DiplomovÃ¡ prÃ¡ce - Ãstav automatizace a informatiky - VysokÃ© uÄenÃ ...

Diplomová práce 

Použití frekvenčních charakteristik při 

analýze a syntéze regulačních obvodů 

Vypracoval: 

Vedoucí práce: 

Obor: 

Specializace: 

2006 

Miroslav Kij 

Ing. Olga Davidová, Ph. D 

Inženýrská informatika a automatizace 

Automatizace

Strana 3 

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství 

Ústav: Automatizace a informatika 

Akademický rok 2005/2006 

ZADÁNÍ DIPLOMOVÉ PRÁCE 

pro: 

Miroslava KIJE 

který/která studuje v magisterském studijním programu 

obor: M3917 Inženýrská informatika a automatizace 

Ředitel ústavu Vám v souladu se zákonem č.111/1998 o vysokých školách a se Studijním a 

zkušebním řádem VUT v Brně určuje následující téma diplomové práce: 

POUŽITÍ FREKVENČNÍCH CHARAKTERISTIK PŘI ANALÝZE A SYNTÉZE 

REGULAČNÍCH OBVODŮ 

a anglickém jazyce: 

Analysis and synthesis of control systems using frequency characteristic 

Stručná charakteristika problematiky úkolu diplomové práce: 

K řešení analýzy a syntézy regulačních obvodů lze použít také metody, které využívají 

frekvenční charakteristiky. Cílem diplomové práce je provést jednak ucelený přehled 

těchto metod a jednak je aplikovat na příkladech. 

Doporučená osnova práce: 

1. Popsat frekvenční charakteristiky spojitých a diskrétních systémů 

2. Zpracovat metody stability regulačních obvodů využívající frekvenční charakteristiky 

3. Zpracovat metody syntézy regulačních obvodů využívající frekvenční charakteristiky 

4. Vybrané metody uvést na příkladech

Strana 4 

Rozsah grafických prací: --- 

Rozsah průvodní zprávy: cca 60 stran 

Seznam odborné literatury: 

Balátě, J. Automatické řízení. Praha : Nakladatelství BEN-technická literatura, 2003. 

664s. ISBN 80-7300-020-2. 

Kachaňák, A. Teória automatického riadenia II. Bratislava : Edičné středisko SVŠT v 

Bratislavě, 1987. 334s. 

Kubík, S., Kotek, Z., Strejc, V. & štacha, J. Teorie automatického řízení I - Lineární a 

nelineární systémy. Praha : SNTL Praha, 1982. 528s. 

Švarc, I. Teorie automatického řízení I. Brno : Vysoké učení technické v Brně, 1992. 

210s. ISBN 80-214-0516-3. 

Švarc, I. Teorie automatického řízení II. Brno : Vysoké učení technické v Brně, 1993. 

231s. ISBN 80-214-0550-3. 

Švarc, I. Automatizace - Automatické řízení. Brno : Vysoké učení technické v Brně, 2005. 

262s. ISBN 80-214-2943-7. 

Švec, J. Šiška, I. & Vavřín, P. Teorie řízení I - Lineární systémy. Brno : Vysoké učení 

technické v Brně, 1982. 208s. 

Zítek, P., Hofreiter, M. & Hlava, J. Automatické řízení. Praha : ČVUT Praha, 2001. 

148s. ISBN 80-01-02044-4. 

Vedoucí diplomové práce: Ing. Olga Davidová, PhD. 

Termín odevzdání diplomové práce je stanoven časovým plánem akademického roku 

2005/2006. 

V Brně dne 21. listopadu 2005 

L.S. 

Doc. RNDr. Ing. Miloš Šeda, PhD. 

ředitel ústavu 

Prof. Ing. Josef Vačkář, CSc. 

děkan

Strana 5 

ANOTACE 

Diplomová práce je zaměřena na analýzu a syntézu regulačních obvodů s využitím 

frekvenčních charakteristik. Zabývá se zjišťováním stability spojitých a diskrétních 

regulačních obvodů a rovněž návrhem optimálních parametrů regulátoru z hlediska kvality 

regulace, a to vše za pomocí frekvenčních charakteristik. 

ANNOTATION 

The diploma work is focused on the analysis and synthesis of control systems using 

frequency characteristic. It is dealt with pinpoint stability of the uninterrupted and 

unobtrusive control systems and also the proposition of the optimum parameters of the 

regulator from the aspect of the regulation quality, and that all by means of the frequency 

characteristics.

Strana 7 

PODĚKOVÁNÍ 

Na úvod mé diplomové práce bych rád poděkoval mé vedoucí práce Ing. Olze 

Davidové, Ph.D, za poskytnutí studijních podkladů, absolvování přínosných konzultací s 

cennými radami a připomínkami, čímž mě vytvořila optimální podmínky pro její 

vypracování.

Strana 9 

PROHLÁŠENÍ 

Prohlašuji, že jsem tuto diplomovou práci vypracoval samostatně dle rad a pokynů 

vedoucího diplomové práce, s použitím odborné literatury a článků uvedených na 

internetových stránkách. 

23.5.2006 ………………………………………...

Strana 11 

OBSAH 

Seznam použitých symbolů .........................................................................................13 

1 Úvod .....................................................................................................................15 

2 Analýza a syntéza................................................................................................17 

3 Použití frekvenčních charakteristik u spojitých systémů ...............................21 

3.1 Frekvenční popis spojitých systémů ............................................................21 

3.1.1 Frekvenční přenos............................................................................21 

3.1.2 Frekvenční charakteristika v komplexní rovině ..............................22 

3.1.3 Logaritmické frekvenční charakteristiky.........................................24 

3.2 Analýza spojitých systémů frekvenčními metodami...................................26 

3.2.1 Stabilita regulačních obvodů ...........................................................26 

3.2.2 Michajlov-Leonhardovo kritérium ..................................................27 

3.2.3 Nyquistovo kritérium.......................................................................29 

3.3 Syntéza spojitých systémů frekvenčními metodami....................................36 

3.3.1 Ukazatele kvality regulace...............................................................36 

3.3.2 Frekvenční metody syntézy.............................................................41 

3.3.2.1 Volba zesílení rozpojeného regulačního obvodu....................41 

3.3.2.2 Sériové korekční členy ...........................................................42 

3.3.2.3 Metoda typizované logaritmické frekvenční charakteristiky .42 

4 Použití frekvenčních charakteristik u diskrétních systémů ...........................45 

4.1 Frekvenční popis diskrétních systémů.........................................................45 

4.1.1 Frekvenční přenos............................................................................45 

4.1.2 Frekvenční charakteristika v komplexní rovině ..............................46 

4.1.3 Logaritmická frekvenční charakteristika .........................................46 

4.2 Analýza diskrétních systému frekvenčními metodami................................47 

4.2.1 Stabilita regulačních obvodů ...........................................................47 



4.3 Syntéza diskrétních systémů frekvenčními metodami.................................51 

4.3.1 Typizovaná logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika .52 

4.3.2 Metoda transformovaných frekvenčních charakteristik ..................55 

5 Použití vybraných metod na příkladech...........................................................59 

5.1 Příklady pro spojité regulační obvody.........................................................59 



5.2 Příklady pro diskrétní regulační obvody......................................................62 



5.2.3 Metoda transformovaných frekvenčních charakteristik ..................66 

6 Závěr ....................................................................................................................69 

Seznam použité literatury............................................................................................71

Strana 13 

SEZNAM POUŽITÝCH SYMBOLŮ 

a 0 činitel autoregulace 

a i koeficient jmenovatele přenosu 

A w modul (amplituda) kmitočtového přenosu řízení uzavřeného regulačního obvodu 

A r rezonanční převýšení 

A amplituda 

e regulační odchylka 

e T (t) trvalá regulační odchylka 

G 0 přenos rozpojeného regulačního obvodu 

G R přenos regulátoru 

G S přenos regulované soustavy 

k 0 zesílení rozpojeného regulačního obvodu 

k 0opt optimální zesílení rozpojeného regulačního obvodu 

n stupeň charakteristického polynomu zavřeného regulačního obvodu 

r 0 proporcionální složka regulátoru 

r 1 derivační složka regulátoru 

r -1 integrační složka regulátoru 

t r doba regulace 

t max čas 

T perioda kmitů přechodové charakteristiky 

T 95 doba, za kterou přechodová charakteristika regulované soustavy dosáhne 95% 

ustálené hodnoty 

T d dopravní zpoždění 

T D derivační časová konstanta 

T I integrační časová konstanta 

v poruchová veličina 

w řídicí veličina 

y regulovaná veličina 

y hom homogenní rovnice 

y max maximální překmit 

y part partikulární integrálγ fázová bezpečnost 

δ amplitudová bezpečnost 

ϕ fáze frekvenčního přenosu 

ω úhlová frekvence používaná pro spojité systémy 

ω d šířka pásma používaná pro spojité systémy 

ω Td fázové zpoždění 

ω ř úhlová frekvence řezu používaná pro spojité systémy 

ω r rezonanční frekvence používaná pro spojité systémy 

ω h šířka pásma propustnosti používaná pro spojité systémy 

Ω úhlová frekvence používaná pro diskrétní systémy 

frekvence řezu používaná pro diskrétní systémy 

Ω ř

Strana 15 

1 ÚVOD 

Bavíme-li se o regulačních obvodech, pak nedílnou součástí se stává posuzování 

(analýza) jejich stability, tj. schopnosti obvodu ustálit se a vykazovat tak správnou funkci. 

Pro zjišťování této stability využíváme několika metod. V této práci se zaměřím na metody 

využívající frekvenční charakteristiky. Aby byla jasná podstata, je nejprve potřeba rozebrat 

frekvenční charakteristiky pro spojité i diskrétní systémy a teprve poté se zaměřit na 

jednotlivé metody. Rovněž zde uvedu, jakým způsobem se nastavují parametry regulátoru 

(syntéza). 

Pro analýzu regulačního obvodu je vypracována řada metod, díky kterým lze 

snadno určit stabilitu regulačního obvodu, aniž bychom museli provádět složité výpočty, 

na které v dnešní době využíváme téměř výhradě výpočetní techniku. 

Pro návrh regulačního obvodu nejsou prozatím vypracovány exaktní metody, které 

by jednoznačně vedly k cíli. Stále zde tedy hraje důležitou roli intuice plynoucí ze 

zkušenosti a citu navrhovatele. V drtivé většině spočívá metoda návrhu v přímé extrapolaci 

nebo interpolaci z již realizovaných a vyzkoušených řešení. 

V oblasti syntézy je však zpracována celá řada dobře využitelných metod. 

Rozhodující je, aby bylo dosaženo převedení požadavků na regulační obvod, které 

formuluje provozovatel, konstruktér a projektant regulovaného projektu na matematickou 

formulaci požadavků, kritérií a cílů, vhodných pro další zpracování. Dosud v praxi 

převládají jednoduché metody syntézy bez velkých matematických nároků. 

V poslední době se rozvíjejí metody syntézy regulačních obvodů, u kterých 

určování vlastností řízeného systému a jeho řízení probíhá podle jediného algoritmu, nebo 

se vyvíjejí algoritmy řízení, které nevyžadují výchozí přesnou identifikaci řízeného 

systému a tyto způsoby řízení označujeme jako adaptivní řízení. 

Náplní této diplomové práce je využití frekvenčních charakteristik při analýze a 

syntéze regulačních obvodů. Vybrané metody analýzy a syntézy pak budou aplikovány na 

příkladech, kde jednak bude zkontrolována stabilita regulačního obvodu a také budou 

navrženy parametry jednotlivých regulátorů (P, I, PI, PD, PID). Výsledky budou 

prezentovány formou tabulek a grafů a následně vysvětlujícím textem se závěrem o 

stabilitě či nestabilitě regulačního obvodu a s výsledkem návrhu parametrů regulátoru.

Strana 17 

2 ANALÝZA A SYNTÉZA 

I přesto, že je v úvodu (kap. 1) naznačen popis pojmů analýza a syntéza, zdá se být 

na místě uvést podrobnější popis, který nás hlouběji vtáhne do problematiky a pomůže nám 

pochopit níže popsané skutečnosti. 

Analýza a syntéza patří mezi základní a nejčastěji užívané vědecké metody. 

Původní význam řeckého slova analýza znamenalo rozložení nějakého komplexu na části a 

syntéza měla význam spojení rozmanitostí k jednotě v celku. Z metodologického hlediska 

jsou tato slova používána ve smyslu metod k získávání nových poznatků, nebo ve smyslu 

metody výkladu poznatků. Syntéza je proti analýze proces opačný, nebo doplňující. Jde o 

sjednocování, složení nějakého předmětu, jevu či procesu z jeho základních prvků ať již 

myšlenkově, či fakticky v nějaký celek. Toto sjednocování nemusí být jen u jednotlivých 

částí, které byly předtím vyděleny analýzou. Syntéza má však jako metodologický princip 

analýzu vždy doplňovat. Tím syntéza umožňuje poznání předmětu v jeho úplnosti. Pomocí 

syntézy nalézáme vztahy nějakého jevu k jiným jevům, zařazujeme jev, nebo proces do 

většího celku a objasňujeme vztahy a mechanismus funkcí u tohoto jevu. Syntézou lze 

rozumět také takový proces, při němž hledáme spojováním části v celek takovou strukturu, 

která by měla námi předem požadované chování. V tomto případě syntéza není pouhou 

skladbou jednotlivých jevů čí procesů, ale je to zároveň kreace nových celků, případně 

jejich proměna. Syntéza tedy může být hledáním nejvhodnější varianty dosahované 

kombinací jednotlivých prvků a jejich vlastností. Jednoduše řečeno pojmem "syntéza" 

rozumíme stanovení takové struktury a parametrů regulačního obvodu, aby byly splněny 

požadavky, které klademe na regulační pochod. 

Syntéza je první etapou návrhu regulačního obvodu. Dalšími etapami návrhu 

regulačního obvodu je volba jednotlivých členů regulačního obvodu. Při návrhu 

regulačního obvodu vycházíme z provozních podmínek, kladených na regulační obvod. Do 

provozních podmínek zahrnujeme např. požadavky na rozměry a hmotnost zařízení 

(zvláště u létajících objektů - letadel, družic apod.), dále požadavky na pracovní prostředí 

(vlhkost, agresivita, nevýbušnost), režim provozu (dlouhodobý, krátkodobý), požadavky na 

typizaci s ohledem na jednoduchost údržby celého zařízení a také požadavky, zda 

regulační obvod má být složen z přístrojů elektrických, pneumatických nebo 

hydraulických. 

Pro tyto fáze návrhu nejsou zatím vypracovány žádné exaktní metody, které by 

jednoznačně vedly k cíli. Zde stále ještě hraje důležitou roli intuice, zkušenost a 

konstruktérský cit navrhovatele. V praxi metoda návrhu spočívá především v tom, že 

přímo extrapolujeme z již realizovaných a vyzkoušených řešení. 

V otázkách syntézy regulačního obvodu se však můžeme opřít o řadu dobře 

vypracovaných metod, kterými se zde budeme zabývat. 

Při syntéze regulačního obvodu je velmi důležité převést požadavky na regulační 

obvod, které formuluje provozovatel regulovaného objektu (technolog u technologického 

procesu, pilot letounu apod.), na matematickou formulaci požadavků, kritérií a cílů, 

vhodnou pro další zpracování. Dosud v praxi převládají jednoduché metody syntézy bez 

velkých matematických nároků. 

Výchozí předpoklady pro syntézu mohou být zadány různě: 

1. Můžeme volit libovolně strukturu i parametry regulačního obvodu a jsme 

omezeni jen splněním podmínek fyzikální realizovatelnosti.

Strana 18 

Analýza a syntéza 

2. Je zadána část struktury i část parametrů regulačního obvodu 

3. Je plně zadána struktura a jsou zadány některé parametry regulačního obvodu 

S případem 1 se v praxi setkáváme zřídka. Vyskytuje se např. při syntéze filtrů. 

Prakticky všechny úlohy syntézy regulačního obvodu lze zahrnout pod body 2 a 3. 

Pod bod 3 patří velké množství průmyslových regulací, u kterých lze regulační 

obvod rozdělit na regulátor a regulovaný systém. Regulátory pro průmyslové regulace se 

vyrábějí jako univerzální regulátory s pevnou strukturou - obvykle spojitý regulátor PID. 

Úloha syntézy se zde redukuje pouze na určení nastavitelných parametrů regulátoru. 

Vhodnost správné volby typu regulátoru ověříme po provedené syntéze regulačního 

obvodu jeho simulací na matematickém modelu regulačního obvodu a později provozními 

zkouškami na regulovaném objektu přímo v provozu. 

Pod bod 2 patří regulační obvody, u kterých neprovádíme rozdělení na regulátor a 

řízený systém. Jsou to např. servomechanismy, což jsou regulační obvody sloužící k vlečné 

regulaci polohy nebo jejích derivací. U těchto regulačních obvodů navrhujeme jak jejich 

strukturu, tak i jejich parametry. 

ϕ 1 

+ 

ϕ 

ovladač 

servomotor 

ϕ 2 

− 

ϕ 2 

Obr. 2.1 - Polohový servomechanismus 

Servomechanismus je tedy regulační obvod, který je tvořen tzv. ovládačem a 

servomotorem s převodovkou (obr. 2.1). Ovladač působící na servomotor je tvořen 

výkonovým zesilovačem, předzesilovačem s korekcemi a měřícím členem. 

Při návrhu servomechanismu navrhujeme všechny jeho členy. Servomotor a jeho 

převodovku navrhujeme podle výkonu požadovaného na výstupní hřídeli. Typem 

servomotoru je určen výkonový zesilovač, kterým u elektrických servomotorů bývá 

obvykle tyristorový měnič. Volba měřícího členu je ovlivněna požadovanou přesností 

servomechanismu. Předzesilovač s jeho korekčními členy navrhujeme podle požadavků na 

dynamické vlastnosti servomechanismu. 

Při syntéze servomechanismu vycházíme obvykle z daných vlastností výkonového 

zesilovače, servomotoru s převodovkou a měřícího členu a určujeme vlastnosti 

předzesilovače s korekcemi. 

Při syntéze regulačního obvodu potřebujeme znát 

1. vlastnosti regulovaného objektu, 

2. předpokládaný průběh řídicí veličiny, 

3. předpokládané průběhy poruchových veličin a místa jejich vstupu do řízeného 

systému, 

4. omezení akčních veličin, 

5. požadavky na kvalitu regulace. 

Vlastnosti regulovaného objektu určujeme buď analýzou objektu, nebo rozborem 

experimentálně získaných průběhů veličin v objektu. Obě tyto metody identifikace vedou 

na sestavení matematického modulu - řízeného systému. Přitom se ukazuje, že některá

Analýza a syntéza Strana 19 

zjednodušení, která provádíme při analýze vlastností objektu, se v uzavřeném regulačním 

obvodu nepříznivě projeví tím, že model a reálný objekt se v uzavřeném regulačním 

obvodu chovají odlišně. Proto jsou výhodné ty metody identifikace, při kterých je 

identifikovaný objekt zapojen přímo v regulačním obvodu (např. identifikace pomocí 

adaptivního modelu). 

Uvedené potíže vedly k tomu, že se v poslední době rozvíjejí syntézy regulačního 

obvodu, u kterých určování vlastností objektu a jeho řízení probíhá současně podle 

jediného algoritmu, nebo se vyvíjejí algoritmy řízení, které nevyžadují přesnou identifikaci 

objektu. Tyto způsoby řízení označujeme jako adaptivní řízení. 

Rozborem fyzikálních jevů, které nastanou během regulačního pochodu, určíme 

podstatu regulované veličiny i případných poruchových veličin a odhadneme jejich průběh 

v čase. Fyzikální podstata regulované veličiny bude ovlivňovat volbu čidla, které převádí 

regulovanou veličinu na signál vhodný k dalšímu zpracování. Časová funkce, podle které 

se bude měnit regulovaná veličina, bude především ovlivňovat požadavky na kvalitu a 

přesnost regulace, tj. požadavky na dynamiku regulačního pochodu. 

Někdy požadujeme, aby regulovaná veličina přesně sledovala řídicí veličinu. Např. 

u polohových servomechanismů (obr. 2.1) požadujeme, aby výstupní poloha ϕ 2 hřídele 

servomechanismu co nejvěrněji sledovala průběh žádané hodnoty ϕ 1 a vliv poruchových 

veličin (zatěžovacích momentů) často ani neuvažujeme. Naopak při regulaci teploty, 

napětí, síťového kmitočtu apod. je často žádaná hodnota trvale konstantní a úkolem 

regulace je kompenzovat poruchy vstupující do regulovaného objektu. 

Ve skutečnosti můžou mít žádané hodnoty regulovaných veličin i poruchy 

vstupující do regulovaného objektu zcela obecný průběh. Pro zjednodušení výpočtu 

uvažujeme jako vstupní veličiny tzv. typizované funkce, jejichž matematické vyjádření je 

snadné a z odezvy regulačního obvodu na tyto funkce můžeme soudit na přesnost a kvalitu 

regulace. Nejčastěji používané typizované funkce jsou jednotkový skok, Diracův impuls, 

skok rychlosti a zrychlení vstupního průběhu a harmonický průběh. 

Akční veličina je výstupní veličinou regulátoru a zároveň vstupní veličinou 

řízeného systému. Velikost akční veličiny je vždy omezena. Omezení akční veličiny je 

způsobeno jednak tím, že výstupní signál z regulátoru nemůže nabývat libovolně velké 

hodnoty, a jednak tím, že vstupní signál do regulovaného objektu se může měnit pouze v 

dovoleném rozsahu, který je dán fyzikální podstatou objektu i ekonomickými omezeními. 

Omezení jsou v podstatě dvojího druhu. Pro názornost je označíme jako omezení 

typu "skála" a "propast". Omezení typu "skála" je omezení na dorazech; toto omezení 

nemůžeme nikdy přesáhnout. Např. regulační ventil má krajní polohy, kdy je plně otevřen 

nebo uzavřen. Omezení typu "propast" je omezení, jehož překročení může způsobit 

poruchu zařízení. Proto musíme zajistit, abychom hodnotu tohoto omezení nikdy 

nepřekročili. Např. napětí nebo proud kotvy motoru nesmí nikdy přesáhnout velikost 

plynoucí z izolační pevnosti vinutí, popř. jeho přípustného oteplení., 

Respektování omezení veličin značně komplikuje úlohu syntézy. Proto nejčastěji 

provádíme syntézu regulačního obvodu bez respektování omezení a potom kontrolujeme, 

zda při dané velikosti řídicích a poruchových veličin nastane omezení signálů a jak se 

omezení projeví na dynamických vlastnostech celého regulačního obvodu. [Kubík, 1982] 

Jak již jsme uvedli výše, syntéza regulačního obvodu ve frekvenční oblasti vychází 

ze struktury regulačního obvodu, kde není možné respektovat místo a tvar vstupující 

poruchové veličiny, ale je možno dosáhnout pouze požadovaných frekvenčních vlastností 

obvodu.

Strana 21 

3 POUŽITÍ FREKVENČNÍCH CHARAKTERISTIK U 

SPOJITÝCH SYSTÉMŮ 

K řízení reálných objektů se rozvíjí metody automatické regulace. Aby tyto metody 

byly použitelné pro širokou třídu reálných objektů, jsou vytvořeny abstraktní modely 

reálných objektů, které se nazývají systémy. Abstrakcí velmi široké třídy reálných modelů 

vznikly spojité systémy, u nichž jsou všechny veličiny funkcemi času t. [Kubík, 1982] 

3.1 Frekvenční popis spojitých systémů 

V této části třetí kapitoly se budu zabývat frekvenčním popisem spojitých 

regulačních obvodů. Vysvětlím zde, které pojmy a výpočtové vztahy využiji při analýze a 

syntéze regulačních obvodů. Důležité rovněž bude ukázat si postup při konstrukci 

frekvenčních charakteristik. 

3.1.1 Frekvenční přenos 

Frekvenční přenos se získá tak, že je na vstup systému přiveden harmonický signál. 

Typickým harmonickým signálem je sinusový průběh 

u t) 

= u sin ωt 

( 

0 

(3.1) 

amplituda vstupního 

signálu 

úhlová 

frekvence 

Na výstupu systému se dostane podle obr. 3.1 (po odeznění přechodového jevu) 

opět sinusový signál ovšem s jinou amplitudou, stejnou úhlovou frekvencí a fázově proti 

vstupnímu signálu posunutý 

u(t) 

y(t) 

y 

( t) = y sin( ω t + ϕ ) 

0 

(3.2) 

T 

u 0 

t 

ϕ 

T 

y 0 

t 

Lépe se ale jeví vyjádřit vstupní i 

výstupní funkci v komplexním tvaru 

jωt 

( t) = u e ; 

0 

u(t) 

S 

y(t) 

j ( ω t +ϕ ) 

( ) 

t = y0e 

(3.3) 

Obr. 3.1

Strana 22 

Použití frekvenčních charakteristik u spojitých systémů 

To jsou v komplexní rovině vektory, které se otáčí úhlovou rychlostí ω. Poměr 

těchto vektorů nám definuje frekvenční přenos 

j( 

ωt+ 

ϕ ) 

( t) 

y0e 

G( jω) 

= = = 

jωt 

( t) 

u e 

0 

y 

u 

0 

0 

e 

jϕ 

(3.4) 

kde 

y 

u 

0 

0 

je poměr amplitud a ϕ je fázové posunutí. 

 

Základem všeho je důležitý vzorec pro výpočet přenosu z diferenciální rovnice 

bms 

G( 

s) 

= 

a s 

n 

m 

n 

+ ... + b s + b 

1 

+ ... + a s + a 

1 

0 

0 

(3.5) 

Pro výpočet frekvenčního přenosu z koeficientů diferenciální rovnice lze odvodit 

následující vztah 

b 

G( 

jω) 

= 

a 

m 

n 

( jω) 

( jω) 

m 

n 

+ ... + b1 

jω 

+ b 

+ ... + a jω 

+ a 

1 

0 

0 

(3.6) 

Vztah je formálně stejný jako vztah (3.5) pro přenos G(s), pouze místo komplexní 

proměnné s v něm figuruje výraz jω. Tím je zároveň dána relace mezi přenosem a 

frekvenčním přenosem, která spočívá ve formální záměně s za jω eventuálně naopak 

G ( jω) 

= G( 

s) 

G ( s) 

= G( 

jω) 

s= 

jω; 

jω 

= s; 

(3.7) 

Zavedení frekvenčního přenosu má velký praktický význam pro řešení regulačních 

problémů. Frekvenční přenos je základem pro používání frekvenčních metod. Znázornění 

frekvenčního přenosu ve tvaru frekvenčních charakteristik umožní řešit otázky stability 

regulačních obvodů, kvalitu regulace i syntézu regulačních obvodů. Také je možno 

používat experimentálně zjištěné a naměřené frekvenční charakteristiky. 

3.1.2 Frekvenční charakteristika v komplexní rovině 

Použití frekvenčních charakteristik v komplexní rovině se dá považovat za 

nejčastější způsob při určování stability regulačních obvodů. 

Frekvenční charakteristika je grafické vyjádření frekvenčního přenosu G(jω) 

v komplexní rovině, když se za úhlovou frekvenci ω dosazují hodnoty 0 až ∞. [Švarc, 

2002]

Použití frekvenčních charakteristik u spojitých systémů Strana 23 

Při praktickém sestrojování frekvenční charakteristiky si frekvenční přenos G(jω) 

ještě v obecném tvaru (před dosazením hodnot ω) upravím na složkový tvar komplexního 

čísla (rozšířením zlomku číslem komplexně sdruženým ke jmenovateli). 

[ G( 

jω) 

] j Im[ G( 

j )] 

G ( jω) 

= Re + ω 

Při pohledu na obr. 3.2a je možné vidět sestrojení frekvenční charakteristiky ( jω) 

(3.8) 

G podle 

(3.8), kde za ω byla dosazena zvolená čísla. 

Druhým způsobem, jak lze sestrojit frekvenční charakteristiku v komplexní rovině 

je z exponenciálního tvaru komplexního čísla (obr. 3.2b). Číslo a + jb se vyjádří ve 

složkovém, goniometrickém nebo exponenciálním tvaru. Po úpravách díky Eulerova 

vztahu [Švarc, 2002] pro převod goniometrického tvaru na exponenciální se dostaneme 

vztah 

G( 

jω) 

= 

A( 

ω) 

⋅ e 

jϕ (ω ) 

. 

(3.9) 

Odvozování Eulerových vztahů zde uvádět nebudu. Uvedu zde pouze dva vztahy. 

První (3.10) v podstatě vyplývá z Pythagorovy věty a slouží k určení velikosti 

amplitudy A . Druhým vzorcem (3.11) zjistím fázi ϕ . Oba údaje se uvádí do tabulky při 

sestrojování frekvenční charakteristiky v komplexní rovině. 

2 

A = a + 

b 

b 

ϕ = arctg 

a 

2 

(3.10) 

(3.11) 

a) Im 

b) 

Im 

ω = ∞ 

ω = 20 

ω = 5 

ω = 2 

a = Acosα 

b = Asinα 

ω =1 

Re 

ω = 0 

ω = 20 

ω = 0,5 

ω = 5 

ω = ∞ 

G ( jω) 

G( jω) 

ω = 2 

A 

ϕ 

ω =1 

Re 

ω = 0 

ω = 0,5 

a + jb 

Obr. 3.2 - Frekvenční charakteristika v komplexní rovině 

Pro názornost takovou tabulku uvedu a k ní pak sestrojím frekvenční 

charakteristiku v komplexní rovině. Ke zvoleným hodnotám ω na kalkulačce dopočítám 

hodnoty Re a Im a výsledky doplním do tabulky 3.1.

Strana 24 


Tabulka 3.1 

ω Re(ω) Im(ω) A(ω) ϕ(ω) 

0 1,5 0 1,5 0° 

0,1 1.39 -0,43 1,46 -17°01' 

0,2 1,14 -0,74 1,37 -33°07' 

0,3 0,83 -0,91 1,23 -47°40' 

0,4 0,54 -0,95 1,09 -60°28' 

0,5 0,3 -0,90 0,95 -71°34' 

0,7 0,01 -0,71 0,71 -89°27' 

0,8 -0,07 -0,62 0,62 -96°49' 

1,0 -0,15 -0,45 0,47 -108°26' 

1,5 -0,16 -0,21 0,26 -127°52' 

2 -0,12 -0,11 0,16 -139°24' 

10 -0,01 -0,01 0,1 -171°33' 

ω 0 0 0 -180° 

Podle této tabulky pak frekvenční charakteristiku zkonstruuji. Hodnoty ω jsem 

dosazoval do rovnice, kterou zde neuvádím, ale pro názornost je dobré si ukázat, jak 

taková tabulka vypadá a hlavně jak vypadá frekvenční charakteristika (obr. 3.3) sestrojená 

z těchto hodnot. 

Im 

2 

1,5 

1 

0,8 

ω = ∞ 

G( jω) 

Re 

ω = 0 

0,1 

0,2 

0,3 

0,5 

0,4 

Obr. 3.3 - Frekvenční charakteristika v komplexní rovině sestrojená podle tabulky 3.1 

3.1.3 Logaritmické frekvenční charakteristiky 

Frekvenční charakteristiku v komplexní rovině se také někdy nazývá amplitudofázovou 

frekvenční charakteristikou. Z jednoho bodu této charakteristiky se pro danou 

frekvenci odečte amplitudu A i fázi ϕ frekvenčního přenosu (3.9)


G( 

jω) 

= 

A( 

ω) 

⋅ e 

jϕ 

( ω ) 

Tím pádem je možno tuto charakteristiku rozdělit na dvě charakteristiky, amplitudovou 

A=A (ω) a fázovou ϕ=ϕ (ω), jak je ukázáno na obr. 3.4. 

Vhledem k úzkému frekvenčnímu pásmu se lineární souřadnice, uvedené na obr. 

3.4, příliš nepoužívají. Pokud bych chtěl toto pásmo rozšířit, pak nejdůležitější část 

charakteristiky s podstatnou změnou amplitudy by byla nahuštěna v úzkém rozsahu 

frekvencí [Švarc, 2002]. Také pracnost konstrukce těchto charakteristik je poměrně velká 

(stejně jako předchozích charakteristik v komplexní rovině). 

amplitudo-fázová 

frekvenční charakteristika 

v komplexní rovině 

Im 

Re 

A 

ϕ 

ω = 0,15 

A 

[–] 

ϕ 

[°] 

amplitudová v lineárních 

souřadnicích A 

20 

[dB] 

10 

0 0,1 0,2 0,3 

-20° 

-40° 

-60° 

ω[1/s] 

fázová v lineárních 

souřadnicích 

ϕ 

[°] 

0 

-45° 

-90° 

-135° 

-180° 

amplitudová v 

logaritmických 


0,1 1 10 100 

ω[1/s] 

fázová 

v logaritmických 


Obr. 3.4 - Frekvenční charakteristiky v amplitudových a fázových souřadnicích 

Proto se začalo upřednostňovat použití těchto charakteristik v logaritmických 

souřadnicích. Na vodorovné ose obou charakteristik, amplitudové i fázové, je vynesena 

frekvence v logaritmickém měřítku. Tím se dosáhne velkého rozmezí frekvencí ω. 

U amplitudové frekvenční charakteristiky v logaritmických souřadnicích se na 

svislou osu vynáší amplituda frekvenčního přenosu G(jω) a to v jednotkách decibel [dB.] 

A( 

ω) 

= 

G( 

jω) 

= 

y 

u 

0 

0 

e 

jϕ 

= 

y 

u 

0 

0 

(3.12) 

Decibel je dvacetinásobek dekadického logaritmu zesílení. Amplituda A je podíl amplitud 

výstupního a vstupního sinusového signálu y 0 /u 0 tedy zesílení označené A[dB] vyjádřené 

vzorcem 

y 

(3.13) 

0 

A [ dB] 

= 20log A[ 

−] 

= 20log 

u 

U fázových frekvenčních logaritmických charakteristik je fáze vynášena na svislou osu v 

lineárním měřítku (ve stupních nebo radiánech). 

0

Strana 26 


3.2 Analýza spojitých systémů frekvenčními metodami 

V této kapitole budou analyzovány vlastnosti spojitých řízených systémů. Budou 

analyzovány různé popisy řízených systémů a uvedu zde některé metody určení vlastností 

a stability systému. Nejprve zde vysvětlím pojem stabilita regulačního obvodu a poté se 

zaměřím na jednotlivá kritéria stability. 

3.2.1 Stabilita regulačních obvodů 

Stabilita je jedním ze základních požadavků, které se kladou na regulační obvod. 

Regulační obvod je stabilní, jestliže po vychýlení regulačního obvodu z rovnovážného 

stavu a odeznění vnějších sil, které tuto odchylku způsobily, se regulační obvod během 

času znovu vrátí do původního rovnovážného stavu. Jinak řečeno je stabilita vlastnost 

regulačního obvodu udržet se v okolí rovnovážného stavu nebo se do něj vrátit po 

odeznění vnějších působících sil. 

Z hlediska stability se regulační obvod rozlišuje na stabilní, na mezi stability a 

nestabilní (obr. 3.5). Regulační obvod na mezi stability se obecně považuje za stabilní a 

vždy se vyžaduje, aby regulační obvod byl za všech okolností stabilní. Zatímco parametry 

a dynamické vlastnosti regulované soustavy jsou dány konstrukcí soustavy, 

technologickým procesem apod. a nemůžeme je tudíž měnit, můžeme měnit dynamické 

vlastnosti regulátoru nastavováním volitelných parametrů regulátoru. Tím lze dosáhnout 

stability (a dalších vlastností) regulačního obvodu. 

y hom 

( t) 

y hom 

( t) 

( t) 

a) b) c) 

y hom 

t 

t 

t 

stabilní obvod 

obvod na hranici 

stability 

nestabilní obvod 

Obr. 3.5 - Určení stability regulačního obvodu 

Jak je uvedeno v [Balátě, 2004], nutnou a postačující podmínkou pro stabilitu 

uzavřeného lineárního regulačního obvodu je, aby všechny kořeny charakteristické 

rovnice obvodu měly zápornou reálnou část. Z této definice jasně vyplývá, že aby byl 

regulační uzavřený lineární obvod stabilní, musí všechny kořeny charakteristické rovnice 

ležet v levé polorovině komplexní roviny "s" (obr. 3.6). 

Vzhledem ke skutečnosti, že samotné určení stability je pracné i s použitím 

výpočetní techniky, protože je zapotřebí vyčíslení kořenů charakteristické rovnice vyššího


než druhého stupně, byla sestavena 

matematická kritéria, tzv. kritéria stability, 

která umožňují z charakteristické rovnice 

určit, zdali jsou její kořeny se zápornou 

reálnou částí nebo ne, a tím stabilitu 

obvodu, aniž by se musela daná rovnice 

řešit. 

Kritéria stability lze rozdělit na 

algebraická a frekvenční. Vzhledem k 

tématu mé práce se budu věnovat jen 

frekvenčním, mezi něž patří dvě 

nejpoužívanější, a to Michajlov- 

Leonhardovo kritérium a Nyquistovo 

kritérium. 

nestabilní 

oblast 

Im 

Obr. 3.6 

stabilní 

oblast 

Re 

hranice 

stability 

3.2.2 Michajlov-Leonhardovo kritérium 

Jedná se o frekvenční kritérium, které vychází z charakteristické rovnice 

uzavřeného regulačního obvodu 

a s 

n ... 0 

(3.14) 

n 

+ + a1 s + a0 

= 

Pro označení Michajlov-Leonhardovy křivky se používají symboly N nebo H. V 

této práci budu používat symbol H. 

Kritérium hodnotí stabilitu podle křivky, kterou opíše koncový bod 

charakteristického vektoru H(jω) v komplexní rovině při změně frekvence ω od 0 do ω. 

Vektor H(jω) vznikne z charakteristické funkce dosazením s = jω 

H 

n 

( jω) 

= an ( jω) + ... + a1( jω) + a0 

(3.15) 

Tato křivka se nazývá křivkou H(jω) nebo také Michajlovov-Leonhardovou 

křivkou. (A.V. Michajlov, ruský matematik, jeho práce uveřejněna v roce 1938; A. 

Leonhard, německý technik, práce uveřejněna v roce 1943). 

Křivku H(jω) není nutné vždy kreslit celou, postačí jen vypočítat polohu jejich 

průsečíků se souřadnými osami. V tom případě se reálná a imaginární část výrazu H(jω) 

položí rovna nule a z toho se vypočítají frekvence zmíněných průsečíků. Z frekvencí se 

pak určí jejich poloha a z polohy snadno určíme průběh celé charakteristiky. [Švarc, 2002] 

Definice Michajlov-Leonhardova kritéria stability: 

Uzavřený regulační obvod je stabilní tehdy a jen tehdy, když Michajlova 

charakteristika H(jω) začíná na kladné reálné poloose [H(0) = a 0 > 0] a při změně 

úhlového kmitočtu ω od 0 do ∞ postupně v kladném smyslu (tj. proti směru pohybu 

hodinových ručiček) projde n kvadranty (ke n je stupeň charakteristického polynomu 

zavřeného regulačního obvodu).

Strana 28 


Začíná-li Michajlovova charakteristika H(jω) v počátku souřadnic, pak 

charakteristický mnohočlen uzavřeného regulačního obvodu H(s) má nejméně jeden 

nulový kořen a regulační obvod je na nekmitavé mezi stability. Na obr. 3.7 je uveden 

případ, kdy n = 3 . Zde je možné pozorovat průběh křivky H ( jω) 

pro stabilní či nestabilní 

obvod nebo pro obvod na hranici stability. 

Im 

a) b) 

Im 

ω = ∞ 

H ( jω) 

ω = 0 

Re 

ω = ∞ 

H ( jω) 

ω = 0 

Re 

c) 

Im 

d) 

ω = ∞ 

H ( jω) 

Im 

H ( jω) 

ω = 0 

Re 

ω = 0 

Re 

ω = ∞ 

e) 

ω = ∞ 

H ( jω) 

Im 

ω = 0 

Re 

Obr. 3.7 - a) stabilní obvod; b) obvod na hranici stability; c), d), e) nestabilní obvod


3.2.3 Nyquistovo kritérium 

Budu-li rozebírat toto kritériu, je na úvod potřeba říci, že mezi jeho výhody patří to, 

že není třeba znát přenos nebo diferenciální rovnici rozpojeného regulačního obvodu, ale 

stačí vycházet z experimentálně zjištěné frekvenční charakteristiky rozpojeného 

regulačního obvodu. Na rozdíl od algebraických kritérií, kde se zkoumá regulační obvod 

pouze z pohledu stability, lze za pomoci Nyquistova kritéria určit také kvalitu regulačního 

obvodu, jednoduše řečeno jak moc je obvod stabilní. 

Na základě frekvenční charakteristiky rozpojeného regulačního obvodu umožňuje 

Nyquistovo kritérium stability ověřovat stabilitu uzavřeného regulačního obvodu. 

Frekvenční charakteristika může být k dispozici i v podobě grafu či tabulky získané 

experimentálně. 

Nyquistovo kritérium vychází z přenosu rozpojeného regulačního obvodu, který si 

vyjádřím ve tvaru podílu polynomů 

G 

0 

( s) = G ( s) G ( s) 

S R 

= 

(3.16) 

Na obr. 3.8a je ukázka rozpojeného regulačního obvodu. Pokud se na některém 

místě obvod fiktivně rozpojí, získají se tím samostatné dva regulační členy a také člen s 

otáčením znaménka v sériovém zapojení. Na vstup se přivede sinusový signál. Na výstupu 

lze pozorovat stejný signál, který má ovšem jinou amplitudu A a je fázově posunut o 

hodnotu ϕ. Pokud se fiktivně rozpojený obvod opět spojí, pak kmity, které byly poslány na 

vstup, se udrží a to i bez opětovného přivedení sinusového signálu. A právě teď se 

rozhoduje o stabilitě regulačního obvodu. Pokud se totiž tyto kmity po určité době zmírní, 

jedná se o stabilní regulační obvod. Pokud se naopak zesílí, jedná se o nestabilní regulační 

obvod. Rozhodujícím případem je posouzení regulačního obvodu na hranici jeho stability. 

Tento případ nastane, pokud je na vstup fiktivně rozpojeného regulačního obvodu přiveden 

sinusový signál a na výstupu se objeví přesně ten stejný. Jak je vidět na obr. 3.8b, regulační 

obvod je v sériovém zapojení s G 0 (s) a s členem otáčejícím znaménko. Na výstupu z G 0 (s) 

je sinusový signál stejný jako na vstupu, se stejnou amplitudou, ale fázově posunutý o 

180°. Poté je signál přiveden do členu otáčejícího znaménko, kde je znovu posunut o 180° 

a tím pádem je na výstupu totožný, a to co se týče amplitudy i fázového posunu. 

Budu-li uvažovat regulační obvod bez členu otáčejícího znaménko a vstupní i 

výstupní signál bude mít stejnou amplitudu o fázové posunutí o 180°, pak frekvenční 

charakteristika G 0 (s) musí procházet tzv. kritickým bodem [-1, 0]. 

Jestliže frekvenční charakteristika rozpojeného regulačního obvodu prochází 

kritickým bodem [-1, 0], pak se tedy jedná o obvod na hranici stability. Jestliže při 

frekvenci, kde je na výstupu signál posunut o 180° oproti vstupu a amplituda výstupních 

kmitů je větší než vstupních, pak nedochází ke zmírnění signálu a obvod je nestabilní. 

M 

N 

( s) 

( s)

Strana 30 


a) 

v=0 y 

G R (s) 

G S (s) 

w=0 

m 1 m 2 

b) 

m 1 

G S (s) 

G R (s) 

y -y 

m 2 

G 0 (s) 

Obr. 3.8 - a) rozpojený regulační obvod; b) regulační obvod v sériovém zapojení s 

G 0 (s) a s členem otáčejícím znaménko 

Im 

ω = ∞ 

ω = 0 

Re 

nestabilní 

−1 

0 

1 

na hranici stability 

stabilní 

( ) jω G 0 

Obr. 3.9 - Průběhy amplitudo-fázové frekvenční charakteristiky rozpojeného 

regulačního obvodu G 0 (jω)


Pro stabilní rozpojený regulační obvod lze již nyní zformulovat Nyquistovo 

kritérium stability: 

Aby byl rozpojený regulační obvod stabilní, pak jeho frekvenční 

charakteristika G 0 (jω) musí ležet vlevo od kritického bodu [-1, 0], a to pro frekvence 

ω od 0 do ∞ (obr. 3.9). 

Toto kritérium pojaté pro rozpojený regulační obvod se může použít pouze pro 

stabilní obvod. 

U uzavřeného regulačního obvodu nastává určité omezení použitelnosti Nyquistova 

kritéria. Jmenovatel přenosu N(s) nesmí obsahovat kladné kořeny (kořeny v pravé 

komplexní polorovině [Švarc, 2002]). Pak je možné napsat, že je-li rozpojený regulační 

obvod nestabilní, uzavřený regulační obvod stabilní být může. Tuto stabilitu lze vyšetřit 

jen zobecněným Nyquistovým kritériem. 

Řešení stability obvodu s dopravní zpožděním použitím zjednodušeného Nyquistova 

kritéria 

Beru-li v úvahu obvody s dopravním zpožděním, je dobré si stručně vysvětli 

charakter těchto obvodů. Existují situace, kdy na vstup regulačního obvodu přivedu nějaký 

signál, ale na výstupu se nic neobjeví. Teprve až po uplynutí určité doby se začne výstupní 

veličina měnit. Tomuto jevu se říká dopravní zpoždění T d . 

Charakteristická rovnice uzavřeného regulačního obvodu s dopravním zpožděním 

má tvar 

− sTd 

1 + G0 ( s) 

e = 0. 

(3.17) 

Dopravní zpoždění způsobuje fázové zpoždění o úhel ω Td . Modul G 0 (s) se nemění, 

s = . Vyjádřím-li si frekvenční přenos rozpojeného regulačního 

GT 

d 

protože modul ( ) 1 

obvodu (3.20) ve smyslu rovnic (3.18 a 3.19) 

( jω) = Re[ G( jω) 

] j G( jω) 

G + 

0 

jϕ 

( 

( ) ( ) ) 0 ω 

jω 

A ω e , 

G = 

0 

Im[ ], 

j ( ) 

( ) ( ) ϕ ω 

j arg G( jω 

jω 

A ω e G( jω) e 

) , 

G = 

(3.18) 

(3.19) 

(3.20) 

potom frekvenční proces rozpojeného regulačního obvodu s dopravním zpožděním bude 

G 

T 

0 

d 

[ ] . 

j ϕ ( ω ) ϕ ( ω ) 

( ω) ( ω) ( ω) ( ω) 1 

O + T d 

j = G j G j = A ⋅ ⋅ e 

0 

Td 

(3.21) 

Pro zjednodušené Nyquistovo kritérium je podmínkou stability uzavřeného 

regulačního obvodu bez dopravního zpoždění splnění podmínky 

0

Strana 32 


(3.22a) 

(3.22b) 

Z podmínky (3.22b) se určí úhlová frekvence ω (obr. 3.10), při které amplitudová a 

fázová frekvenční charakteristika G 0 (jω) protínají reálnou osu roviny "G 0 (jω)". 

Při výskytu dopravního zpoždění v regulačním obvodu se vztahy (3.22) změní 

analogicky na 

(3.23) 

Při určitém dopravním zpoždění projde frekvenční charakteristika G T ( jω) 

d 

0 

kritickým bodem [-1, 0] a uzavřený obvod bude na hranici stability, jak je naznačeno na 

obr. 3.10. 

Při dalším zvětšování T d je obvod již nestabilní, frekvenční charakteristika 

neponechává bod [-1, 0] vlevo od svého průběhu. Hodnoty ω a T d , při kterých frekvenční 

charakteristika G T ( jω) 

d 

Re 

Im 

Re 

Im 

[ G0( jω) 

] > −1, 

[ G ( jω) 

] = 0 ⇒ ω. 

0 

− jωTd 

[ GR 

( jω) GS 

( jω) 

e ] 

− jωTd 

G ( jω) G ( jω) 

e 

> −1, 

[ ] = 0 ⇒ ω. 

R 

S 

0 

prochází kritickým bodem [-1, 0], se nazývá kritickými hodnotami 

s označením ω k a T dk . 

Obr. 3.10 - K řešení stability uzavřeného regulačního obvodu s dopravním 

zpožděním zjednodušeným Nyquistovým kritériem 

Kritický modul má tedy vztah 

A ≡ 1 = 

k 

Re 

2 

2 

[ G ( jω )] + Im G ( jω 

) 

o 

k 

[ ], 

o 

k 

(3.24) 

a pro kritickou fázi platí: − π = ϕ ( ω ) + ϕ ( ), 

k k T 

ω 

d k


Im 

− π = arctg 

Re 

[ G0 

( jωk 

)] 

[ G ( jω 

)] 

0 

k 

− ω T 

k 

dk 

. 

(3.25) 

Ze vztahu (3.24) vypočítám kritickou úhlovou frekvenci ω k a z kritické fáze 

ϕ (3.25) kritické dopravní zpoždění T dk . 

( ) 

k 

ω k 

Jak už jsem uvedl v kapitole 3.1.3, při zjišťování stability regulačních obvodů 

využívám i frekvenčních charakteristik v logaritmických souřadnicích. Tím se zabývá i 

Nyquistovo kritérium, které zde uvedu nyní, ale ve zjednodušené formě. 

Zjednodušené Nyquistovo kritérium v logaritmických souřadnicích 

Verzi zjednodušeného Nyquistova kritéria zde uvedu v logaritmických 

souřadnicích. Předpokladem je, že přenos rozpojeného regulačního obvodu nemá žádný 

pól v pravé polorovině roviny kořenů "s". 

Je-li přenos rozpojeného regulačního obvodu ve tvaru 

1 

1 

tj. s 

1 

= − < 0, 

s 

2 

= − < 0, 

s = 0 3 

, 

T 

T 

1 

G 

o 

( s) 

2 

= 

s 

k 

O 

( T s + )( T s 1) , 

1 

1 2 

+ 

(3.26) 

(nulový pól je zahrnut do levé poloroviny), přitom lze uvažovat relaci koeficientů přenosu 

(zesílení) k o1 < k o3 < k o2 . 

Amplitudové a fázové frekvenční charakteristiky přenosu (3.26) jsou zobrazeny v 

části obr. 3.10a. Pro zesílení k 01 přenosu rozpojeného regulačního obvodu je uzavřený 

regulační obvod stabilní, pro k 03 je na mezi stability a pro k O2 je uzavřený regulační obvod 

nestabilní. Rozhodl jsme tak podle polohy bodu [-1, 0] vzhledem k průběhu jednotlivých 

amplitudových a fázových frekvenčních charakteristik rozpojeného regulačního obvodu. 

Z obr. 3.11 vyplývá souvislost průběhů frekvenčních charakteristik rozpojeného 

regulačního obvodu v komplexní rovině a v logaritmických souřadnicích. V části obr. 

3.11b je amplitudová logaritmická frekvenční charakteristika, v části obr. 3.11c je 

zakreslena fázová logaritmická frekvenční charakteristika. 

Frekvenčním bodem pro rozhodování o stabilitě zjednodušeným Nyquistovým 

kritériem v komplexní rovině byl bod [-1, 0]. V tomto bodě modul frekvenčního přenosu 

rozpojeného regulačního obvodu má hodnotu 

G O 

( jω) = 1, 

(3.27) 

a fáze má hodnotu ϕ ( ω) = −180° . 

V logaritmických souřadnicích si zobrazím odpovídající kritický bod výpočtem 

[ ] = 20 log1 = 0. 

A dB 

(3.28)

Strana 34 


Jednotková kružnice v komplexní rovině se tedy zobrazí do přímky s hodnotou 0 

dB (viz obr. 3.11b). 

Fáze má hodnotu stejnou, zůstává nezměněna. Kritickým bodem pro rozhodování o 

stabilitě zjednodušeným Nyquistovým kritériem v logaritmických souřadnicích je bod v 

amplitudové logaritmické frekvenční charakteristice s amplitudou A[dB] = 0 a nazývá se 

úhlovým kmitočtem řezu ω ř . 

Při praktické aplikaci teorie automatického řízení je možné narazit na systémy, u 

kterých je splněna silná podmínka fyzikální realizovatelnosti, tj. n > m. Z toho plyne, že 

stupeň jmenovatele přenosu rozpojeného regulačního obvodu je vyšší než stupeň čitatele a 

tedy fáze ϕ má zápornou hodnotu. To je případ i přenosu (3.26), který představuje 

integrační člen se setrvačností 2. řádu. Jeho fázová logaritmická frekvenční charakteristika 

je zobrazena na obr. 3.11c. Porovnáním hodnot fáze kritického bodu v částech obr. 3.11c a 

obr. 3.11a je vidět, že je možné fázi kritického bodu stanovit na hodnotu 

ϕ 

( ω) = −180° . 

(3.29) 

Potom pro ( ω) > −180° 

pro ( ω) < −180° 

ϕ (tj. např. pro − 160° , …) bude uzavřený obvod stabilní a naopak 

ϕ (tj. např. pro − 200 ° , …) bude uzavřený regulační obvod nestabilní. 

Definice stability podle zjednodušeného Nyquistova kritéria v logaritmických 


Uzavřený regulační obvod je stabilní, jestliže pro úhlovou frekvenci řezu ω ř , při 

které; amplitudová logaritmická frekvenční charakteristika rozpojeného regulačního 

obvodu protíná osu 0 dB, bude ϕ ( ω) > −180° 

. Důsledkem je, že amplitudová logaritmická 

frekvenční charakteristika protíná osu 0 dB vlevo od úhlové frekvence, při němž má fáze 

hodnotu ϕ ( ω) = −180° 

(viz obr. 3.11). 

Z uvedeného je zřejmá výhoda používání frekvenčních charakteristik v 

logaritmických souřadnicích. Jestliže vím, že místa lomu amplitudové charakteristiky jsou 

definována převrácenou hodnotou časových konstant přenosu, snadno poznám, kterou z 

časových konstant přenosu rozpojeného regulačního obvodu musím změnit, aby uzavřený 

regulační obvod byl stabilní.


a) 

b) 

c) 

Obr. 3.11 - Souvislost zjednodušeného Nyquistova kritéria v komplexní rovině a 

v logaritmických souřadnicích: a) v komplexní rovině; b) amplitudová 

logaritmická frekvenční charakteristika; c) fázová logaritmická 

frekvenční charakteristika

Strana 36 


3.3 Syntéza spojitých systémů frekvenčními metodami 

Byla vypracována celá řada metod syntézy regulačního obvodu. Jedny z metod 

tvoří klasické metody syntézy pomocí frekvenčních charakteristik. Tyto metody se 

používají pro syntézu struktury i parametrů regulátorů v regulačních obvodech. 

Při syntéze regulačního obvodu pomocí frekvenčních charakteristik se vychází z 

dané frekvenční charakteristiky rozpojeného regulačního obvodu nebo jeho části. Syntéza 

se provádí v komplexní rovině nebo v logaritmických souřadnicích. 

Frekvenční metody syntézy v podstatě využívají toho, že nevhodné póly i nuly 

přenosu rozpojené smyčky se kompenzují nulami a póly přenosu korekčních členů 

(korekčními členy bývají nejčastěji standardní lineární regulátory typu P, PI, PD, PID 

apod.). 

3.3.1 Ukazatele kvality regulace 

Kvalitu regulace je možné posuzovat podle ukazatelů v časové, frekvenční nebo 

obrazové oblasti [Davidová, 2004]. Z průběhu přechodové charakteristiky se kvalita 

regulace v časové oblasti určuje z odezvy regulačního obvodu na skokový signál. Právě z 

této přechodové charakteristiky se určí kvantitativní ukazatele, díky kterým lze hodnotit 

chování regulačního obvodu. Mezi kvantitativní ukazatele patří maximální překmit y max 

regulované veličiny, doba regulace t 

r 

, trvalá regulační odchylka e 

T 

a perioda kmitů 

T přechodové charakteristiky. Pro určení kvality regulace v obrazové oblasti je zásadní 

poloha pólů uzavřeného regulačního obvodu v komplexní rovině. 

Kvantitativní ukazatele, které jsem zmínili výše, jsou zobrazeny na obr. 3.12 a ve 

stručnosti si zde uvedeme jejich popis. 

• maximální překmit y max regulované veličiny = maximální hodnota, kterou 

dosáhne regulovaná veličina 

• doba regulace t r = doba, za kterou trvale klesne regulační odchylka pod 5% 

ustálené hodnoty 

• trvalá regulační odchylka e T (t) = rozdíl mezi požadovanou a skutečnou hodnotou 

regulované veličiny 

• perioda kmitů T přechodové charakteristiky. 

Někdy se také používají další ukazatele kvality regulace, jako např.: 

• čas t max = doba, kdy dochází k největšímu překmitu 

• počet kmitů. 

Tyto ukazatelé kvality dávají přímou informaci o časovém průběhu regulačního 

pochodu, což je jejich výhodou, ale zároveň platí podmínka, že přechodová charakteristika 

musí mít kmitavý průběh, nikoliv aperiodický, jinak maximální překmit ani periodu kmitů 

nelze určit.


y(t) 

+5% y(∞) 

y(∞) 

y max 

T 

–5% y(∞) 

t max 

t 

t r 

Obr. 3.12 - Ukazatele kvality regulace na přechodové charakteristice 

Pro kvalitu regulace v obrazové oblasti je zásadní poloha pólů uzavřeného 

regulačního obvodu v komplexní rovině. Mezi všemi uvedenými ukazateli kvality existuje 

jednoznačná souvislost. 

Především jsou důležité dvě hodnoty, a to maximální překmit y max regulované 

soustavy a doba regulace t r . Je dobré si představit, že jsou regulovány např. otáčky 

nějakého točivého stroje, pak y max je hodnotou, na kterou musí být stroj ještě pevnostně 

dimenzován a otáčky y max nesmí např. padnout do kritických otáček stroje. Dalším 

požadavkem je, aby doba regulace t r nebyla příliš dlouhá a perioda kmitů T také někdy 

nesmí padnout do určitého pásma. 

Při regulačním pochodu v podstatě dochází k výměně energie. V oblasti 

podregulování má regulovaná soustava nedostatek energie a je zapotřebí jí energii dodávat, 

aby se hodnota regulované veličiny zvýšila na požadovanou hodnotu. V oblasti 

přeregulování má naopak přebytek energie a tu předává okolí, aby se hodnota regulované 

veličiny snížila na požadovanou hodnotu. To pochopitelně není možné vzhledem např. k 

setrvačným hmotám apod., tedy je alespoň požadováno, aby výměna energie byla co 

nejmenší – aby regulační plocha byla minimální. 

Regulační plocha, zmíněná v předešlém odstavci, je podle obr. 3.13 vyšrafovaná 

plocha nad a nebo pod průběhem regulované veličiny. 

Minimum regulační plochy znamená také kompromis mezi protichůdnými 

požadavky na minimální y max a minimální t r . Tam se totiž ukazují protiklady požadavků na 

tyto dvě hodnoty. Čím větší je např. zesílení regulátoru r 0 , tím kratší je sice doba regulace, 

ale tím větší je maximální překmitnutí. Optimum mezi těmito dvěma protichůdnými 

požadavky je minimum regulační plochy. V praxi se kvalita regulace hodnotí podle 

charakteristických parametrů regulačního pochodu (viz obr. 3.13).

Strana 38 


y(t) 

y(∞) 

+ + 

– – 

t 

Obr. 3.13 - Ukázka regulační plochy 

Vzhledem k tématu mé diplomové práce, ve které se zabývám frekvenčními 

metodami, bude dále má pozornost upřena na ukazatele kvality regulace ve frekvenční 

oblasti. 

Ukazatelé kvality regulace ve frekvenční oblasti 

Pro hodnocení kvality řízení budu na frekvenční charakteristice uzavřené smyčky 

definovat následující míry: 

• rezonanční převýšení A r = maximální hodnota zesílení (maximální hodnota 

amplitudy frekvenčního přenosu). Velké rezonanční převýšení znamená velký 

překmit na přechodové charakteristice. 

• rezonanční frekvence ω r = frekvence, při níž frekvenční charakteristika dosahuje 

hodnoty rezonančního převýšení A r a rozhoduje o relativní stabilitě uzavřeného 

obvodu 

• šířka pásma propustnosti ω h = frekvence, na níž poklesne zesílení o 3 dB oproti 

zesílení na nízkých frekvencích. Širší propustné pásmo znamená rychlejší odezvu 

systému, tj. kratší dobu náběhu přechodové charakteristiky (dobu, za kterou přejde 

výstup z 10% na 90% ustálené hodnoty). Na druhou stranu vyšší mezní frekvence 

však znamená, že systém může reagovat i na vysokofrekvenční rušení zpravidla 

přítomné na vstupech systému. 

Tyto ukazatele kvality jsou zobrazeny na obr. 3.14, kde je vynesena typická 

frekvenční charakteristika uzavřeného regulačního obvodu.


Existuje souvislost mezi rezonančním převýšením A r amplitudové charakteristiky a 

maximálním překmitem y max na přechodové charakteristice. I přes to, že platí čím větší je 

rezonanční převýšení, tím větší je maximální překmit, tak většina regulačních obvodů se v 

praxi navrhuje tak, aby A 

r 

∈ ( 1.1,1.5 ), resp. A rdB 

∈ ( 1dB, 

3dB) 

, a to z důvodu urychlení 

odezvy. Stejně tak existuje souvislost mezi dobou regulace t r a šířkou pásma propustnosti 

ω h , kde platí nepřímá úměrnost. Čím větší je šířka pásma propustnosti, tím rychlejší je 

přechodový děj a tím pádem je kratší doba regulace. Doba regulace je omezena vztahem, 

neboli nerovností 

π 4π 

< t 

r 

< . 

ω ω 

(3.30) 

ř 

Pro připomenutí ω ř je úhlová frekvence řezu, při níž je absolutní hodnota 

frekvenčního přenosu rovna jedné. 

ř 

A 

[dB] 

A r 

ω r 

ω h 

3dB 

ω 

Obr. 3.14 - Ukazatele kvality regulace z frekvenční charakteristiky 

uzavřeného regulačního obvodu 

Pro frekvenční návrh uzavřeného regulačního obvodu jsou na frekvenční 

charakteristice rozpojeného regulačního obvodu definovány ukazatele kvality regulace 

uvedené v [Davidová, 2004]. Jsou to tyto: 

• amplitudová bezpečnost δ říká, kolikrát se ještě může zvětšit zesílení v rozpojené 

smyčce, než se zpětnovazební systém dostane na mez stability 

• fázová bezpečnost γ je dána úhlem frekvenční charakteristiky γ otevřeného 

regulačního obvodu při frekvenci ω ř , při kterém se amplituda frekvenční 

charakteristiky rovná jedné. Fázová bezpečnost je záporně vzatá změna fáze 

otevřeného obvodu, která přivede uzavřený regulační obvod na hranici stability. 

Tyto ukazatele kvality regulace jsou znázorněny na obr. 3.15, kde je vyobrazena 

frekvenční charakteristika rozpojeného regulačního obvodu.

Strana 40 


γ 

a) b) 

Im 

A 

[dB] 

1/δ 

–1 

0 

0 

–20 

Re 

–40 

( ) jω G 0 

ωř 

–120° 

–150° 

–180° 

–210° 

γ 

ωř 

δ 

ω 

f 

ω 

ω 

ϕ 

[°] 

Obr. 3.15 - a) frekvenční charakteristika v komplexní rovině; b) amplitudová a 

fázová charakteristika v logaritmických souřadnicích 

A 

[dB] 

–40 dB/dek 

–20 dB/dek 

∆L 

ω 1 

–20 dB/dek 

ω ř 

ω 2 

∆L 

ω 

–40 dB/dek 

–60 dB/dek 

Obr. 3.16 - Logaritmická frekvenční charakteristika ve formě asymptot 

Na obr. 3.16 je vyobrazena logaritmická frekvenční charakteristika ve formě 

asymptot. V této formě je to nejčastěji používaná logaritmická charakteristika, protože její 

konstrukce je jednoduchá a rychlá. Frekvence ω 1 a ω 2 se nazývají lomové frekvence, tvoří 

průsečíky asymptot a jsou na frekvencích, které jsou převrácenými hodnotami časových 

konstant regulátoru nebo regulované soustavy.


3.3.2 Frekvenční metody syntézy 

U syntézy uzavřeného regulačního obvodu se upravuje frekvenční charakteristika 

rozpojeného obvodu tak, aby výsledná frekvenční charakteristika uzavřené smyčky měla 

požadovaný průběh, tedy aby byly splněny ukazatele kvality regulace. Frekvenční 

charakteristiku rozpojeného regulačního obvodu můžeme upravovat dvojím způsobem: 

• Volbou zesílení rozpojeného regulačního obvodu. Tím vlastně určím konstantu 

proporcionálního regulátoru (kap. 3.3.2.1). 

• Sériovými korekčními členy. Ideálním sériovým korekčním členem jsou vlastně 

regulátory P, PD, PI, popř. PID (kap. 3.3.2.2). 

3.3.2.1 Volba zesílení rozpojeného regulačního obvodu 

Pro zvolené rezonanční převýšení A r frekvenčního přenosu uzavřeného regulačního 

obvodu můžu určit odpovídající zesílení rozpojeného regulačního obvodu. V komplexní 

rovině provedu jednoduchou konstrukci (Brown - Campbellova konstrukce). 

Brown - Campbellova konstrukce je zobrazena na obr. 3.17. Nakreslím frekvenční 

charakteristiku rozpojeného regulačního obvodu se zvoleným zesílením k o . Z počátku vedu 

tečnu ke kružnici zvoleného rezonančního převýšení A r . Pak snadno odvodím, že pro úhel 

α se zápornou reálnou poloosou platí 

1 

α = arcsin , . ≥ 1 

(3.31) 

A r 

A r 

Sestrojím kružnici se středem na záporné reálné ose tak, aby se dotýkala v jednom bodě 

nakreslené frekvenční charakteristiky (bod A) a měla tečnu sestrojenou v bodě B. V bodě 

dotyku kružnice a tečny (bod B) vedu kolmici na reálnou osu, přečtu její vzdálenost od 

počátku, označím ji x a zesílení přenosu rozpojeného obvodu vyjádřím vztahem 

k 

oopt 

= k 

o 

1 

x 

. (3.32) 

Im 

S 

x 

A 

–1 

α 

0 

Re 

B 

( ) jω G 0 

Obr. 3.17 - Brown - Campbellova konstrukce

Strana 42 


Ještě snadněji určím zesílení rozpojené smyčky v logaritmických souřadnicích. 

Sestrojím frekvenční charakteristiku rozpojeného regulačního obvodu pro zvolené zesílení 

k v logaritmických souřadnicích. Tuto charakteristiku přenesu do Nicholsova diagramu. 

Frekvenční charakteristiku kreslím na průsvitku položenou na Nicholsův diagram. Poté 

posunu průsvitku s nakreslenou charakteristikou ve směru osy, na nichž je vynesena 

amplituda v decibelech přenosu rozpojené smyčky tak, až se v Nicholsově diagramu 

dotkne izoplety s hodnotou A rdB . Stejně jako v předchozím případě velikost posunu 

označím x [dB]. Optimální zesílení přenosu rozpojené smyčky je 

nebo 

( k 

opt 

) = k 

dB 

+ xdB 

dB 

k opt 

= kx 

(3.33) 

(3.34) 

Zde se hodí uvést také zjednodušený postup. Vyhovující hodnotu zesílení rozpojené 

smyčky určím přibližně také tak, že zajistím, aby amplitudová logaritmická frekvenční 

charakteristika rozpojené smyčky procházela osou 0 dB při fázi ϕ = −135° 

. Tím zajistím 

fázovou bezpečnost 45° a hodnota rezonančního převýšení tak bude kolem 1,3. Při tomto 

zjednodušení nemusím ani používat Nicholsův diagram. Posun o x decibelů provedu přímo 

v logaritmických amplitudových souřadnicích rozpojeného regulačního obvodu. 

3.3.2.2 Sériové korekční členy 

Jak jsem již zmínil v kapitole 3.3.2, sériovým korekčním členem jsou regulátory P, 

PD, PI, popř. PID nebo jimi také mohou být obecné korekční členy nahrazující tyto 

regulátory. Jsou to členy, které jsou zapojeny v sérii s ostatními členy a tvoří přímou větev 

regulačního obvodu. Syntéza regulačního obvodu ve frekvenční oblasti využívá vlastností 

typizované logaritmických amplitudových frekvenční charakteristik (TLAFCH), 

především však skutečnosti, že výsledná (TLAFCH) je dána geometrickým součtem 

(TLAFCH) jednotlivých členů zařazených do série. Tato skutečnost nám umožňuje snadné 

určení korekčního členu. 

3.3.2.3 Metoda typizované logaritmické frekvenční charakteristiky 

Vlastnosti uzavřeného regulačního obvodu jsou plně určeny frekvenčními 

charakteristikami jeho rozpojeného obvodu [Davidová, 2004]. Při návrhu regulačního 

obvodu se bere často v úvahu metody využívající frekvenční charakteristiky v 

logaritmických souřadnicích, díky kterým je k dispozici lepší náhled na chování systému v 

případě, že se některý z jeho parametrů bude měnit. Nevýhodou této i ostatních 

frekvenčních metod je fakt, že na časové závislosti (přechodová charakteristika apod.) lze 

usuzovat pouze podle nepřímých ukazatelů a k získání odezev je nutné volit zdlouhavý 

postup [Suchna, 2005]. 

Nyní zkusím uvést stručný popis metody. Základem je tzv. žádaná logaritmická 

amplitudová frekvenční charakteristika rozpojeného obvodu, která předem splňuje 

stanovené požadavky na přesnost a kvalitu regulačního obvodu.


Podle pravidel, která uvedu dále, můžu sestrojit logaritmickou amplitudovou 

charakteristiku rozpojeného obvodu G 0 (jω) dB . Ta splňuje dané požadavky na regulaci (obr. 

3.18). 

Vezmu-li v úvahu přenos rozpojeného regulačního obvodu G 0 (jω), pro který platí 

vztah 

a z toho 

G 

0 

( jω) = G ( jω) G ( jω) 

G 

R 

( jω) 

R 

G 

= 

G 

0 

S 

S 

( ) 

( ) 

(3.35) 

jω 

. (3.36) 

jω 

Pak pro logaritmické souřadnice platí vztahy 

G 

R 

( jω) = G ( jω) − G ( jω) , 

dB 

ϕ 

0 dB S dB 

ϕ 

R 

= 0 

−ϕ S 

(3.37) 

(3.38) 

Logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika se tedy stanoví z rozdílů těchto 

charakteristik pro rozpojený regulační obvod a regulovanou soustavu. 

Metoda typizované logaritmické amplitudové frekvenční charakteristiky je 

vhodným příkladem toho, jak lze frekvenční charakteristiku využít pro návrh spojitého 

regulačního obvodu. 

A 

[dB] 

–20 dB/dek 

G 0 (jω) 

0 dB/dek 

–40 dB/dek 

ω 1 

–20 dB/dek 

–20 dB/dek 

G S (jω) 

ω2 

ω3 

ω 

–20 dB/dek 

G R (jω) 

0 dB/dek 

ω ř 

+20 dB/dek 

–20 dB/dek 

–40 dB/dek 

–60 dB/dek 

Jak je znázorněno na obr. 3.19, typizovanou logaritmickou amplitudovou 

frekvenční charakteristiku lze rozdělit na tři oblasti, a to nízkofrekvenční, středofrekvenční 

a vysokofrekvenční. 

Nízkofrekvenční oblast je úsek v rozsahu úhlových frekvencí ω ∈< 0, 

ω1 

> , kde 

ω = 1 T je první zlom frekvenční charakteristiky. Tato část je v logaritmických 

1 

/ 

Obr. 3.18 - Typizovaná logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika 

max

Strana 44 


souřadnicích kreslena se sklony 0 dB/dek, –20 dB/dek, –40 dB/dek. Asymptota 

nízkofrekvenční části charakteristiky musí procházet hodnotou 20 log k 0 při frekvenci 

ω = 1, kde k 0 je zesílení rozpojeného regulačního obvodu. Tato část charakteristiky určuje 

typ regulačního obvodu a mé vliv na přesnost regulačního obvodu v ustáleném stavu. 

Středofrekvenční oblast určuje kvalitu přechodového děje. Je to úsek v okolí 

průsečíku amplitudové frekvenční charakteristiky rozpojeného regulačního obvodu s osou 

0 dB při úhlové frekvenci ω 

ř 

. Na obr. 3.18 je šířka této části omezena úhlovými 

frekvencemi ω ∈< ω ,ω 2 3 

> . Z důvodu optimálního průběhu přechodové charakteristiky 

uzavřeného regulačního obvodu, je požadovaný skon charakteristiky v okolí úhlové 

frekvence ω –20 dB/dek. Úhlovou frekvenci ω stanovíme přibližně podle vztahu 

ř 

4π 

ω , (3.39) 

ř 

= 

tr 

kde t r je požadovaná doba regulace. 

Šířka středofrekvenční oblasti se volí v rozsahu 0,5 až 0,9 dekády. Čím je šířka oblasti 

větší, tím je regulační obvod více tlumen a zároveň je větší i jeho fázová bezpečnost γ. 

Vysokofrekvenční oblast začíná pro úhlové frekvence ω = (6 až 8)ω ř . Tato část 

nemá podstatný vliv na průběh přechodového děje uzavřeného regulačního obvodu. Její 

sklon bývá obvykle –40 dB/dek nebo –60 dB/dek. 

Spojení nízkofrekvenční a středofrekvenční oblasti bývá se sklonem asymptoty –40 

dB/dek až –60 dB/dek. Stejně tak spojení středofrekvenční a vysokofrekvenční části mívá 

sklon asymptot –40 dB/dek až –60 dB/dek. 

Metoda typizované amplitudové logaritmické frekvenční charakteristiky 

rozpojeného regulačního obvodu se spíše aplikuje při návrhu servomechanismů než u 

klasických regulačních obvodů složených z dvojice regulátor - regulovaná soustava. V 

tomto případě je totiž struktura obvodu plně dána a volba typu regulátoru a jeho parametrů 

je omezen. 

ř 

A 

[dB] 

–40 dB/dek 

–20 dB/dek 

0 dB/dek –40 dB/dek 

∆L 

ω 1 

ω 2 

–20 dB/dek 

ω ř 

ω 3 

ω 4 

∆L 

–40 dB/dek 

ω 

nízkofrekvenční 

oblast 

středofrekvenční 

oblast 

–60 dB/dek 

vysokofrekvenční 

oblast 

Obr. 3.19 - Typizovaná logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika

Strana 45 

4 POUŽITÍ FREKVENČNÍCH CHARAKTERISTIK U 

DISKRÉTNÍCH SYSTÉMŮ 

Diskrétní regulační obvody jsou takové, v nichž alespoň jeden člen pracuje 

diskrétně, tj. informaci přijímá nebo vydává, eventuálně obojí, v diskrétních časových 

okamžicích (zpravidla rovnoměrných - ekvidistantních). Jinými slovy, alespoň jedna 

veličina obvodu má tvar posloupnosti diskrétních hodnot. [Švarc, 2002] 

Při analýze a syntéze diskrétních regulačních obvodů se zpravidla pracuje s 

diskrétními modely spojitých částí regulačních obvodů. 

4.1 Frekvenční popis diskrétních systémů 

V této části čtvrté kapitoly se budu zabývat frekvenčním popisem diskrétních 

regulačních obvodů. Vysvětlím, které pojmy a výpočtové vztahy využiji při analýze a 

syntéze regulačních obvodů. Důležité rovněž bude ukázat si postup při konstrukci 

frekvenčních charakteristik. 

4.1.1 Frekvenční přenos 

Nejprve je vhodné uvažovat lineární diskrétní systém, jehož Z - přenos má tvar s 

kladnými mocninami z 

G 

( z) 

bm 

z 

= 

a z 

+ ... + b1 

z + b 

+ ... + a z + a 

Frekvenční přenos diskrétního systému se potom definuje vztahem 

G 

n 

m 

n 

Y 

ω = 

U 

( j T ) 

(4.1) 

(4.2) 

což je podíl Fourierova obrazu výstupní a Fourierova vstupní funkce. Tento frekvenční 

přenos je komplexní funkce bezrozměrné frekvence ωT. Získáme ho ze Z - přenosu G(z) 

dosazením 

jωT 

z = e 

(4.3) 

tedy 

G j T = G z 

(4.4) 

Frekvenční přenos diskrétního systému je (na rozdíl od frekvenčního přenosu 

spojitého systému) periodická funkce frekvence ωT s periodou 2π 

1 

( jωT 

) 

( jωT 

) 

( ) ( ) jωT 

ω 

z= 

e 

( jωT 

) = G[ j( ωT 

+ kπ 

)] 

G 2 

0 

0 

(4.5)

Strana 46 

Použití frekvenčních charakteristik u diskrétních systémů 

4.1.2 Frekvenční charakteristika v komplexní rovině 

Frekvenční charakteristika diskrétního systému v komplexní rovině je grafické 

znázornění frekvenčního přenosu G(jωT) v závislosti na bezrozměrné frekvenci ωT, která 

se mění obecně od 0 do 2π (z důvodu toho, že se jedná o periodickou funkci, její průběh by 

se opakoval) a znázorňuje se v komplexní rovině. Snadno lze zjistit, že frekvenční 

charakteristika je souměrná podle reálné osy [Švarc, 2002]. Vzhledem k této souměrnosti a 

k periodičnosti G(jωT) ji stačí znázorňovat a počítat v rozsahu 

0 ≤ ωT 

≤ π 

(4.6) 

Na obr. 4.1 je právě znázorněn příklad zobrazení frekvenční charakteristiky v 

komplexní rovině diskrétního regulačního obvodu. 

a) b) 

Im 

Im 

ωT=π/2 

ωT=2 

Re 

ωT=π/2 

ωT=0 

Re 

ωT=π 

Obr. 4.1 - Frekvenční charakteristika v komplexní rovině 

4.1.3 Logaritmická frekvenční charakteristika 

Jak je uvedeno v [Davidová, 2002], k sestrojení amplitudové a fázové frekvenční 

charakteristiky v logaritmických souřadnicích se využívá vztah 

pak 

G 

1+ 

jΩ 

z = 

, (4.7) 

1− 

jΩ 

( jΩ) = G( z) 

1+ 

jΩ 

z= 

1− 

jΩ 

Pro vyjádření amplitudové části frekvenční charakteristiky G( jΩ ) dB 

lze použít asymptot 

jako u spojitých systémů, protože 

(4.8)

Použití frekvenčních charakteristik u diskrétních systémů Strana 47 

Ω = tg ωT 

2 

(4.9) 

a frekvenčnímu rozsahu ω T ∈< 0, 

π > odpovídá frekvenční rozsah modifikované 

frekvence Ω ∈< 0 , ∞ > . 

4.2 Analýza diskrétních systémů frekvenčními metodami 

V této kapitole budou analyzovány vlastnosti diskrétních systémů. Stejně jako u 

spojitých sytému, analýza diskrétních systémů se orientuje na stabilitu regulačního obvodu. 

Budou analyzovány různé popisy řízených systémů a uvedu zde některé metody určení 

vlastností a stability systému. 

4.2.1 Stabilita regulačních obvodů 

Pro diskrétní systémy platí stejná definice stability jako pro každý lineární systém: 

Systém je stabilní, jestliže se po odeznění budicího signálu vrátí do rovnovážného 

stavu. Názorně zobrazeno je to na obr. 4.2 a matematicky zapsáno (už pro diskrétní 

systémy) 

( k ) 0 

lim y hom 

= 

k →∞ 

(4.10) 

y hom (k) 

k 

Obr. 4.2 

Tato definice bývá pro diskrétní systémy často uváděna v trochu odlišné formě, a to: 

Obvod je stabilní, jestliže odezva na omezenou (konečnou) vstupní veličinu je opět 

omezená (konečná) výstupní veličina. 

Vezmu-li v úvahu diskrétní regulační obvod podle obr 4.3., jeho přenos řízení je dán 

vztahem

Strana 48 


Gw 

( z) 

Y 

= 

U 

( z) 

( z) 

GR 

= 

1+ 

G 

( z) GS 

( z) 

( z) G ( z) 

R 

S 

(4.11) 

T 

y(k) 

T 

T 

w(t) e(t) G G S (s) 

y(t) 

R (z) 

Obr. 4.3 

Tento vztah je možné si vyjádřit jako podíl polynomů s kladnými mocninami z 

G 

w 

( z) 

Y 

= 

U 

( z) 

( z) 

m 

( z) GS 

( z) 

bm 

z + ... + b1 

z + 

= 

n 

R 

( z) GS 

( z) anz 

+ ... a1z 

+ 

0 

GR 

b 

= 

1+ 

G 

a 

0 

(4.12) 

Pro odvození obecné podmínky stability, převedu Z - přenos řízení (4.12) na diferenční 

rovnici řízení 

a 

y 

( k + n) + ... + a y( k + 1) + a y( k ) = b w( k + m) + ... + b w( k + ) + b w( k ) 

n 1 0 

m 

1 

1 

0 

(4.13) 

Na základě této rovnice mohu stanovit průběh regulované veličiny y(k) při různých 

změnách řídicí veličiny eventuálně poruchy. Přechodný děj při těchto změnách je dán 

řešením této rovnice a toto řešení má tvar 

( k ) y ( k ) + y ( k ) 

kde y hom 

( k) 

je řešení homogenní rovnice a ( k) 

y 

= hom 

(4.14) 

y part 

je partikulární integrál daný pravou 

stranou rovnice (4.13). Partikulární integrál závisí čistě na vstupující řídicí nebo poruchové 

veličině a na stabilitu nemá vliv, protože stabilita je posuzována až po skončení působení 

vzruchu, který vyvedl regulační obvod z rovnovážného stavu. Důležitá je tedy pouze první 

část řešení diferenční rovnice a to je y hom 

( k) 

. Řeším tedy homogenní rovnici k rovnici 

(4.13) 

part 

a n 

0 

y 

( k + n) + + a y( k + 1) + a y( k) 0 

... 

0 

1 

= 

(4.15) 

K získání tohoto řešení nejprve sestavím charakteristickou rovnici k dané diferenční 

rovnici (budu zde používat symbol z) 

a 

n 

z 

n 

+ ... + a z + a0 

1 

= 

(4.16)


a určím kořeny z 1 , z 2 , … z n . 

Charakteristická rovnice (4.13) respektive její levá strana se objevuje ve 

jmenovateli přenosu řízení (4.12) a proto je charakteristická rovnice také 

( z) G ( ) 0 

1 + G z = 

R 

S 

(4.17) 

Jsou-li kořeny charakteristické rovnice všechny různé (násobné kořeny), je řešení 

homogenní diferenční rovnice (4.15) dáno rovnicí 

k k 

k 

( k ) = C z + C z + ... C z 

y + 

hom 

1 

1 

2 

2 

n 

n 

(4.18) 

Vztah pro limitu tohoto řešení je 

lim y hom 

k = 

Aby byla splněna podmínka stability ( ) 0 

rovnice 

k →∞ 

k 

k 

k 

( k ) = C lim z + C lim z + ... + C lim z 

lim yhom 

1 

2 

1 

k →∞ 

k→∞ 

2 

k→∞ 

n 

k→∞ 

n 

(4.19) 

, musí být kořeny charakteristické 

z i 

< 1 

pro i = 1, 2, … n (4.20) 

Určením kořenů z1 , z2 , … zn. je možné 

vyslovit obecnou podmínku stability 

diskrétních regulačních obvodů, která se 

trochu liší od obecné podmínky stability 

spojitých obvodů a je uvedena v [Švarc, 

2003]: Diskrétní obvod je stabilní, ležíli 

kořeny charakteristické rovnice 

1 + G R (z)G S (z) = 0 uvnitř jednotkové 

kružnice. Tato definice je graficky 

znázorněna na obr. 4.4 

nestabilní 

oblast 

–1 

j 

Im 

stabilní 

oblast 

na hranici 

stability 

1 

Re 

–j 

Obr. 4.4 


Michajlov - Leonhardovo kritérium pro diskrétní regulační obvod se také někdy 

označuje jako křivkové kritérium. Stejně jako u spojitých systému je z charakteristické 

rovnice (4.16) sestavena charakteristická funkce diskrétního regulačního obvodu 

H 

n 

( z) = a z + ... + a1z 

a0 

n 

+ 

(4.21)

Strana 50 


U Michajlov-Leonhardova kritéria pro spojité obvody se do charakteristické funkce 

n 

H ( s) = an s + ... + a0 

spojitého obvodu za proměnnou s dosadí s = jω, tj. mez stability. 

Podobně je tomu u charakteristické funkce H(z) diskrétního obvodu, kdy se za proměnnou 

z příslušné hranice stability dosazuje jednotková kružnice, jak je uvedeno v (4.22) 

z = e 

sT 

= e 

jωT 

= cos ωT 

+ 

j sin ωT 

(4.22) 

Touto substitucí lze dostat funkce bezrozměrné proměnné ωT 

H 

+ 

nωT 

nωT 

j 

j 

( jωT 

) = ane 

+ ... + a1e 

+ a0 

= an 

( cos nωT 

+ j sin nωT 

) + ... + a1( cosωT 

+ j sin ωT 

) 

a = a cos nωT 

+ ... + a cosωT 

+ a + j( a sin nωT 

+ ... + a sin ωT 

) 

0 

n 

1 

0 

1444442 

444443 

Re 

( ωT 

) 

n 

1 

14444244443 

(4.23) 

ke které se sestrojí křivka H(jωT), podobně jako se sestrojovala frekvenční charakteristika 

k jakémukoliv frekvenčnímu přenosu spojitého systému. 

Skutečnost, zda je regulační obvod stabilní, lze zjistit podle definice uvedené v 

[Švarc, 2003]: Diskrétní obvod je stabilní, když křivka H(jωT) začíná na kladné reálné 

poloose a průvodič H opíše v kladném smyslu úhel πn (n.180°) (n je stupeň 

charakteristické rovnice) - (obr. 4.5). 

Im 

( ωT 

) 

+ 

Im 

H(jωT) 

π 0 

Re 

Obr. 4.5



Z frekvenčních kritérií se u spojitých systémů nejčastěji používá kritérium 

Nyquistovo. Také diskrétní regulační obvody se mohou pyšnit tímto kritériem, nicméně se 

diskrétní verze Nyquistova kritéria stability používání spíše zřídka, protože je k výpočtu a 

konstrukci křivek zapotřebí vhodný software. Ten ovšem není podmínkou, ale bez něj se 

stává výpočet příliš pracný. Proto zde řešení Nyquistova kritéria jen nastíním. 

Jedná se pochopitelně o frekvenční charakteristiku rozpojeného obvodu, 

sestrojovanou pro bezrozměrnou frekvenci ωT od 0 do π, protože pak je od π do 2π 

symetrická podle reálné osy a dál se její průběh periodicky opakuje. 

Pokud je uvažován jednoduchý diskrétní regulační obvod uvedený na obr. 4.6, pak 

pro určení stability je potřeba stanovit přenos sériového zapojení regulátor - tvarovač - 

regulovaná soustava, a to jako z-přenos G(z). 

w 

G R (z) 

T 

G 

T 

tvarovač 

( s) 

e 

= 1− 

s 

−sT 

G S (s) 

y 

T 

Obr. 4.6 - Diskrétní regulační obvod 

Po odvození uvedeném v [Davidová, 2002] je výsledný vztah pro z-přenos 

rozpojeného diskrétního regulačního obvodu 

−1 

⎧GS 

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 

( s) 

⎫ 

G0 z = GR 

z ⋅GS 

z = GR 

z ⋅ 1− 

z ⋅ Z⎨ 

⎬ 

(4.24) 

⎩ s ⎭ 

Aby bylo možné sestrojit frekvenční charakteristiku nutnou k určení stability, je 

třeba za hodnotu z dosadit výraz (4.22), čímž se stanoví frekvenční přenos diskrétního 

systému G(jωT) a z něho se vykreslí frekvenční charakteristika buď v komplexní rovině 

nebo v logaritmických souřadnicích. 

Při určováni stability diskrétního regulačního obvodu Nyquistovým kritériem platí 

stejná pravidla, jako pro spojité regulační obvody, tedy o stabilitě rozhoduje poloha 

kritického bohu –1 vzhledem k této charakteristice. 

Pro představu, jak diskrétní verzi Nyquistova kritéria řešit, pro názornost uvedu v kapitole 

5 příklad. 

4.3 Syntéza regulačních obvodů 

Na rozdíl od spojitých obvodů, v diskrétních regulačních obvodech je zapotřebí brát 

v úvahu další důležitý parametr. Je to vzorkovací perioda T a její velikost se obvykle volí 

na základě dynamických vlastností regulované soustavy. Pro určení hodnoty vzorkovací 

periody se využívá některý z těchto empirických vztahů [Balátě, 2003]

Strana 52 


T 

T 

T 

T1 

≈ , 

10 

⎛ 1 1 ⎞ 

≈ ⎜ ÷ ⎟T 

⎝15 

6 ⎠ 

⎛ 1 1 ⎞ 

≈ ⎜ ÷ 

⎝ 4 2 ⎠ 

⎟∑ 

95 

, 

τ , 

j 

(4.25) 

(4.26) 

(4.27) 

kde T 1 je největší časová konstanta regulované soustavy, T 95 je doba, za kterou přechodová 

charakteristika regulované soustavy dosáhne 95% ustálené hodnoty a ∑τ j 

je součet 

časových konstant regulované soustavy. Vztah (4.26) se používá pro nekmitavou 

proporcionální regulovanou soustavu. 

V případě velkého dopravního zpoždění regulované soustavy se vzorkovací perioda 

stanovuje podle vzorce [Isermann, 2003] 

⎛ 1 1 ⎞ 

T ≈ ⎜ ÷ ⎟ Td , 

⎝ 8 3 ⎠ 

nebo vztahu [Vítečková, 1998] 

T < 0,32Td 

, 

(4.28) 

(4.29) 

kde T d je hodnota dopravního zpoždění. 

Za vhodnou se považuje taková velikost vzorkovací periody, při které nedojde ke 

zhoršení kvality regulace o více než 15% ve srovnání s použitým analogickým spojitým 

regulátorem. Pokud je vzorkovací perioda příliš malá, zvyšuje se nárok na rychlost nejen 

číslicového regulátoru, ale rovněž převodníků a měřícího a akčního členu. Naopak 

zvětšováním vzorkovací periody dochází ke ztrátě informace v regulované veličině mezi 

jednotlivými okamžiky vzorkování, což vede k destabilizaci regulačního obvodu [Balátě, 

2003]. 

Při návrhu diskrétního regulačního obvodu uvažujeme jednoduchý obvod, uvedený 

na obr. 4.6, který obsahuje spojitou regulovanou soustavu a před ní umístěný tvarovač. 

Spojitá regulovaná soustava je popsána z-přenosem, jež bude v dalším textu 

označován G S (z) a určí se podle vztahu uvedeném např. v [Balátě, 2003] a také v kapitole 

4.2.3 a po zjednodušení je sejný jako vztah (4.24). 

4.3.1 Typizovaná logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika 

Metodu typizované logaritmické amplitudové frekvenční charakteristiky 

(TLAFCH) pro spojité regulační obvody jsem zpracoval v kapitole 3.3.2.3. Zde jsem uvedl 

návrh parametrů spojitých regulátorů. V této kapitole se pokusím zpracovat tuto metodu 

pro diskrétní regulační obvod. Tato metoda byla takto zpracována a publikována pouze v 

[Davidová, 2004].


Princip metody (TLAFCH) pro diskrétní regulační obvody je stejný jako v kapitole 

3.3.2.3, kde je tato metoda zpracována pro spojité regulační obvody. 

Je-li frekvenční přenos rozpojeného regulačního obvodu určen vztahem 

G 

0 

( jΩ) = G ( jΩ) G ( jΩ) 

R 

S 

, (4.30) 

pak přenos regulátoru je dán 

( jΩ) 

G 

= 

G 

( jΩ) 

( jΩ) 

což se v logaritmických souřadnicích vyjádří vztahem 

G 

R 

0 

S 

, (4.31) 

G 

R 

( jΩ) = G ( jΩ) − GS 

( jΩ) dB 0 dB 

dB 

. (4.32) 

Logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika se tedy stanoví z rozdílů 

těchto charakteristik pro rozpojený regulační obvod a regulovanou soustavu. Typ a 

parametry regulátoru lze určit podle frekvencí zlomů a sklonů asymptot frekvenčního 

přenosu G R (jΩ), který se převede na z-přenos číslicového korekčního členu. 

Při sestrojování amplitudové frekvenční charakteristiky v logaritmických 

souřadnicích vycházíme z frekvenčního přenosu G S (jΩ). Pro určení frekvenčního přenosu 

je možné použít metodiku, která vychází z toho, že frekvenční charakteristiku lze rozdělit 

na dvě oblasti. První je charakteristika v oblast nízkých frekvencí a druhá v oblasti 

vysokých frekvencí. 

V oblasti nízkých frekvencí je dle odvozených vzorců uvedených v [Davidová, 

2004] zřejmé, že logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika spojité regulované 

soustavy se v této oblasti shoduje s logaritmickou amplitudovou frekvenční charakteristiku 

spojité regulované soustavy s tvarovačem na vstupu. Proto je možné použít metodiku 

sestrojování frekvenční charakteristiky, která byla použita pro spojité systémy. 

Začátek logaritmické frekvenční charakteristiky v oblasti vysokých frekvencí 

splývá s koncem této charakteristiky v oblasti vysokých frekvencí. 

Nyní zde popíšu sestrojení typizované logaritmické frekvenční charakteristiky 

rozpojeného regulačního obvodu. Stejně jako u spojitých systémů platí, že průběh 

nízkofrekvenční části charakteristiky určuje přesnost regulace v ustáleném stavu (velikosti 

trvalé regulační odchylky) a středofrekvenční část charakteristiky určuje dynamické 

vlastnosti uzavřeného regulačního obvodu. Na obr. 4.7 je uveden příklad tvaru 

charakteristiky se zakreslenými významnými lomovými frekvencemi. Snahou je, aby 

zvolený postup konstrukce této charakteristiky byl co možná nejjednodušší. Nejprve tady 

vypočítám frekvenci řezu Ω 

ř 

, při které asymptota protíná osu 0 dB. Tu stanovím na 

základě předpokládané doby regulace t r podle vztahu 

π 

Ω 

. (4.33) 

ř 

= ( 1 ÷ 4) 

t 

r 

Tímto bodem vedu asymptotu se sklonem –20 dB/dek, která tvoří středofrekvenční oblast 

typizované charakteristiky. K určení frekvencí ohraničujících středofrekvenční oblast 

použiji vztahy pro spojité systémy aplikované na diskrétní systémy

Strana 54 


Ω 

Ω 

2 

≈ 

( 2 ÷ ) 

3 

4 

Ω 

≈ 

Ω 

2 

ř 

3 

Ω 

ř 

(4.34) 

(4.35) 

A 

[dB] 

0 dB/dek 

–40 dB/dek 

–20 dB/dek 

Ω 3 

2 /( T − 2T∑ 

) 

Ω 1 

Ω 2 

Ω ř 

Ω 

–40 dB/dek 

–60 dB/dek 

Obr. 4.7 - Typizovaná logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika 

Podle vztahu (4.34) určím lomovou frekvenci Ω 3 z rozmezí hodnot, což umožňuje volit 

fázovou bezpečnost, neboť ta je na šířce středofrekvenční oblasti závislá. Čím se volí větší 

hodnota koeficientu z intervalu od 2 do 4, tím je větší také fázová bezpečnost. Podle 

vztahu (4.38) se stanoví lomová frekvence Ω 2 . Jelikož výraz neobsahuje rovnítko, i zde je 

možná případná úprava hodnoty této frekvence. Pokud totiž některá z převrácených hodnot 

časových konstant regulované soustavy se této vypočítané hodnotě blíží, je lepší použít 

tuto. Totéž platí i pro lomovou frekvenci Ω 3 . Je to z důvodu toho, že čím více se 

typizovaná frekvenční charakteristika rozpojeného regulačního obvodu svým tvarem blíží 

k tvaru charakteristiky regulované soustavy, tím je navrhovaný korekční člen jednodušší. 

Z bodu tvořícího začátek středofrekvenční oblasti se sestrojí asymptota o sklonu – 

40 dB/dek, případně –60 dB/dek. Její průsečík s frekvenční charakteristikou regulované 

soustavy určí lomovou frekvenci Ω 1 , která tvoří konec nízkofrekvenční oblasti. Sklon 

asymptoty v nízkofrekvenční oblasti se volí na základě požadovaného řádu integrace 

rozpojeného regulačního obvodu. Jestliže je regulovaná soustava proporcionální a chceme 

dosáhnout regulace s nulovou regulační odchylkou, pak je třeba volit sklon charakteristiky 

v nízkofrekvenční oblasti –20 dB/dek. Je-li však regulovaná soustava integrační s řádem 

integrace 1, případně 2, pak je výhodné, aby nízkofrekvenční část typizované 

charakteristiky splývala s počátkem charakteristiky regulované soustavy a měla tedy sklon 

–20 dB/dek, resp. –40 dB/dek.


Sklon asymptot ve vysokofrekvenční oblasti se ukázalo vhodné volit stejný jako u 

asymptot frekvenčních charakteristik regulované soustavy. 

Při určování parametrů číslicového regulátoru, popř. korekčního členu, se provede 

grafické sestrojení logaritmické amplitudové frekvenční charakteristiky podle vztahu 

(4.32), tedy jako rozdíl amplitudové frekvenční charakteristiky rozpojeného obvodu 

(typizované) a regulované soustavy, jak je vyobrazeno na obr. 4.8. Na základě tvaru této 

charakteristiky, podle frekvencí zlomů a sklonů asymptot, se stanoví frekvenční přenos 

G R (jΩ). 

A 

[dB] 

G S (jω) 

Ω1 

Ω 2 

Ω3 

Ω ř 

Ω 4 

Ω5 

Ω6 

Ω 

G R (jω) 

G 0 (jω) 

Obr. 4.8 - Sestrojení logaritmické amplitudové frekvenční charakteristiky 

číslicového regulátoru 

4.3.2 Metoda transformovaných frekvenčních charakteristik 

Mezi metody syntézy diskrétních regulačních obvodů, které jsou vhodné i pro 

průmyslovou praxi, patří metoda transformovaných frekvenčních charakteristik uvedená v 

[Černý, 1984], [Zeman, 1987]. Pro regulační obvod na obr. 4.6 se na základě vztahu (4.32) 

určí z-přenos spojité regulované soustavy G S (z). Vzájemný vztah mezi operátorem s a 

operátorem z je dán rovnicí 

T 

1+ 

s 

sT 

z = e ≈ 2 

(4.36) 

T 

1− 

s 

2

Strana 56 


Vzhledem k tomu, že frekvenční charakteristika soustavy je transcendentní funkcí 

proměnné jω, je znesnadněno přímé sestrojení frekvenční charakteristiky diskrétního 

systému pouhým dosazením s=jω. Proto se zavádí operátor q, který je definován 

transformací 

T 

1+ 

q 

z = 2 

T 

1− 

q 

2 

2 

q = 

T 

. (4.37a,b) 

Vztahy (4.36) a (4.37) představují vzájemné zobrazení komplexních rovin Z, S a Q. 

Pomocí těchto transformací se levá komplexní polorovina roviny S převede do vnitřní části 

jednotkové kružnice roviny Z. Body s=jω, které leží na imaginární ose roviny S, se 

transformují na body q=jΩ, které leží rovněž na imaginární ose, ovšem roviny Q. 

Transformovaný přenos v proměnné q se stanoví ze vztahu (4.32) dosazením 

transformace (4.37a) za hodnotu 

z 

z 

−1 

+ 1 

G 

S 

−1 

⎧GS 

( ) ( ) 

( s) 

q = 1− 

z ⋅ Z 

⎨ 

⎩ 

s 

⎫ 

⎬ 

⎭ 

T 

1+ 

q 

z= 

2 

T 

1− 

q 

2 

(4.38) 

Při praktickém výpočtu se přenos G S (s) rozloží na parciální zlomky a potom lze pro 

výpočet transformovaného přenosu G S (q) použít tabulku 4.1 převzatou z [Černý, 1984]. V 

ní jsou uvedeny základní typy přenosů a jim příslušející jednotlivé transformované 

přenosy. 

Transformovaný frekvenční přenos se určí dosazením 

q = jΩ 

(4.39) 

do transformovaného přenosu G S (q). Z něho se sestrojí amplitudová, případně fázová 

transformovaná logaritmická frekvenční charakteristika stejným postupem jako v případě 

spojitých systémů.


Tabulka 4.1 - Transformované přenosy 

Č. G S (s) G S (q) 

1 

1 s 

T 

1− q 

2 

q 

1 

2 2 

s 

T 

1− 

q 

2 

2 

q 

1 

3 1+ 

s 

T 1 

T 

1− 

q 

2 

* 

1+ 

T q 

1 

1 

4 ( ) 2 

1+ T s 

1 

⎛ T ⎞⎡ 

⎛ T 

⎜1 

− q⎟⎢1 

+ 

2 

⎜ 

⎝ ⎠⎢⎣ 

⎝ 2T 

* 

( 1+ 

T q) 2 

1 

1 

T 

2T 

* 

1 

⎞ 

− β 

⎟T 

⎠ 

* 

⎤ 

⎥ 

⎥⎦ 

1 

5 ( 1+ 

T s) 

s 

1 

1 

6 2 ( 1+ 

T s) 

s 

1 

1 

7 ( 1+ 

s)( + T s) 

T1 1 

2 

⎛ T ⎞ 

⎜1 

− q⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

q 

⎛ T ⎞ 

⎜1 

− q⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

q 

( 1+ 

T β q) 

* 

( 1+ 

T q) 

⎛ T ⎞⎛ 

T1T 

2 

⎜1 

− q⎟ 

1 

2 

⎜ + 

⎝ ⎠⎝ 

T1 

− T 

1 

2 2 

( 1+ 

T1 

β q − T1 

β q ) 

2 * 

( 1+ 

T q) 

* 

* 

( 1+ 

T q)( 1+ 

T q) 

1 

1 

2 

1 

( β − β ) 

2 

2 

1 

⎞ 

q 

⎟ 

⎠ 

1 

8 ( 1+ T s)( + T s) 

⎜1 

q⎟⎢1 

+ ( T1β 

1 

+ T2β 

2 

) 

s 

1 

1 

2 

Poznámka: 

T 

⎛ T − 

⎝ 2 

* 

i 

⎞⎡ 

⎠⎣ 

i 

q 

⎛ T1 

β1 

− T2β 

2 

⎞ 

q + 

⎜ β1β 

2 

+ 

T1T 

2q 

T1 

T 

⎟ 

⎝ 

− 

2 ⎠ 

* 

* 

( 1+ 

T q)( 1+ 

T q) 

T T 

= h 

2 2T 

= T 

β 

i − 1 

Ti* 

1 

2 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

2

Strana 58 


Pokud je splněna podmínka 

ωT 

2 ≤ 0,25 

pak je ω ≈ Ω a současně platí přibližný vztah 

, (4.40) 

G 

S 

( jΩ) ≈ G ( jω) 

S 

. (4.41) 

To znamená, že transformovaná logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika 

(LAFCH)souhlasí přibližně s touto charakteristikou spojitého systému bez vzorkování při 

dané době vzorkování T při frekvencích 

2 

Ω ≤ 0,25 . (4.42) 

T 

Při určování parametrů číslicového regulátoru se vychází z jeho LAFCH, která se stanoví 

na základě LAFCH rozpojeného regulačního obvodu G 0 (jΩ), jež musí mít požadovaný 

průběh v nízkofrekvenční a středofrekvenční oblasti (podobně jako u spojitých systémů) a 

LAFCH regulované soustavy G S (jΩ) podle vztahu (4.32). Podle tvaru frekvenční 

charakteristiky regulátoru se určí transformovaný přenos regulátoru G R (q), do něhož se 

dosadí transformační vztah (4.40b) a získá se tak z-přenos regulátoru 

G 

R 

( z) = G ( z) 

R 

2 z−1 

q= 

T z+ 

1 

(4.43) 

Z LAFCH rozpojeného regulačního obvodu lze odečíst frekvenci řezu Ω ř , z které je možné 

stanovit dobu regulace t r vztahem 

t r 

≈ , 5 

(4.44) 

Ω 

1 ř 

γ 

Velikost překmitu σ na přechodové charakteristice, udávaná v procentech, je dána fázovou 

bezpečností γ podle rovnice 

. 

σ = 70 − 

(4.45)

Strana 59 

5 POUŽITÍ VYBRANÝCH METOD NA PŘÍKLADECH 

V této kapitole uvedu příklady použití frekvenčních charakteristik při analýze a 

syntéze regulačních obvodů. Ukážu zde i příklady, na kterých budu demonstrovat diskrétní 

verze metod, které jsem v předchozí kapitole uvedl, kvůli jejich náročnosti, jen stručně. 

Uvedu zde tyto metody: 

• Michajlov-Leonhardovo kritérium pro spojité regulační obvody 

• Nyquistovo kritérium pro spojité regulační obvody 

• Michajlov-Leonhardovo kritérium pro diskrétní regulační obvody 

• Nyquistovo kritérium pro diskrétní regulační obvody 

• Metoda transformovaných frekvenčních charakteristik 

Z důvodu omezeného rozsahu diplomové práce, mohu uvést příklady pouze v 

omezeném množství. Rovnice a grafy byly zpracovány v programu Microsoft Office Excel 

2003, tyto poznámky jsou na přiloženém CD uvedeny v souboru (Výpočty a grafy.doc). 

5.1 Příklady pro spojité regulační obvody 

Zde uvedu dvě kritéria na analýzu regulačního obvodu, a to Michajlov- 

Leonhardovo a Nyquistovo. 


Příklad 5.1: Podle obr. 5.1 určete stabilitu regulačního obvodu podle pomocí Michajlov- 

Leonhardova kritéria. 

v 

G S 

( s) 

= 

s 

1 

( 0,1s 

+ 1)( 0,5s 

+ 1) 

1 

G R 

1 

⎝ 0,5s 

⎛ 

⎞ 

( s) = 40 ⎜1+ 

+ 0, s⎟ ⎠ 

Obr. 5.1 

y 

w 

Řešení: 

Nejprve určím přenos rozpojeného obvodu, který ze známého vztahu 

( s) = G ( s) ⋅G 

( s) 

G0 S R 

je 

G 

0 

( s) 

= 

s 

1 

⎛ 

40⎜1 

+ 

⎝ 

1 

0,5 

⎞ 

+ 0,1s 

⎟ = 

⎠ 

4s 

4 3 2 

( 0,1s 

+ 1)( 0,5s 

+ 1) s 0,05s 

+ 0,6s 

+ s 

2 

+ 40s 

+ 80

Strana 60 

Použití vybraných metod na příkladech 

Dále vyjádřím charakteristickou rovnici 

0,05s 

Michajlův-Leonhardův vektor je 

Tabulka 5.1 

H 

ω Re Im 

4 

3 2 

+ 0,6s 

+ 5s 

+ 40s 

+ 80 = 0 

4 

3 

2 

( jω) = 0,05( jω) + 0,6( jω) + 5( jω) + 40( jω) 

4 2 

= 0,05 

14 

ω 

44 

− 

2 

5 

4 

ω 

44 

+ 

3 

80 + 

Re 

0 80 0 

0,5 78,75 19,93 

1 75,05 39,4 

2 60,8 75,2 

3 39,05 103,8 

5 -13,75 125 

7 -44,95 74,2 

8 -35,2 12,8 

9 3,05 -77,4 

9,5 36,00 -134,43 

10 80 -200 

10,2 101 -228,73 

3 

( 40ω 

− 0,6ω 

) 

j 

144 

2443 

Im 

+ 80 = 

K tomuto výrazu sestrojím na základě 

tabulky 5.1 Michajlov.Leonhardovu křivku H(jω) 

- obr. 5.2. Protože stupeň charakteristické rovnice 

je n=4 a křivka prochází v kladném smyslu 

čtyřmi za sebou jdoucími kvadranty, je regulační 

obvod stabilní. 

150 

Im 

100 

50 

0 

-60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 120 

-50 

-100 

Re 

-150 

-200 

-250 

Obr. 5.2 - Michajlov-Leonhardova křivka H(jω)

Použití vybraných metod na příkladech Strana 61 


Příklad 5.2: Určete stabilitu regulačního obvodu podle obr. 5.3 pomocí Nyquistova 

kritéria. 

v 

G S 

( s) 

= 

1 

G R 

( s) 

= 

s 

1 

( s + 1)( 12s 

+ 1) 

Obr. 5.3 

y 

w 

Řešení: Nejprve určím, stejně jako v 5.1.1, přenos rozpojeného obvodu, který ze 

známého vztahu G0 ( s) = GS 

( s) ⋅GR 

( s) 

je 

G 

0 

G 

0 

= 1 

1 

= 

3 

s( s + 1)( 10s 

+ 1) 10s 

+ 11s 

2 + s 

1 

1 

jω 

= 

= 

3 

2 

3 2 

10 jω 

+ 11 jω 

+ jω 

−10 

jω 

−11ω 

+ 

( s) 

( ) 

( ) ( ) 

3 2 

−10 

jω 

+ 11ω 

+ jω 

= 

2 6 

5 2 4 

5 

4 

2 2 4 

2 

100 j ω −110 

jω 

−10 

j ω + 110 jω 

−121ω 

−11 

jω 

−10 

j ω + 11 jω 

+ 

3 2 

−10 

jω 

+ 11ω 

+ jω 

= 

2 6 2 4 

4 2 4 

100 j ω −10 

j ω −121ω 

−10 

j ω + 

3 

( ω −10ω 

) 

3 2 

2 

−10 

jω 

+ 11ω 

+ jω 

11ω 

= 

= 

+ j 

6 

4 2 

6 

4 2 

6 

4 2 

−100ω 

−101ω 

− ω 14 −10044 

ω −2 

101 444 

ω − 3 ω 14 −100 

4ω 

44 −2 

101 4444 

ω − 3 ω 

Re 

2 2 

j ω 

3 2 

−10 

jω 

+ 11ω 

+ 

⋅ 

3 2 

jω 

−10 

jω 

+ 11ω 

+ 

3 2 

−10 

jω 

+ 11ω 

+ jω 

= 

6 4 

4 4 2 

−100ω 

+ 10ω 

−121ω 

+ 10ω 

− ω 

Im 

jω 

= 

jω 

= 

2 2 

j ω 

= 

Tabulka 5.2 

ω Re Im 

0,2 -2,12 -0,58 

0,22 -1,80 -0,38 

0,24 -1,54 -0,25 

0,26 -1,33 -0,15 

0,28 -1,15 -0,08 

0,3 -1,01 -0,03 

0,4 -0,56 0,08 

0,5 -0,34 0,09 

0,6 -0,22 0,09 

1 -0,05 0,04 

Kořeny jmenovatele jsou 0, -0,1, -1. Žádný z 

nich není kladný (neleží v pravé komplexní 

polorovině), rozpojený obvod je tedy stabilní, a 

proto je možno Nyquistova kritéria použít. 

Frekvenční přenos G 0 (jω) rozdělím na reálnou a 

imaginární část a sestrojím frekvenční 

charakteristiku rozpojeného obvodu v 

komplexní rovině (tab. 5.2, obr. 5.4). Kritický 

bod [–1, 0] leží vlevo od frekvenční 

charakteristiky G 0 (jω)a proto je obvod stabilní.

Strana 62 


0,20 

Im 

Re 

0,10 

0,00 

-2,50 -2,00 -1,50 -1,00 -0,50 0,00 

-0,10 

-0,20 

-0,30 

-0,40 

-0,50 

Obr. 5.4 

-0,60 

-0,70 

5.2 Příklady pro diskrétní regulační obvody 

Zde opět uvedu dvě kritéria na analýzu regulačního obvodu, a to Michajlov- 

Leonhardovo a Nyquistovo a také příklad na syntézu regulačního obvodu, tedy metodu 

typizované logaritmické frekvenční charakteristiky. 


Příklad 5.3: Na základě charakteristické rovnice určete stabilitu diskrétního regulačního 

obvodu: 

3 2 

z − 0,3z + 0,7z − 0,5 = 0 

Řešení: Do charakteristické funkce obvodu 

H 

( jωT) 

H z 

dosadím za z vztah 

sT 

z = e 

= e 

3jωT 

− 0,3e 

2 jωT 

= cos3ωT 

+ jsin 3ωT 

− 0,3 

3 2 

( ) = z − 0,3z + 0,7z − 0, 5 

= e 

jωT 

= cos3 

14444444 

ωT 

− 0,3cos 2 

2 

ωT 

4 

+ 

444444 3 

Re 

+ 0,7e 

jωT 

= cos ωT 

+ 

− 0,5 = 

j sinωT 

( cos 2ωT 

+ jsin 2ωT) + 0,7( cosωT 

+ jsinωT) 

− 0,5 = 

0,7 cosωT 

− 0,5 + j( sin 3ωT 

− 0,3sin 2ωT 

+ 0,7sinωT) 

1444444 

2444444 

3 

Im


Tabulka 5.3 

ωΤ Re Im 

0,00 1,00 0,00 

0,52 0,06 1,09 

1,05 -0,90 0,35 

1,57 -0,10 -0,30 

1,83 0,39 0,12 

2,09 0,40 0,87 

2,36 -0,19 1,50 

2,62 -1,16 1,61 

3,14 -2,40 0,00 

Pokračuji výpočtem, který je uveden v 

tab. 5.3 a následně vykreslením grafu (obr. 5.5). 

Podle definice stability regulačního obvodu, 

uvedené v kapitole 4.2.2, se dle obr. 5.5 jedná o 

obvod stabilní, protože křivka H(jωT) začíná na 

kladné reálné poloose a průvodič H opsal v 

kladném smyslu úhel πn (n.180°). Vzhledem k 

tomu, že stupeň charakteristické rovnice n=3, pak 

3.180° = 540°, což podle grafu na obr. 5.5 

souhlasí. 

2,00 

Im 

1,50 

1,00 

0,50 

-3,00 -2,50 -2,00 -1,50 -1,00 -0,50 0,00 0,50 1,00 1,50 

0,00 

Re 

-0,50 

Obr. 5.5

Strana 64 



Příklad 5.4: Pomocí Nyquistova kritéria vyšetřete stabilitu diskrétního regulačního 

obvodu uvedeném na obr. 5.6. 

w(t) 

T=1[s] 

1− 

e 

s 

−sT 

1 

( 2s + 1)( s + 1) 

T=1[s] 

y(k) 

y(t) 

Obr. 5.6 

Řešení: 

Základem je nejprve vyjádření přenosu řízení daného rovnicí 

G 

w 

( z) 

( ) 

( ) 

Y z 

= 

W z 

G 

R 

= 

1+ 

G 

( z) G 

S 

( z) 

( z) G ( z) 

R 

S 

Vzhledem k tomu, že G R 

( z) = 1, stačí na základě vztahu (4.24) vyjádřit ( z) 

dosadit ho do G w 

( z) 

. 

G 

S 

−1 

( z) = ( 1− 

z ) 

⎧ 

Z⎨ 

⎩s 

1 

( 2s + 1)( s + 1) 

⎫ 

⎬ = 

⎭ 

−1 

( 1− 

z ) 

⎧1 

2 1 ⎫ 

Z⎨ 

− + ⎬ = 

⎩s 

s + 0,5 s + 1⎭ 

G S 

a 

z −1 

⎡ z 2z z ⎤ ⎡ 1 2 1 ⎤ 

= 

( z 1) 

z ⎢ 

− + = − 

0,5T 

T 

z 1 z e z e 

⎢ − + = 

− 

− ⎥ z 1 z 0,607 z 0,368 

⎥ 

⎣ − − − ⎦ ⎣ − − − ⎦ 

0,154z + 0,094 

= 

2 

z − 0,975z + 0,223 

K získání Z-obrazů byl použit slovník Z-transformace uvedený v [Švarc, 2002]. Přenos 

řízení je tedy 

0,154z + 0,094 

2 

z − 0,975z + 0,223 0,154z + 0,094 

G 

w 

( z) 

= 

= 

2 

0,154z + 0,094 z − 0,821z + 0,317 

1+ 

z2 − 0,975z + 0,223 

Teď využiji vztahu (4.22) pro vyjádření G( jω 

T)


G 

= 

( jωT) 

= 

e 

2 jωT 

0,154( cosωT 

+ jsinωT) 

+ 0,094 

( cos 2ωT 

+ jsin 2ωT) − 0,975( cosωT 

+ jsinωT) 

= ....................... = 

jωT 

0,154e + 0,094 

= 

jωT 

− 0,975e + 0,223 

Re 

644444444444444 

744444444444444 

8 

⎧( cos 2ωT 

− 0,975cosωT 

+ 0,223) ⋅ ( 0,154cosωT 

+ 0,094) + ( 0,154sinωT) 

⎫ 

2 

2 

⎪ 

⋅ 

( cos 2ωT 

− 0,975cosωT 

+ 0,223) + ( sin 2ωT 

− 0,975sinωT) 

⎪ 

= ⎨ 

⎬ + 

⎪ ( sin 2ωT 

− 0,975sinωT) 

⋅ 

⎪ 

⎪⎩ 

1 

⎪⎭ 

( sin 2ωT 

− 0,975sinωT) ⋅ ( − 0,154cosωT 

− 0,097) + ( 0,154sinωT) 

2 

2 

( cos 2ωT 

− 0,975cosωT 

+ 0,223) + ( sin 2ωT 

− 0,975sinωT) 

( cos 2ωT 

− 0,975cosωT 

+ 0,223) 

⎧ 

⎫ 

j 

⎪ 

⋅ 

⎪ 

+ ⎨ 

⎬ 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

⋅ 

⎩14 444444444444 

1 

⎪ 

24444444444444 

3⎭ 

Im 

= 

+ 0,223 

Tabulka 5.4 

ωΤ Re Im 

0 1,00 0,000 

0,1 0,94 -0,333 

0,2 0,79 -0,571 

0,3 0,60 -0,681 

0,4 0,42 -0,684 

0,7 0,09 -0,439 

1 -0,02 -0,207 

1,2 -0,04 -0,111 

1,5 -0,05 -0,030 

2 -0,04 0,017 

2,5 -0,03 0,018 

3 -0,03 0,005 

3,14 -0,03 0,000 

Vzhledem k velmi pracnému výpočtu 

zde uvádím pouze výsledek, do kterého jsou 

dosazeny hodnoty ωT (viz. tab. 5.4). 

Kritický bod [–1, 0] leží vlevo od této 

charakteristiky a proto je obvod stabilní.

Strana 66 


0,100 

Im 

0,000 

Re 

-0,20 0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 

-0,100 

-0,200 

-0,300 

-0,400 

-0,500 

-0,600 

-0,700 

-0,800 

Obr. 5.7 

5.2.3 Metoda transformovaných frekvenčních charakteristik 

Příklad 5.5: Navrhněte parametry číslicového metodou transformovaných frekvenčních 

charakteristik pro regulovanou soustavu 

1 

G S 

( s) 

= 

1+ 

4s 1+ 

0,5s 

( )( ) 

je-li vzorkovací perioda T = 1s. 

V tomto příkladu využiji tabulku 4.1 uvedenou v kapitole 4.3.2. Uvedený přenos 

odpovídá v této tabulce výrazu č. 7. Časové konstanty regulované soustavy jsou T 1 = 4s a 

T 2 = 0,5s a její zesílení K = 1. Nejprve určím jednotlivé dílčí hodnoty 

* T T 1 1 1 

T1 ≈ cot gh = cot gh = ⋅8,042 

≈ 4,021s 

2 2T1 

2 2 ⋅ 4 2 

* T T 1 1 1 

T2 ≈ cot gh = cot gh = ⋅1,313 

≈ 0,675s 

2 2T 2 2 ⋅ 0,5 2 

* 

T1 

4,021 

β 

1 

= −1 

= −1 

= 0,00525 

T 4 

1 

* 

T2 

0,657 

β 

2 

= −1 

= −1 

= 0,314 

T 0,5 

2 

2


T1T 

2 

= 

2 

β 

T − T 

4 ⋅ 0,5 

4 − 0,5 

( β − ) ≈ ( 0,314 − 0,00525) 0,176s 

T3 1 

≈ 

1 2 

Dosadím tyto číselné hodnoty a stanovím tím transformovaný přenos regulované soustavy 

( q) 

( 1− 

0,5q)( 1+ 

0,176q) 

( 1+ 

4,021q )( 1 0,657q) 

G S 

= . 

+ 

Z něho potom za pomoci vztahu (4.42) určím transformovaný frekvenční přenos 

( jΩ 

) 

( 1− 

0,5jΩ 

)( 1+ 

0,176jΩ 

) 

( 1+ 

4,021jΩ 

)( 1 0,657jΩ 

) 

G S 

= . 

+ 

Pro sestrojení transformované LAFCH regulované určím hodnotu amplitudy 

[ ] 

A dB = 20log1− 

20log 

2 2 

1+ 

4,021 Ω 

− 20log 

2 2 

2 2 

+ 20log 1+ 

0,5 Ω + 20log 1+ 

0,176 Ω 

2 2 

1+ 

0,657 Ω 

+ 

Při sestrojení vlastní charakteristiky dále postupuji podle postupu pro konstrukci 

amplitudové logaritmické frekvenční charakteristiky. Na obr. 5.8 je zobrazena černou 

barvou. 

A 

[dB] 

20 

* 

Ω 1 

* 

Ω 2 

2 / T 

Ω 3 

–20 

Ω ř 

G 0 (jΩ) 

G R (jΩ) 

G S (jΩ) 

Ω 

Obr. 5.8 - Transformované frekvenční charakteristiky

Strana 68 


tvaru 

Jestliže použiji číslicový PI regulátor, jehož transformovaný přenos je v obecném 

G 

⎛ + 

⎛ 1+ 

T q ⎞ 

( ) = 

i 

q r 

⎜1 

⎟ = r 

⎜ 

T q T q ⎟ 0 

0 

i 

i ⎠ 

⎝ 

1 

R 

, 

⎞ 

⎠ 

⎝ 

pak při volbě časové konstanty regulátoru T i rovnající se transformované časové konstantě 

regulované soustavy T je transformovaný přenos rozpojeného obvodu 

( q) 

* 

1 

( 1− 

0,5q)( 1+ 

0,176q) 

4,021q( 1 0,657q) 

G O 

= 0,8 

. 

+ 

Amplituda odpovídající jeho logaritmické frekvenční charakteristiky je 

[ ] 

A dB = 20log0,8 − 20log 4,021Ω 

− 20log 

2 2 

2 2 

+ 20log 1+ 

0,5 Ω + 20log 1+ 

0,176 Ω 

1+ 

0,657 

2 

2 

Ω 

+ 

Na obr. 4.4 je průběh LAFCH rozpojeného regulačního obvodu uveden červenou 

čarou. Pro zvolené zesílení r 0 

= 0, 8 a integrační časovou konstantu T i 

= 4,021s 

protíná 

tato charakteristika osu 0dB pod sklonem –20dB/dek při frekvenci 

odpovídá doba regulace podle vztahu (4.47) hodnotě 

−1 

Ω 

ř 

= 0,209s 

a tomu 

t 

r 

1,5 

≈ ≈ 7,18s . Ω 

ř 

Na závěr do transformovaného přenosu regulátoru s využitím vztahů (4.40b) a (4.46) určím 

z-přenos regulátoru 

G R 

( z) 

( z − 0,779) 

9,042z − 7,042 

= 0,8 ⋅ 

= 0,899 . 

8,042z − 8,042 z −1

Strana 69 

6 ZÁVĚR 

Tématem této diplomové práce bylo použití frekvenčních charakteristik při analýze 

a syntéze regulačních obvodů. 

Cílem úvodní a druhé kapitoly bylo získání uceleného obecného přehledu o 

pojmech analýza a syntéza. Tyto pojmy zde byly rozebrány podrobně, takže má o nich 

čtenář dokonalý přehled a informovanost. 

Třetí kapitola se zabývala použitím frekvenčních charakteristik u spojitých 

systémů. Kapitola byla rozdělena do tří důležitých podkapitol, kde se první věnuje 

obecnému popisu frekvenčních charakteristik u spojitých systémů, druhá popisuje analýzu 

regulačních obvodů, tedy určování jejich stability a třetí rozebírá jejich syntézu, tedy návrh 

parametrů regulátoru. To vše samozřejmě pro spojité regulační obvody. U každé z metod 

byly uvedeny buď kompletní metody, nebo zkrácené včetně výpočtových vztahů a grafů. 

Ve čtvrté části byly, obdobně jako u třetí, zdůrazněny tři podkapitoly, které se 

věnují diskrétním regulačním obvodům. Obecné pojetí frekvenčních charakteristik plynule 

navazuje na druhou a třetí podkapitolu věnující se analýze a syntéze regulačních obvodů. 

Metody stability regulačních obvodů jsou podobné jako pro spojité obvody, ale byly 

upraveny pro obvody diskrétní. U každé z metod byly uvedeny, stejně jako u spojitých 

regulačních obvodů, buď kompletní metody, nebo zkrácené včetně výpočtových vztahů a 

grafů. 

V poslední, páté kapitole, byly některé uvedené metody aplikovány na vhodných 

příkladech, díky kterým je možné snadno pochopit danou metodu. Grafy a postupy 

výpočtu u jednotlivých příkladů pomohou pochopit problém a jeho řešení. 

Po vypracování této diplomové práce jsem dospěl k závěru, že frekvenční 

charakteristiky jsou dobrým nástrojem pro analýzu i syntézu regulačních obvodů. 

Vzhledem k tomu, že se ale jedná o grafické vyjádření, doporučuji pro vykreslování grafů 

a výpočet rovnic použít počítač a software typu Microsoft Office Excel.

Strana 71 

SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY 

1. BALÁTĚ, J. Automatické řízení. 2. přepracované vydání Praha : BEN, 2004. 664 

stran. ISBN 80-7300-148-9. 

2. ČERNÝ, M. Číslicová regulace elektrických pohonů. Praha : SNTL, 1984. 208s. 

3. DAVIDOVÁ, O. Využití frekvenčních metod při navrhování diskrétních systémů 

řízení. Brno, 2004. 106s. Disertační práce na FSI VUT v Brně na Ústavu 

automatizace a informatiky. Vedoucí disertační práce Doc. Ing. Ivan Švarc, 

CSc. 

4. FENCLOVÁ, M. Teorie automatického řízení - Návody ke cvičení. Praha : 

Vydavatelství ČVUT, 1996. 152s. 

5. ISERMANN, R. Digital Control Systems. Berlin : Springer-Verlag, 1981. 

6. KUBÍK, S. Teorie automatického řízení I. Praha : SNTL, 1980. 528 s. pod. č.j. 12 

037/80-30. 

7. SUCHNA, J. Metody syntézy spojitých regulačních obvodů. Brno, 2005. 74s. 

Diplomová práce na FSI VUT v Brně na Ústavu automatizace a 

informatiky. Vedoucí diplomové práce Ing. Olga Davidová, Ph.D. 

8. ŠVARC, I. Automatizace: Automatické řízení. 1. vydání Brno : CERM, 

9. 2002. 201 s. ISBN 80-214-2087-1. 

10. ŠVARC, I. Teorie automatického řízení I. 1. vydání Brno : Skriptum VUT, 

11. 1987. 210 s. 

12. VÍTEČKOVÁ, M. Seřízení regulátorů metodou inverze dynamiky. Ostrava : VŠB - 

Technická univerzita Ostrava, 1998. 56s. ISBN 80-7078-628-0. 

13. ZEMAN, K. Automatická regulace v elektrických pohonech I. Plzeň : Ediční 

středisko VŠSE Plzeň, 1987. 220s. 

14. ZÍTEK, P. Automatické řízení. Praha : Vydavatelství ČVUT, 2001. 148s. 

15. ZÍTEK, P. Matematické a simulační modely 1 - Modely v komplexním oboru. 

Praha: Vydavatelství ČVUT, 2001. 111s. 

16. HAVEL, P. Frekvenční metody syntézy. Praha, 2004. Dostupné na WWW: 

http://dce.felk.cvut.cz/sri2/ss/Synteza/Havel_frekv_met2.pdf. 

17. Internetová učebnice na Katedře řídicí techniky ČVUT-FEL Praha. Dostupná na 

WWW: http://dce.felk.cvut.cz/sri2/ss/ 

18. MINÁR, K. Vyhledávací služba Gogole začala indexovat soubory ANALÝZA. 

VSB [online]. Dostupné na WWW: http://www.fs.vsb.cz/books/Analyza/prvni.html 

19. MODRLÁK, O. Analýza diskrétních regulačních obvodů. Liberec, 2004. Dostupné 

na WWW: http://www.fm.vslib.cz/~krtsub/fm/modrlak/pdf/cr_analyza.pdf 

20. MODRLÁK, O. Teorie automatického řízení I - Syntéza regulačních obvodů. 

Liberec, 2004. Dostupné na WWW: 

http://www.fm.vslib.cz/~krtsub/fm/tr1/tar1_syn.pdf 

21. MODRLÁK, O. Teorie automatického řízení I - Syntéza ve frekvenční oblasti a 

citlivost a robustnost regulačních obvodů. Liberec, 2004. Dostupné na WWW: 

http://www.fm.vslib.cz/~krtsub/fm/tr1/tar1_K5.9-10.pdf 

22. PSTRUŽINA, K. Atlas filosofie vědy. Dostupné na WWW: 

http://nb.vse.cz/kfil/win/atlas1/analyza.htm

DiplomovÃ¡ prÃ¡ce - Ãstav automatizace a informatiky - VysokÃ© uÄenÃ­ ...

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?

DiplomovÃ¡ prÃ¡ce - Ãstav automatizace a informatiky - VysokÃ© uÄenÃ ...