PRELUCRAREA SEMNALELOR:

28 CAPITOLUL 1. SEMNALE
iar varianţa (aplicând punctul c de la problema precedentă) este
σ 2 =
∫ 1
0
ξ 2 dξ − µ 2 = 1 3 − 1 4 = 1 12 .
Pentru o variabilă ξ uniform distribuită în intervalul [a, b], densitatea de probabilitate
este p(ξ) = 1/(b − a). Media şi varianţa sunt
Calculele sunt lăsate cititorului.
µ = a + b
2 , σ2 =
(b − a)2
.
12
PR 1.4.3 Demonstraţi că estimaţiile (1.47) şi (1.48) ale mediei, respectiv autocorelaţiilor,
sunt nedeviate, i.e. E{ˆµ} = µ, respectiv E{ˆr[k]} = r[k].
Soluţie. Aplicând operatorul de mediere în (1.47) obţinem
E{ˆµ} = E
{
1
N
N−1
∑
n=0
x[n]
}
= 1 N
N−1
∑
n=0
Pentru autocorelaţii demonstraţia este similară.
E{x[n]} = 1 N
N−1
∑
n=0
µ = µ.
PR 1.4.4 Care este densitatea de putere spectrală a zgomotului alb (1.46)
Soluţie. Ţinând seama de definiţia (1.50) a densităţii de putere spectrală şi
de expresiile autocorelaţiilor (1.46), se obţine imediat P(ω) = σ 2 . Aşadar spectrul
zgomotului alb este constant (zgomotul alb conţine toate frecvenţele cu putere egală,
de aici numele său, prin analogie cu lumina).
Probleme propuse
PP 1.4.1 Considerăm o variabilă aleatoare ξ cu distribuţie ”triunghiulară”, a cărei
densitate de probabilitate are expresia:
{
1 − |ξ|, pentru |ξ| ≤ 1,
p(ξ) =
0, altfel.
Verificaţi valabilitatea relaţiei (1.38). Calculaţi media (1.40) şi varianţa (1.41) variabilei
aleatoare ξ.
PP 1.4.2 a. Dându-se o variabilă aleatoare cu distribuţie uniformă în intervalul
[0, 1], cum se poate obţine o variabilă cu distribuţie uniformă în intervalul [a, b]
b. Dându-se o variabilă aleatoare cu distribuţie gaussiană N(0, 1), cum se poate
obţine o variabilă cu distribuţie N(0, σ 2 )
PP 1.4.3 Fie w[n] un proces de tip zgomot alb pentru care, la fiecare moment de
timp i, variabila aleatoare w[i] are distribuţie uniformă în intervalul [−1, 1].
a. Calculaţi varianţa σ 2 a zgomotului alb (vezi (1.46)).