97 CAPITOLUL 3 TRANSFORMĂRI LINIARE 3.1. Defini ţia ...

Transformări liniare
2. Dacă {x1, x2, …, xn} este o familie liniar dependentă
de vectori din V, atunci {u(x1), u(x2), …, u(xn)} este o
familie liniar dependentă de vectori din W.
3. Dacă u este injectivă şi { x1, x2, …, xn} este o familie
liniar independentă de vectori din V, atunci {u(x1), u(x2),
…, u(xn)} este o familie liniar independentă de vectori din
W. Mai general, dacă {xi}i∈I este o familie liniar
independentă de vectori din V, atunci {u(xi)}i∈I este o
familie liniar independentă de vectori din W.
4. Dacă u este surjectivă şi {xi}i∈I este un sistem de
generatori pentru V, atunci {u(xi)}i∈I este un sistem de
generatori pentru W.
5. Dacă u este bijectivă, atunci dimensiunea lui V peste
K este aceeaşi cu dimensiunea lui W peste K.
Demonstraţie. 1. Demonstraţia se face prin inducţie după n, ţinând cont
că
n
u(∑ αix
i ) = u( ∑
i=
1
− n
i=
= u( ∑ − n
1
αix
i + αnxn) = u( ∑
1
− n 1
αix
i ) + u(αnxn) =
i=
1
1
αix
i ) + αnu(xn).
i=
1
2. Dacă {x1, x2, …, xn} este o familie liniar dependentă de vectori
din V, atunci există scalarii α1, α2, .., αn, nu toţi nuli, astfel încât
α1x1 + α2x2 + … + αnxn = 0.
Aplicând u obţinem u(α1x1 + α2x2 + … + αnxn) = 0 sau echivalent
α1u(x1) + α2u(x2) + … + αnu(xn) = 0,
100