şi ca urmare
u k (x) = 0 pentru orice k ≥ 1. Ţinând cont de relaţia din ipoteză, se obţine
I(x) = 0, adică x = 0.
5. Fie A, B∈Mn,n(C). Să se arate că
(a) dacă AB = O (matricea nulă), atunci rang(A) + rang(B) ≤ n
(b) dacă AB = E (matricea ale cărei elemente sunt toate egale cu 1),
atunci rang(A) + rang(B) ≤ n +1
R: Considerăm că A, respectiv B sunt matricele asociate unor
transformări liniare u1, respectiv u2 într-o bază. Ţinând cont de Propoziţia
3.4.5 şi Teorema 3.3.9 (inegalitatea Sylvester) rezultă că rang(AB) ≥
rang(A) + rang(B) - n. La punctul (a) avem rang(AB) = 0, iar la (b)
rang(AB) = 1.
6. Se consideră transformarea liniară u : R 3 → R 2 care are proprietatea că
u(E1) = (1, 8), u(E2) = (0,2), u(E3) = (1,-1), unde B = {E1, E2, E3} este
baza canonică din R 3 (E1 = (1,0,0), E2 = (0,1,0), E3 = (0,0,1)). Se cere să
determine matricea lui u în perechea de baze
B1 = {(-1,0,0) , (1, -1,0), (-1, 1, -1)}
B2 = {(0,1), (1,2)}
151