97 CAPITOLUL 3 TRANSFORMĂRI LINIARE 3.1. Defini ţia ...

Transformări liniare
4. p(λx) = |λ| p(x) pentru orice λ∈K şi orice x ∈V.
Perechea (V, p) se numeşte spaţiu normat. În cele ce urmează vom nota
p(x) = ||x|| pentru orice x∈V şi vom spune că V este un spaţiu normat în
loc de (V, ||⋅||), atunci când norma ||⋅|| se subînţelege. Pe orice spaţiu
normat se poate defini o metrică (distanţă) canonică d prin d(x, y) = ||x -
y|| pentru orice x, y ∈V. Prin urmare oricărui spaţiu normat i se pot asocia
în mod canonic o structură metrică. Normele p1 şi p2 se numesc
echivalente dacă şi numai dacă există M, m >0 astfel încât
m p1(x) ≤ p2(x) ≤ M p1(x) pentru orice x ∈ V.
Pentru a desemna faptul că p1 şi p2 sunt echivalente vom folosi notaţia p1
~ p2.
Exemplul 3.6.1. 1. Considerăm spaţiul vectorial V = K n (K=R sau K=C),
n∈N*. Se poate arăta că pe acest spaţiu orice două norme sunt
echivalente. Vom nota cu ||⋅||∞, ||⋅||1, ||⋅||2 următoarele norme uzuale pe K n :
||x||∞ = max |xj|, ||x||1 = ∑
1≤
j≤n
j=
n
1
x j , ||x||2 = ⎜
⎝
146
⎛ n
∑=
j 1
2 ⎞
x j ⎟
⎠
pentru orice x = (x1, x2, …, xn) ∈ K n (arătaţi că sunt norme echivalente).
2. Pe spaţiu vectorial
1/
2
C([a,b]) = {f : [a, b] → K | f continuă}(K=R sau K=C),
se poate introduce norma
||f|| = ( )
[ ] x f sup .
x∈ a,
b
(verificaţi că sunt verificate condiţiile din definiţia normei).
Definiţia 3.6.2. Fie V şi W două spaţii vectoriale normate peste corpul K
(K=R sau K=C). O aplicaţie liniară u : V → W se