PRELUCRAREA SEMNALELOR:

32 CAPITOLUL 2. SISTEME
x[n]
✲
S
✲
y[n] = S{x[n]}
Figura 2.1: Un sistem discret.
x[n]
✲
S
✲
y[n]
❄
întârziere
cu n 0
❄
întârziere
cu n 0
x[n − n 0 ]
✲
S
✲ ❄ y[n − n 0 ]
Figura 2.2: Un sistem invariant în timp transferă întârzierea intrării la ieşire
(operaţiile S şi ”întârziere” comută).
Probleme rezolvate
PR 2.1.1 Caracterizaţi următoarele sisteme din punctul de vedere al liniarităţii,
invarianţei în timp, cauzalităţii şi stabilităţii.
a. Sistemul ”medie pe două eşantioane”, descris de relaţia y[n] = (x[n] + x[n −
1])/2.
b. Decimatorul, descris de y[n] = x[Mn], unde M ≥ 2 este un întreg pozitiv
fixat. (Decimatorul extrage fiecare al M-lea eşantion al semnalului de intrare şi le
elimină pe celelalte.)
c. Acumulatorul, descris de y[n] = ∑ n
k=−∞ x[k].
Soluţie. a. Sistemul este liniar, invariant în timp, cauzal şi stabil. Deşi banale,
prezentăm mai jos demonstraţiile.
Fie y 1 [n] = (x 1 [n] + x 1 [n − 1])/2 şi y 2 [n] = (x 2 [n] + x 2 [n − 1])/2 răspunsurile la
intrările x 1 [n], respectiv x 2 [n]. Dacă intrarea este α 1 x 1 [n] + α 2 x 2 [n], atunci ieşirea
este y[n] = (α 1 x 1 [n] + α 2 x 2 [n] + α 1 x 1 [n − 1] + α 2 x 2 [n − 1])/2 = α 1 y 1 [n] + α 2 y 2 [n],
ceea ce demonstrează liniaritatea.
Dacă intrarea este x[n − n 0 ], atunci ieşirea este (x[n − n 0 ] + x[n − n 0 − 1])/2 =
y[n − n 0 ], deci sistemul e invariant în timp.
y[n] depinde doar de x[n] şi de x[n − 1], deci sistemul e cauzal.
Dacă |x[n]| ≤ M x , atunci |y[n]| ≤ (|x[n]|+|x[n −1]|)/2 ≤ M x , deci sistemul este
stabil.
b. Decimatorul este evident liniar şi stabil.
Nu este invariant în timp. Fie M = 2 şi semnalul de intrare x[n] = n. Atunci
ieşirea este y[n] = x[2n] = 2n. Întârziem intrarea cu un eşantion; la intrarea