PRELUCRAREA SEMNALELOR:

20 CAPITOLUL 1. SEMNALE
pentru diverse valori ale lui M. Veţi obţine aproximări ale impulsului unitate (în
frecvenţă, adică într-un domeniu continuu). Aceste aproximări vor avea oscilaţii
mari în apropierea frecvenţei ω = 0.
PP 1.2.8 Fie x[n] un semnal cu energie finită şi X(ω) transformata sa Fourier.
Definim semnalul
∞∑
r[k] = x[n]x ∗ [n − k] (1.29)
n=−∞
şi notăm R(ω) transformata sa Fourier.
a. Demonstraţi că are loc egalitatea R(ω) = |X(ω)| 2 .
b. Observaţi că r[0] = ∑ ∞
n=−∞ |x[n]|2 este energia semnalului x[n]. Din transformata
Fourier inversă
deduceţi teorema lui Parseval.
Ghid Matlab
r[k] = 1 ∫ π
R(ω)e jωk dω,
2π −π
Transformata Fourier a unui semnal cu suport finit se poate calcula într-un mod
similar programului din figura 1.9. Deci, luând o grilă de frecvenţe
>> w = 0:pas:pi
unde, e.g. pas=0.01, transformata Fourier a semnalului x cu suportul
>> n = 0:M
se poate calcula simplu prin
>> X = x * exp(-j*n’*w)
Amplitudinea transformatei Fourier se desenează cu
>> plot(w, abs(X))
iar faza prin
>> plot(w, angle(X))
De exemplu, pentru problema PP1.2.1, făcând abstracţie de formula simplă
cerută acolo, transformata Fourier se poate calcula astfel
>> M = 10 % o valoare intreaga oarecare
>> w = 0 : pi/200 : pi % sunt de fapt 201 puncte
>> x = ones(1, M+1) % semnalul
>> X = x’ * exp(-j*(0:M)’*w) % transformata Fourier
O altă variantă de calcul presupune utilizarea funcţieifreqz, care va fi discutată
mai în detaliu în capitolul 2. Transformata Fourier se calculează pe grila de frecvenţe
w prin apelul
>> X = freqz(x, 1, w)
De asemenea, transformata Fourier se poate calcula eficient (pe o anumită grilă
de frecvenţe), cu funcţia fft. Aceasta va fi discutată după prezentarea transformatei
Fourier discrete şi a algoritmilor rapizi de implementare a acesteia, în capitolul
5.