PRELUCRAREA SEMNALELOR:

38 CAPITOLUL 2. SISTEME
Soluţie. Sistemul ”medie pe două eşantioane” are răspunsul h[0] = h[1] = 1/2
şi zero în rest.
Răspunsul la impuls al decimatorului este δ[n]. Atenţie însă, acest sistem nu e
invariant în timp, deci rezultatele din această secţiune nu i se aplică.
Acumulatorul are răspunsul la impuls h[n] = u[n].
PR 2.2.2 Semnalul x[n] = (−1) n se aplică la intrarea filtrului H(z) = (1+z −1 )/2.
Care este semnalul de ieşire
Soluţie. y[n] = (x[n] + x[n − 1])/2 = ((−1) n + (−1) n−1 )/2 = 0.
PR 2.2.3 La intrarea filtrului FIR (2.6) se aplică un semnal x[n] cu suport 0 : L,
unde L este un întreg pozitiv dat. Ce suport are semnalul de ieşire
Soluţie. Din (2.7) rezultă că eşantionul curent al ieşirii y[n] depinde doar de cele
mai recente M + 1 eşantioane ale intrării. Printre acestea trebuie să se găsească
cel puţin unul nenul; ultimul moment de timp la care se întâmplă aceasta este
L + M, adică y[n] = 0 pentru n > L + M. Cum y[n] = 0 pentru n < 0 (datorită
cauzalităţii), rezultă că suportul semnalului de ieşire este 0 : L + M.
Altă soluţie: deoarece Y (z) = H(z)X(z), iar H(z) şi X(z) sunt polinoame de
grad M, respectiv L (în z −1 ), rezultă că Y (z) este un polinom de grad L + M.
Aşadar, suportul lui y[n] este 0 : L + M.
Probleme propuse
PP 2.2.1 Demonstraţi că răspunsul la impuls al unui sistem stabil are întotdeauna
transformată Fourier (în sensul că (1.10) converge pentru orice ω).
PP 2.2.2 Calculaţi ieşirea filtrului H(z) = 1 − 2z −1 atunci când intrarea este
semnalul cu suport n = 0 : 3 ale cărui eşantioane nenule au valorile, în ordine, 1,
−1, 1, 2.
PP 2.2.3 Daţi un exemplu de filtru IIR necauzal, dar stabil.
PP 2.2.4 Scrieţi ecuaţia cu diferenţe asociată acumulatorului, descris de relaţia
intrare-ieşire y[n] = ∑ n
k=−∞ x[k].
PP 2.2.5 Scrieţi ecuaţia cu diferenţe corespunzătoare filtrului
H(z) =
Care sunt polii şi zerourile acestui filtru
z −1
1 − z −1 + z −2.
PP 2.2.6 Demonstraţi că filtrul IIR cu funcţia de transfer H(z) =
1
1−2z −1 este
instabil calculând răspunsul acestuia la impuls.
PP 2.2.7 Care este mulţimea polinoamelor de gradul doi cu coeficienţi reali, de
forma A(z) = 1 + a 1 z −1 + a 2 z −2 , care au rădăcinile în interiorul cercului unitate
(Aceste polinoame pot fi numitoare ale unor filtre IIR stabile.)