97 CAPITOLUL 3 TRANSFORMĂRI LINIARE 3.1. Defini ţia ...

Transformări liniare
(- u)(x) = - u(x) pentru orice x ∈ V.
Este uşor de arătat că - u este o transformare liniară şi că
u + (-u) = (-u) + u = O.
Pentru orice transformare liniară u ∈ L(V, W) şi orice scalar
α∈K, se defineşte produsul lui u cu scalarul α "αu" prin
(αu)(x) = αu(x) pentru orice x ∈V.
Aplicaţia αu este o transformarea liniară din L(V, W).
Mulţimea transformărilor liniare LK(V, W) împreună cu suma şi
produsul cu scalari definite mai sus are o structură de spaţiu vectorial
peste corpul K (temă - verificarea axiomelor) .
Fie U, V şi W trei spaţii vectoriale peste acelaşi corp comutativ K.
Dacă u∈ LK(V, W) şi v ∈LK(U, V), se defineşte produsul "uv" prin
(uv)(x) = u(v(x)) pentru orice x ∈ U.
Se verifică faptul că aplicaţia uv: U → W este o transformare liniară.
Pentru produsul de transformări liniare uv se mai foloseşte şi notaţia uo v
specifică compunerii funcţiilor (deoarece produsul transformărilor liniare
u şi v este dat de fapt de compunerea funcţiilor u şi v).
Să considerăm acum cazul U = V = W. Se introduce transformarea
liniară identică (sau transformarea liniară unitate) IV : V → V, definită
prin
IV(x) = x pentru orice x ∈ V.
Este evident că IV este o transformare liniară şi că IVu = uIV = u pentru
orice transformare liniară u ∈ LK(V, V). Când spaţiul vectorial V se
subînţelege, transformarea liniară identică se notează cu I.
106