97 CAPITOLUL 3 TRANSFORMĂRI LINIARE 3.1. Defini ţia ...

Transformări liniare
4. Dacă transformarea liniară u1 este inversabilă, atunci
transformării liniare u1 -1 îi corespunde matricea
−1
( u )
-1
M B2
, B1
1 = M B B ( u1)
1 , .
2
Să verificăm ultimele două afirmaţii. Dacă ( u )
B ( u 3 )
2 , =( ij)
M B 3
β , atunci pentru orice 1 ≤ i ≤ n, avem
1≤i≤m
1≤
j≤p
⎛ m ⎞
u3u1(ei) = u3(u1(ei)) = 3⎜
∑ αijf
j ⎟
⎝ j=
1 ⎠
Dacă ( u u )
m
u = α u ( f )
124
∑
j=
1
ij
3
α şi
M B1
, B2
1 =( ij ) 1≤i≤n
1≤
j≤m
m p
p
⎛ ⎞ ⎛ m ⎞
=∑ αij⎜
∑β
jkg
k ⎟ = ∑⎜ ∑α
ijβ
jk ⎟g
k . (1)
j=
1 ⎝ k=
1 ⎠ k=
1⎝
j=
1 ⎠
M B1
, B3
3 1 =( γ ij ) 1≤i≤n
matricea lui u3u1 în raport cu perechea de
1≤
j≤p
baze B1, B3, atunci pentru orice 1 ≤ i ≤ n, avem
p
∑
k=
1
u3u1(ei) = γ ikg k
(2)
Din (1) şi (2) (în baza unicităţii reprezentării unui vector într-o bază)
m
rezultă că γik = ∑ =
echivalent cu
j 1
α
ij
β
jk
pentru orice 1 ≤ i ≤ n şi 1 ≤ k ≤ p, ceea ce este
B ( u 3u1
)
1 , = M B B ( u1)
2
M B 3
1 , M B B ( u 3 )
2 , 3
Presupunem că transformarea liniară u1 este inversabilă (deci m = n), şi că
−1
( u )
M B2
, B1
1 este matricea lui u -1 în raport cu perechea de baze B2, B3.
Din cele demonstrate mai sus, în baza faptului că transformării liniare
identice îi corespunde matricea identică, rezultă că
In = B ( ) 1 V1
I
−1
M = M B ( u1
u1)
= M
1
B B ( u1)
2 B
In = M ( ) = ( u u
1)
−1
u
B2 V2
I
M B2
1
1
−1
1 , M B ( u1
)
2 , 1
− = ( )
M M ( )
B2
, B1
1 B B u
1 ,
2 1
j
.