PRELUCRAREA SEMNALELOR:

40 CAPITOLUL 2. SISTEME
2.3 Reprezentarea în frecvenţă a sistemelor LIT
Propoziţia 2.12 Considerăm un sistem LIT stabil, al cărui răspuns la impuls este
h[n]. Fie H(z) funcţia sa de transfer şi
H(e jω ) =
∞∑
n=−∞
h[n]e −jωn (2.14)
transformata Fourier a răspunsului la impuls. Dacă la intrarea sistemului se aplică
semnalul sinusoidal complex x[n] = e jω0n , atunci ieşirea este semnalul sinusoidal
y[n] = H(e jω0 )e jω0n = |H(e jω0 )|e j(ω0n+argH(ejω 0)) . (2.15)
Demonstraţie. Pornim de la (2.2) şi obţinem
y[n] =
∞∑
k=−∞
i.e. chiar (2.15).
h[k]x[n − k] =
∞∑
k=−∞
h[k]e jω0(n−k) =
( ∞
∑
k=−∞
h[k]e −jωk )
e jω0n ,
Observaţia 2.13 Relaţia (2.15) spune că răspunsul unui sistem LIT la intrare
sinusoidală de frecvenţă ω 0 (de amplitudine 1 şi fază nulă) este tot o sinusoidă, cu
aceeaşi frecvenţă, a cărei amplitudine şi fază depind de valoarea, la frecvenţa ω 0 , a
transformatei Fourier (2.14) a răspunsului la impuls h[n]. Mai precis, amplitudinea
ieşirii este |H(e jω0 )|, iar faza argH(e jω0 ).
Mai mult, dacă intrarea x[n] este un semnal oarecare, a cărui transformată
Fourier X(e jω ) există, atunci ieşirea are transformata Fourier Y (e jω ) = H(e jω )X(e jω ).
Aşadar, spectrul semnalului de ieşire este, la fiecare frecvenţă ω, produsul dintre
valoarea spectrului intrării la frecvenţa ω şi H(e jω ).
Denumirea de filtru ca sinonim pentru sistem, utilizată în prelucrarea semnalelor,
provine din proprietatea sistemelor de a modifica spectrul semnalelor de intrare, de
a trata în mod diferit semnale de frecvenţe diferite, pe scurt de a filtra semnale.
Definiţia 2.14 Transformata Fourier (2.14) a răspunsului la impuls a unui sistem
se numeşte răspuns în frecvenţă al sistemului. De asemenea, în special pentru
reprezentarea grafică a răspunsului în frecvenţă, se foloseşte denumirea de caracteristică
de frecvenţă a sistemului.
Observaţia 2.15 Dacă H(z) are coeficienţi reali, se reprezintă amplitudinea |H(e jω )|
şi faza argH(e jω ) pentru ω ∈ [0, π]; pentru ω ∈ [−π, 0] se ţine seama de proprietăţile
de simetrie (1.17) (amplitudinea este pară, iar faza impară). În cazul funcţiilor de
transfer cu coeficienţi complecşi, mai rar utilizate în practică, se ia ω ∈ [−π, π].
Amplitudinea se măsoară deseori în decibeli (dB), caz în care se reprezintă grafic
funcţia |H(e jω )| dB = 20 log 10 |H(e jω )|. Amplitudinea |H(e jω )| dB este numită şi
amplificare, iar opusul ei, −|H(e jω )| dB , atenuare. (Denumirile sunt naturale având
în vedere (2.15).)
Deoarece exponenţiala complexă este o funcţie periodică, de perioadă 2π, faza
se poate reprezenta doar cu valori în intervalul [−π, π], prin adunarea sau scăderea