Algebra
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
obsahujícíprvek(1Ò).MnožinaÊspolusprávězavedenýmioperacemi<br />
senazýváfaktorováalgebraΩ-algebrypodlekongruence,značíse.<br />
Věta4.2.Předchozídefinicejekorektní.<br />
Důkaz.Jetřebaověřitnezávislostnavolběreprezentantů.Zachovejmeveškeréoznačenízdefiniceazvolmeještědalšíreprezentanty:nechťtéž1¾1,,<br />
Ò¾Ò.Ovšempatřitdostejnétřídyrozkladuznamenábýtekvivalentní,tedy<br />
platí11,,ÒÒ.Zdefinicekongruencepakdostáváme(1Ò)<br />
(1Ò),cožznamená,že(1Ò)a(1Ò)patřídostejnétřídy<br />
rozkladu,totiždotřídyÊ(1Ò).<br />
Příklad.Příkladfaktorgrupyafaktorokruhujeznámý.Ukažmesiprotoněco,<br />
cojsmevpřednášcezalgebrynedělali.Univerzálníalgebranámdávánávod,jak<br />
faktorizovatsvazy.Nechť(Ë)jesvaz.Kongruencenaněmjeekvivalence<br />
namnožiněËsplňující:prokaždé¾Ëtakové,žea,platí<br />
.Pakzobrazení:určenépředpisem¾()prolibovolné¾<br />
a.Je-likongruencenasvazu(Ë),pakfaktorsvazje<br />
svaz,jehožnosnámnožinajerozkladËaoperacenaníjsoudefinoványpomocí<br />
reprezentantů:proÌʾËzvolíme¾Ì,¾ÊadefinujemeÌÊjakotřídu<br />
obsahujícíaÌÊjakotříduobsahující.<br />
Věta4.3.NechťjeuniverzálníalgebratypuΩ,kongruencenaΩ-algebře<br />
(tedy()jetřídaobsahujícíprvek)jesurjektivníhomomorfismusΩ-algeber.<br />
Důkaz. Zobrazeníjesurjekce,neboťkaždátřídarozkladu¾je<br />
neprázdná,existujetedy¾,prokterésamozřejměplatí()=.Ukažme,že<br />
jehomomorfismusΩ-algeber.ZvolmelibovolněÒ-árníoperačnísymbol¾Ωa<br />
prvky1Ò¾.Označme1=(1),,Ò=(Ò).Paktedy1¾1,<br />
,Ò¾Òa(1Ò)jeurčenotím,žeobsahujeprvek(1Ò),<br />
tj.<br />
((1Ò))=(1Ò)=((1)(Ò))<br />
Důkaz.NechťjelibovolnákongruencenaΩ-algebře.Nechť:<br />
cožsemělodokázat.<br />
Definice.SurjektivníhomomorfismusΩ-algeber:konstruovaný<br />
vpředchozívětěsenazýváprojekceΩ-algebrynafaktorovoualgebru.<br />
Důsledek.NechťjeuniverzálníalgebratypuΩ.Platí,žekaždákongruence<br />
naΩ-algebřejejádremvhodnéhohomomorfismuΩ-algebervycházejícíhozΩalgebry.<br />
projekce Ω-algebryna faktorovoualgebru. Tvrzení bude dokázáno,<br />
ověříme-li,žejádremje.Označmejádro.Podledefinicejádrahomomorfismuprolibovolné¾platíprávětehdy,když()=(),což<br />
podledefiniceprojekceznamená,žeapatřídotéžetřídyrozkladu,neboli<br />
.<br />
Definice.Nechťjemnožina,aekvivalencenamnožině.Řekneme,<br />
žeekvivalencejemenšíneborovnaekvivalenci,jestližeprokaždé¾<br />
=µ<br />
platíimplikace<br />
Poznámka.Protožedledefinicejeekvivalencenamnožiněrelacínamnožině,tedypodmnožinoukartézskéhosoučinu¢,přičemžnapříklad<br />
11
Change language