PRELUCRAREA SEMNALELOR:

12 CAPITOLUL 1. SEMNALE
Proprietăţi ale transformatei Fourier
Vom enumera în continuare câteva proprietăţi importante ale transformatei Fourier.
Fie x[n], y[n] semnale complexe, iar X(ω), Y (ω) transformatele Fourier ale acestora.
Liniaritate. Pentru orice α, β ∈ C avem
TF(αx[n] + βy[n]) = α · TF(x[n]) + β · TF(y[n]). (1.14)
Întârziere. Fie n 0 un întreg oarecare şi y[n] = x[n − n 0 ], i.e. y[n] este semnalul
x[n] întârziat cu n 0 momente de timp (o întârziere negativă este de fapt o
anticipare). Relaţia între transformatele Fourier ale celor două semnale este
Complex conjugare. Fie y[n] = x ∗ [n]. Atunci
Y (ω) = e −jωn0 X(ω). (1.15)
Y (ω) = X ∗ (−ω). (1.16)
Simetrii ale TF pentru semnale reale. Dacă semnalul x[n] este real, atunci au
loc următoarele proprietăţi de simetrie:
X(−ω) = X ∗ (ω),
ReX(ω) = ReX(−ω),
ImX(ω) = −ImX(−ω),
|X(ω)| = |X(−ω)|,
argX(ω) = −argX(−ω).
(1.17)
Cu alte cuvinte, |X(ω)| şi ReX(ω) sunt funcţii pare, iar ImX(ω) şi argX(ω) sunt
funcţii impare.
Timp invers. Considerăm semnalul y[n] = x[−n] obţinut prin inversarea sensului
timpului pentru semnalul x[n]. Avem
Y (ω) = X(−ω). (1.18)
Derivare în frecvenţă:
TF(nx[n]) = j dX(ω)
dω . (1.19)
Teorema lui Parseval. Forma generală a acestei teoreme este
∞∑
n=−∞
x[n]y ∗ [n] = 1 ∫ π
X(ω)Y ∗ (ω)dω. (1.20)
2π −π
Termenul din stânga are semnificaţie de produs scalar în spaţiul semnalelor; similar,
termenul din dreapta are semnificaţie de produs scalar în spaţiul funcţiilor definite
pe intervalul [−π, π]. Punând y[n] = x[n] în (1.20) se obţine egalitatea numită de
obicei teorema lui Parseval
∞∑
|x[n]| 2 = 1 ∫ π
|X(ω)| 2 dω. (1.21)
2π −π
n=−∞