PRELUCRAREA SEMNALELOR:

14 CAPITOLUL 1. SEMNALE
În calculul sumei progresiei geometrice de mai sus am ţinut seama că lim n→∞ (αe −jω ) n =
0, deoarece raţia αe −jω are modul subunitar.
b. Aplicând din nou definiţia (1.10) obţinem
Y (ω) = −
∑−1
n=−∞
α n e −jωn = −
∞∑
(
(α −1 e jω ) n = −
n=1
)
1
1 − α −1 e jω − 1 =
1
1 − αe −jω .
De data aceasta avem lim n→∞ (α −1 e −jω ) n = 0. Atenţie, semnalele x[n] = α n u[n] şi
y[n] = −α n u[−n −1] nu au transformate Fourier identice, deoarece ele sunt definite
pentru valori diferite ale parametrului α. În primul caz avem |α| < 1, în al doilea
|α| > 1. De altfel, două semnale nu pot avea aceeaşi transformată Fourier, deoarece
TF este o bijecţie.
PR 1.2.3 Considerăm semnalul x[n] al cărui spectru, ilustrat în figura 1.8, este
{
1, pentru |ω| ≤ ωt ,
X(ω) =
0, pentru ω t < |ω| ≤ π,
unde ω t este dat. Aşadar, semnalul x[n] are un spectru ideal de joasă frecvenţă.
Calculaţi x[n] folosind transformata Fourier inversă (1.13).
Soluţie. Introducem funcţia sinc (numită şi nucleul Dirichlet; ea va apărea de
multe ori în continuare):
sinc ω = sin ω
ω . (1.25)
Folosind transformata Fourier inversă obţinem
x[n] = 1
2π
∫ π
−π
= sin(ω tn)
πn
X(ω)e jωn dω = 1
2π
∫ ωt
−ω t
e jωn dω = 1
2πjn ejωn ∣ ∣∣∣
ω t
−ω t
= ω t
π sinc(ω tn). (1.26)
Un exemplu de astfel de semnal este prezentat în figura 1.8. Se observă că semnalul
are suport dublu infinit. Am obţinut deci egalitatea
X(ω) =
∞∑
n=−∞
sin(ω t n)
e −jωn = ω t
πn π
∞∑
n=−∞
sinc(ω t n)e −jωn . (1.27)
PR 1.2.4 (Fenomenul Gibbs) Se consideră semnalul x[n] definit de (1.26), cu
spectrul ideal de joasă frecvenţă din figura 1.8. Scrieţi un program Matlab care să
deseneze modulul spectrului semnalului
{
x[n], pentru n = −M : M,
x M [n] =
0, altfel;
cu alte cuvinte, seria (1.27) se trunchiază ca în (1.11).