97 CAPITOLUL 3 TRANSFORMĂRI LINIARE 3.1. Defini ţia ...

Transformări liniare
Demonstraţie. Fie x∈V cu x ≠ 0 şi u p-1 (x) ≠0. Presupunem prin absurd că
{x, u(x), …, u p-1 (x)} nu este liniar independentă. Fie scalarii α0, α1, …,αp-
1 ∈ K, nu toţi nuli, astfel încât
α0x + α1u(x) + αp-1 u p-1 (x) = 0. (1)
Fie k cel mai mic indice cu proprietatea că αk ≠ 0. Din relaţia 1 rezultă că
u k (x) = - αk -1 (α0x + α1u(x) + αk-1 u k-1 (x) + αk+1 u k+1 (x) + … + αp-1 u p-1 (x))
= - αk -1 ( αk+1 u k+1 (x) + … + αp-1 u p-1 (x))
= - αk -1 αk+1 u k+1 (x) - αk -1 αk+2 u k+2 (x)- … - αk -1 αp-1 u p-1 (x))
= u k+1 ( - αk -1 αk+1 x- αk -1 αk+2 u k (x) … - αk -1 αp-1 u p - k-2 (x))
Dacă notăm y = - αk -1 αk+1 x- αk -1 αk+2 u k (x) … - αk -1 αp-1 u p - k-2 (x), rezultă
că u k (x) = u k+1 (y). Avem u p-1 (x) = u p-k-1 (u k (x)) = u p-k-1 (u k+1 (y)) = u p (y) = 0,
deoarece u este nilpotent de indice p. Dar u p-1 (x) = 0 contrazice ipoteza.
Ca urmare {x, u(x), …, u p-1 (x)} este liniar independentă.
Observaţia 3.5.15. Fie V un spaţiu vectorial peste corpul comutativ K şi
u: V→V un endomorfism nilpotent de indice p (u p = O şi u p-1 ≠ O).
Notăm cu L spaţiul vectorial generat de {x, u(x), …, u p-1 (x)}. Evident L
este un spaţiu invariant la u. Matricea endomorfismului u|L indus de u pe
L în baza B = {x, u(x), …, u p-1 (x)}, este
MB(u|L) =
Teorema 3.5.16. Fie V un spaţiu vectorial finit dimensional peste corpul
comutativ K. Pentru orice endomorfism u: V→ V există
două subspaţii vectoriale V1 şi V2 ale lui V invariante la u
astfel încât:
0 1 0 0 …0 0
0 0 1 0 …0 0
0 0 0 0 …0 1
0 0 0 0 …0 0
136