PRELUCRAREA SEMNALELOR:

42 CAPITOLUL 2. SISTEME
Caracteristica de frecvenţă a filtrelor raţionale
În cazul filtrelor IIR raţionale (de acum înainte vom subînţelege că filtrele IIR de
care discutăm sunt raţionale), caracteristica de frecvenţă se poate trasa mai uşor
atunci când funcţia de transfer se reprezintă în forma poli-zerouri (2.9). Această
reprezentare are avantajul că poate fi analizată prin studierea caracteristicilor de
frecvenţă ale funcţiilor de transfer de grad 1. Mai precis, amplitudinea în decibeli
este
|H(e jω )| dB = 20 log 10
∣ ∣∣∣ b 0
a 0
∣ ∣∣∣
+ 20
iar faza se poate scrie ca
( )
arg|H(e jω b0
)| = arg +
a 0
k=1
M∑
N∑
log 10 |1 − c k e −jω | − 20 log 10 |1 − d k e −jω |,
k=1
k=1
(2.17)
M∑
N∑
arg(1 − c k e −jω ) − arg(1 − d k e −jω ). (2.18)
Se observă deci că în (2.17) şi (2.18) apar sume ale amplitudinilor, respectiv fazelor
unor termeni elementari de gradul 1 (dar cu coeficienţi complecşi, în general). Mai
mult, singura diferenţă între efectul polilor şi cel al zerourilor este semnul termenilor
corespunzători. De aceea, este justificat studiul funcţiei de transfer cu un singur
zero, efectuat în continuare.
Filtrul FIR de ordinul 1. Studiem caracteristica de frecvenţă a filtrului
k=1
H(z) = 1 − cz −1 , c = re jθ , r ∈ [0, 1], θ ∈ [0, π]. (2.19)
Aşadar, zeroul c este în general complex, de modul r şi fază θ. Restricţia modulului
la valori subunitare va fi justificată ulterior. Ca şi restricţia asupra fazei, ea nu
limitează generalitatea concluziilor.
Amplitudinea răspunsului în frecvenţă al filtrului (2.19) este
|H(e jω )| 2 = |1 − re j(θ−ω) | 2 = 1 + r 2 − 2r cos(ω − θ).
(Am ridicat la pătrat pentru simplitatea calculelor. In decibeli, amplitudinea originală
se obţine simplu ca |H(e jω )| dB = 20 log 10 |H(e jω )| = 10 log 10 |H(e jω )| 2 .) Se
observă că valoarea maximă a amplitudinii este (1+r) pentru ω = θ±π, iar valoarea
minimă este (1 − r), pentru ω = θ. Prezentăm în figura 2.3 amplitudinea pentru
θ = 0 (deci zero real) şi trei valori r = 0.5, 0.8, 1. Pentru comparaţie, în graficul
de sus amplitudinea este reprezentată adimensional, iar în cel din mijloc în decibeli.
(Amintim că 20 log 10 2 ≈ 6 şi că, evident, 20 log 10 1 = 0, 20 log 10 0.2 ≈ −14.)
Frecvenţa este normalizată, deci 2 înseamnă de fapt 2π. Grafice similare sunt
prezentate în figura 2.4, pentru θ = 0.4π.
Observăm că cu cât r este mai aproape de 1 (i.e. zeroul este mai aproape de cercul
unitate), cu atât atenuarea în jurul frecvenţei ω = θ este mai mare. În particular,
atunci când r = 1, deci zeroul este pe cerc, avem H(e jθ ) = 0 (şi |H(e jθ )| dB = −∞),
deci amplificarea filtrului la această frecvenţă este nulă; semnalele sinusoidale cu
frecvenţa θ sunt tăiate complet de filtru.