Poglavlje 4 Dinamika kvarkova i hadrona - phy

POGLAVLJE 4. DINAMIKA KVARKOVA I HADRONA 12
generatori grupe simetrije. Ove struje naučili smo konstruirati i Gell-Mann–Levyjevom
metodom.
✷ ALGEBRA NABOJA
Za Lagrangeovu gustoću koja uključuje i dio L 1 koji nije invarijantan na transformaciju
(4.14),
L = L 0 + L 1 , (4.17)
još uvijek možemo definirati Noetheričinu struju Jµ, a no ona više nije očuvana i
pridruženi naboj
∫
∫
Q a (t) = J0 a (x)d 3 δL
x = −i
δ(∂ 0 φ i ) ta ijφ j d 3 x (4.18)
nije konstantan u vremenu. No i u prisutnosti člana L 1 , faktor δL/δ(∂ 0 φ i ) =
Π i (x) je kanonski impuls konjugiran polju φ i , koji zadovoljava kanonsku komutacijsku
relaciju istih vremena
[Π i (⃗x, t), φ j (⃗y, t)] = −iδ 3 (⃗x − ⃗y)δ ij . (4.19)
Na temelju ove relacije možemo računati komutatore (istih vremena) naboja:
∫
[Q a (t), Q b (t)] = (−i) 2 d 3 xd 3 y
× [Π i (⃗x, t)t a ijφ j (⃗x, t), Π k (⃗y, t)t b klφ l (⃗y, t)] . (4.20)
Uz identitet [AB, CD] = A[B, C]D−C[D, A]B koji vrijedi za slučaj [A, C] = 0,
[B, D] = 0 dobivamo
∫ (
[Q a (t), Q b (t)] = − d 3 xd 3 y Π i (⃗x, t)t a ij [φ j (⃗x, t), Π k (⃗y, t)] t b klφ l (⃗y, t)
)
−Π k (⃗y, t)t b kl [φ l (⃗y, t), Π i (⃗x, t)] t a ijφ j (⃗x, t) . (4.21)
Konačno, uvrštavanjem vrijednosti za komutatore, izlazi
∫
[Q a (t), Q b (t)] = − d 3 xπ k (⃗x, t)i[t a , t b ] kj φ j (⃗x, t) (4.22)
∫
= −iC abc Π k (⃗x, t)it c kjφ j (⃗x, t)d 3 x (4.23)
= iC abc Q c (t) . (4.24)
Stoga, iako se naboji Q a (t) mijenjaju u vremenu, za dani trenutak t oni svejedno
zadovoljavaju relacije koje nazivamo algebrom naboja .