PRELUCRAREA SEMNALELOR:

26 CAPITOLUL 1. SEMNALE
Definiţia 1.21 Autocorelaţiile unui proces aleator reprezintă speranţele matematice
ale produselor variabilelor aleatoare (la diferite momente de timp):
E{x[n]x[n − k]} = r[n, k], n, k, ∈ Z.
Se observă imediat că r[n, k] = r[n, −k].
Cele mai simple, dar extrem de utile, procese aleatoare sunt cele ale căror proprietăţi
nu se modifică în timp. În această lucrare va fi vorba doar despre astfel de
procese, definite ca mai jos.
Definiţia 1.22 Un proces aleator x[n] este staţionar (în sens larg) dacă variabilele
aleatoare x[n] au aceeaşi medie, i.e.
iar autocorelaţiile
E{x[n]} = µ, ∀n ∈ Z, (1.44)
E{x[n]x[n − k]} = r[k], ∀n ∈ Z, (1.45)
depind doar de ”distanţa” k între momentele de timp. (Evident, avem r[k] = r[−k].)
Autocovarianţele unui proces aleator staţionar sunt autocorelaţiile procesului
x[n] − µ, i.e.
E{(x[n] − µ)(x[n − k] − µ)} = ρ[k].
Pentru procese cu medie nulă, avem r[k] = ρ[k].
Definiţia 1.23 Un zgomot alb de medie nulă şi varianţă σ 2 este un proces aleator
w[n] pentru care
E{w[n]} = 0,
E{w[n]w[n − k]} = σ 2 (1.46)
δ[k].
Estimarea mediei şi a autocorelaţiilor. În aplicaţiile practice, dispunem de o
realizare finită a unui proces aleator, adică de un semnal aleator cu suport finit
x[n], n = 0 : N − 1. Presupunând că procesul este staţionar, se pune problema
să estimăm valorile mediei (1.44) şi autocorelaţiilor (1.45). Pentru medie, cea mai
naturală estimaţie este
ˆµ = 1 N
N−1
∑
n=0
Pentru autocorelaţii se folosesc estimaţia nedeviată
x[n]. (1.47)
ˆr[k] = 1
N−1
∑
x[n]x[n − k], 0 ≤ k ≤ N − 1, (1.48)
N − k
n=k
(numele provine din faptul că E{ˆr[k]} = r[k], vezi problema PR1.4.3; o estimaţie
este nedeviată dacă expectaţia sa este egală cu valoarea adevărată), dar mai ales
cea deviată
ˆr[k] = 1 N
N−1
∑
n=k
x[n]x[n − k], 0 ≤ k ≤ N − 1. (1.49)