97 CAPITOLUL 3 TRANSFORMĂRI LINIARE 3.1. Defini ţia ...

Transformări liniare
3.4. Matricea asociată unei transformări liniare
În această secţiune vom considera doar spaţii vectoriale finit
dimensionale.
Teorema 3.4.1. Fie V şi W două spaţii vectoriale finit dimensionale peste
un corp comutativ K, şi u : V → W o transformare
liniară. Dacă {e1, e2, …, en} este o bază a lui V şi {f1, f2,
…, fm} este o bază a lui W, atunci există şi este unică o
matrice A = ( )
α cu elemente din corpul K astfel
m
ij 1 i n
1≤
j≤m
≤ ≤
încât u(ei) = ∑ αijf
j pentru orice 1 ≤ i ≤ n. În plus, dacă
j=
1
n
imaginea lui x = ∑ x iei
(xi ∈K pentru orice 1 ≤ i ≤ n)
i=
1
m
prin u este u(x) = ∑ y if i (yi ∈K pentru orice 1 ≤ i ≤ m),
i=
1
n
atunci yi = ∑
j=
1
α
ji
x pentru orice 1 ≤ i ≤ m.
j
Notând X =(x1, x2, …, xn), Y =(y1, y2, …, ym), relaţiile yi =
n
∑
j=
1
α
ji
x pentru orice 1 ≤ i ≤ m. pot fi scrise sub forma
j
matriceală Y = XA.
Demonstraţie. Conform Teoremei 3.1.6, transformarea liniară u este unic
determinată de valorile {u(ei)}1≤i≤n. Pe de altă parte, fiecare vector u(ei)
poate fi reprezentat în mod unic în baza {f1, f2, …, fm}:
m
u(ei) = ∑ αijf
j pentru orice 1 ≤ i ≤ n.
j=
1
118