PRELUCRAREA SEMNALELOR:

48 CAPITOLUL 2. SISTEME
1
0.8
Amplitudine
0.6
0.4
0.2
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Frecventa normalizata
0
−20
Faza
−40
−60
−80
−100
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Frecventa normalizata
Figura 2.8: Caracteristica de frecvenţă a filtrului H(z) = (1 + z −1 )/2.
Soluţie. Utilizând formula pentru suma unei progresii geometrice, obţinem
H(e jω ) =
=
=
1
M + 1
M∑
e −jωn =
n=0
1 1 − e −jω(M+1)
M + 1 1 − e −jω
1 e −jω(M+1)/2 (e jω(M+1)/2 − e −jω(M+1)/2 )
M + 1 e −jω/2 (e jω/2 − e −jω/2 )
1
M + 1
sin(ω(M + 1)/2)
e −jωM/2 .
sin(ω/2)
În mod evident, amplitudinea este
|H(e jω )| = 1
M + 1
∣
sin(ω(M + 1)/2)
sin(ω/2)
În reprezentarea fazei apare un fenomen specific. Când ω ∈ [0, π], observăm că
sin(ω/2) ≥ 0, dar că semnul lui sin(ω(M + 1)/2) variază. În concluzie, deoarece
−1 = e −jπ , faza este
{
argH(e jω −ωM/2, când sin(ω(M + 1)/2) ≥ 0,
) =
−ωM/2 − π, când sin(ω(M + 1)/2) < 0.
Graficele amplitudinei şi fazei sunt prezentate în figura 2.9, pentru M = 5, în două
variante; prima este cea ”teoretică”, în care formulele de mai sus sunt utilizate ca
atare; a doua este cea ”inginerească”, în care amplitudinea este reprezentată în
decibeli, iar faza prin valoarea sa principală. În reprezentarea fazei, am ţinut seama
că sin(3ω) < 0 pentru ω ∈ [π/3, 2π/3], de unde discontinuităţile graficului.
∣ .