97 CAPITOLUL 3 TRANSFORMĂRI LINIARE 3.1. Defini ţia ...

Transformări liniare
Exemplul 3.5.19. Fie A matricea corespunzătoare endomorfismul u în
baza canonică din R 5 (Bc ={[1,0,0,0,0], [0,1,0,0,0], [0,0,1,0,0],
[0,0,0,1,0], [0,0,0,0,1]}):
Avem
A=
A 2 = A 3 3 -3 0 6 -3
0 0 0 0 0
-6 6 0 -12 6
=
-3 3 0 -6 3
-3 3 0 -6 3
Deci u este un endomorfism nilpotent de indice 3. Vom determina o bază
în care matricea lui să aibă forma indicată în Teorema 3.5.18.
Determinăm subspaţiile Ni = Ker u i , 0 ≤ i ≤ 3:
{0} = N0 ⊂ N1 ⊂ N2 ⊂ N3 = R 5 .
Un vector [x1, x2, x3, x4, x5]∈Ker u i dacă şi numai dacă (x1, x2, x3, x4, x5)
este soluţie a sistemului
1 2 0 2 -1
1 -1 0 2 -1
4 -10 6 -4 -4
2 -5 3 -2 -2
4 -7 6 -4 -4
[x1, x2, x3, x4, x5]A i =[0,0,0,0,0].
142
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0