PRELUCRAREA SEMNALELOR:

18 CAPITOLUL 1. SEMNALE
Soluţie. Liniaritatea (1.14) este evidentă.
Întârziere. Luând y[n] = x[n − n 0 ] şi aplicând definiţia (1.10) obţinem
∞∑
∞∑
Y (ω) = x[n − n 0 ]e −jωn = x[n]e −jω(n+n0) = e −jωn0 X(ω).
n=−∞
n=−∞
Complex conjugare. Luăm y[n] = x ∗ [n] şi obţinem
(
∞∑
∞
) ∗
∑
Y (ω) = x ∗ [n]e −jωn = x[n]e jωn = X ∗ (−ω).
n=−∞
n=−∞
Simetriile TF pentru semnale reale rezultă din (1.16), ţinând seama că x ∗ [n] =
x[n]. Aşadar avem X(ω) = X ∗ (−ω), ceea ce implică toate relaţiile (1.17).
Derivare în frecvenţă. Avem
dX(ω)
dω
= d
dω
( ∞
∑
n=−∞
x[n]e −jωn )
=
∞∑
n=−∞
(−jnx[n]e −jωn ),
de unde (1.19) rezultă imediat.
Teorema lui Parseval. Folosim definiţia TF şi proprietatea (1.24):
∫
1 π
X(ω)Y ∗ (ω)dω =
2π −π
=
(1.24)
=
∫
1 π
2π
1
2π
∞∑
−π n=−∞
∞∑
∞∑
n=−∞ k=−∞
∞∑
n=−∞
x[n]y ∗ [n].
x[n]e −jωn
x[n]y ∗ [k]
∞ ∑
k=−∞
∫ π
−π
y ∗ [k]e jωk dω
e jω(k−n) dω
∞∑
Convoluţie. Transformata Fourier a semnalului x[n] ∗ y[n] definit în (1.9) este
∞∑
n=−∞ k=−∞
x[k]y[n−k]e −jωn =
∞∑
k=−∞
x[k]e −jωk
∞ ∑
n=−∞
y[n−k]e −jω(n−k) = X(ω)Y (ω),
ceea ce demonstrează (1.22).
Modulaţie în timp. Relaţia (1.23) se demonstrează înlocuind X(θ) şi Y (ω − θ)
cu definiţia (1.10).
Probleme propuse
PP 1.2.1 Calculaţi transformata Fourier a semnalului
{ 1, pentru n = 0 : M,
x[n] =
0, altfel,
unde M este un întreg pozitiv dat.