PRELUCRAREA SEMNALELOR:

34 CAPITOLUL 2. SISTEME
2.2 Sisteme liniare invariante în timp
În restul capitolului ne ocupăm doar de sisteme liniare şi invariante în timp (LIT),
care au o importanţă majoră în teoria şi practica prelucrării semnalelor. Fie S un
sistem LIT şi h[n] = S{δ[n]} răspunsul la impuls al sistemului (h[n] se mai numeşte
şi secvenţă pondere a sistemului).
Propoziţia 2.5 Răspunsul la impuls h[n] al unui sistem LIT S caracterizează complet
funcţionarea sistemului. Dacă x[n] este un semnal de intrare oarecare, atunci
ieşirea y[n] = S{x[n]} este dată de relaţia
y[n] =
∞∑
k=−∞
x[k]h[n − k] =
∞∑
k=−∞
x[n − k]h[k], (2.2)
adică este convoluţia dintre semnalul de intrare şi răspunsul la impuls al sistemului.
Demonstraţie. Deoarece sistemul este invariant în timp, avem h[n−k] = S{δ[n−
k]}. Folosind expresia (1.2) pentru semnalul de intrare, obţinem
y[n] = S{
∞∑
k=−∞
x[k]δ[n − k]} lin.
=
∞∑
k=−∞
x[k]S{δ[n − k]} =
∞∑
k=−∞
x[k]h[n − k].
Expresia din dreapta din (2.2) rezultă datorită comutativităţii convoluţiei.
Prezentăm în continuare caracteristicile răspunsului la impuls atunci când sistemul
LIT este cauzal sau stabil.
Propoziţia 2.6 Un sistem LIT este cauzal dacă şi numai dacă răspunsul său la
impuls este nul pentru timp negativ, i.e. h[n] = 0 pentru n < 0.
Demonstraţie. Din (2.2) rezultă că y[n] depinde doar de x[k], cu k ≤ n, dacă şi
numai dacă h[n − k] = 0 pentru k > n, adică h[n] = 0, pentru n < 0.
Propoziţia 2.7 Un sistem LIT este stabil dacă şi numai dacă răspunsul său la
impuls este absolut sumabil.
Demonstraţie. (”⇒”) Folosim reducerea la absurd: presupunem că h[n] nu este
absolut sumabil. Construim semnalul de intrare
⎧
⎨ h ∗ [−n]
, dacă h[n] ≠ 0
x[n] = |h[−n]|
⎩
0, dacă h[n] = 0.
În acest caz, pentru y[0] obţinem valoarea
y[0] =
∞∑
k=−∞
h[k]x[−k] =
∞∑
k=−∞
|h[k]| 2
|h[k]|
∞∑
= |h[k]|,
k=−∞
care nu e mărginită, deci sistemul nu ar fi stabil.